[理学]线性代数课件33

最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。

解
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法

03
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式 时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O(n·n!)。即使对于2×2系统，克 拉默的规则在数值上也是不稳定的。
03
向量与向量空间
向量的概念
80%
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常 用箭头表示，箭头的长度代表向 量的大小，箭头的指向代表向量 的方向。
二次型的规范形
当二次型的标准形中$lambda_i$取值为$pm 1$时，称为 规范形。
化为标准形的方法
通过配方法或正交变换法可以将二次型化为标准形。
正定矩阵的概念与性质
正定矩阵的定义
对于任意非零向量$x$，都有$x^TAx > 0$，则称对称矩阵$A$为正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于0；正定矩阵的特征值都大于0；正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的；正定矩阵的合 同标准形中主对角线上的元素都大于0。
消元法、克拉默法则等。
矩阵的概念
零矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。
矩阵的行数和列数。
由m×n个数排成的m行n列的数 表。
矩阵的阶 矩阵的定义
特殊矩阵
矩阵的运算
矩阵的加法
对应元素相加。
矩阵的数乘
每个元素乘以该数。
矩阵的乘法
满足结合律和分配律，但不满足交换律。
矩阵的转置
行列互换。
矩阵的初等变换
初等行变换
行列式的定义包括按行展开和按列展开两种方式，这 两种方式是等价的。
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等 。
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
如果行列式有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。

在机械工程中，线性代数用于分析机械系统的 运动和动力学特性。例如，通过建立线性方程 组来描述多自由度系统的振动和运动状态。
在航空航天工程中，线性代数用于解决飞行器 设计和分析中的问题，如飞行器的稳定性、控 制系统的设计等。
经济学中的应用
在计量经济学中，线性代数用于建立和估计线 性回归模型，以分析变量之间的关系和预测未
量子计算与线性代数
量子计算中的量子态表示和量子门操作需要线性代数中的矩阵和向量运算 ，促进了线性代数的发展。
量子计算中的量子纠缠和量子误差纠正需要线性代数中的线性变换和矩阵 分解等知识，为线性代数提供了新的研究领域。
量子计算的发展也为线性代数提供了新的应用场景，例如在化学计算、优 化问题等领域。
THANKS
01
02
03
非线性代数是相Biblioteka 于线性代数而 言的，它主要研究非线性数学对 象和结构。
随着数学和工程领域的发展，非 线性代数逐渐成为了一个重要的 研究方向。
非线性代数的研究范围广泛，包 括非线性微分方程、非线性泛函 分析、非线性几何等，这些领域 的研究成果对于解决实际问题具 有重要的意义。
05
线性代数与其他数学领域 的交叉研究
线性方程组
古代中国、古巴比伦和古埃及的数学家们开始研究线性方程组问题 ，并尝试求解。
线性变换
古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中研究了线性变换的概念， 为后来的线性代数发展奠定了基础。
文艺复兴时期的数学进展
代数符号系统
文艺复兴时期，数学家开始使用代数 符号系统来表示数学对象，使得数学 表达更加简洁明了。
在量子力学中，波函数通常用向量表示，而算符则用矩阵表示。这涉及到线性代数中的向量空间、线性 变换和矩阵运算等概念。

在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
第一章
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
线性代数（第五版）
2013.12.14修改汇总
修改人：xiaobei93521
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.

注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
aa
11
12
0 D
a22

a 1n
a
2n

a a11 22 ann
0 0a nn
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4

a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 a44
0 0 0 a14
p1 p2 L pn

2
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D

j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0，乘积 n 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。

a1
a
a 2
,
a n
a1 0
ka
0
k
a 2
0.
a n
0
若 k 0, 则 a1 a2 an0, 即 a 是零向量时，线性相关。 当 a 不是零向量时，只有当 k 0 时，等式成立，所以线性无关。
（3）向量组包含两个向量 a, b.
k1ak2b 0,不妨设
k1
0,
2 02 2 02
所以向量组线性相关.
例 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1， 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证明 设 k1b1+k2b2+k3b3=0, 即 k1（ a1+a2）+k2（a2+a3）+k3（ a3+a1） =0,
整理可得 （k1+k3 ）a1+（k2+k1）a2+（k3+k2） a3 =0,
由于 a1, a2, a3 线性无关，所 以
101
k1 k3 0 k1 k2 0 k2 k3 0
因为 1 1 0 2 0, 所以方程组有唯一零解k1=k2=k3 =0，
011
因此向量组 b1, b2, b3 线性无关．
则
a
k2b k1
b.
结论：a, b 线性相关的充要条件是 a, b 的对应分量成比例.
1 1 2
a1
1,
a2
1,
a3
0
2 0 2
这个向量组中任意两个向量线性无关
（4）任一含有零向量的向量组线性相关.
a1,a2, am,0,

(1) α1能由α2，α3 (2) α4不能由α1，α2，α3
定理3.2.4 设
αj
a1 j
a2
j
arj
, β j
a1 j
a2 j
arj ar 1,
j
( j 1,2,, m)
证 此定理的两个部分互为逆否命题，故只证明前一部
分。设
a11x1 a12 x2 a1m xm 0
3.1.2
n维向量可如同矩阵一样进行运算。 设λ是实数，α，β是n维向量
a1
α
a2
,
an
b1
β
b2
bn
则
α
β
a1 a2
b1 b2
,
α
a1 a2
an bn
an
分别是向量α与β的和以及数λ与向量α的乘积.向量加法以
及向量的数乘两种运算统称为向量的线性运算。
解 A的二阶子式为
2 3
D
30 0
2 12
A的三阶子式共有4个，且都等于零，可见二阶子式D是A的 最高阶非零子式，R(A)=2.由定理3.3.2 知，A的列向量组的秩 为2
2 3 α1 2,α2 12 1 3
例3.3.5 求向量组
α4 2
称-α
a1 a2
为α的负向量。
an
例3.1.2 已知β=(1，0，1)T，γ=(3，2，-1) T，且
2x+3β=γ+4x，求x
解
x
1 2
(3β
γ)
1 2
1 3 0 1
0 1 2
3.1.3
定义3.1.2 给定向量组A: α1，α2，…，αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A 的一个线性组合，k1，k2，…，km称为这个线性组合的系数。 如果向量β

在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。