下载文档原格式
三角函数的倍角与半角公式的应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学和三角学的计算中起到了重要的作用。
而倍角与半角公式则是三角函数在角度变化时的关键工具。
本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，并探讨其在实际应用中的应用场景。
一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数常表示为sinθ，其中θ是一个角度。
正弦函数的倍角公式为sin2θ=2sinθcosθ，半角公式为sin(θ/2)=±√((1-cosθ)/2)。
正弦函数的倍角公式广泛应用于几何学中的角的求解。
例如，在一个等边三角形中，如果已知其中一个角的正弦值sinθ，我们可以通过倍角公式求解出另一个角的正弦值sin2θ，从而帮助我们计算出该等边三角形的其他属性，如边长、面积等。
半角公式则可以用于计算复杂的三角函数表达式的简化。
例如，当需要计算sin(θ/2)时，如果已知θ的值，我们可以利用半角公式将sin(θ/2)变换为cosθ的形式，从而简化计算过程，提高计算的准确性和效率。
二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数常表示为cosθ，其中θ是一个角度。
余弦函数的倍角公式为cos2θ=cos^2(θ)-sin^2(θ)，半角公式为cos(θ/2)=±√((1+cosθ)/2)。
余弦函数的倍角公式同样具有广泛的应用场景。
在解析几何学中，我们常常需要计算两个向量之间的夹角。
当我们已知两个向量的余弦值cosθ时，可以利用倍角公式求解出cos2θ的值，进而帮助我们计算出这两个向量夹角的大小。
与正弦函数类似，余弦函数的半角公式也可以用于三角函数的简化计算。
例如，当需要计算cos(θ/2)时，如果已知θ的值，我们可以利用半角公式将cos(θ/2)变换为cosθ的形式，从而简化计算过程。
三、正切函数的倍角与半角公式正切函数常表示为tanθ，其中θ是一个角度。
正切函数的倍角公式为tan2θ=(2tanθ)/(1-tan^2(θ))，半角公式为tan(θ/2)=±√((1-cosθ)/(1+cosθ))。
三角函数的倍角与半角公式的证明与应用三角函数是数学中重要的概念，在代数和几何中都有广泛的应用。
其中，倍角与半角公式是三角函数的重要性质，可以通过证明来更深入地理解其含义，并应用于解决实际问题。
一、倍角公式的证明与应用倍角公式是指将一个角的角度加倍后，得到的新角的正弦、余弦、正切与原角的三角函数之间的关系。
1.正弦的倍角公式：设角θ的正弦为sinθ，那么角2θ的正弦为sin2θ。
根据三角函数定义以及和差角公式可得：sin2θ = 2sinθcosθ应用：倍角公式可以用来简化复杂的三角函数表达式，使得计算更加方便。
同时，在解决一些几何问题时，倍角公式也能发挥重要作用。
2.余弦的倍角公式：设角θ的余弦为cosθ，那么角2θ的余弦为cos2θ。
根据三角函数定义以及和差角公式可得：cos2θ = cos²θ - sin²θ应用：倍角公式可以用于求解一些复杂的三角函数方程和等式，将原本难以计算的问题转化为相对简单的代数问题。
3.正切的倍角公式：设角θ的正切为tanθ，那么角2θ的正切为tan2θ。
根据正切的定义以及和差角公式可得：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)应用：倍角公式可以用来解决一些复杂的几何问题，特别是与直角三角形有关的计算。
二、半角公式的证明与应用半角公式是指将一个角的角度减半后，得到的新角的正弦、余弦、正切与原角的三角函数之间的关系。
1.正弦的半角公式：设角θ的正弦为sinθ，那么角(θ/2)的正弦为sin(θ/2)。
根据三角函数定义以及和差角公式可得：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]应用：半角公式可以用于求解一些复杂的三角函数方程和等式，对于求解角度的一半或者一四分之一时，半角公式也会派上用场。
2.余弦的半角公式：设角θ的余弦为cosθ，那么角(θ/2)的余弦为cos(θ/2)。
根据三角函数定义以及和差角公式可得：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]应用：半角公式可以用于解决一些复杂的几何问题，特别是当需要求解角度的一半或者一四分之一时。
两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三角函数的倍角公式与半角公式在学习三角函数的过程中，倍角公式和半角公式是非常重要的推导与应用。
它们能够使我们简化复杂的三角函数运算，并且在解决问题时提供更加灵活和便捷的方法。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。
一、三角函数的倍角公式1. 正弦函数的倍角公式对于一个角θ，正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的正弦函数的两倍时，可以通过将这个角的正弦函数与余弦函数相乘得到。
这在解决一些三角函数运算较为复杂的问题时非常有用。
2. 余弦函数的倍角公式同样地，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的余弦函数的两倍时，可以通过将这个角的余弦函数的平方减去正弦函数的平方得到。
这个公式可以在求解一些三角函数的平方和差问题时提供便捷的方法。
3. 正切函数的倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1-tan²θ)这个公式给出了正切函数的两倍与原角度的正切函数之间的关系。
在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够帮助我们简化计算，得出更加精确的结果。
二、三角函数的半角公式1. 正弦函数的半角公式对于一个角θ，正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的正弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的差再除以2开方得到。
这个公式在一些角的半角问题的解决中非常有用。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的余弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的和再除以2开方得到。
在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够提供简化计算的方法。
3. 正切函数的半角公式tan(θ/2) = sinθ/(1 + cosθ)这个公式给出了正切函数的半角与原角度的正弦函数和余弦函数之间的关系。
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数在数学中是一类重要的函数，它们在各种数学问题和实际应用中都发挥着重要的作用。
在三角函数的研究中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式。
本文将重点论述三角函数的倍角公式与半角公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个公式。
一、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中θ表示任意角度。
这个公式可以直接从正弦函数的和角公式推导得出，也可以通过三角函数的平方公式得到。
具体的推导过程在此不做赘述。
倍角公式的应用十分广泛，在解决各类三角函数问题时特别有用。
例如，在计算三角函数值时，如果给定的角度是一个已知角度的两倍，可以直接利用倍角公式来计算。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式同样可以通过和角公式或平方公式推导得到。
倍角公式是解决三角函数问题的重要工具。
它们能够将多个三角函数的值联系起来，简化计算过程，提高解题效率。
二、半角公式半角公式是倍角公式的逆运算，它将一个角的值通过三角函数的值反推回去。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中±表示正负号的取值。
这个公式可以通过倍角公式进行推导。
具体的推导过程涉及到平方根的性质和三角函数之间的关系，需要进行一定的代数运算。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]同样地，±表示正负号的取值。
半角公式在解决三角函数问题时也有着广泛的应用。
如在一些特定条件下，给定一个角度的正弦或余弦函数值，可以通过半角公式求解出这个角度的值。
总结：通过本文的论述，我们了解到了三角函数的倍角公式与半角公式的定义与应用。
倍角公式可以将一个角度的三角函数值通过公式转化为其他角度的三角函数值，提供了一种快速计算的工具。
专题04 半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为．【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．模型二、等腰直角三角形角含半角模型如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.例.如图，已知△ABC中，△BAC=90°，AB=AC,D,E是B C边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC D′，当△DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.【变式训练1】在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【变式训练2】如图所示，等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且△ECF＝45°，求证：222+=．AE BF EF【变式训练3】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，△BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？模型三、二倍角模型（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例.已知及的值（利用倍半角模型解题）.【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD.（1）求证：点F是CD边上的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE.【变式训练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD 翻折得到△AED，连接CE，求线段CE的长.课后训练1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD.2.在△ABC中，∠C＝90º，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2BP与AB、AC都相切，试求.3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.4.已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45º，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN.（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.5.如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：△ABC是等腰直角三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.6.已知正方形ABCD ，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ≠时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN 中，45MAN ∠=︒，AH MN ⊥于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．。
三角函数的倍角公式与半角公式应用三角函数是数学中重要的一部分，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在三角函数的应用中，倍角公式和半角公式是常见且重要的部分。
它们能够帮助我们简化复杂的计算，提高计算的效率和准确性。
本文将介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并应用于实际问题中。
一、三角函数的倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍用另外一个角的三角函数表达出来的公式。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数而言，它们的倍角公式如下：1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)倍角公式的应用十分广泛。
例如，在几何图形的计算中，我们可以利用倍角公式简化角的计算，从而简化问题的解决过程。
此外，在信号处理和电路分析中，倍角公式也能够帮助我们分析和处理复杂的信号。
二、三角函数的半角公式半角公式是指将一个角的一半用另外一个角的三角函数表达出来的公式。
与倍角公式类似，正弦函数、余弦函数和正切函数都有对应的半角公式：1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]在实际问题中，半角公式也经常被使用。
例如，在概率论和统计学中，我们可以利用半角公式计算概率密度函数和累积分布函数，从而分析和解决与随机变量相关的问题。
三、三角函数公式的应用举例1. 应用倍角公式的例子：假设有一个直角三角形，已知一个角度θ的正弦函数值为0.6，我们想要计算该角的余弦函数值。
利用倍角公式，我们可以将该问题简化为计算2θ的正弦函数值和余弦函数值。
高中数学知识点播主讲人：龚老师§5.08 三角比之倍角公式与半角公式一、知识清单αααcos sin sin 22=，ααααα222221122sin cos sin cos cos -=-=-=，ααα2122tan tan tan -=二、知识剖析1、“倍角”的意义是相对的，不局限于2α与α，还有α与2α，2βα+与4βα+等 2、注意“倍角”与“二次”的关系：升角——降次，降角——升次。
3、学会变形应用，得到半角公式：2122ααcos sin -=，2122ααcos cos +=，αααcos cos tan +-=1122前两个公式在化简中多用于降次（或降幂），而开方即得到半角公式：212ααcos sin-±=，212ααcos cos +±=，αααcos cos tan +-±=112 其中，正负号的选择由2α所在的象限决定。
4、借助倍角公式，可以得到不用考虑正负的半角的正切值：2112222212ααααααtan cos cossincos sin =+-=+，2222221112ααααααtan cossin )sin (sin cos =--=-∴=+=12αααcos sin tan ααsin cos -1三、 例题讲解1、log 2（sin15°cos15°）的值为 。
解：原式=2302︒sin log =412log =—22、化简αααα221222cos cos cos sin ⋅+。
解：原式=αααα22212122cos cos cos sin +⋅+ =αααα221212cos cos cos sin +⋅+=tan2α3、已知cos θ=51-，πθπ325<<，那么sin 2θ= 。
解：∵πθπ325<< ∴23245πθπ<< ∴ sin 2θ<0， ∴ 21-2θθcos sin-==515-四、随堂练习1、已知α为锐角，且sin αcos α=21，则ααcos sin +++1111= 。
推导三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中重要的概念，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
在三角函数的研究过程中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式，它们能够帮助我们简化计算和推导过程。
本文将详细介绍如何推导三角函数的倍角公式与半角公式。
一、倍角公式的推导在推导三角函数的倍角公式之前，首先要了解一些基本的三角函数关系。
假设角A的正弦、余弦和正切分别为sinA、cosA和tanA。
那么，其倍角2A的正弦、余弦和正切如下：1. 正弦的倍角公式根据三角函数的定义，正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边。
则角2A的正弦可以表示为：sin2A = 对边/斜边我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导sin2A的具体表达式。
根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。
通过使用三角函数的和差公式，可以得到sin2A的表达式：sin2A = 2sinAcosA这就是正弦的倍角公式。
2. 余弦的倍角公式根据三角函数的定义，余弦函数的定义为：cosA = 临边/斜边。
则角2A的余弦可以表示为：cos2A = 临边/斜边同样地，我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导cos2A的具体表达式。
根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。
通过使用三角函数的和差公式，可以得到cos2A的表达式：cos2A = cos²A - sin²A这就是余弦的倍角公式。
3. 正切的倍角公式根据三角函数的定义，正切函数的定义为：tanA = 对边/临边。
则角2A的正切可以表示为：tan2A = 对边/临边同样地，我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导tan2A的具体表达式。
根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。
通过使用正切的和差公式，可以得到tan2A的表达式：tan2A = (2tanA) / (1-tan²A)这就是正切的倍角公式。
第五章 三角比 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 1 A B C 课 题：5.5-1-二倍角的正弦、余弦和正切(1课时) 第1课时 教学目标： 1. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，能运用公式进行求值、化简和证明。 2. 经历公式的推导过程，领悟公式之间的内在联系。 3. 提高代换、转化思想和三角式变换能力。 教学重点：二倍角的正弦、余弦和正切公式及其运用 教学难点：公式的灵活运用 教学过程：
引例：已知等腰⊿ABC的一个底角A的余弦值等于35，求顶角C的正弦值。 分析：sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin2A＝2sinAcosA (两角和的正弦公式之特例)
∵cosA＝35，且A为锐角 ∴sinA＝45，得sin2A＝2sinAcosA＝2425
即sinC＝2425 思考：C是锐角还是钝角？——求一下cosC即可判断。 cosC＝－cos2A＝－(cos2A－sin2A)＝725＞0，则C是锐角。 得到两个结论：二倍角的正弦公式：sin2A＝2sinAcosA 二倍角的余弦公式：cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
自然还应该有：二倍角的正切公式：tan2A＝22tanA1tanA－ 对公式的认识： (1) 适用范围：二倍角的正切公式有限制条件：A≠kπ＋2且A≠k2＋4 (k∈Z)；可以是数、字母和代数式。 (2) 公式特征：两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。 (3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。 如：1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2，1－sin2A＝(sinA－cosA)2
cos2A＝2cos2A－1可推得1＋cos2A＝2cos2A或cos2A＝1cos2A2＋
cos2A＝1－2sin2A可推得1－cos2A＝2sin2A或sin2A＝1cos2A2－ ——前一组称为升幂公式，后一组称为降幂公式。 [例1] 求值：——设计意图：知角求值类型，正向、逆向、变形运用公式。其中：(1)(2)(3) 逆第五章 三角比 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 2 向运用，强调运用时要注意公式的形式；(4)(5)变形运用。
(1) sin150sin750＝sin150cos150＝12sin300＝14
(2) sin2512－cos2512＝－(cos 2512－sin 2512)＝－cos56＝cos6＝32 (3) 2001tan752tan75－＝02012tan751tan75－＝01tan150＝01tan30－＝－3
(4) cos2150＝01cos302＋＝234＋ (5) sin222.50＝01cos452－＝224－
[例2] 设α∈(2，π)，sinα＝1213，求2α的正弦、余弦和正切。——点到为止 解：∵α∈(2，π)，sinα＝1213 ∴cosα＝－513 则sin2α＝2sinαcosα＝－120169；cos2α＝1－2sin2α＝－119169；tan2α＝sincos＝120119 ——没必要傻乎乎地先去求tanα，再用二倍角正切公式。
[例3]化简：——设计意图：正向、逆向运用公式 解：(1) 1cos2xsinx－＝22sinxsinx＝2sinx
(2) sin41cos4＋＝22sin2cos22cos2＝tan2α ——倍角是相对的：4α是2α的倍角
(3) 1cos1cos＋－＝222cos22sin2＝cot22 ——倍角是相对的：α是2的倍角 (4) cotx－cot2x＝1tanx－21tanx2tanx－＝21tanx2tanx＋＝2secx2tanx＝12sinxcosx＝1sin2x (5) 1sin2－，α∈(－2，0) 分析：cosα＞0，sinα＜0 原式＝2(sincos)－＝cosα－sinα (6) 22cos2＋，α∈(π，32) 原式＝24cos＝－2cosα 第五章 三角比 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 3 (7) 1cos，α∈(－2，0) 原式＝22sin2＝－2sin2
(8) 1111cos22222＋＋，α∈(32，2π) 分析：cosα＞0，cos2＜0 原式＝11cos22＋＝－cos2
[例4] 求证：(1)tan(4＋x)－tan(4－x)＝2tan2x ——设计意图：综合运用公式 分析：左边用两角和差正切公式展开，化简即可。
[例5] 求值：cos200 cos400 cos800 分析：三个角成倍角关系，创造条件运用倍角公式
解：原式＝000002sin20cos20cos40cos802sin20＝0000sin40cos40cos802sin20
＝000sin80cos804sin20＝00sin1608sin20＝18 [例6] 用cosα表示cos3α；用sinα表示sin3α。——设计意图：练练公式，提高兴趣 解：cos3α＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos2α－1)cosα－2cosα(1－sin2α)＝4cos3α－3cosα
sin3α＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinα(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sinα＝3sinα－4sin3α
课堂小结： 1、数学知识：二倍角的正弦、余弦和正切公式。 2、数学思想方法：代换、转化思想。
补充：设α∈(2，π)，tanα＝m，求sin2α、cos2α。 解：∵α∈(2，π)，tanα＝m ∴sec2α＝1＋m2 得secα＝－21m＋，即cosα＝－211m＋ sinα＝tanαcosα＝－2m1m＋ 则sin2α＝2sinαcosα＝22m1m＋；cos2α＝2cos2α－1＝221m1m－＋ 第五章 三角比 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切
4 课 题：5.5-2-半角的正弦、余弦和正切(2课时) 第1课时 教学目标： 4. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能运用公式进行求值、化简和证明。 5. 经历公式的推导过程，领悟公式之间的内在联系。 6. 提高转化思想和三角式变换能力。 教学重点：半角的正弦、余弦和正切公式及其运用 教学难点：半角的正切公式符号问题及公式的灵活运用 教学过程：
引例：若α∈(2，π)，化简：1cos1cos。 ——设计意图：半角公式的发现
解1：1cos1cos＝22(1cos)sin＝1cossin (sinα＞0，1－cosα＞0) 解2：1cos1cos＝22sin(1cos)＝sin1cos (sinα＞0，1＋cosα＞0)
解3：1cos1cos＝222sin22cos2＝2tan2＝tan2 (tan2＞0) 发现：tan2＝1cossin－＝sin1cos＋（半角的正切公式） 问题：1cossin＝sin1cos显然成立，但1cossin＝sin1cos＝tan2颇有意思，此结论是否对任意α都成立呢？ 研究：(1)对1cos1cos中的α不同的取值进行讨论；(2)直接尝试证明1cossin－＝tan2
证明还是比较容易的：1cossin－＝22sin22sincos22＝sin2cos2＝tan2 问题：sin2与cos2呢？——半角与倍角的关系是相对的，由倍角公式即可推导半角公式。 发现：sinα＝2sin2cos2 ——利用价值不大 cosα＝1－2sin22，则sin2＝±1cos2－（半角的正弦公式） cosα＝2cos22－1，则cos2＝±1cos2＋（半角的余弦公式） 第五章 三角比 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 5 tan2＝sin2cos2＝±1cos1cos－＋（半角的正切公式） 对公式的认识： (1) 适用范围：半角的正切公式有限制条件：A2≠kπ＋2即A≠2kπ＋π(k∈Z)；可以是数、字母和代数式。 (2) 公式特征：可由二倍角的余弦公式推得；半角关系是相对的。 迷惑不解：——正负号难道不能去掉吗？两个不同的半角的正切公式又如何解释？
释疑解惑：正负号由2所在象限确定。如α为第二象限角，则2为第一、三象限角，正弦、余弦均可正可负。需视具体情况确定正负。 但对于半角的正切公式而言，tan2与sinα的正负保持一致。正负虽必取其一，但公式中只好保留正负号。 (3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。求半角的正切尽可能用不带根号的公式。
[例1]求值： ——设计意图：直接运用公式。 (1) cos22.50＝01cos452＋＝224＋ (2) tan67.50＝001cos135sin135＝2＋1
[例2]已知α∈(52，3π)，sinα＝45，求sin2、cos2、tan2。 ——设计意图：运用公式时符号的选择。 解：∵α∈(52，3π)，sinα＝45 ∴cosα＝－35，得tan2＝1cossin＝2
∵2∈(54，32)，sin2＝－1cos2－＝－255，cos2＝－1cos2＋＝－55 变式：若α为第二象限角呢？ 解：由α∈(2kπ＋2，2kπ＋π)，(k∈Z)得2∈(kπ＋4，kπ＋2)，(k∈Z)
(1)k为偶数时，2为第一象限角，则sin2＝255，cos2＝55，tan2＝2 (2)k为奇数时，2为第三象限角，则sin2＝－255，cos2＝－55，tan2＝2 解题规律：运用半角公式须根据2的取值范围判断所求三角比的正负，必要是须分类讨论；求半角的正切尽可能用不带根号的公式（不过在求单角的正弦或余弦时须判断正负）。
