《电磁学》第8章 第8.1 麦克斯韦电磁理论(1学时)

称为全电流。
全电流在任何情况下都是连续的。
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论
8.1.2 位移电流
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麦克斯韦还假定在产生磁效应上，位移电流 定理右面 I 0 应由
dΦD I0 + dt
与传导电流 I 0 等效。在非稳恒情况下，磁场环路 代替，即：
dΦD dt
dΦD H ⋅ dl = I 0 + ∫ dt ( L)
J d ⋅ dS =
式中的S0为极板的面积，而
ε S0 / d = C
为平行板电容器的电容。
( 2 ) 以 r 为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合 线的磁场相等，故
∫
c
H ⋅ dl = 2π rH φ
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流
ic = CωU m cos(ωt )
，故得
2 πrH φ = CωU m cos(ωt ) CωU m = H e= eφ cos(ωt ) φ Hφ 2πr
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论 电介质情况下
在电介质中 位移电流为
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8.1.2 位移电流
= D ε0E + P dΦD ∂D ∂E ∂P = ∫∫ ⋅ dS = ε 0 ∫∫ ⋅ dS + ∫∫ ⋅ dS dt ∂t ∂t ∂t
忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板之间的 电场为E = u / d ，则
= D ε= E
εU m sin(ωt )
d
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则极板间的位移电流为
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8.1.2 位移电流
∂D εU mω = S d cos(ωt ) S0 ∫S ∫S ∂t d = C = ωU m cos(ωt ) ic id =
8.1.2 位移电流
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= ∫∫ D ⋅dS 令 ΦD
(S )
代表通过某一曲面的电位移通量
则有
dΦD dt ∂D ∂t
dΦD ∂D = ∫∫ ⋅dS dt ∂t (S )
---位移电流(displacement current) ---位移电流密度 与位移电流合在一起
I 0 ∫∫ j0 ⋅ dS 传导电流 =
8.1.2 位移电流
S1
和
S2
都是
( L)
∫
H ⋅ dl =
( S1 )
∫∫
j0 ⋅ dS= I 0
1
但是对于曲面
S2
，它穿过电
容器两极板之间，故有
( L)
= 0 ∫ H ⋅ dl = ∫∫ j0 ⋅ dS =
( S2 )
∫∫ j0 ⋅ dS=
(S )
《电磁学》第八章 麦Leabharlann 斯韦电磁理论和电磁波（8学时） 林志立
华侨大学信息科学与工程学院 电子科学与技术系 Email：zllin@
QQ群：200310752
《电磁学》第八章
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内容概要 第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波（8学时） • §8.1麦克斯韦电磁理论（2学时） • §8.2电磁波（3学时） • §8.3电磁场的能流密度与动量（3学时） • §8.4似稳电路和迅变电磁场（1学时）
“法拉第和麦克斯韦在电磁场方面的工作引起一场 最伟大的革命” ——爱因斯坦
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论
8.1.2 位移电流
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由库仑定律和场的叠加原理可得出关于静电场的 两条重要定理： （1）电场的高斯定理
q0 ∫∫ D ⋅ dS =
(S )
（2）静电场的环路定理
( L)
因为是对同一闭合曲面求积分，移项后得
∂D j + 由上式可知，在非稳恒情况下传导电流不连续。但是 0 ∂t 这个量永远是连续的，只要边界L相同，它在不同曲面 S1 , S 2 上的面积分相等。
∂D 0 j0 + ⋅ dS = ∫∫ ∂t (S )
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论
∂B E ⋅ dl = − ∫∫ ⋅ dS ∫ ∂t ( L) (S )
静电场的环路定理是其特例而已。
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论
安培环路定理中碰到的问题：
典型的例子是电容器充放电的情况。我们取一环路L，而 以L为周界的曲面。对于曲面 S 它与导线相交，因此
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《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论
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Fraday的思想对Maxwell的影响
法拉第无疑是一位伟大的实验家，有丰富的想象力，但他一系列 观点还缺乏严格的数学形式,在理论上不够严密。加上当时在学术界 中，“超距作用”的传统观念还很深，所以当时学术界对法拉第学 说表示出冷漠、甚至非议。 可是年轻的麦克斯韦却有与众不同的眼光，他体会到了“场” 的引入的革命性意义。他被法拉第的成果所吸引。在1856年以后， 他致力于用数学语言翻译和表述电磁场的运动规律。
极板上。(1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相 等；(2) 求导线附近距离连接导线为 r 处的磁场强度。
解：( 1 ) 导线中的传导电流为 ic r C
ic = C
du d = C [U m sin(ωt )] dt dt = CωU m cos(ωt )
u
P 平行板电容器与交 流电压源相接
D ⋅ dS = q0 ∫∫ (S ) ∂B E ⋅ dl = − ∫∫ ⋅ dS ∫ ∂t (S ) ( L ) B ⋅ dS = 0 ∫∫ (S ) H ⋅ d l = I 0 + ∂D ⋅ dS ∫ ∫∫ ∂t (S ) ( L )
dΦ ε= − dt
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8.1.2 位移电流
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麦克斯韦在前人工作的基础上，全面系统地考察了 这些规律，并试图把这些规律推广到非恒定的情况。麦 克斯韦首先把电场的环路定理加以推广。他认为感生电 动势现象实际上预示着变化的磁场周围产生涡旋电场， 因此电场的环路定理在普遍情况下应是：
8.1.2 位移电流
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因此对于像电容器这样的非稳恒情况，电流的稳恒条件虽不成立。但是 根据电荷守恒定律：
dq0 j ⋅ dS = − 0 ∫∫ dt (S )
q0 而 = ∫∫ D ⋅ dS
(S )
因此可得出
∂D j0 ⋅ dS = − ⋅ dS ∫∫ ∫∫ ∂t (S ) (S )
在上式中，第二项是极化强度矢量的时间变化率。如果单位体积的介质 中有n个偶极子，每一个偶极子为 p = ql ，那么当场强变化时，偶极子间 的距离也将随之改变，所以
∂P ∂l = nq = nqv = jP ∂t ∂t
∂P 由此可知 正是极化电流密度，是极化电荷的运动引起的。 ∂t
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论 ∂E (2)式右端第一项是与电场的时间变化率 相联系 ∂t ∂P
8.1.2 位移电流
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的，在真空中 = P 0, = 0 ，在位移电流中就只剩 ∂t 这一项了。因此，这一项是位移电流的基本组成部分，但是，它 与“电荷的流动”无关，它仅仅是变化着的电场产生的。 如果把(1)式应用于没有传导电流的情形中，则得
这便是麦克斯韦方程组(Maxwell equations)的积分形式，在实际应用 中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论
8.1.3 麦克斯韦方程组
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首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分布的，电荷的体密 度为 ρ e 0 ，则高斯定理可写成
《电磁学》第八章 §8.1 麦克斯韦电磁理论 8.1.1 麦克斯韦电磁理论产生的历史背景：
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⑴和当时的生产力发展和推动是分不开的。特别是到了十 九世纪后半叶，电磁学和其它学科一样，在当时生产力水平所 能提供的实验设备的保证下，得到了迅速的发展。经过大量科 学实践，总结出一系列重要规律（库仑定律、安培定律、毕-沙 定律、法拉第电磁感应定律等）。另一方面，电磁学的发展反 过来又对生产力的发展产生巨大的影响。 ⑵麦克斯韦总结了前人的成果，并在此基础上加以发展，提 出了“涡旋电场”和“位移电流”的假说，由此预言了电磁波的 存在。从库仑定律的发现（1785），到麦克斯韦方程组的发表 （1865），整整经历了八十年。麦克斯韦方程组的原来形式并不 完美，直到1890年经过赫兹修改才写出今天的完整方程式。
对于恒定电流的情况，通过以L为周界的任一曲面 上的电流强度是相等的，因为根据电流的稳恒条件， 对于由 S1 , S 2 构成的闭合曲面
∫∫ j0 ⋅ dS
(S )
=
( S2 )
∫∫
j0 ⋅ dS − ∫∫ j0 ⋅ dS
( S1 )
=0
电流的连续性原理
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∂D H ⋅ dl = ∫∫ ⋅ dS ∫ ∂t ( L) (S )
它表示不仅传导电流可能激发磁场，变化的电场也能激发涡旋磁 场。这正是产生电磁波的必要条件之一。
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8.1.3 麦克斯韦方程组
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麦克斯韦在引入涡旋电场和位移电流两个重要概念之后得到了 在普遍情况下电磁场必须满足的方程组
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρe0 dV
(S ) (V )
式中V是高斯面S所包围的体积。 利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面积分化为体积分： ∫∫∫ ∇ ⋅ DdV = ∫∫∫ ρe0 dV