河北017中考数学复习滚动小专题十与图形变换相关的综合性问题试

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值 ；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 （用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。

滚动小专题(十) 与图形变换相关的综合性问题类型1 利用平移、对称、旋转与位似作图1．如图所示，在正方形网格中，△ABC 为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)． (1)把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1； (2)把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后得到的△A 1B 2C 2； (3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B 经过(1)、(2)变换的路径总长．解：(1)△A 1B 1C 1就是所求的图形． (2)△A 1B 2C 2就是所求的图形． (3)B 到B 1的路径长是22＋22＝2 2. B 1到B 2的路径长是90π×2180＝22π.则路径总长是22＋22π. 2．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系、△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2. (1)若点A ，C 的坐标分别为(－3，0)，(－2，3)，请画出平面直角坐标系并指出点B 的坐标； (2)画出△ABC 关于y 轴对称再向上平移1个单位后的图形△A 1B 1C 1；(3)以图中的点D 为位似中心，将△A 1B 1C 1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A 2B 2C 2.解：(1)如图所示，B(－4，2)． (2)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求． (3)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求． 类型2 剪纸与折纸问题3．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是(B)图1 图2 图3 图4A B C D4．将一个正方形纸片依次按图a ，b 的方式对折，然后沿图c 中的虚线裁剪，成图d 样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的(D)图1 图2 图3 图4A B C D5．(2016·南充)如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落到EF 上的点G 处，并使折痕经过点A ，展平纸片后∠DAG 的大小为(C)A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 折叠，使点A 正好与CD 上的F 点重合．若△FDE 的周长为16，△FCB 的周长为28，则FC 的长为(C)A ．4B ．5C ．6D ．77．(2016·莆田)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为(A)A.13B.223C.24D.35提示：∠CDF＝∠B＋∠DFB，∠A ＝∠B＝∠EDF，∴∠CDE ＝∠BFD.∴sin ∠BFD ＝sin ∠CDE ＝CE ED ＝13.8．(2016·遵义)如图，正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且∠CFE＝60°，将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B′C′FE，C ′恰好落在AD 边上，B ′C ′交AB 于点G ，则GE 的长是(C) A ．33－4 B ．42－5 C ．4－2 3 D ．5－2 39．(2016·齐齐哈尔)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点M 是AD 边的中点，连接MC ，将菱形ABCD翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC提示：过点M 作MF⊥DC 于点F.易知AM ＝MD ＝1，FD ＝12，FM ＝32，FC ＝DF ＋DC ＝52，∴MC ＝FM 2＋CF 2＝7，∴EC＝MC －ME ＝7－1.10．(2016·张家界)如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在线段AB 的E 处，EQ 与BC 相交于F.若AD ＝8 cm ，AB ＝6 cm ，AE ＝4 cm.则△EBF 的周长是8_cm ．11．(2016·唐山路北区模拟)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是边AC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，将△ADE 沿DE 所在的直线折叠得到△A 1DE.(1)当点A 1落在边BC(含边BC 的端点)上时，折痕DE 的长是多少？(可在备用图上作图) (2)连接A 1B ，当点E 在边AB 上移动时，求A 1B 长的最小值．备用图解：(1)∵点D 到边BC 的距离是DC ＝DA ＝12AC ＝1，∴点A 1落在边BC 上时，点A 1与点C 重合，如图1所示． 此时，DE 为AC 的垂直平分线，即DE 为△ABC 的中位线． ∴DE ＝12BC ＝1.图1 图2(2)连接BD ，DE.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝ 5. 由折叠知△A 1DE ≌△ADE ，∴A 1D ＝AD ＝1.由A 1B ＋A 1D ≥BD ，得A 1B ≥BD －A 1D ＝5－1. ∴A 1B 长的最小值是5－1.类型3 与旋转相关的综合性问题12．将线段AB 绕点A 逆时针旋转角度α(0°＜α＜60°)得到线段AC ，连接BC 得△ABC，又将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得线段BD(如图1)．(1)求∠ABD 的大小(结果用含α的式子表示)；(2)又将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°得线段BE ，连接CE(如图2)，求∠BCE； (3)连接DC ，DE ，试探究当α为何值时，∠DEC ＝45°.图1 图2解：(1)由题意知AB ＝AC ，∠BAC ＝α，∠CBD ＝60°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝12(180°－α)＝90°－12α.∴∠ABD ＝∠ABC－∠CBD＝90°－12α－60°＝30°－12α(0°＜α＜60°)．(2)由题意知△ABE 为等边三角形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝60°.∴AC ＝AE ，∠CAE ＝60°－α. ∴∠ACE ＝∠AEC＝12(180°－60°＋α)＝60°＋12α.∴∠BCE ＝∠ACB＋∠ACE＝150°.(3)如图2，由题意知BC ＝BD ，∠CBD ＝60°， ∴△BCD 为等边三角形． ∴∠BCD ＝60°，CD ＝BC.∴∠DCE ＝∠BCE－∠BCD＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形． ∴CE ＝CD. ∴CB ＝CE.在△ABC 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，AC ＝AC ，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△AEC(SSS)．∴∠BAC＝∠EAC. ∴∠BAC ＝12∠BAE ＝30°，即α＝30°.∴当α为30°时，∠DEC ＝45°.13．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC(其中∠BAC 是一个可以变化的角)中，AB ＝2，AC ＝4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A 落在A′C 上时，此题可解(如图2)． 请你回答：AP 的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC.边AB ＝4，P 为△ABC 内部一点，求AP ＋BP ＋CP 的最小值．(结果可以不化简)图1 图2 图3解：∵Rt △ABC 是等腰三角形，∴AB ＝BC.以B 为中心，将△APB 逆时针旋转60°得到△A′P′B.则A′B＝AB ＝BC ＝4，PA ＝P′A′，PB ＝P′B，∴△PB P ′是等边三角形，∴PB ＝P′P.∴PA＋PB＋PC＝P′A′＋P′B＋PC＝P′A′＋P′P ＋PC.∵当A′，P′，P，C四点共线时，(P′A′＋P′P ＋PC)最短，即线段A′C最短，∴A′C的长度即为所求．过A′作A′D⊥CB延长线于D.∵∠A′BA＝60°(由旋转可知)，∴∠1＝30°.∵A′B＝4，∴A′D＝2，BD＝23，∴CD＝4＋2 3.在Rt△A′DC中，A′C＝CD2＋A′D2＝32＋16 3.。

第六部分图形的变化6.1 图形的变换（平移/轴对称/中心对称/旋转）【一】知识点清单1、平移生活中的平移现象；平移的概念及性质；作图-平移变换；坐标与图形变化-平移；利用平移设计图案2、轴对称生活中的轴对称现象；轴对称；轴对称的性质；轴对称的应用；轴对称图形；轴对称与轴对称图形的区别与联系；镜面对称（补充）；3、画轴对称图形作图-轴对称变换；坐标与图形变化-轴对称；利用轴对称设计图案；翻折变换（折叠问题）；图形的剪拼；4、课题学习最短路径问题轴对称-最短路线问题5、图形的旋转生活中的旋转现象；旋转的性质；旋转对称图形；作图-旋转变换6、中心对称中心对称及其相关概念；中心对称的性质；作图-中心对称；中心对称图形；坐标与图形变化-旋转7、课题学习图案设计利用轴对称设计图案；利用平移设计图案；利用旋转设计图案；几何变换的类型；几何变换综合题【二】分类试题汇编一、选择题1．（1999年-6题-3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．菱形D．等腰梯形2．（2001年-19题-2分）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）A．bc﹣ab+ac+c2B．ab﹣bc﹣ac+c2C．a2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a2﹣ab3．（2003年-5题-2分）下列图形中，有且只有三条对称轴的是（）A．B．C．D．4．（2004年大纲卷-6题-2分）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入（）球袋．A．1号B．2号C．3号D．4号5．（2004年课标卷-6题-2分）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋6．（2005年大纲卷-3题-2分）在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2005年课标卷-4题-2分）如图，点A关于y轴的对称点坐标是（）A．（3，3）B．（﹣3，3）C．（3，﹣3）D．（﹣3，﹣3）8．（2005年课标卷-9题-2分）将一正方形纸片按图中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（）A．B．C．D．9．（2008年-10题-2分）有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）A．上B．下C．左D．右10．（2013年-3题-2分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．（2015年-3题-3分）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．12．（2016年-3题-3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．（2017年-5题-3分）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（）A．①B．②C．③D．④14．（2017年-16题-2分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M 间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.515．（2018年-3题-3分）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A．l1B．l2C．l3D．l4二、填空题1．（2006年课标卷-15题/大纲卷10题-3分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是cm．2．（2007年-13题-3分）如图，若▱ABCD与▱EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=度．3．（2009年-17题-3分）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE 沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm．4．（2010年-18题-3分）把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1S2（填“＞”、“＜”或“=”）．5．（2011年-17题-3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为．6．（2013年-20题-3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=．三、解答题1．（2002年-26题-12分）图形的操作过程：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=，S2=，S3=．（3）联想与探索：如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少并说明你的猜想是正确的．2．（2003年-27题-12分）如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若，OP=2．（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；（2）求证：△OPN∽△PMN；（3）写出y与x之间的关系式；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．3．（2004年大纲卷-26题-12分）探索下列问题：（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．4．（2004年课标卷-23题-8分）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．5．（2004年课标卷-25题-12分）如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△QAC的面积为y．（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取。

图15-2AD OBC 21 MN图15-1AD BMN1 2图15-3AD OBC 21MNO 河北中考图形变换专题1、在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值．2、在图14-1—14-5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形F AE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图14-1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ． 思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△F AG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图14-1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．图14-3图14-4图14-2（2b ＝a ）（a ＜2b ＜2a ） （b ＝a ）图14-1H（2b ＜a ）图14-5 （b ＞a ）3、如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．阅读理解：（1）如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到 ⊙O 2的位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转360n周．实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c ，则⊙O 自转 周；若AB = l ，则⊙O 自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周． （2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=12c ．⊙O 从 ⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动 到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周．拓展联想：（1）如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．（2）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接．．写 出⊙O 自转的周数．图13-4图13-5图13-1A图13-2图13-34、（本小题满分10分）在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(k m )d P A P B =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导， 就a （当1a >时）的所有取值情况进 行分析，要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？图13-1 图13-2图13-35．（本小题满分12分）探索在图12—1至图12—3中，已知△ABC 的面积为a ．（1）如图12—1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=______（用含a 的代数式 表示）；（2）如图12—2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则 S 2=__________（用含a 的代数式表示）；（3）在图12—2的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图12—3）．若阴影部分的面积为S 3，则 S 3=__________（用含a 的代数式表示），并运用上述（2）的 结论写出理由．发现像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图12—3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍．应用要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC 的空地上种红花，然后将△ABC 向外扩展三次（图12—4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC ）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积； （2）种蓝花的区域的面积．图12—2图12—1F 图12—36、操作示例对于边长为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11－1所示的方式摆放，在沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11－1中的四边形BNED 。

河北省中考数学分类汇编专题11 图形的变换与视图姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共14题；共28分)1. （2分）(2021·章丘模拟) 下列图形中，是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019九上·望城期中) 自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形(即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系)的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2021八上·玉州期末) 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A . 线段B . 有30°角的直角三角形C . 等腰三角形D . 角4. （2分）(2019·鱼峰模拟) 如图所示的几何体的俯视图是（）.A .B .C .D .5. （2分）(2019·扬中模拟) 如图，几何体的左视图是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·鹿城模拟) 由五个小立方体搭成的几何体如图所示，其主视图是A .B .C .D .7. （2分） (2018七上·龙岗期末) 如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图（从正面看）是（）A .B .C .D .8. （2分）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）A . 4B . 5C . 6D . 99. （2分） (2016九上·鞍山期末) 如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1 ，则点A1的坐标为（）A . （，1）B . （，-1）C . （1，- ）D . （2，-1）10. （2分）(2012·湛江) 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019八上·雁塔月考) 在直角坐标系中，点的坐标为，那么下列说法正确的是（）A . 点与点关于轴对称B . 点与点关于轴对称C . 点与点关于原点对称D . 点与点关于第二象限的平分线对称12. （2分）(2017·东平模拟) 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△AB C 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于（）A . 40°B . 60°C . 70°D . 80°13. （2分）等腰三角形中的一个角等于，则另两个内角的度数分别为（）A . ，B . ，C . ，D . ，14. （2分）(2017·莱芜) 如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四边形CDEF）2=9+2 ；④DF2﹣DG2=7﹣2 ．其中结论正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共8题；共8分)15. （1分） (2020七上·嘉定期末) 在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是________.16. （1分）如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x，则x的取值范围是________.17. （1分） (2020八上·四川月考) 在△ABC中，如果∠C=90°，ab =48，a－b=2，那么△ABC的周长为________．18. （1分） (2020九上·芜湖月考) 如图所示，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB ，点A、B 为切点．连接AO并延长交PB 的延长线于点C ，过点C作CD⊥PO ，交PO的延长线于点D ．（1）=________（2）若PA=6，AC=8，则CD=________19. （1分）(2017·樊城模拟) 已知P1（1﹣a，y1），P2（a﹣1，y2）两点都在反比例函数y=﹣的图象上，则y1与y2的数量关系是________．20. （1分） (2020九上·宝鸡期中) 如图，在中，点D是线段的黄金分割点（），若的面积是，则的面积是________.21. （1分）(2013·南通) 如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4 cm，则EF+CF的长为________cm．22. （1分） (2017九上·拱墅期中) 如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距个单位长度．已知线段交线段于点，则线段的长是________．三、解答题 (共8题；共91分)23. （10分） (2019九上·萧山月考) 已知菱形的的两条对角线分别为与，设菱形的面积为 .（1）求y关于x的函数表达式，请写出自变量的取值范围；（2）判断命题“当面积取到最大值时，此菱形为正方形”是真命题还是假命题？请说明理由.24. （10分） (2019九上·卫辉期中) 如图（1）观察发现：如图1，在中，，点在边上，过作交于，，， .填空：① 与是否相似（直接回答）________；② ________； ________；（2）拓展探究：将绕顶点旋转到图2所示的位置，猜想与是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明；（3）迁移应用：将绕顶点旋转到点、、在同一条直线上时，直接写出线段的长.25. （10分） (2018八上·深圳期中) 如图，已知，，．（1）作关于x轴对称的；（2）的面积 ________ 边上的高 ________；（3）在x轴上有一点P，使最小，此时的最小值 ________．26. （10分）(2019·鄂托克旗模拟) 问题提出（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB＝12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为________；问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，如果点P是AD边上一点，且AP＝3，那么BC边上是否存在一点Q ，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB ，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB＝24m ， MB＝10m ，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E ，又测得DE＝8m ．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）27. （15分）(2020·石城模拟) 如图，圆O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC。

第十讲图形变换知识梳理知识点1、平移变换重点：掌握平移的概念及性质难点：平移性质的运用1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离．2. 平移变换的性质（1）平移前后的图形全等．即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等．如图所示，，且共线，且3. 用坐标表示平移：（1）在平面直角坐标系中，将点：①向右或向左平移a个单位点或②向上或向下平移b个单位点或（2）对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式作出改变例1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（）A. B. C. D.解题思路：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置．选项B的两个图形不是全等形；选项C、D中两个图形的方向发生了改变．解答：选A例2．如图1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540M 2，则道路的宽应是M ？解题思路：尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了． 解答：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方， 设道路宽为x M ，则有32(20)3220540x x x +-⋅=⨯-，整理，得0100522=+-x x ，∴0)2)(50(=--x x ， ∴501=x （不合题意，舍去），22=x ． ∴道路宽应为2M ．练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1，则图中阴影部分的面积是 [答案为5]知识点2、轴对称变换重点：掌握轴对称的概念及性质 难点：轴对称的性质的运用1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点．如图所示，关于直线l 对称，l 为对称轴．2. 轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条．3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上．如图被直线l垂直平分．5. 轴对称变换的作图：举例说明：已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD关于直线l的对称图形．作法：（1）过点A作l于E，延长AE到A’，使，则得到点A的对称点；（2）同理作B、C、D的对称点；（3）顺次连结．则四边形为四边形ABCD关于直线l的对称图形．6. 用坐标表示轴对称：点关于x轴对称的点为；点关于y轴对称的点为；点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为点关于直线的对称点为．例1. 下列图形中，是轴对称图形的为（）A. B. C. D.解题思路：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能完全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分．所以解决此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴．解答：选D．例 2.如图所示，关于直线l对称，将向右平移得到．由此得出下列判断：①；②；③．其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③解题思路：由于是从平移得来的，故，但与关于l成轴对称，不一定有，故①不一定正确；平移和轴对称变换都是全等变换，故②和③正确．解答：选B．练习1. 如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是__________．2. 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则∠等于（）A. 45°B. 50°C. 60°D. 70°答案：1. 2. 60°知识点3、旋转变换重点：掌握旋转的概念及性质难点：旋转的性质的运用1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角．注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2. 旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角3. 旋转变换的作图：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出能确定图形的关键点；（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形．5. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于360°）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形．6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点．7. 中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质．（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）；（4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积．如图所示，若关于点O中心对称，则对称中心O是线段共同的中点，且，且；反过来，若线段都经过点O且O是它们的中点，那么关于点O中心对称．8. 中心对称的作图：以上图为例，作关于点O的对称图形：（1）找出能确定原图形的关键点，如顶点A、B、C；（2）分别作出原图形的关键点的对称点．如：连结AO，并在AO的延长线上截取，则点A’为点A关于点O的对称点；（3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点．所得的图形即为求作的对称图形．9. 中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个定点叫做该图形的对称中心．中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于180°）10. 中心对称与中心对称图形的区别与联系点关于原点对称的点的坐标为．例1. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，构成的图形是中心对称图形．（1）画出此中心对称图形的对称中心；（2）画出将沿直线DE 方向向上平移5格得到的；（3）要使重合，则绕点顺时针方向旋转；至少要旋转多少度？（不要求证明）解题思路：（1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确定对称中心；（3）可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角的大小．画出图形后，可以看出，点与点是旋转变换的一组对应点，则等于旋转角解答（1）如图，画出对称中心点O ．（2）画出．（3）至少需要旋转90°．例2如图所示，是绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心，并测量出旋转角的大小解题思路：可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心．解答：如图，连结、，分别作和的垂直平分线，交于点O．则点O即为旋转中心．连结、，测量得，故旋转角等于．练习1. 如图所示，均为等腰直角三角形，∠BAF＝∠EAC＝90°，那么以点A为旋转中心逆时针旋转90°之后与__________重合，其中点F与点__________对应，点C与点__________对应．2. 如图两个全等的正六边形ABCDEF，PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为3，那么阴影部分的面积是（）答案：1.，B，E 2.1知识点4、位似变换重点：掌握位似的概念及性质难点：位似的性质的运用（1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．（2）如果两图形F 与是位似图形，它们的位似中心是点O ，相似比为k ，那么：①设A 与是一双对应点，则直线过位似中心O 点，并且．②设A 与，B 与是任意两双对应点，则；若直线AB 、不通过位似中心O ，则．（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或．例已知等边∆ABC ，画一个与之相似且它们的相似比为2的∆A B C '''。

单元测试(七) 图形变换(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．(2016·南宁)把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是(A)2．(2016·鄂州)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是(B)3．下面图形中，三棱柱的平面展开图为(A)A B C D4．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)A B C D5．一个正方体的6个面分别标有“E”，“F”，“G”，“H”，“M”，“N”中的一个字母，如图表示的是该正方体3种不同的摆法，当“E”在右面时，左面的字母是(C)A．G B．H C．M D．N6．在如图所示的网格中，△MNP绕某点旋转一定角度，得到△M1N1P1，其旋转中心可能是(A)A．点A B．点B C．点C D．点D7．如图，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，则M在△ODE中的对应点M′的坐标为(B)A．(－x，－y) B．(－2x，－2y)C．(－2x，2y) D．(2x，－2y)8．已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是BC 中点，分别以B ，C 为圆心，大于线段12BC 长为半径作弧，两弧交于点P ，作直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论中不正确的是(B) A ．ED ⊥BCB ．BE 平分∠AEDC ．E 为△ABC 的外接圆圆心D ．ED ＝12AB提示：由作图可知，DP 是BC 的垂直平分线，因此选项A 正确；由平行线分线段成比例可知E 是AC 的中点，所以有EB ＝EC ＝EA ，选项C 正确；由中位线定理可得选项D 正确．故选B. 二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知△ABC 的边在直线l 上，BC ＝5，现把△ABC 沿着直线l 向右平移到△DE F 的位置(如图所示)，若EC ＝3，则△ABC 平移的距离为2．10．如图，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A＝130°，∠B ＝110°.那么∠BCD 的度数等于60度．11．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为(2a ，b ＋1)，则a 与b 的数量关系为2a ＋b ＝－1．提示：由作图可知，作的是∠MON 的平分线，由角平分线的性质定理可得，－2a ＝ b ＋1，即2a ＋b ＝－1.12．(2016·北京)如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m ，1.5 m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m ，1.5 m ，则路灯的高为3m.提示：因为小军、小珠都身高与影长相等，所以，∠E＝∠F＝45°，所以AB＝BE＝BF，设路灯的高AB为x m，则BD＝x－1.5，BC＝x－1.8，又CD＝2.7，所以，x－1.5＋x－1.8＝2.7，解得x＝3.三、解答题(共48分)13．(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是1∶3；(2)直接写出点A1，B1，C1的坐标．解：(1)如图所示．(2)由图形可得：A1(－2，0)，B1(－1，－2)，C1(1，－1)．14．(10分)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，已知∠DCB＝30°.求证：DC2＋BC2＝AC2.证明：连接EC.由旋转知△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.∵∠CBE＝60°，∴∠BCE＝60°，EC＝BC.又∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.∴DC 2＋EC 2＝DE 2.∴DC 2＋BC 2＝AC 2 .15．(14分)如图1，将△ABD平移，使D沿BD的延长线移至点C得到△A′B′D′，A′B′交AC于E，AD平分∠BAC.(1)猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并写出理由；(2)如图将△ABD平移至如图2所示，得到△A′B′D′，请问：A′D′平分∠B′A′C吗？为什么？图1 图2解：(1)∠B′EC＝2∠A′.理由如下：∵由平移知△ABD ≌△A′B′D′，AB∥A′B′，∴∠B′EC＝∠BAC，∠A′＝∠BAD.又∵AD平分∠BAC, ∴∠BAC＝2∠BAD.∴∠B′EC＝2∠A′.(2) A′D′平分∠B′A′C.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥A′D′，∴∠CAD＝∠CA′D′.又由(1)可知∠B′A′D′＝∠BAD，∴∠B′A′D′＝∠CA′D′，即A′D′平分∠B′A′C.16．(14分)如图，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在▱ABCD内部的点F处，延长AF交CD于点G，连接FC.(1)求证：∠GCF＝∠GFC；(2)若AB＝5，BC＝6，则△ADG的周长为16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠B＋∠ECG＝180°.又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE＝∠B，EF＝BE.又∵∠AFE＋∠EFG＝180°，∴∠ECG＝∠EFG.又∵点E是边BC的中点，∴EC＝BE.∴EC＝EF.∴∠ECF＝∠EFC.∴∠ECG－∠ECF＝∠EFG－∠EFC，即∠GCF＝∠GFC.。

中考数学总复习《图形变换综合压轴题》专题测试卷（附答案）1．线段AB与CD的位置关系如图1所示AB=CD=m，AB与CD的交点为O，且∠AOC=60°，分别将AB和AC平移到CE,BE的位置（如图2）．(1)求CE的长和∠DCE的度数；(2)在图2中求证：AC+BD>m．2．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=30°将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A′B′C，且点B′、A′、B在同一直线上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(1)在图1中，作出一个以AB为边的等边三角形；(2)在图2中，作出一个菱形．3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别A（1，4），B（2，0），C（3，2）（1）画出将△ABC沿AC翻折得到的△AB1C1；（2）画出将△ABC沿x轴翻折得到的△A2BC2；（3）观察发现：△A2BC2可由△AB1C绕点（填写坐标）旋转得到（4）在旋转过程中，点B1经过的路径长为．∠ABC．以点B为旋转中心，4．如图1，在△ABC中BA=BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．(1)求证：DF=DE；(2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2=AD2+EC2．5．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．(1)求证：CE平分∠BED；(2)取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；(3)若BC=2AB=4，求CG的长．6．已知，△ABC为等边三角形，点D，E为直线BC上两动点，且BD＝CE．点F，点E关于直线AC成轴对称，连接AE，顺次连接A，D，F．（1）如图1，若点D，点E在边BC上，试判断△ADF的形状并说明理由；（2）如图2，若点D，点E在边BC外，求证：∠BAD=∠FDC．7．如图，正方形ABCD中∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．(1)如图1，求证：MN=BM+DN；(2)当AB=6，MN=5时，求△CMN的面积；(3)当∠MAN绕点A旋转到如图2位置时线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．8．如图1 在△ABC中AB=AC点DE、分别在边AB、AC上AD=AE连接DC点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点连接MQ、PM．(1)求证：PM=MQ；(2)当∠A=50°时求 PMQ的度数；(3)将△ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置若∠PMQ=120°判断△ADE的形状并说明理由．9．已知△ABC∠ACB=90°AC=BC=4D是射线CB上一点连接AD将AD绕点A逆时针旋转90°点D落在点E处连接BE交射线AC于点F．(1)如图1当点D与点C重合时求AF的长；(2)如图2当点D在线段BC上时连接CE在点D的运动过程中请问△AEC的面积是否会发生变化？如果不会求出它的面积；如果会请说明理由；(3)当BD=1时求AF的长．10．在等边△BCD中DF⊥BC于点F点A为直线DF上一动点以点B为旋转中心把BA顺时针旋转60°至BE．(1)如图1 点A在线段DF上连接CE求证：CE=DA；(2)如图2 点A在线段FD的延长线上请在图中画出BE并连接CE当∠DEC=45°时连接AC求出∠BAC的度数；(3)在点A的运动过程中若BD=6求EF的最小值11．如图一个含60°角的纸片顶点与等边△ABC的点B重合将该纸片绕点B旋转使纸片60°角的一边交直线AC于点D在另一边上截取点E使BE=BD连接AE．(1)当点D在边AC上时如图① 求证：AC=AD+AE；(2)当点D在边AC所在直线上如图②、如图③时线段AD,AC,AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(3)在图③中AD、BE交于点K若AE=4,BC=6则AD=_______ DK=______．12．已知四边形ABCD中AB⊥AD，BC⊥CD AB=BC,∠ABC=120°∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）求证：AE+CF=EF．(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时在图2种情况下求证：AE+CF=EF．(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时在图3种情况下上述结论是否成立？若成立请给予证明；若不成立线段AE，CF EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想不需证明．13．如图在平行四边形ABCD中AC是对角线AB=AC点E是BC边上一点连接AE将AE绕着点A 顺时针旋转α得到线段AF．(1)如图1 若α=∠BAC=90°连接BF BF=3BC=8求△ABE的面积；(2)如图2 若α=2∠BAC=120°连接CF交AB于H求证：2AH+CE=AD；(3)若在（2）的条件下3CE=BC=9点P为AB边上一动点连接EP将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EQ连接CQ当线段CQ取得最小值时直接写出四边形BHQE的面积．14．已知：正方形ABCD以A为旋转中心旋转AD至AP连接BP、DP．(1)若将AD顺时针旋转30°至AP如图1所示求∠BPD的度数？(2)若将AD顺时针旋转α度(0°<α<90°)至AP求∠BPD的度数？(3)若将AD逆时针旋转α度(0°<α<180°)至AP请分别求出0°<α<90°、α=90°、90°<α<180°三种情况下的∠BPD的度数（图2、图3、图4）．15．已知如图1正方形ABCD的边长为5点E、F分别在边AB、AD的延长线上且BE=DF连接EF．(1)证明：EF⊥AC；(2)将△AEF绕点A顺时针方向旋转当旋转角α满足0°<α<45°时设EF与射线AB交于点G与AC交于点H如图所示试判断线段FH、HG、GE的数量关系并说明理由．(3)若将△AEF绕点A旋转一周连接DF、BE并延长EB交直线DF于点P连接PC试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．16．【问题思考】如图1 点E是正方形ABCD内的一点过点E的直线AQ以DE为边向右侧作正方形DEFG 连接GC直线GC与直线AQ交于点P则线段AE与GC之间的关系为______．【问题类比】如图2 当点E是正方形ABCD外的一点时【问题思考】中的结论还成立吗？若成立请证明你的结论；若不成立请说明理由；【拓展延伸】如图3 点E是边长为6的正方形ABCD所在平面内一动点【问题思考】中其他条件不变则动点P到边AD的最大距离为______（直接写出结果）．17．（1）【问题发现】如图1 在Rt△ABC中AB=AC∠BAC=90°点D为BC的中点以BD为一边作正方形BDFE点F恰好与点A重合则线段CF与AE的数量关系为_______；（2）【拓展探究】在（1）的条件下如果正方形BDFE绕点B顺时针旋转连接CF AE BF线段CF与AE 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题解决】当AB=AC=6且（2）中的正方形BDFE绕点B顺时针旋转到E F C三点共线时求出线段AE的长．18．综合与实践：问题情景：如图1、正方形ABCD与正方形AEFG的边AB AE(AB<AE)在一条直线上正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转设旋转角为α在旋转过程中两个正方形只有点A重合其它顶点均不重合连接BE DG．(1)操作发现：当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时求证：BE=DG；(2)操作发现：如图3 当点E在BC延长线上时连接FC求∠FCE的度数；(3)问题解决：如图4 如果α=45°AB=2AE=4√2请直接写出点G到BE的距离．19．如图①在正方形ABCD中连接BD点E是边AB上的一点EF⊥AB交BD于点F点P是FD的中点连接EP、CP．(1)如图① 探究EP与CP有何关系并说明理由；(2)若将△BEF绕点B顺时针旋转90° 得到图② 连接FD取FD的中点P连接EP、CP请问在该条件下①中的结论是否成立并说明理由；(3)如果把△BEF绕点B顺时针旋转180° 得到图③ 同样连接FD取FD的中点P连接EP、CP请你直接写出EP与CP的关系．20．综合与实践问题情境：数学活动课上老师向大家展示了一个图形变换的问题．如图1．将正方形纸片ABCD折叠使边AB AD都落在对角线AC上展开得折痕AE AF连接EF．试判断△AEF的形状．独立思考：(1)请解答问题情境提出的问题并写出证明过程．实践探究：(2)如图2．将图1中的∠EAF绕点A旋转使它的两边分别交边BC CD于点P Q连接PQ．请猜想线段BP PQ DQ之间的数量关系并加以证明．问题解决：(3)如图3．连接正方形对角线BD若图2中的∠PAQ的边AP AQ分别交对角线BD于点M N将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开如图4所示．若BM=7DN=24求MN的长．参考答案1．（1）解：∵将AB和AC平移到CE,BE的位置∵AB=CE,AB∥CE∵∠AOC=∠DCE∵∠AOC=60°AB=CD=m∵∠DCE=60°CE=AB=m；（2）证明：如图连接DE由（1）得：∠DCE=60°CE=AB=m∵AB=CD=m∵CD=CE∵△CDE是等边三角形∵DE=CD=m∵将AB和AC平移到CE,BE的位置∵AC=BE在△BDE中BD+BE>DE即AC+BD>m．2．（1）解：△ADB是等边三角形即为所求理由如下：如图延长AC交BB′于一点D∵∠ACB=90°∠CBA=30°将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A′B′C ∵∠A=60°，∠B′=30°，BC=B′C∵∠B′BC=30°，∠ABD=60°∵∠BDA=180°−60°−60°=60°∵△ADB是等边三角形；（2）解：四边形ABDE是菱形即为所求理由如下：过点D作DE平行于AB交BC的延长线于一点即为点E连接AE如图：由（1）知△ADB是等边三角形且∠ACB=90°∵BC⊥AD∵DC=AC∵∠DEB =∠ABC∵∠DCE =∠ACB∵△DCE ≌△ACB∵BC =EC∵四边形ABDE 是菱形．3．解：（1）如图：（2）如图：（3）（5 0）（4）B 1经过的路径是以（5 0）为圆心 BB 1为半径的圆弧∵C ＝14×2×π×3＝32π；4．（1）证明：∵∠DBE =12∠ABC∵∠ABD +∠CBE =∠DBE =12∠ABC∵△ABF 由△CBE 旋转而成∵BE =BF ∠ABF =∠CBE∵∠DBF =∠DBE在△DBE 与△DBF 中{BE =BF ∠DBE =∠DBF BD =BD∵△DBE ≌△DBF （SAS ）（2）证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF∵BA=BC∠ABC=90°∵∠BAC=∠BCE=45°∵图形旋转后点C与点A重合CE与AF重合∵AF=EC∵∠FAB=∠BCE=45°∵∠DAF=90°在Rt△ADF中DF2=AF2+AD2∵AF=EC∵DF2=EC2+AD2同（1）可得DE=DF∵DE2=AD2+EC2．5．（1）证明：∵将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF使点C恰好落到线段AD上的E点处∴BE=BC∴∠BEC=∠BCE∵AD∥BC∴∠BCE=∠DEC∴∠BEC=∠DEC∴CE平分∠BED；（2）证明：过点C作CN⊥BE于N如图：∵CE平分∠BED CD⊥DE CN⊥BE∴CD=CN∴BG=AB=CD=CN∵∠BHG=∠NHC∠GBH=∠CNH=90°BG=CN∴△BHG≌△NHC(AAS)∴GH=CH即点H是CG中点∵点M是BC中点∴MH是△BCG的中位线∵MH∥BG；（3）解：过点C作CN⊥BE于N过G作GR⊥BC于R如图：∵BC=2AB=4∴BG=AB=CD=CN=2∴CN=12 BC∴∠NBC=30°∵∠GBE=90°∴∠GBR=60°∴BR=12BG=1GR=√3BR=√3在Rt△GRC中CG=√GR2+CR2=√(√3)2+(1+4)2=2√7∴CG的长为2√7．6．解：（1）△ADF为等边三角形理由如下：∵△ABC为等边三角形∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°．在△ABD和△ACE中{AB=AC∠ABC=∠ACBBD=CE∴△ABD≅△ACE(SAS)∴AD=AE,∠BAD=∠CAE．∵点F 点E关于直线AC成轴对称∴AF=AE,∠CAF=∠CAE ∴AD=AF,∠CAF=∠BAD．∵∠BAD+∠DAC=60°∴∠CAF+∠DAC=60°即∠DAF=60°,∵△ADF为等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°．在△ABD和△ACE中{AB=AC∠ABC=∠ACBBD=CE∴△ABD≅△ACE(SAS)∴AD=AE,∠BAD=∠CAE．∵点F 点E关于直线AC成轴对称∴AF=AE,∠CAF=∠CAE ∴AD=AF,∠CAF=∠BAD．∵∠BAD+∠DAC=60°∴∠CAF+∠DAC=60°∵△ADF为等边三角形．∴∠ADF=∠FDC+∠ADC=60°∵∠BAD+∠ADC=∠ABC=60°∵∠BAD=∠FDC7．（1）解：如图将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′则：△ABM≌△ADM′∵AM=AM′,BM=DM′,∠BAM=∠DAM′∵四边形ABCD为正方形∵∠BAD=90°∵∠MAN=45°∵∠MAB+∠NAD=45°∵∠M′AD+∠NAD=∠M′AN=45°∵∠MAN=∠M′AN又∵AM=AM′,AN=AN∵△AMN≌△AM′N（SAS）∵MN=M′N=M′D+DN=BM+DN；（2）解：∵四边形ABCD为正方形∵AD=AB=6S正方形=62=36∵△AMN≌△AM′N∵MN′=MN=5∵S△AMN=S△AM′N=12M′N⋅AD=12×5×6=15∵△ABM≌△ADM′∵S△ABM+S△ADN=S△ABM′+S△ADN=S△AM′N=15∵S△CMN=S正方形−S△AMN−S△ADN−S△AMB=36−15−15=6；（3）解：DN=BM+MN理由如下：如图将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′连接MN 则：∠MAM′=90°△ABM≌△ADM′∵AM=AM′,BM=DM′,∠BAM=∠DAM′∵∠MAN=45°∵∠M′AN=∠M′AM−∠MAN=90°−45°=45°∵∠MAN=∠M′AN又∵AM=AM′,AN=AN∵△AMN≌△AM′N（SAS）∵MN=M′N∵DN=M′D+M′N=BM+MN．8．（1）证明：∵AB=AC AD=AE∵BD=CE∵P M分别为DE DC的中点∵PM=12CE PM∥CE∵M Q分别为DC CB的中点∵MQ=12DB MQ∥OB∵PM=MQ；（2）解：∵点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点∵MQ∥DB PM∥AC∵∠MQC=∠B∵∠PMQ=∠DMP+∠DMQ=∠ACD+∠BCD+∠MQC=∠ACD+∠BCD+∠B =180°−50°=130°；（3）解：∵ADE是等边三角形理由如下：由旋转的性质可知∠BAC=∠DAE∵∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中{AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE∵∵BAD∵∵CAE（SAS）∵BD=CE∠ABD=∠ACE ∵P M为DE DC的中点∵PM∥EC∵∠PMD=∠ECD∵M Q为DC BC的中点∵MQ∥DB∵∠MQC=∠DBC∵∠MPQ=∠DMP+∠DMQ=∠DCE+∠MQC+∠MCQ=∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠MCQ=∠ACD+∠MCQ+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=120°∵∠BAC=180°−120°=60°∵∠DAE=∠BAC=60°又∵AD=AE∵∵ADE是等边三角形．9．（1）解：∵将AD绕点A逆时针旋转90°∵AD=AE，∠DAE=90°∵点D与点C重合∵AC=AE∵BC=AC=AE又∵∠AFE=∠BFC∠EAF=∠BCF=90°∵△BCF≌△EAF(AAS)∵AF=CF∵AC=BC=4∵AF=CF=2；（2）解：△AEC的面积不会变化理由如下：如图过点E作EH⊥AC于H∵将AD绕点A逆时针旋转90°∵AD=AE，∠DAE=90°=∠ACB∵∠DAC+∠CAE=90°=∠DAC+∠ADC∵∠ADC=∠CAE∵△ADC≌△EAH(AAS)∵EH =AC =4∵S △ACE =12×AC ⋅EH =8；（3）解：当点D 在线段BC 上时∵BD =1，BC =4∵CD =3∵△ADC ≌△EAH∵CD =AH =3∵CH =1∵∠EHF =∠ACB =90° ∠AFE =∠BFC ，AC =EH =BC∵△EFH ≌△BFC(AAS)∵FH =FC =12 ∵AF =AF +FH =72；当点D 在线段CB 的延长线时 过点E 作EH ⊥直线AC 于H∵BD =1，BC =4∵CD =5同理可证△ACD ≌△EHA∵CD =AH =5∵CH =1同理可证：△BCF ≌△EHF∵FH =FC =12 ∵AF =AC +FC =92综上所述：AF 的长为72或92．10．（1）解：由旋转得 BA =BE ∠ABE =60°∵△BCD 是等边三角形∵BD=BC∠DBC=60°∵∠ABE=∠DBC∵∠DBA+∠ABC=∠ABC+∠CBE ∵∠DBA=∠CBE在△DBA与△CBE中{BD=BC ∠DBA=∠CBE BA=BE∵△DBA≌△CBE（SAS）∵DA=CE．（2）解：如图3由（1）可知△DBA≌△CBE∵DA=CE∠BDA=∠BCE又∵△BCD是等边三角形∵∠BDC=∠BCD=60°DB=DC∵DB=DC∵∵BCD是等腰三角形∵DF⊥BC∵∠BDF=12∠BDC=30°∵∠BDA=180°−∠BDF=150°∵∠BCE=150°∠CDA=360°−∠BDA−∠BDC=150°∵∠DCE=∠BCE−∠BCD=90°∵∠DEC=45°∵∠EDC=45°∵∠DEC=∠EDC ∵CE=CD∵DB=DC=DA∵∠BAD=180°−∠BDA2=15°∠CAD=180°−∠CDA2=15°∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°．（3）解：∵由图1可知当点A在线段DF上时∠BCE=∠BDA=30°；由图3可知当点A在线段FD的延长线上时∠BCE=∠BDA=150°；由图4可知当点A在线段DF的延长线上时∠BCE=∠BDA=30°；∵综上所述当点A在直线DF上运动时直线CE与直线BC的夹角始终为30°即点E的运动轨迹为一条直线过点F作FE′⊥EC于点E′则当点E运动到点E′时此时EF的长度最短∵BD=CD=BC=6DF⊥BC∵CF=12BC=3又∵FE′⊥EC∠BCE=30°∵FE′=12CF=32∵EF的最小值为32．11．(（1）证明：∵△ABC是等边三角形∵AB=BC∠ABC=60°．∵∠EBD=60°∵∠EBA+∠ABD=∠CBD+∠ABD即：∠ABE=∠CBD∵BD=BE∵△ABE≌△CBD（SAS）∵AE=CD．∵AC=AD+CD∵AC=AD+AE．（2）如图2 当点D在CA的延长线时∵∵DBE=∵ABC=60°∵∵DBE+∵ABD=∵ABC+∵ABD即∵ABE=∵CBD∵AB=BC BE=BD∵∵ABE∵△CBD（SAS）∵AE=CD=AC+AD∵AD=AE-AC；如图3 当点D在AC的延长线上时∵∵ABC=∵DBE=60°∵∵ABC-∵CBE=∵DBE-∵CBE即∵ABE=∵CBD∵AB=BC BD=BE∵△ABE∵△CBD（SAS）∵AE=CD=AD-AC∵AC=AD-AE；综上当点D在CA延长线时AD=AE-AC；当点D在AC的延长线上时AC=AC-AE；（3）解：由（2）得∵ABE∵∵CBD∵CD=AE=4 ∵BAE=∵BCD=180°-∵ACB=120°∵AD=AC+CD=6+4=10 ∵CAE=∵BAE-∵BAC=60°∵∵CAE=∵ACB∵AE∵BC∵∵AKE∵∵CKB∵AK CK =AEBC=46∵AK =23CK又∵AK +CK =AC =BC =6∵53 CK =6∵CK =185∵DK =CK +CD =185+4=385．12．解：（1）∵AB ⊥AD,BC ⊥CD,∵∠A =∠C ,在△ABE 与△CBF 中{AB =BC ∠A =∠C AE =CF ∵△ABE ≅△CBF(SAS),∵∠ABE =∠CBF,BE =BF,∵∠ABC =120°,∠MBN =60°,∵∠ABE =∠CBF =30°,∵AE =12BE,CF =12BF,∵∠MBN =60°，BE =BF∵△BEF 为等边三角形∵BE =BF =EF,∵AE =CF =12EF,∵AE +CF =EF;（2）如图 将Rt △ABE 顺时针旋转120°得△BCG∵BE=BG,AE=CG,∠A=∠BCG,∵AB=BC,∠ABC=120°,∵点A与点C重合∵∠A=∠BCF=90°,∵∠BCG+∠BCF=180°,∵点G、C、F三点共线∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠ABE=∠CBG,∵∠GBF=60°,在△GBF与△EBF中{BG=BE∠GBF=∠EBFBF=BF∵△GBF≅△EBF(SAS),∵FG=EF,∵EF=AE+CF；（3）不成立EF=AE−CF理由如下：如图将RtΔABE顺时针旋转120° 得ΔBCG∵AE=CG由（2）同理得点C、F、G三点共线∵AB=BC,∠ABC=120°,∵点A与点C重合∵BG=BE,∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°,∵∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°,∵∠MBN=60°,∵∠GBF=60°,在ΔBFG与ΔBFE中{BG=BE∠GBF=∠EBFBF=BF∵△BFG≅△BFE(SAS)∵GF=EF,∵EF=AE−CF.13．（1）解：如图：过点A作BC的垂线交BC于点M∵α=∠BAC=90°∴∠FAB=∠EAC在△FAB和△EAC{FA=EA ∠FAB=∠EAC BA=CA∴△FAB≅△EAC(SAS)∴FB=CE又∵BF=3BC=8∴BE=BC−CE=8−3=5又∵∠BAC=90°AB=AC ∴AM=12BC=4∴S△ABE=12BE×AM=12×5×4=10．（2）解：在BH上截取BP=CE连接CP∵α=2∠BAC=120°∵∠BAC=60°∵AB=AC∵△ABC是等边三角形∵∠B=∠ACB=60°BC=AC 在△CBP和△ACE中{BP=CE∠B=∠ACB=60°BC=AC∴△CBP≅△ACE∴CP=AE=AF∠BPC=∠AEC=60°+∠BAE ∴∠APC=180°−(∠BAE+60°)∵∠FAB=120°−∠BAE∴∠APC=∠FAB在△AHF和△CPH中{∠APC=∠FAB ∠AHF=∠PHC CP=AF∵△AHF≅△PHC(AAS)∴AH=PH∵BP=CE∴AB=BC=AD=AH+PH+CE=2AH+CE．（3）解：如图：∵3CE=BC=9∵CE=3BE=BC−CE=6,连接EH由（2）可知∠BAC=∠ABC=60°∵△BHE是等边三角形∵∠BEH=60°，BE=HE∵将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EP1∵PE=P1E∠PEP1=60°即∠HEP1=∠BEP,在△BPE和△HEP1中{PE=P1E∠HEP1=∠BEPBE=HE,∵△BEP≅△HEP1(SAS),∵∠B=∠EHP1=60°,∵∠BEH=60°∵∠BEH=∠EHP1=60°,∵HP1∥BC点P1的轨迹为过点H且平行BC的直线过H作HP1∥BC其延长线角CD于M过C作CQ⊥BP1于Q由点到直线的距离垂线段最短可知：当CQ⊥MH时即CQ有最小值∵BH∥CM，BC∥HM∵四边形BHMC是平行四边形∵CM=BH=6∠HMC=∠B=60°∵∠QCM=30°∵MQ=12CM=3∵CQ=√CM2−MQ2=3√3∵边形BHQE的面积为BE⋅CQ=6×3√3=18√3．14．（1）解：∵AD顺时针旋转30°至AP∵AD=AP∠PAD=30°∵∠APD=12(180°−30°)=75°∵四边形ABCD为正方形∵AB=AD=AP∠BAD=90°∵∠BAP=90°−30°=60°∵∠BPA=12(180°−60°)=60°∵∠BPD=60°+75°=135°．（2）∵AD顺时针旋转α至AP ∵AD=AP∠PAD=α∵∠APD=12(180°−α)=90°−α2∵四边形ABCD为正方形∵AB=AD=AP∠BAD=90°∵∠BAP=90°−α∵∠BPA=12[180°−(90−α)]=45°+α2∵∠BPD=(90°−α2)+(45°+α2)=135°．（3）①当0°<α<90°时∵AD逆时针旋转α至AP∵AD=AP∠PAD=α∵∠APD=12(180°−α)=90°−α2∵四边形ABCD为正方形∵AB=AD=AP∠BAD=90°∵∠BAP=90°+α∵∠BPA=12[180°−(90+α)]=45°−α2∵∠BPD=(90°−α2)−(45°−α2)=45°．②当α=90°时∵AD逆时针旋转90°至AP∵AD=AP∠PAD=90°∵四边形ABCD为正方形∵AB=AD=AP∠BAD=90°∵∠BAP=90°+90°=180°即点P、A、B三点共线∵∠BPD=∠APD=12(180°−90°)=45°．③当90°<α<180°时∵AD逆时针旋转α至AP∵AD=AP∠PAD=α∵∠APD=12(180°−α)=90°−α2∵四边形ABCD为正方形∵AB=AD=AP∠BAD=90°∵∠BAP=360°−90°+α=270°−α∵∠BPA=12[180°−(270°−α)]=α2−45°∵∠BPD=(90°−α2)+(α2−45°)=45°．15．（1）证明：如图1：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB∠DAC=∠BAC∵BE=DF ∴AD+DF=AB+BE即AF=AE∴AC⊥EF.（2）解：FH2+GE2=HG2理由如下：如图2过A作AK⊥AC截取AK=AH连接GK、EK∵∠CAB=45°∴∠CAB=∠KAB=45°∵AG=AG∴△AGH≅△AGK(SAS)∴GH=GK由旋转得：∠FAE=90°AF=AE∵∠HAK=90°∴∠FAH=∠KAE∴△AFH≅△AEK(SAS)∴∠AEK=∠AFH=45°FH=EK∵∠AEH=45°∴∠KEG=45°+45°=90°Rt△GKE中KG2=EG2+EK2即：FH2+GE2=HG2．（3）解：如图3∵AD=AB∠DAF=∠BAE AE=AF∴△DAF≅△BAE(SAS)∴∠DFA=∠BEA∵∠PNF=∠ANE∴∠FPE=∠FAE=90°∴将△AEF绕点A旋转一周总存在直线EB与直线DF垂直∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆如图4当P与C重合时PC最小PC=0当P与A重合时PC最大为5√2．∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤5√2．16．解：问题思考：设AQ和BC交于点H∵四边形ABCD和四边形DEFG都为正方形∵∠ADC=∠EDG=90°DA=DC,DE=DG ∵∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC即∠ADE=∠CDG∵△DAE≌△DCG(SAS)∵AE=CG∠DAE=∠DCG∵∠DAB=∠DCB=90°∵∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH即∠BAH=∠PCH∵∠AHB=∠CHP∵∠B=∠CPA=90°即AE⊥CG故答案为：AE=GC AE⊥GC；问题类比：问题思考中的结论仍然成立理由如下：设AQ和BC交于点H∵四边形ABCD和四边形DEFG都为正方形∵∠ADC=∠EDG=90°DA=DC,DE=DG ∵∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC即∠ADE=∠CDG∵△DAE≌△DCG(SAS)∵AE=CG∠DAE=∠DCG∵∠DAB=∠DCB=90°∵∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH即∠BAH=∠PCH∵∠AHB=∠CHP∵∠B=∠CPA=90°即AE⊥CG故答案为：AE=GC AE⊥GC；拓展应用：∵∠CPA=90°∵点P的运用轨迹即为以AC为直径的⊙O上如图：当点P位于AD右侧PH⊥AD且经过圆心O时动点P到边AD的距离最大∵正方形的边长为6∵AC=6√2OH=3∵OP=OC=12AC=3√2∵PH=OH+OP=3+3√2即动点P到边AD的最大距离为3+3√2故答案为：3+3√2．17．（1）解：如图1 ∵四边形BDFE是正方形∵FE=BE∠E=90°∵BF=√BE2+FE2=√2FE2=√2FE∵点F与点A重合AB=AC∵CF=AC=AB=BF FE=AE∵CF=√2AE故答案为：CF=√2AE；（2）无变化理由如下：证：如图2 ∵EB=EF∠BEF=90°∵∠EBF=∠EFB=45°BF=√EB2+EF2=√2EB2=√2EB∵AB=AC∠BAC=90°∵∠ABC=∠ACB=45°BC=√AB2+AC2=√2AB2=√2AB∵BF EB =BCAB=√2∠CBF=∠ABE=45°−∠ABF∵△CBF∽△ABE∵CF AE =BCAB=√2∵CF=√2AE；（3）如图2 E F C三点共线且点F在线段CE上∵BC=√2AB AB=AC=6∵BC=√2×6=6√2由（1）得BD=12BC∵BE=EF=BD=12×6√2=3√2∵∠BEC=90°∵CE=√BC2−BE2=√(6√2)2−(3√2)2=3√6∵CF=CE−EF=3√6−3√2∵CF=√2AE∵AE=√22CF=√22×(3√6−3√2)=3√3−3；如图3 E F C三点共线且点F在线段CE的延长线上∵BF EB =BCAB=√2∠CBF=∠ABE=45°+∠CBE∵△CBF∽△ABE∵CF AE =BCAB=√2∵CF=√2AE∵∠BEF=90°∵∠BEC=180°−∠BEF=90°∵CE=√BC2−BE2=√(6√2)2−(3√2)2=3√6∵CF=CE+EF=3√6+3√2∵AE=√22CF=√22×(3√6+3√2)=3√3+3综上所述线段AE的长为3√3−3或3√3+3．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∵AB =AD ∠BAE +∠EAD =90°又∵四边形AEFG 是正方形∵AE =AG ∠EAD +∠DAG =90°∵∠BAE =∠DAG ．在△ABE 与△ADG 中{AB =AD,∠BAE =∠DAG AE =AG,∵△ABE ≅△ADG (SAS )∵BE =DG ；（2）解；过F 作FH ⊥BE 垂足为H∵∠AEF =∠ABE =∠EHF =90°∵∠AEB +∠FEH =90° ∠FEH +∠EFH =90°∵∠AEB =∠EFH∵四边形AEFG 是正方形∵AE =EF在△ABE 与△EHF 中{∠ABE =∠EHF ∠AEB =EFH AE =EF∵△ABE≌△EHF (AAS )∵AB =EH BE =FH∵AB =BC =EH∵BC +EC =EH +EC∵BE =CH =FH又∵∠EHF =90°∵∠FCE=45°（3）解：如图连接GB GE过点B作BH⊥AE于点H ∵GE是正方形AEFG的对角线∵∠AEG=45°∵∠EAB=45°∵AB∥GE∵S△BEG=S△AEG=12S正方形AEFG=12×4√2×4√2=16∵AB=2∵BH=AH=√2∵HE=4√2−√2=3√2在Rt△BHE中BE=√(√2)2+(3√2)2=2√5设点G到BE的距离为h∵S△BEG=12×BE×ℎ∵1 2×2√5×ℎ=16解得：ℎ=16√55∵点G到BE的距离为16√55．19．解：（1）EP=CP且EP⊥CP．证明：过PH⊥AB于点H延长HP交CD于点I作PK⊥AD于点K．则四边形PIDK是正方形四边形AKPH是矩形∴AK=HP KD=DI=PI=AH∵AD=CD∴IC=HP ∵AD∥PH∥EF P是DF的中点∴HA=HE∴HE=PI 在Rt△HPE和Rt△ICP中{HE=PI ∠PHE=∠CIP HP=IC∴Rt△HPE≌Rt△ICP(SAS)∴EP=CP∠HPE=∠PCI∠HEP=∠CPI∴∠HPE+∠CPI=90°∴∠EPC=90°∴EP⊥CP；（2）成立．证明：图2中作PH⊥BC则EF∥PH∥CD又∵P是DF的中点∴EH=CH 则PH是EC的中垂线∴PE=CP∵EF=EB∴EF+CD=EC ∵P是DF的中点EH=CH则PH=12(EF+CD)∴PH=12 EC∴△EPC是等腰直角三角形∴EP=CP且EP⊥CP；（3）图3中延长FE交DC延长线于M连MP．∵∠AEM=90°∠EBC=90°∠BCM=90°∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM∠EMC=90°由图（2）可知∵BD平分∠ABC∠ABC=90°∴∠EBF=45°又∵EF⊥AB∴△BEF为等腰直角三角形∴BE=EF∠F=45°．∴EF=CM．∵∠EMC=90°∴MP=12FD=FP．∵BC=EM BC=CD∴EM=CD．∵EF=CM∴EF+EM=CM+DC 即FM=DM又∵FP=DP∠CMP=12∠EMC=45°∴∠F=∠PMC．在△PFE和△PMC中{FP=MP ∠F=∠PMC EF=CM∴△PFE≌△PMC(SAS)．∴EP=CP∠FPE=∠MPC．∵∠FMC=90°MF=MD FP=DP∴MP⊥FD∴∠FPE+∠EPM=90°∴∠MPC+∠EPM=90°即∠EPC=90°∴EP⊥CP．20．（1）解∵ ∵AEF是等腰三角形理由如下∵∵四边形ABCD是正方形∵AB=AD=BC=CD∵BAD=∵B=∵D=90°∵∵ABC∵ADC都是等腰三角形∵∵BAC=∵DAC=45°根据题意得∵∵BAE=∵CAE=22.5° ∵DAF=∵CAF=22.5°(∠BAC+∠DAC)=45°∵BAE=∵DAF=22.5°∵∠EAF=12∵∵B=∵D=90° AB=AD∵∵BAE∵∵DAF（ASA）∵AE=AF∵∵AEF是等腰三角形；（2）解∵ PQ=BP+DQ理由如下∵如图延长CB到T使得BT=DQ．∵AD=AB∵ADQ=∵ABT=90° DQ=BT∵∵ADQ∵∵ABT（SAS）∵AT=AQ∵DAQ=∵BAT由（1）得∵∵P AQ=45°∵∵P AT=∵BAP+∵BAT=∵BAP+∵DAQ=45°∵∵P AT=∵P AQ=45°∵AP=AP∵∵P AT∵∵P AQ（SAS）∵PQ=PT∵PT=PB+BT=PB+DQ∵PQ=BP+DQ；（3）解：如图将∵ADN绕点A顺时针旋转90°得到∵ABR连接RM．∵∵BAD=90° ∵MAN=45°∵∵DAN+∵BAM=45°∵∵DAN=∵BAR∵∵BAM+∵BAR=45°∵∵MAR=∵MAN=45°∵AR=AN AM=AM∵∵AMR∵∵AMN(SAS)∵ RM=MN∵∵D=∵ABR=∵ABD=45°∵∵RBM=90°∵RM2=BR2+BM2∵ DN=BR MN=RM∵BM2+DN2=MN2．∵BM=7DN=24∵MN=√72+242=25．。