高三数学解斜三角形

高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

正余弦定理和解三角形的实际应用要求层次 重难点正余弦定理C 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题解三角形C1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a . (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2.(勾股定理) (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b. 2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边. (1)三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π.(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.知识内容高考要求模块框架解三角形2sin sin sin a b cR A B C===.(R 为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3.三角形的面积公式：(1)S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)； (2) S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3) S △＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；(4) S △＝2R 2sin A sin B sin C .(R 为外接圆半径) (5) S △＝4abcR； (6) S △＝()()()s s a s b s c ---；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)(7) S △＝r ·s . 4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C . (1)角与角关系：A +B +C = π；(2)边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a -b < c ，b -c < a ，c -a > b ； (3)边与角关系：正余弦定理. 5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.6.推论：正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-7.三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-，sincos ,cos sin 2222B C A B C A++== 解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两板块一. 三角形中的有关问题【例1】 ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14 B ．34C D【考点】三角形中的有关问题 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 利用余弦定理【答案】B【例2】 在ABC ∆中，下列等式总能成立的是 （ ）()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A =()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =【考点】三角形中的有关问题 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 略【答案】D【例3】 △ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 （ ）A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3【考点】三角形中的有关问题 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 ∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.【答案】B【例4】 在锐角ABC ∆中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.【考点】三角形中的有关问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由2222221212c c⎧+>⎪⎨+>⎪⎩c <<，同时也满足任意两边之和大于第三边【答案】【例5】 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．【考点】三角形中的有关问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由已知得060B =，再由余弦定理可得【例6】 在△ABC 中，7,8,9a b c ===，则AC 边上的中线BD 长为 ．【考点】三角形中的有关问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 22222211()2()cos 2211()2()cos()22c b BD b BD ADB a b BD b BD ADB π⎧=+-⨯⨯⨯∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎩ 两式相加可得 【答案】7【例7】 在ABC △，角,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若三角形的面积14S =()222a b c +-，则∠C 的度数是_______. 【考点】三角形中的有关问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由S=41()222a b c +-得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=4π. 【答案】45°【例8】 在ABC △中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.【考点】三角形中的有关问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】应用正弦定理、余弦定理，可得a =abcb a ca b ac cb 22222222-++-++，所以()()()2222b a b c a c bc b c -+-=+. 所以()()()233b c a b c bc b c +=+++. 所以222a b bc c bc =-++.所以222a b c =+. 所以ABC △是直角三角形.板块二.解三角形综合【例9】 E ，F 是等腰直角ABC △斜边AB 上的三等分点，则tan ECF =∠A ．1627B ．23CD ．34【考点】解三角形综合 【难度】3星【题型】选择【关键词】2010年，江西，高考【解析】 略【答案】D ；【例10】 在ABC ∆中，若1b =，c =，2π3C ∠=，则a = ． 【考点】解三角形综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，北京，高考【解析】 略【答案】1【例11】 设ABC △是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且22ππsin sin sin sin 33A B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求角A 的值；⑵12AB AC ⋅=u u u r u u u r，a =b ，c （其中b c <）．【考点】三角函数的单调性与值域【难度】5星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽，高考【解析】 略【答案】⑴因为2211sin sin cos sin 22A B B B B B ⎫=+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭222313cos sin sin 444B B B =-+=，所以sin A =，又A 为锐角，所以π3A =． ⑵由12AB AC ⋅=u u u r u u u r可得cos 12cb A =． ①由（Ⅰ）知π3A =，所以24cb = ②由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，将a =2252c b += ③③+②2⨯，得()2100c b +=，所以10c b +=．因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根． 解此方程并由c b >知6c =，4b =．【例12】 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC高度4m h =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=⑴ 该小组已经测得一组α、β的值，tan 1.24α=，tan 11.20β=，请据此算出H的值；⑵ 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m ，试问d 为多少时，a β-最大？αβBCEAD【考点】解三角形综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2010年，江苏，高考【解析】 略【答案】⑴ 由tan HAB α=，tan h BD β=及，tan H AD β=AB BD AD +=，得αβBCEADH htan tan tan H h Hαββ+=解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H ααβ⨯===--因此，算出的电视塔的高度h 是124m ． ⑵ 由题设知d AB =，得tan H dα=， 由tan tan H h AB AD BD ββ=-=-，得tan H hdβ-=，所以tan tan tan()()1tan tan h H H h d dαβαβαβ--==-++当且仅当()H H h d d-=，即d ===时，上式取等号）所以当d =时，tan()αβ-最大． 因为π02βα<<<，则π02αβ<-<，所以当d =时，αβ-最大． 故所求的d是．【例13】 已知ABC △的内角A ，B 及其对边a ，b ．满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．【考点】解三角形综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2010年，全国卷Ⅰ，高考【解析】 略【答案】由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得sin sin cot cos A B A B +=+， sin cot cos sin A A B B -=-，从而ππππsin cos cos sin cos sin sin cos 4444aA A B B -=-，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又0πA B <+<，故ππ44A B -=-，π2A B +=， 所以，π2C =．板块三.实际应用问题【例14】 甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A B ,C ,m D【考点】实际应用问题 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 略【答案】A【例15】 一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（精确到1m ）（ ） A 1988mB 2096mC 3125mD 2451m 【考点】实际应用问题 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 略【答案】B【例16】 已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 ．【考点】实际应用问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 略【答案】90.8 nmi【例17】 上海浦东有两建筑物A 、B ，由于建筑物中间有障碍物，无法丈量出它们之间的距离，请你在浦西不过江，利用斜三角形的知识，设计一个测量建筑物A 、B 间距离的方案，并给出具体的计算方法．【考点】实际应用问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】在浦西选取C 、D 测得 CD a =，∠ADC=α，∠A CD=β，∠BCD=θ，∠BDC=ϕ在△BCD 中：BC=sin sin sin sin()CD a B ϕϕθϕ⋅=+在△ACD 中 ： sin sin sin sin()CD a AC A αααβ⋅==+ 在△ABC 中 222cos AB BC AC BC AC BCA =+-∠g g2222222sin sin 2sin sin cos()sin ()sin ()sin()sin()a a a ϕαϕαθβθϕαβθϕαβ=+--++++【例18】 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

第2讲 解三角形应用举例★ 知 识 梳理 ★1.已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ．2.已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．4.已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ．5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD 、OE 是视线，DOC ∠ 是仰角，EOC ∠ 是俯角.7.关于三角形面积问题①ABC S ∆=21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ∆＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；③ABC S ∆＝2R 2sin A sin B sin C .（R 为外接圆半径） ④ABC S ∆＝Rabc4； ⑤ABC S ∆＝))()((c s b s a s s ---,⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ∆＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径)★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14AB km =，60BDA ︒∠= ，135BCD ︒∠=，求两景点B 与C 的距离（假设,,,A B C D 在同一平面内，测量结果保留整1.414, 1.732,2.236===）解：在△ABD 中，设BD=x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x 解之：161=x ，62-=x （舍去），由正弦定理，得：BCD BDCDB BC ∠=∠sin sin ,∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ≈11(km). 答：两景点B 与C 的距离约为11.km.（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.问题2. 用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度.分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA .解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝a sin βsin （α－β）在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝a sin αsin βsin （α－β）∴EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin βsin （α－β） ＋b ，答：气球的高度是a sin αsin βsin （α－β）＋b .★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题[例1] (2007·山东) 如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用S vt =求出边长,再进行进一步分析. [解析]如图，连结11A B，由已知22A B =122060A A ==，1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-= ∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+-2220220=+-⨯⨯200=．12B B ∴=因此，乙船的速度的大小为6020=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 【新题导练】1．甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西o 多少小时后，甲、乙两船相距最近？1A2A图4-4-12解析：、解: 两点甲船和乙船分别到达小时后设经过D C x ,, x BD AB AD x AC 1020,8-=-==则,,6170.,614800)6170(24440056024421)1020(82)1020()8(60cos 222222222取得最小值时当取得最小值取得最小值时当CD x CD CD x x x x x x x AD AC AD AC CD =∴+-=+-=⋅-⋅⋅--+=︒⋅⋅-+=∴此时,甲、乙两船相距最近2．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）解： 设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB＝15°，OB ＝vt ，4vAB t ≤⋅。

高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。

在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。

本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。

一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。

2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。

(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。

3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。

二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。

2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。

(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。

三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。

(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。

2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。

(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。

(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。

四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。

2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。

3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。

通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。

解三角形范围问题讲义第1讲：消角构造三角函数例1.（2020浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（1）求角B ；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．解析：（1）由2sin b A =结合正弦定理可得：32sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（2）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤+⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦.第2讲.对边对角模型对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.例2.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 周长的最大值为3+.小结1.结合余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式可得：()()2221cos a b c bc A =+-+此公式在已知,a A 的情况下，可得到b c +和bc 的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.2sin sin sin a b cR A B C===第3讲.正弦定理边角转化在正弦定理中：此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析.例2.（2019全国3卷）ABC ∆的内角,,A B C 对边为,,a b c ，A b CA a sin 2sin ⋅=+⋅.（1）.求角B 的值；（2）.若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．解析：(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABC S << .故ABC S的取值范围是,82第4讲.齐次边型分式结构在这一部分中，我们经常会看到诸如：222,a cb ac b ++等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理.例3.（2022新高考1卷）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．（1）若2π3C =，求B ；（2）求222a b c +的最小值．解析：（1）由已知条件得：sin 2sin sin 2cos cos cos 2B A B A A B +=+sin 2cos cos cos 2sin sin 2B A A B A B =+-cos cos(2)A AB =++cos[π()]cos[π()2]=-++-++BC B C B cos()cos[π()]=-+++-B C B C 2cos cos B C=-所以sin cos 22cos cos B B B C =-，即(sin cos )cos 0B C B +=，由已知条件：1cos 20B +≠，则π2≠B ，可得cos 0B ≠，所以1sin cos 2BC =-=，π6=B ．2）由（1）知sin cos 0B C =->，则π2=-B C ，πsin sin()cos 2=-=-B C C ，πsin sin()sin(2)cos22=+=-=-A B C C C ，由正弦定理222222222sin sin cos 2cos sin sin a b A B C C c C C +++==2222(12sin )(1sin )sin C C C-+-=4222224sin 5sin 24sin 5sin sin C C C C C+-==+-524-≥当且仅当2sin 2C =时等号成立，所以222a b c +的最小值为5-．例4．在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，则2b cb+的范围是（）A．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C．43,32⎛⎫⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，因为02A π<<，02C <<π，02B π<<,所以022B π<∠<，032B ππ<-∠<，解得,64B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 22B ⎛∈ ⎪⎝⎭，211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而()()sin sin sin 3sin 3C A B B B ππ=--=-=，()sin 3sin +2sin cos 2+cos sin 2B B B B B B B ==()22sin 2cos 1+2sin cos B B B B=-所以()223sin 34cos sin sin 41sin sin sin 3sin 4sin B B B B B B B B B =-=--=-，所以由正弦定理可知：32sin sin sin sin(3)sin 3sin 4sin 22sin 22sin 2sin 2sin B C B B B B BB b b B c B Bπ++-+====-+-，因为211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22sin 1,12B ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以222sin 13,2B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即312,2b c b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A.第5讲.余弦定理求角的最值余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，x y cos =在),0(π∈x 上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值.若bca cb A 2cos 222-+=，倘若再能找到0222=++zc yb xa 这样一个约束条件，代入余弦定理消掉2a ，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析.例5.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222221,4cos 4sin 33c a B b A b =+=-，则tan A 的最大值为（）C．7解：∵222221,4cos 4sin 33c a B b A b =+=-，∴2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，∴由正弦定理得：2222224sin cos 4sin sin 3sin 3sin A B B A B C +=-，即()2222224sin sin cos 4sin 3sin 3sin A B B A B C +==-，222433a b c ∴=-，则2223344a b c =-，222222222331774444cos 22288b c b c b cb c a b c A bc bc bc c b +-+++-∴====+≥4=（当且仅当788b c c b =，即=b 时取等号），cos A ∴∵22sin cos 1A A +=，∴3sin 4A =≤==，∴tan A 的最大值为()()max minsin 37cos 7A A =.例6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2sin sin sin a A c C b B +=，则角A 的最大值为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3解析：因为2sin sin sin a A c C b B +=，所以2222a c b +=，进而可得2222a b c =-2222222221()32cos 224b c b c b c a b c A bc bc bc+--+-+===因为223b c +≥=，当且仅当b =时等号成立，所以cos A ≥(0,)A π∈，所以角A 的最大值为6π第6讲.秦九韶公式秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关内容是人教版新教材的阅读内容，未来完全有可能出现在高考试题中.例7.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：ABCS = 其中a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos 2cos a Ab B=-，2b =，则ABC 面积的最大值为（）A．43B．83C．32解析：由cos 2cos a Ab B =-得sin cos sin 2cos A A B B=-，2sin sin cos cos sin A A B A B -=，即2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，所以2a c =，ABCS !=所以2209a =，即3a =时，()max 1423ABC S ==!．故选：A ．例8.已知a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos cos 2cos cos a A a Ab B B-==-，则ABC 面积的最大值为（）A．43B．83解：ABC 中，因为cos cos 2cos cos a A a Ab B B -==-，所以sin cos cos ,2co s s cos in A A a a A B b BB -==-，则2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，即2c a =，又cos cos a B b A ab +=，则22222222a c b b c a ab c c+-+-+=，即c ab =，则2b =，所以ABC S ∆==当2209a =时，ABC 面积取得最大值为43，故选：A第7讲.爪型三角形与等面积方法如图，设AM 为A ∠的平分线，则设θ=∠=∠CAM BAM ，那么有等面积可得：θθsin )(212sin 21⋅⋅+=⋅=∆AM c b bc S ABC ，进一步可得：AM c b bc ⋅+=⋅)(cos 2θ，于是可以看到，倘若我们知道角θ与角平分线AM 的长度，则可得到c b bc +↔的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.例9.（2022成都一诊）在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.解析：,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c ==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+第8讲.斯特瓦尔特定理与均值不等式基本结论：如图：当设P 为ABC ∆的BC 边中点时，222241)(21BC AC AB AP -+=.注：该结论还可由)(21→→→+=AC AB AP 证得.更一般的情形即斯特瓦尔特定理，此处不再赘述，我们通过例题展示例10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=.（2）由13sin 24ABC S ac B ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+ ，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433⨯=.例11．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2B Cb a B +=.（1）求角A 的大小；（2）D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，求ABC 面积的最大值.解析：（1）因为cossin 2B Cb a B +=，由正弦定理可得sin cos sin sin 2B C B A B +=，又sin 0B ≠，所以cos sin 2B CA +=，因为ABC π++=，所以coscos sin 222B C A Aπ+-==，则sin sin 2sin cos 222A A A A ==，又sin 02A≠，所以1cos 22A =，因为(0)22A π∈，，所以2233A A ππ=⇒=；（2）根据题意可得2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以222212144()33999AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，即22136=4()4222c bc b bc bc +-+≥=，所以18bc ≤，当且仅当3,6b c ==等号成立所以121393sin 1823222ABC S bc π=≤⨯⨯=△，ABC 面积的最大值为2.第9讲.恒等变换型目标函数这类最值问题的特点是利用恒等变换化简函数，它们的目标函数往往不是上面的类型，而且有点“丑”，你需要做的就是耐心美化目标函数，直到找到可以入手的结构！例12．已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()1cos cos a B b A +=，则2sin sin B A 的取值范围是（）A．(2,B．)C．0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞解析：由()1cos cos a B b A +=，知()sin 1cos sin cos A B B A +=，sin sin cos cos sin 0A A B A B +-=，()sin sin 0A A B +-=，()()sin sin A B A -=-，因为A 、0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22ππA B --<<，02A π-<-<，因为正弦函数sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以，A B A -=-，则2B A =，因为ABC 为锐角三角形，则0202232A A A πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪⎩，可得64A ππ<<tan 1A <<，(222sin sin 22sin cos 22,sin sin sin tan B A A A A A A A ===∈，故选：A.例13．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A ++-的取值范围为（）A．()B．()8,9C．4,93⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D．()4,9解析：∵220c bc a +-=，∴22a c bc -=，∴22cos b bc A bc -=，∴2cos b c A c -=，∴sin 2sin cos sin B C A C -=，∴()sin 2sin cos sin A C C A C+-=，∴()sin sin A C C -=，∴A C C -=或A C C π-+=（不符合题意舍去），∴2A C =，∴()2114sin cos tan tan C C C A ++-()cos cos 412sin cos sin sin C A C C C A=⨯++-cos sin sin cos 44sin 2sin sin C A C A C A C -=++()sin 44sin sin sin A C A A C+=++sin 44sin sin sin C A A C =++144sin sin A A =++，设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,22AB AC A πππ⎛⎫=--=--∈ ⎪⎝⎭，∴,32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin ,12A t ⎫=∈⎪⎪⎝⎭，令()14,f t t t t ⎫=+∈⎪⎪⎝⎭，则()2140,f t t t ⎫'=->∈⎪⎪⎝⎭，∴函数()f t 在t ⎫∈⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()f t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，∴()21114sin cos 444,9tan tan C C t C A t ⎫++-=++∈+⎪⎪⎝⎭.故选：C．第10讲：构造轨迹找范围常见的轨迹有阿波罗尼斯圆，焦点三角形等，这些问题，实质需要找到背后那个隐藏的轨迹.定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.例13.在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2b C c B +=，3sin 2b C a =．（1）求ABC 的面积；（2）若:b c ，求A ．解析：（1）cos cos 2b C c B += ，222222222a b c a c b b c ab ac+-+-∴⋅+⋅解得：2a =，sin 2b C a ==11sin 222ABC S ab C ∴==⨯= （2）由(1)和余弦定理可得:222cos 41sin 2b b c bc A bc A ⎧⎪=⎪+-=⎨⎪⎪=⎩，化简得：()22sin 222c A c A ⎧=⎪⎨-=⎪⎩消去c，可得sin 2A A +=，即()sin 1,0,,,3326A A A A πππππ⎛⎫+=∈∴+== ⎪⎝⎭ 注：在（1）中解得2=a ，再加之1:3:=c b ，这样顶点A 的轨迹实际是一个阿氏圆，其实第二问可以求ABC 面积的最大值.。

热点06 三角函数与解三角形【命题形式】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。

1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。

2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。

3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。

4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。

【满分技巧】1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。

要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。

“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反三、触类旁通。

2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。