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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生（上海市市北中学 200071）
2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =.
证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .
若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.
若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （0，p ），Q （0，q ），
1
111
31132)(:x
k x x x x x
k x k y CE +-⋅--=,
1
321
31111131132)
()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-⋅--=
,同
理
2
42142)
(x x k k x x q --=
, 所以
)
()()]
()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -⋅-+-+-=
+
将x k y 1=代入(*)得0
)()(122
11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得
2
1
121Ck Bk A D x x ++-=
+, 2
1
121Ck Bk A F x x ++=
, 同理 2
2
243Ck Bk A D
x x ++-=
+, 22
243Ck Bk A F
x x ++=
，所以0=+q p ，即MQ MP =.
注:2003年高考数学北京卷第18（III ）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q 证明：如图2，以M 为原点，AB 设
圆
锥
曲
线
的
方
程
为
022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （11,y x ）
，B （21,y x ），则切线MA 的方程是02211=++F y E x D ，切线MB 的方程是02
221=++F y E
x D ，得0)(21=-y y E ，所以0=E .（下面与定理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.
性质1：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122
22=±b y a x 的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、
DF 的连线交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴
所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.
证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则根据定理1，定理2得MQ MP =.
过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得
FH
FM HG
MQ HG
MP HE
EM =
=
=
，设M （m ，0），H
（n ，0），焦点轴长为2a ，则有n
a m
a n a m a --=--+，
得
2a mn =.
注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.
性质2：过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物
线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：m x -=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M 为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.
性质3：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0l 与
CD 交于点I ，则
DI
DM CI
CM =
.
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：
DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM =
=
=
.
性质4：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线
22
22±b y a x 交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.
证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直
线，由定理
1，定理
2
得：
DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM =
=
=
，由性质3得，点I 在
直线l ：m a x 2=上，所以点G 在直线l ：m
a x 2
=上.
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l ：m x -=，过点M （m ，0交于点I ，则
DI
DM CI
CM =
.
性质6：过点M （m ，0）做抛物线px y 22=的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m x -=上.
注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M 为焦点时，直线CE 、DF 的连线交点G 落在相应准线上.
性质7：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122
22=±b y a x 的弦线的切线的交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.
证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM 交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D
与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与性质8：过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD 的交点G 在直线l ： m x -=上.
注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.
性质9：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0）做椭圆、双曲线
2
2y x 的弦CD ，C 、D 在
l 上的射影为C 1、D 1，在焦点轴所在直线上的射影为C 2证明：如图
7，由性质
3
得：
2
21
1CC DD DI
CI DM
CM DD CC =
=
=
,所以
2
12
1DD DD CC CC =
.
性质10：直线l ：m x -=，过点M （m ，0）做抛
px y 22=的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在
上的射影为C 2、D 2，则
2
12
1DD DD CC CC =
.
注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，GI 交FE 于I ，则
FI
FM EI
EM =
.
证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，定
理
1
得
：
MQ
MP =, 所以
FI
FM IG
MQ IG
MP EI
EM =
=
=
.
性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则
FI
FM EI
EM =
.
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。

参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6
3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，
4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7。

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第23集蝴蝶定理

第23集蝴蝶定理

第23集蝴蝶定理
一·蝴蝶定理
1815年英国伦敦出版社的著名数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下问题：
以上问题的图形，像一只翩翩起舞的蝴蝶，这正是该命题被冠以“蝴蝶定理”美名的原因。

由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，蕴理深刻，200多年来引无数数学家为止驻足，为之浮想联翩。

时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的60多种证明方法，而且还给出了定理的各种变形与推广。

【证明】
利用曲线系方程来证明蝴蝶定理干净利索，内涵丰富。

若将圆的方程换成椭圆、双曲线或抛物线，则得到对应于这些曲线中的蝴蝶定理。

二·蝴蝶定理的推广
对蝴蝶定理的研究至今仍然没有结束，有人称之为欧氏平面内一颗璀璨的明珠。

蝴蝶定理曾经在北京高考和山东高考数学中出现过，可见其魅力不衰。

三·典例精析
【解析】
蝴蝶定理，butterfly theorem，古典欧式几何最精彩的结果之一。

1815年首次被一个自学成才的中学数学教师W·霍纳以初等方式证明。

足可见，任何高等数学，都离不开初等数学的基础。

任何学霸之路，都离不开定理公式的熟练叠加。

圆锥曲线蝴蝶定理

圆锥曲线蝴蝶定理

圆锥曲线蝴蝶定理
圆锥曲线蝴蝶定理是一个重要的数学定理，它描述了圆锥曲线上的两个点之间的关系。

它是由18世纪德国数学家埃尔米塞·贝尔（Ermes Bell）在1748年发现的。

圆锥曲线蝴蝶定理指出，圆锥曲线上的任意两点之间的距离总是相等的。

这意味着，如果在圆锥曲线上有两个点，那么它们之间的距离总是相等的，无论它们在曲线上的位置如何。

圆锥曲线蝴蝶定理的应用非常广泛，它可以用来解决许多数学问题，例如求解曲线上的点之间的距离，求解曲线上的点的坐标，以及求解曲线上的点的切线方程等。

此外，圆锥曲线蝴蝶定理还可以用来解决物理问题，例如求解物体在曲线上的运动轨迹，
求解物体在曲线上的加速度，以及求解物体在曲线上的动量等。

总之，圆锥曲线蝴蝶定理是一个重要的数学定理，它描述了圆锥曲线上的两个点之间的关系，并且有着广泛的应用。

它不仅可以用来解决数学问题，还可以用来解决物理问题。

蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用

蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用

蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。

蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。

这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由。

此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下：蝴蝶定理解析法证明图示蝴蝶定理解析法证明若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的。

现以椭圆为例给出证明。

蝴蝶定理解析法证明图示（椭圆）蝴蝶定理解析法证明（椭圆）类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线，结论也成立。

若在蝴蝶定理的条件中把中点M改为AB上任一点，结论是：蝴蝶定理一般性结论这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA=MB时，MP=MQ。

④式成立的条件是AB是⊙O的弦，M是AB上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立。

蝴蝶定理一般性结论（圆锥曲线）蝴蝶定理一般性（圆锥曲线）蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：矢量法表示蝴蝶定理一般性结论定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。

定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。

定理1证明定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l//AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有|MP|=|MQ|。

定理2定理2证明特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上。

蝴蝶定理的推广蝴蝶定理的推广蝴蝶定理十二大推论性质蝴蝶定理推论性质1蝴蝶定理推论性质2蝴蝶定理推论性质3蝴蝶定理推论性质4蝴蝶定理推论性质5蝴蝶定理推论性质6蝴蝶定理推论性质7蝴蝶定理推论性质8蝴蝶定理推论性质9蝴蝶定理推论性质10蝴蝶定理推论性质11蝴蝶定理推论性质12下面奉献6道调研题，供大家作答。

高三数学二轮复习冲刺：蝴蝶定理及应用

高三数学二轮复习冲刺：蝴蝶定理及应用

蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理：AB 是二次曲线Ω的一条弦，O 是AB 的中点，过O 作Ω的两条弦CD 和EF ，其中E C ,位于AB 的同一侧，直线CF 和DE 分别交AB 于点Q P ,，则有OQ OP =.2.斜率形式结论1:B A 、分别为椭圆)(1:2222b a by a x E >=+的左、右顶点，)0,(t T 为x 轴上一定点，过M 直线交椭圆于D C ,两点，连接BD AC ,，那么ta t a k k BD AC +-=.证明：过T 作x PQ ⊥轴，交椭圆于Q P ,交BD AC ,于,,N M 由椭圆对称性可知：TQ TP =：进而据蝴蝶定理可知：TN TM =，于是可得：t a t a AT BT BTNT AT MT NBT MAT k k BD AC +-===∠∠=tan tan .结论2[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =213坎迪定理如图，过圆的弦AB 上任意一点M 引任意两条弦CD 和EF ，连接CF ED 、交AB 于P 和Q ，则MBMA MQ MP 1111-=-.坎迪定理的推广设AB 是二次曲线的任意一条弦，M 为AB 上任意一点，过M 作任意两条弦CD 和EF ，连接ED 、CF 交直线AB 于P 和Q .（1）若Q P 、位于M 两侧，则MBMA MQ MP 1111-=-；（2）若Q P 、位于M 同一侧，BM AM <，则MB MA MQ MP 1111-=+.二．典例分析例1（2020一卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于31=PD P A k k 过E 作x MN ⊥轴，交DP AP ,与N M ,点，交椭圆于H G ,.显然E 为椭圆弦GH 的中点，由蝴蝶定理：EN EM =，3133tan tan =+-===∠∠=E E PD P A x x AE BE BENE AE NE NEB MAE k k ，23=E x 例2．在平面直角坐标系中，已知圆()22:236M x y ++=，点()2,0N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。