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2017版高考复习方案大二轮2017年高考备考方法策略：专题篇数列 1数列求和的七种基本方法 Word版含答案

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数列求和的七种基本方法 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了2016年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法． 1 运用公式法

很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列前n项和nS的公式，因此以下常用公式应当熟记：

221231123(1)2135(21)12222111111122222nnnnnnnnn



 还要记住一些正整数的幂和公式：

2233332222)1(41321)12)(1(61321nnnnnnn



题1 (2016年高考全国卷I文科第17题)已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足12111==3nnnnbbabbnb1，，． （1）求na的通项公式； （2）求nb的前n项和． 解 (1)在11nnnnabbnb中选1n，得1221abbb，即11111,233aa． 又因为na是公差为3的等差数列，所以23(1)31nann．

（2）由（1）得1131nnnnbbnb，即113nnbb，得nb是以1为首项，13为公

比的等比数列，得113nnb. 所以nb的前n项和111313122313nnnS． 2 倒序相加法 事实上，等差数列的前n项和nS的公式推导方法就是倒序相加法．

题2 求正整数m与()nmn之间的分母为3的所有既约分数的和S． 解 显然，这些既约分数为：

31,32,34,,34,32,31nnnmmm

有 )31()32()34()34()32()31(nnnmmmS 也有 )31()32()34()34()32()31(mmmnnnS 所以 2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS 题3 求数列123n的前n项和nS. 解法1 因为211123(1)()22nnnnn，所以 22221[(123)(123)]2nSnn

1111(1)(21)(1)(1)(2)2626nnnnnnnn



解法2 因为 2331211123(1)CCC(2)2nnnnnnn

所以 33333333343542121C(CC)(CC)(CC)C(1)(2)(2)6nnnnSnnnn

进而可得1(1)(2)(6nSnnnnN*). 解法3 (倒序相加法)可得 1(12)(123)(123)nSn

1(21)(321)[(1)(2)1]nSnnn

1212[(1)(1)][(2)(2)(2)](1111)nnnSnnnnnn个个()3个()

把它们相加，得

31(2)2(2)3(2)(2)nSnnnnn 1(123)(2)(1)(2)2nnnnn

1(1)(2)6nSnnn

3 裂项相消法 题4 (2016年高考天津卷理科第18题)已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d.

对任意的*nN，nb是na和1na的等比中项. （1）设22*1,nnncbbnN，求证：数列nc是等差数列；

（2）设1ad，2211nknkkTb，*nN，求证：2

1112nkkTd

.

解 (1)可得21nnnbaa，所以 221nnncbb

121nnnnaaaa12nda ①

2

12122nnnnccdaad

所以数列nc是等差数列. (2)可得1(1)(1)naanddndnd，还可得①式在这里也成立，所以 222222

1234212nnnTbbbbbb

2422ndaaa222(2462)21dndnn

所以

2222

11111111111112121212nnnkkkkTdkkdkkdnd







4 分组求和法 题5 求11111111111224242nnS．

解 设11111242nna，得1122nna． 所以本题即求数列1122n的前n项和： 111111212222422nnnnSnnan





题6 (2016年高考天津卷文科第18题)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且1a1－1a2＝2a3

，S6＝63.

(1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb2n}的前2n项和．

解 (1)设等比数列na的公比为q，可得2111112aaqaq，解得2q或1.

又由61(1)631naqSq知，1q，所以61(12)6312a，解得11a. 得数列{an}的通项公式是12nna. (2)由题意，可得

21)2log2(log21)log(log21212122naabnnnnn

所以数列})1{(2nnb的前n项和为 22221234()()bbbb222

122121222()()22n

nnnnbbbbbbbn



题7 (2016年高考浙江卷文科第17题)设数列na的前n项和为nS.已知24S，121nnaS，*nN.

（1）求通项公式na； （2）求数列2nan的前n项和.

解 (1)可得21221421Saaaa，解得1213aa. 由121nnaS，121nnaS2n…，可得1121212nnnnnaaSSa， 13nnaa2n≥.

又因为213aa，所以可得数列na的通项公式为13nna. (2)得bn＝|an－n－2|=|3n－1－n－2|，所以b1＝2，b2＝1. 当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，所以bn＝3n－1－n－2(n≥3). 设数列{bn}的前n项和为Tn，得T1＝2，T2＝3. 当n≥3时，可得 Tn＝3＋9（1－3n－2）1－3－（n＋7）（n－2）2＝3n－n2－5n＋112 进而可得Tn＝2，n＝1，3n－n2－5n＋112，n≥2，n∈N*. 题8 (2016年高考四川卷文科第19题)已知数列na的首项为1，nS为数列na的前n项和，11nnSqS，其中0q，*nN. （1）若2a，3a，23+aa成等差数列，求数列na的通项公式；

（2）设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且22e，求22212neee. 解 (1)由Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1(n∈N*)，两式相减得an＋2＝qan＋1(n∈N*). 又由S2＝qS1＋1，11a，可得a2＝qa1，所以an+1＝qan(n∈N*). 得数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，所以an＝qn－1. 再由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3即a3＝2a2，得q＝2. 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1．

(2)在(1)的解答中已得an＝qn－1，所以双曲线x2－y2a2n＝1的离心率

22(1)11nnneaq-=+=+

．

由e2＝1＋q2＝2，解得q＝3，所以 e21＋e22＋…＋e2n＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]

＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋q2n－1q2－1＝n＋12(3n－1) 5 错位相减法 题9 (2016年高考山东卷理科第18题即文科第19题)已知数列{}na的前n项和

238nSnn，{}nb是等差数列，且1.nnnabb

（1）求数列{}nb的通项公式；

（2）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nC的前n项和nT. 解 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 又因为a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5(nN*). 设等差数列{bn}的公差为d.

可得a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即11＝2b1＋d17＝2b1＋3d，解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.

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2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件：3-2数列

2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件：3-2数列


1 1 1 n (2)∵a1＝6，由(1)知 ＝ ＋ (n－1)＝ ， 3 an－3 a1－3 3 3（n＋1） ∴an＝ (n∈N*)， n ∴lgan＝lg(n＋1)－lgn＋lg3(n∈N*)． ∴数列{lgan}的前 999 项和 S＝999lg3＋(lg2－lg1＋lg3－lg2 ＋…＋lg1 000－lg999)＝999lg3＋lg1 000＝3＋999lg3.(12 分)
(2)证明等比数列的方法： an＋1 ①定义法： ＝q(n∈N*)． an an 或当 n≥2 时， ＝q. an－1 ②等比中项法： an＋1 an＋2 ＝ (n∈N*)． an an＋1
(3)注意不能直接根据通项公式就说某个数列是等差或等比 数列，判断可以，证明不行！
1．(2016· 安徽联考)设数列{an}的前 n 项积为 Tn，且 Tn＋2an ＝2(n∈N*)． 1 (1)求证：数列{ }是等差数列； Tn (2)设 bn＝(1－an)(1－an＋1)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
(2)由(1)知 Sn＝2－ n－1， 2 anSn n ∴cn＝ ＝2n－ n－1.(7 分) 2 2 1 2 3 n ∴Tn＝2(1＋2＋3＋…＋n)－( 0＋ 1＋ 2＋…＋ n－1)＝n(n＋1) 2 2 2 2 1 2 3 n －( 0＋ 1＋ 2＋…＋ n－1)． 2 2 2 2 1 2 3 n 令 Rn＝ 0＋ 1＋ 2＋…＋ n－1， 2 2 2 2
调研二 等差等比的综合运用 1 (2016· 百校联盟)已知首项为 ，公比不等于 1 的等比 2 数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3，S2，S4 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 bn＝n|an|，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn.
2017版高考数学课件：5.4 数列求和

2017版高考数学课件：5.4 数列求和


D.- 1+ n2 n
2n1
2
答案 B Sn=1+2+3+4+…+n+ 1+ 1+…+ 1= n(n +1)1- . 1
2 22
2n
2
2n
c
第四页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
2.(2015浙江金华二中期中)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a 2+…+a10=( )
第十页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
(2)由(1)知,an≠0,所以 an=23.于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比
an
数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
于是S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
所(2)以因a为n= an3b3nn=,1l,ognn3an,
1, 1.
c
所以b1= 1,
3
第十九页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.
所以T1=b1= ;1
3
当n>1时,
Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],
解析 依题意得an= n - 1 ,数n 列{an}的前n项和等于( -1)+2( - )3+ 2
高中数学数列求和题解题方法技巧

高中数学数列求和题解题方法技巧

高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。

2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。

例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。

3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。

对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。

这种数列求和方式叫做错位相减。

4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。

5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。

7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。

高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

高中数学 数列求和常见的7种方法

高中数学 数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个 （找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c nnn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。