幂函数
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维． 一、分类讨论的思想 例1 已知函数223
n n y x
--=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．
解：因为图象与y 轴无公共点，故2
230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则2
23n n --为偶数，由2
230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．
当0n =时，2
233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2
234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2
230n n --=为偶数； 当2n =时，2
233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2
230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3．
此时，幂函数的解析为0
(0)y x x =≠或4
y x -=，其图象如图１所示．
二、数形结合的思想
例2 已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，，在幂函数()g x 的图象上． 问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可．
解：设()m f x x =，则由题意，得2m
=，
∴2m =，即2
()f x x =．再令()n
g x x =，则由题意，得1
(2)4
n =-， ∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出
()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；
（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．
小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠． 三、转化的数学思想
例3 函数12
24
(42)
(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）
．
Ａ．12)，
Ｂ．1
)+，∞ Ｃ．(22)-，
Ｄ．(11--+
解析：要使函数1
2
24
(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，
即0m >且2
44(2)0m m ∆=-+<．
解得1m ． 故选（Ｂ）
幂函数中的三类讨论题
所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现． 类型一：求参数的取值范围 例1 已知函数223
()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．
分析：函数223
()()m m f x x
m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨
论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．
解：∵()f x 是偶函数，∴2
23m m -++应为偶数．
又∵(3)(5)f f <，即2
2
23
23
3
5m m m
m -++-++<，整理，得223
315m m -++⎛⎫< ⎪
⎝⎭
，∴2230m m -++>，∴312
m -<<
．
又∵m ∈Z ，∴0m =或1．
当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2
232m m -++=为偶数． 故m 的值为1，2
()f x x =．
评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础． 类型二：求解存在性问题
例2 已知函数2
()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，
∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．
解：∵2()f x x =，则42
()(21)1g x qx q x =-+-+． 假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，
设12x x <，则4242
121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--
22
122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．
若(]124x x ∈--，，
∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2
2
12()(21)0q x x q +--<恒成立．
∵14x <-，24x -≤，∴2
2
1232x x +>．而0q <，
∴22
12()32q x x q +<.．
从而要使2
2
12()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即1
30
q -
≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2
2
12()(21)0q x x q +-->恒成立． ∵140x -<<，240x -<<，
∴221232x x +<，而0q <，∴22
12()32q x x q +>．
要使2
2
12()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即1
30
q -
≥． 综上可知，存在实数1
30
q =-
，使得()g x 在(]4--，∞上是减函数，且在(40)-，上是增函数．
评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练． 类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况 例3 讨论函数22
21
()k k y k k x
--=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．
分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论． 解：（1）当2
0k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；
（2）当2
210k k --=时，1k =-
1k =
