专题06 向量专题（新定义）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习） 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的()(),,,a m n b p q ==．令ab mq np =−，下面说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线，则0a b =B ．ab ba =C ．对任意的R λ∈,()()a b ab λλ=,D ．()()2222ab a ba b +⋅=【答案】B【分析】根据给出的运算“⊙”的新定义，结合已知的向量的数量积公式及模长公式逐项判断即可. 【详解】若a 与b 共线，则有0a b mq np =−=，故A 正确；ba pn qm =−，而ab mq np =−，ab ba ∴≠，故选项B 错误；对任意的R λ∈，()(),a b m n b mq np λλλλλ==−，又ab mq np =−，()a b mq np λλλ∴=−，故C 正确；()()()()222222222222ab a bmq np mp nq m q n p m p n q +⋅=−++=+++，又()()22222222222222m n pq m p m q n p n q =++=+++a b ，故D 正确.故选：B.2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）定义2a b a a b ⊗=−⋅.若向量()2,5a =，向量b 为单位向量，则a b ⊗的取值范围是（ ） A ．[]0,6 B ．[]6,12C ．[)0,6D ．()1,5−【答案】B【分析】求得a ，设,a b θ<>=，整理可得a b ⊗为关于θ的关系式，进而求解. 【详解】因为()2,5a =，所以(223a =+=，设,a b θ<>=，[]0,θπ∈，由向量b 为单位向量， 所以22331cos ,93cos a b a a b a b θ⊗=−⋅=−⨯⨯<>=−， 因为[]cos 1,1θ∈−，所以[]6,12a b ⊗∈， 故选：B3．（2021春·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点O 和两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量m 都可以唯一表示成1e ，2e 的线性组合，12(,)m xe ye x y R =+∈，则把有序数组(,)x y 称为m 在仿射坐标系12;,O e e ⎡⎤⎣⎦下的坐标，记为(,)m x y =，在仿射坐标系12;,O e e ⎡⎤⎣⎦ 下，a ，b 为非零向量，且()11,a x y =r，()22,b x y =r，则下列结论中（ ）①()1212,a b x x y y +=++ ②若a b ⊥，则12120x x y y += ③若//a b ，则1221x y x y = ④12cos ,x x a b x y =+一定成立的结论个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用向量的新定义结合向量的性质逐个分析判断即可【详解】在仿射坐标系12;,O e e ⎡⎤⎣⎦下，设12,e e θ=，因为()11,a x y =r ，()22,b x y =r，所以1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，所以()()111122a b x y e y y e +=+++，所以()1212,a b x x y y +=++，①正确；若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以()()()2211122122121121212122a b x e y e x e y e x x e x y y x e e y y e ⋅=+⋅+=++⋅+，()22121121212122cos 0x x e x y y x e e y y e θ=+++=，故②不一定正确；因为//a b ，所以存在唯一的实数λ，使得λa b =，则()11122122x e y e x e y e λ+=+，所以12x x λ=，12y y λ=，所以1221x y x y =，所以③正确； cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=，由②知，()22121121212122a b x x e x y y x e e y y e ⋅=++⋅+，所以④不一定正确， 所以正确的有2个， 故选：B4．（2022·高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量(1,3),(3,1)a b ==−−，即为“等模整向量”，那么模为“等模整向量”有（ ） A ．4个 B ．6个C ．8个D ．12个【答案】D【分析】把.【详解】因为所以模为1(1,7)a =，2(1,7)a =−，3(1,7)a =−，4(1,7)a =−− 5(7,1)a =，6(7,1)a =−，7(7,1)a =−，8(7,1)a =−− 9(5,5)a =，10(5,5)a =−，11(5,5)a =−，12(5,5)a =−−所以模为12个. 故选：D【点睛】在求向量模的有关问题时通常的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或=a a a •；(2)a b ±＝2()a b ±＝222a a b b ⋅±+； (3)若a ＝(x ，y )，则|a |.5．（2017·四川广元·统考三模）对于n 个向量123,,,,n a a a a ，若存在n 个不全为0的示数123,,,,n k k k k ，使得：1122330n n k a k a k a k a ++++=成立；则称向量123,,,,n a a a a 是线性相关的，按此规定，能使向量1(1,0)a =，2(1,1)a =−，3(2,2)a =线性相关的实数123,,k k k ，则134k k +的值为（ ）A ．1−B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】由题可得1122330k a k a k a ++=，结合条件可得123123200(1)20k k k k k k ++=⎧⎨⨯+−+=⎩，即得.【详解】由题可知1122330k a k a k a ++=，1(1,0)a =，2(1,1)a =−，3(2,2)a =，所以123123200(1)20k k k k k k ++=⎧⎨⨯+−+=⎩，两等式两边相加可得1340k k +=. 故选：B ．6．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ab 和ba都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（ ）A ．12 B ．1C ．32D ．52【答案】C【分析】由题意可可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b =，2t b a =，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论． 【详解】解：2cos |Z 2a a b n a b n b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭． 又由||||0a b >…，可设m ∈Z ，Z t ∈， 令2m a b =，2tb a =，且0m t ≥> 又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 对m ，t 进行赋值即可得出3,1m t == 所以322m a b ==． 故选：C ．7．（2023·全国·高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）A ．当60θ=︒时()1,2A 与()3,4B 距离为B ．点()1,2A 关于原点的对称点为()1,2A '−−C ．向量()11,a x y =r 与()22,b x y =r平行的充要条件是1221y x y x = D．点()1,2A 到直线10x y +−=【答案】D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设x 轴正方向的单位向量为1e ，y 轴正方向的单位向量为2e ， 对于A 选项：由已知得12,60e e =︒，所以12111122e e ⋅=⨯⨯=. 由()()1,2,3,4A B 及斜坐标的定义可知12122,34OA e e OB e e =+=+，()21222AB OB OA e e e e =−=+=+22221e e e e =+⋅+==故A 选项正确；对于B 选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点()1,2A ，则122OA e e =+，设()1,2A 关于原点的对称点为(),A x y '，则1212'2OA OA e e xe ye =−=−−=+， 由于12,e e 不共线，所以12x y =−⎧⎨=−⎩，故B 选项正确；对于C 选项：11122122,a x e y e b x e y e =+=+，若a 是零向量，则//a b r r成立，同时110x y ==，所以1221x y x y =成立，此时1221//a b x y x y ⇔=r r；若a 是非零向量，则//a b ⇔存在非零常数λ，使b a λ=⇔21221112x e y e x e y e λλ+=+2112x x y y λλ=⎧⇔⎨=⎩⇔21121221y x y x x y x y λλ==⇔，所以1221//a b x y x y ⇔=r r.故C 选项正确；对于D 选项：设直线10x y +−=上的动点为(),P x y ,12OP xe ye =+， 因为10x y +−=，所以1x y +=，设12,OC e OD e ==，则点(),P x y 在直线CD 上， 所以直线10x y +−=过点()()1,0,0,1C D ， 因为122OA e e =+，则222AC OC OA e =−==，()2123AD OD OA e e e e =−=+=+=由于1,,60OC OD OC OD ===︒，所以1CD =. 所以222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥， 所以点A 到直线10x y +−=的距离为3AD =， 故D 选项错误. 故选：D8．（2022春·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，12,e e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ斜坐标系，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的斜坐标，记为(),OM x y =．在4πθ=的斜坐标系中，()13,,3,122a b ⎛==− ⎝⎭﹒则下列结论中，错误的是（ ）①112a b ⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭；②1a =；③a b ⊥；④b 在a 上的投影为A ．②③ B ．②④C ．③④D ．②③④【答案】D【分析】借鉴单位向量夹角为90o 时的情况，注意夹角为4πθ=；11122122121122()()()()a b x e y e x e y e x x e y y e −=+−+=−+−；22=a a x y =+；数量积为11122122()()a b x e y e x e y e ⋅=+⋅+； b 在a 上的投影为cos a b a b b ba baθ⋅⋅⋅==⋅ .【详解】对于①.1212121313()(3)(3)(+1)22a b e e e e e e −=+−−=−+ ，所以1+122a b ⎛⎫−= ⎪⎝ ⎪⎭，故①正确；对于②.222131133()211a e e e e e e =+=+⨯⨯⋅+=+= ，故②错误；对于③. 1212221333()(3)002a b e e e e e e ⋅=+⋅−=−+⋅=+≠，故③错误；对于④. b 在a 上的投影为220a b a a ⋅=> ，故④错误.故选：D9．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义a 、b 的向量积sin ,a b a b α=⎡⎣⋅⎤⎦，α为当a 、b 的起点相同时，由a 的方向逆时针旋转到与b 方向相同时，旋转过的最小角，对于()11,a x y =r，()22,b x y =r，()33,c x y =的向量积有如下的五个结论：①,,a b a b λμλμ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦； ②,,a b b a ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦； ③1221,a b x y x y ⎡⎤=−⎣⎦； ④,,,a b c a b a c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦；⑤,,a b c a b c ⎡⎤⎡⎤+=−⎣⎦⎣⎦；其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合题目中的新定义的概念逐项分析即可得出结论. 【详解】①,λμ至少有一个为0时，显然成立；,λμ都不为0时，若 0λμ>，则,sin sin ,a b a b a b a b λμλμαλμαλμ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅=⎣⎦⎣⎦； 若 0λμ<，则(),sin sin ,a b a b a b a b λμλμαπλμαλμ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅−=⋅⋅=⎣⎦⎣⎦；综上：,,a b a b λμλμ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，故①正确；②(),sin ,,sin sin a b a b b a b a a b ααα⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅−=−⋅⎣⎦⎣⎦，所以,,a b b a ⎡⎤⎡⎤≠⎣⎦⎣⎦，故②错误；③11122122,sin x y a b a b x y x y x y α⎡⎤=⋅⋅==−⎣⎦，故③正确；④由③知：()()12312312211331,,,a b c x y y y x x x y x y x y x y a b a c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+−+=−+−=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故④正确； ⑤()()()()123123123123,,,,a b c x y y y x x a b c x y y y x x ⎡⎤⎡⎤+=+−+−=−−−⎣⎦⎣⎦()()123123x y y y x x +−+与()()123123x y y y x x −−−不一定相等，故⑤错误；故选：C.10．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）定义(),d a b a b =−为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b 满足下列条件：(ⅰ)1b =；(ⅱ)a b ≠；(ⅲ)对于任意的t R ∈，恒有()(),,d a tb d a b ≥，现给出下面结论的编号， ①.a b ⊥②.()b a b ⊥−③.()a a b ⊥−④.1a ≥⑤.()()a b a b +⊥− 则以上正确的编号为（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①⑤【答案】B【分析】根据题意可得()()22a tba b −≥−，转化为()22210t ta b a b −⋅+⋅−≥对于任意的t R ∈恒成立，即0∆≤，整理得()210a b ⋅−≤，再利用向量的数量积逐一判断即可. 【详解】由于(),d a b a b =−，又对于t R ∈，恒有()(),,d a tb d a b ≥， 显然有a tb a b −≥−，即()()22a tba b −≥−，则()22210t ta b a b −⋅+⋅−≥对于任意的t R ∈恒成立，显然有()()224210a b a b ∆=−⋅−⋅−≤成立， 即()210a b ⋅−≤，则1a b ⋅=，故序号①错误， 进而cos 1a b a b θ⋅=⋅=， ∵1b =，于是1cos 1aθ=≤，得1a ≥，即序号④正确.再由10a b ⋅−=得20a b b ⋅−=，得()0b a b −=，∴()b a b ⊥−，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②a b ≠，故序号⑤错误. 综上知本题正确的序号为②④. 故选：B.【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题. 11．（2018·湖南·统考一模）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合{}|(,),,D a a x y x R y R ==∈∈上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个向量111(,)a x y =，222(,)a x y =，12a a >当且仅当“12x x >”或“12x x =且12y y >”，按上述定义的关系“>”，给出下列四个命题：①若1(1,0)e =，2(0,1)e =，0(0,0)=，则120e e >>； ②若12a a >，23a a >，则13a a >；③若12a a >，则对于任意的a D ∈，12a a a a +>+；④对于任意的向量0a >，其中0(0,0)=，若12a a >，则12a a a a ⋅>⋅． 其中正确的命题的个数为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】按照新定义，对每一个命题进行判断. 【详解】对于①，由定义可知①是正确的；对于②，中112223331(,),(,),(,)x y x a a a y x y ===，满足已知1223,a a a a >>，则123x x x ≥≥，只要有一个没有等号，则一定13x x >，若13x x =，则123y y y >>，都满足13a a >，正确； 对于③，∵12121212,x x x x x x y y y y y y >⇒+≥+>⇒+>+，∴命题正确，对于④，中若1(1,1),(1,1)a a ==−，则10a >，但100a a a ⋅==⋅，错误，因此有①②③正确. 故选:B.【方法点睛】新定义问题，关键是正确理解新概念，并掌握解决新概念下问题的方法，有一定的难度.本题中新概念关系“＞”与向量的坐标之间的大小关系联系在一起，由实数大小关系的传递性可得新关系“＞”的传递性，但向量的数量积与新关系“＞”之间没有必然的联系，这可通过举反例说明.实际上举反例说明一个命题是错误的，是数学中一个常用的方法.12．（2017秋·河南郑州·高三郑州一中阶段练习）若非零向量,a b 的夹角为锐角θ，且cos a bθ=，则称a 被b“同余”.已知b 被a “同余”，则a b −在a 上的投影是（ ） A ．22a b a−B ．222b a a −C ．22b a a−D ．22a b b−【答案】A【分析】首先根据“同余”的定义得cos b a θ=，再根据投影公式，列式求解.【详解】根据b 被a “同余”，则有cos b aθ=，所以cos b a θ=，a b −在a 上的投影为：222cos ()a b a a a a a a ab b θ−⋅−⋅−==， 故选：A.13．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期中）设1212()()a a a b b b ==，，，，定义一种向量积：()()()12121122a b a a b b a b b ⊗⊗＝，，＝，．已知12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()P x y ， 在sin y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足OQ m OP n =⊗+ (其中O 为坐标原点)，则()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A ．2，π B ．2,4π C ．12，4π D ．12，π【答案】C【分析】根据题意,设出Q 的坐标，根据OQ m OP n =⊗+的运算得到P 、Q 坐标间的关系，从而得到()f x 的解析式，即可求得最大值和最小正周期． 【详解】由题意知可设00)(P x y ，，()(,)Q x f x则根据OQ m OP n =⊗+可得()001(,)2,,023x f x x y π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()0012,32x x f x y π=+=所以()001,226x x y f x π=−= 而P 在sin y x =的图象上运动，满足00sin y x = 所以()12sin 26f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，即()11sin 226f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭所以最大值为()max 12f x =，即A =12最小正周期为2412T ππ== 故选：C ．14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量a 与b 的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=+.已知向量a 为单位向量，2b =，1a b −=r r，则a b ⊕=（ ）A．2BC2D ．【答案】C【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量a 与b 的夹角，代入新定义求解即可. 【详解】由题意得222211a b a a b b −=−⋅+=−=，解得cos 2θ=又[]0,πθ∈，所以sin θ== 所以222211a ba b a a b b ⊕=+=+⋅+==故选：C15．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）记{},min ,,y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a ，b 为平面内的非零向量，则（ ）A ．{}{}min ,min ,a b a b a b +−≤ B ．{}2222min |,|a b a b a b +−≥+C ．{}{}min ,min ,a b a b a b +−≥D ．{}2222min |,|a b a b a b +−≤+【答案】D【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.【详解】对于A 选项：考虑a b ⊥，根据向量加法减法法则几何意义知： {}||||min ||,||a b a b a b +=−>，所以A 错误；B 选项：根据平面向量数量积可知：不能保证0a b ±≥⋅恒成立，222222||,|22|a b a b a b a b a b a b =+⋅=++−+−⋅，所以它们的较小者一定小于等于22a b +，所以B 错误D 正确；C 选项：考虑//,5,4a b a b == {}{}min ||,||1,min ||,||4a b a b a b +−==，所以C 错误. 故选：D【点睛】此题考查向量相关新定义问题，其本质考查向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项.16．（2021·全国·高三专题练习）对于向量(1,2,...,)i PA i n =，把能够使得12...n PA PA PA +++取到最小值的点P 称为(1,2,...,)i A i n =的“平衡点”.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD CD 、于,F G 两点.下列的结论中，正确的是（ ）A ．A C 、的“平衡点”为O .B ．DC E 、、的“平衡点”为DE 、的中点. C ．AFG E 、、、的“平衡点”存在且唯一. D ．A B E D 、、、的“平衡点”必为F 【答案】D【分析】利用“平衡点”的定义、三角形中两边之和大于第三边，对选项进行一一验证． 【详解】对A ，A 、C 的“平衡点”为线段上的任意一点，故A 错误；对B ，D 、C 、E 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为120︒的点，故B 错误； 对C ，A 、F 、G 、E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；对D ，因为矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点，所以A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F ，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查“平衡点”的求法，考查对新定义的理解与应用，求解时要注意平面向量知识的合理运用．二、多选题17．（2022春·浙江·高一期中）如图所示，在平面上取定一点O 和两个以点O 为起点的不共线向量1e ，2e ，称为平面上的一个仿射坐标系，记作{}12,:O e e ，向量12OM xe ye =+与有序数组(),x y 之间建立了一一对应关系，有序数组(),x y 称为OM 在伤射坐标系{}12,:O e e 下的坐标，记作(),OM x y =．已知1e ，2e 是夹角为23πθ=的单位向量，()1,2a =，()2,1b =−，则下列结论中正确的有（ ）A ．()3,1a b +=B ．3a =C ．a b ⊥D ．b 在a 方向上的投影向量为12a −【答案】ABD【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量数量积的定义，运算律及投影向量的概念，逐项分析即得. 【详解】由题可知()121,22e e a ==+，()122,12b e e =−=−， ∴()12121233,212a e e e b e e e ++=−++==，故A 正确； 因为1e ，2e 是夹角为23πθ=的单位向量， 所以121211,2e e e e ==⋅=−，∴()22212441e e e e e e a +=+=⋅+=−=B 正确；∴()()221212112233223222222e e e e b e e a e e +⋅−+⋅−=−−=⋅==−，故C 错误；∴b 在a 方向上的投影向量为231232a b a a a a−=⋅⋅=−⋅，故D 正确.故选：ABD.18．（2022春·河南·高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量,a b ，定义新运算：sin ，⊗=a a ba b b.已知非零向量,m n 满足3>m n 且向量,m n 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()4⊗m n 和()4⊗n m 都是整数，则⊗m n 的值可能是（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】BC【分析】由题意可得sin 4θ⊗==n k n m m、⊗m nsin 14θ==n m，利用θ的范围，可得9,44⎛⎫⊗∈ ⎪⎝⎭m n 从而定点答案.【详解】由题意可得()sin 4θ⊗==∈n k n m k Z m，因为30m n >>，，所以||103||<<n m ， 因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 12θ<<，所以||10sin 3||θ<<n m ， 即1043k <<，解得403k <<，因为Z k ∈，所以1k =，所以⊗m n sin 14θ==n m，则14sin θ=n m ，故2||sin 4sin ||θθ⊗==m mn n ， 因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 12θ<<，因为0 ||13||<<n m ， 所以1104sin 3θ<<，所以3sin 14θ<<，所以29sin 116θ<<，则294sin 4,4θ<< 即9,44⎛⎫⊗∈ ⎪⎝⎭m n .故选：BC.19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，关于下列命题正确的是（ ）A ．线段A ，B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭B ．A ，BC ．若向量OA 平行于向量OB ，则1221x y x y =D ．若向量OA 垂直于向量OB ，则12122x x y y += 【答案】AC【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可. 【详解】根据题意得，设A ，B 的中点为C ，则()()11122121122212211222O e O x x y x y e x B e y e e e O y C A =+==++++++， 故线段A ，B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 正确； ()()21221112122121x x A x e y e e y A x y y e OB O e B e −=+−+−=−−=，故()()()()()()222222e e e y A x e B y x x x x y y y e y e −−−−−⋅+−⎡⎤==⎣++⎦，当向量1e ，2e 是相互垂直的单位向量时，A ，BB 错误；OA 与OB 平行，当OA 与OB 存在0时，结论显然成立，当OA 与OB 都不为0时，设()0OA OB λλ=≠，则11122122x e y e x e y e λλ+=+，即12x x λ=，12y y λ=，1221x y x y λλ=，所以1221x y x y =，故C 正确；()()()2211122122121122112122·OA OB x e y e x e y e x x e x y x y e e y y e ⋅=++=++⋅+，当1e 与2e 为相互垂直的单位向量时，OA 与OB 垂直的充要条件是12120x x y y +=，故D 不正确.故选：AC ．20．（2022·江苏南京·统考模拟预测）设,m n 是大于零的实数，向量()()cos ,sin ,cos ,sin a m m b n n ααββ==，其中[),0,2αβπ∈，定义向量1122()cos ,()cos 2222a m b n ααββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎭，记θαβ=−，则（ ）A ．1122()()a a a ⋅= B ．1122()()cos 2a b mn θ⋅=C ．211222()()44a b mn θ≥−D ．211222()()44a b mn θ≥+【答案】BCD【分析】根据定义求出12()a 和12()b ，再根据平面向量的数量的坐标运算，结合恒等变换公式可求出1122()()a b ⋅，由此可判断A 和B 选项；利用向量加减法的坐标运算、模长公式以及基本不等式，可判断C 和D 选项.【详解】因为向量1122()cos ,()cos 2222a m b n ααββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎭，所以1122()()a b ⋅=cos cos sin sin 2222αβαβ⎫+⎪⎭cos()222αβθ=−是一个实数，不是向量，所以A 不正确，B 正确；因为1122()()2222a b m αβαβ⎛⎫−= ⎪⎭，所以1122|()()|a b −==≥=m n =时，取得等号，所以112222|()()|44a b mn θ−≥，故C 正确；因为1122()()2222a b m αβαβ⎛⎫+= ⎪⎭，所以1122|()()|a b +==≥=m n =时，取得等号，所以112222|()()|44a b mn θ−≥，故D 正确.故选：BCD21．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）设O 、A 、B 是平面上任意三点，定义向量的运算：()det ,OA OB OA OB '=⋅，其中OA '由向量OA 以点O 为旋转中心逆时针旋转直角得到（若OA 为零向量，规定OA '也是零向量）.对平面向量a 、b 、c ，下列说法正确的是（ ）A ．()()det ,det ,a b b a =B ．对任意R λ∈，()()det ,det ,a b b a b λ+=C ．若a 、b 为不共线向量，满足(),yb c x a y x +=∈R ，则()()det ,det ,a cx a b =，()()det ,det ,b y c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++= 【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对a 、b 是否共线进行分类讨论，结合题中定义可判断D 选项.【详解】设向量a 、b 在平面直角坐标系中的坐标分别为()12,a a a =，()12,b b b =， 设()cos ,sin a r r θθ=，则()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎫⎛⎫'=++=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得()21,b b b '=−，所以，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=−⋅=−+，()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=−⋅=−+，则()()det ,det ,a b b a ≠，A 错； 对任意的R λ∈，由A 选项可知，0b b '⋅=， 当a 、b 不共线时，()1221det ,0a b a b a b =−≠，()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a b λλλ''+=−+=−⋅+=−⋅=−=，B 对； 因为xa yb c +=，所以，c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅，所以，()()()()det ,det ,det ,det ,b cc b c b x a b b a a b '⋅==='⋅，同理可得()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==，C 错；当a 、b 不共线时，由C 选项可知，()()()()det ,det ,det ,det ,c ba c c ab a b a b =+， 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b =+=−−， 所以，()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=.任取两个向量m 、n ，对任意的实数p ，()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n ''=⋅=⋅=， 当a 、b 共线时，设存在k ∈R 使得b ka =，且()det ,0a b =， 所以， ()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b ++=⋅+()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=−=， 综上所述，()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=，D 对. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.22．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a b ､满足0,a b a ≥>与b 的夹角π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且a b 和b a 都在集合Z,Z n m n m ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭∣中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ） A ．若1m =时，则1a b b a == B ．若2m =时，则12a b =C ．若3m =时，则a b 的取值个数最多为7D ．若2014m =时，则a b 的取值个数最多为220142【答案】AC【分析】由新定义可知22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b b a a a b bθθ⋅⋅====，再对每个命题进行判断，即可得出结论.【详解】对A ，若1m =时，'22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b n b a n a a b bθθ⋅⋅======，两式相乘得2'cos n n θ=⋅，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，即'112n n ≤⋅≤，'1n n ∴==，即1a b b a ==，故A 正确；对B ，若2m =时，则2||cos 2||a b a n a b b bθ⋅===，同理||cos ||2b n b a a θ'==，相乘得到2cos 4nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21cos 12θ≤≤，即1124nn '≤≤，则()',n n 取值(2,1)时符合1124nn'≤≤，此时1a b =，故B 错误；对C ，若3m =时，则2||cos 3||a b a na b b bθ⋅===， 同理||co |3s |b n b a a θ'==，相乘得2cos 9nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 21cos 12θ∴≤≤，1129nn '∴≤≤， 又0≥>a b ，得'n n ≥， 3,2,3n n '∴==， 4,2n n '==，5,6,7,8,9,1n n '==，a b ∴的取值个数最多为7个，故C 正确；对D ，若2014m =时，由上面推导方法可知22014112nn '≤≤， 2220142n nn '≥∴≥，n ∴≥214252014n ∴≤≤， a b ∴的取值个数最多为2220141425202114−+≠，故D 错误. 故选：AC.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.23．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r，令()12211212,a b x y x y x x y y Θ=−+r r，下面说法一定正确的是（ ）A ．对任意的R λ∈，有()()a b a b λλΘ=Θr r r rB ．存在唯一确定的向量e 使得对于任意向量a ，都有a e e a a Θ=Θ=r r r r r成立C ．若a 与b 垂直，则()a b c ΘΘr r r 与()a b c ΘΘr r r共线D ．若a 与b 共线，则()a b c ΘΘr r r 与()a b c ΘΘr r r的模相等【答案】AD【分析】由()12211212,a b x y x y x x y y Θ=−+r r表示出()a b λΘ和()a b λΘ，即可判断A ；假设存在唯一确定的向量()00,e x y =使得对于任意向量a ，都有a e e a a Θ=Θ=r r r r r成立，即方程组10010110110101x y x y x y x y x x x y y y −=−=⎧⎨+=⎩，对任意11,x y 恒成立，解方程可判断B ；若a 与b 垂直，则12120x x y y +=，设()33,c x y =，分别表示出()a b c ΘΘr r r 与()a b c ΘΘr r r 即可判断C ；若a 与b 共线，则1221=0x y x y −，设()33,c x y =，分别表示出()a b c ΘΘr r r 与()a b c ΘΘr r r即可判断D.【详解】设向量()11,a x y =r，()22,b x y =r ，对于A ，对任意的R λ∈，有()()()()112212211212,,,a b x y x y x yx y x x y y λλλλλλλΘ=Θ=−+()12211212,x y x y x x y y λ=−+(a b λ=Θ，故A 正确；对于B ，假设存在唯一确定的向量()00,e x y =使得对于任意向量a ，都有a e e a a Θ=Θ=r r r r r成立，即()()()100110100110010111,,,x y x y x x y y x y x y x x y y x y −+=−+=恒成立，即方程组10010110110101x y x y x y x y x x x y y y −=−=⎧⎨+=⎩，对任意11,x y 恒成立，而此方程组无解，故B 不正确； 对于C ，若a 与b 垂直，则12120x x y y +=，设()33,c x y =，则()()()()122133123213123213,0,,a b c x y x y x y x y y x y y x y x x y x ΘΘ=−Θ=−−，()()()1123322323,,a b c x y x y x y x x y y ΘΘ=Θ−+()123123123132123123123123,x x x x y y y x y y x y x x y x y x y x x y y y =+−+−++()()123123123123123123123123,,x y y y x y x y x y x x x y y y x y x y x y x x μ=−−+≠−−，其中R μ∈，故C 不正确；对于D ，若a 与b 共线，则1221=0x y x y −，设()33,c x y =，()()()()121233123123123123=0,,a b c x x y y x y x x x y y x x x y y y y ΘΘ+Θ=−−+,，()()123123123123123123123123,a b c x x x x y y y x y y y x x x y x y x y x x y y y ΘΘ=+−+−++()123123123123,x x x y y x x x y y y y =++，所以()a b c ΘΘr r r 与()a b c ΘΘr r r的模相等，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.三、填空题24．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”，a b ⨯是一个向量，它的模等于sin a b a b θ⨯=，若(1,3)a =，(3,1)b =−−，则a b ⨯=______．【答案】2【分析】分别计算两个向量的模长及夹角，代入计算即可.【详解】13=2a =+，31=2b =+，则3cos ==22a b a b a b⋅−−⨯， 则1sin =2a b ，，则1sin =22=22a b a b a b ⨯=⨯⨯，,故答案为：225．（2018春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+（其中1e ，2e 分别为x ，y 轴方向相同的单位向量），则P 的坐标为(),x y ，若P 关于斜坐标系xOy 的坐标为()2,1-，则OP =______【分析】由斜坐标定义用1e ，2e 表示OP ，然后平方转化为数量积求得模． 【详解】由题意122OP e e =−，22122444OP e e e e e e =−=−⋅+==26．（2019春·安徽芜湖·高一校联考期中）定义*a ba b a b−=⋅，若()1,2a =r ，()3,2b =−，则与*a b 方向相反的单位向量的坐标为______________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】先求得*a b ，然后求得与*a b 方向相反的单位向量的坐标. 【详解】()()2,4*2,434a b a b a b−−===−−⋅，所以与*a b 方向相反的单位向量的坐标为()()2,42,4−−==−⎛⎛== ⎝⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭27．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=−+．如图所示，顶角120Q ∠=︒的等腰三角形PQR 的顶点P 、Q 的坐标分别为()1,0P 、(Q ，则顶点R 的坐标为______．【答案】5,22⎛ ⎝⎭【分析】设(),R x y ，表示出,QR QP ，根据已知列出式子即可求出.【详解】设(),R x y ，则()(3,3,2,QR x y QP =−−=−，因为120Q ∠=︒，所以()(()(23cos120sin1203sin120cos120x y x y ⎧−=−︒−︒⎪⎨=−︒+︒⎪⎩，解得5,22x y ==，即顶点R的坐标为52⎛ ⎝⎭.故答案为：52⎛ ⎝⎭.28．（2022春·北京海淀·高一校考期中）设平面中所有向量组成集合C ，e 为C 中的一个单位向量，定义()()2F x x x e e =−+⋅.则下列结论中正确的有___________（只需填写序号）.①若m ､n C ∈，则()()F m F n m n ⋅=⋅； ②若x C ∈，,3x e π=，则()()F F x x =；③若()1,0u =，()0,1v =，()F u v =，则e有唯一解⎝⎭.【答案】①②【分析】根据所给定义及向量数量积的运算律计算可得； 【详解】解：因为()()2F x x x e e =−+⋅，所以()()2F m m m e e =−+⋅，()()2F n n n e e =−+⋅， 所以()()()()22F m F n m m e e n n e e ⎡⎤⎡⎤⋅=−+⋅⋅−+⋅⎣⎦⎣⎦()()()()224m n m e e n n e e m m e e n e e =⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅ ()()()()()()()224m n m e e n n e e m m e n e e e =⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ ()()()()()()224m n m e e n n e e m m e n e =⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅m n =⋅即()()F m F n m n ⋅=⋅，故①正确； 对于②，x C ∈，,3x e π=，()()2F x x x e e x x e =−+⋅=−+，所以()()()()2F F x x x e x x e e e ⎡⎤=−−++−+⋅⋅⎣⎦()()2x x e x e x e e e =−−++−⋅+⋅⋅()122x x e x x e ⎛⎫=−−++−+⋅ ⎪⎝⎭x x e x e x =−+⋅=，所以()()F F x x =，故②正确；对于③，设(),e x y =，则221x y +=，()1,0u =，()0,1v =， 所以u e x ⋅=，所以()()()()()221,02,21,2F u u u e e x x y x xy =−+⋅=−+=−，因为()F u v =，所以()()221,20,1x xy −=，所以221021x xy ⎧−=⎨=⎩，解得x y ==x y ==所以2,22e ⎛= ⎝⎭或2,22e ⎛=−− ⎝⎭，故③错误；故答案为：①②29．（2022春·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考期中）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若()11,OA x y =，()22,OB x y =，则122112OAB S x y x y =−△.试用上述成果解决问题：已知()1,1A ，()2,3B ，()4,5C ，则ABCS=___________.【答案】1【分析】计算,AB AC 的坐标，结合结论求三角形的面积. 【详解】因为()1,1A ，()2,3B ，()4,5C ， 所以(1,2),(3,4)AB AC ==，又当()11,OA x y =，()22,OB x y =时，122112OAB S x y x y =−△， 所以1|1432|=12ABCS=⨯−⨯， 故答案为：1.30．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v 变换和4种w 变换 1v ：模变为原来的12倍，同时逆时针旋转90°；2v ：模变为原来的12倍，同时顺时针旋转90°；1w 45°；2w 45°；3w 135°；4w 135°．记集合{}121234,,,,,S v v w w w w =，若每次从集合S 中随机抽取一种变换.经过n 次抽取，依次将第i 次抽取的变换记为()0,1,2,,i a i n =⋅⋅⋅，即可得到一个n 维有序变换序列，记为()12,,,n n G a a a ⋅⋅⋅，则以下判断中正确的序号是______．①单位向量()1,0i =经过2022次v 变换后所得向量一定与向量()0,1a =垂直； ②单位向量()1,0i =经过2022次w 变换后所得向量一定与向量()0,1a =平行； ③单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =−r，则6G 中有且只有2个v 变换；④单位向量()1,0i =经过7G 变换后不可能得到向量()1,1b =r；⑤存在n ，使得单位向量()1,0i =经过n G 次变换后，得到()2022,2022c =r． 【答案】①③.【详解】对于①，先考虑单位向量()1,0i =经过2次v 变换，若经过2次1v 变换得到的向量为1,04⎛⎫− ⎪⎝⎭，若经过2次2v 变换得到的向量为1,04⎛⎫− ⎪⎝⎭，若经过1次1v 变换1次2v 变换得到的向量为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，因此所得向量均和()1,0i =共线，故经过2022次v 变换后所得向量也和()1,0i =共线，即和向量()0,1a =垂直，①正确； 对于②，若依次按照1w ，2w ，1w ，2w 的顺序变换2022次，易知所得向量方向不改变，即和向量()1,0i =同向，②错误；对于③，可知向量的模长没有变化，设6G 中有a 个v 变换，则6112aa−⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即63221a −=，解得2a =，即有2个v 变换，其中一个6G 变换可以为1v ，2v ，1w ，1w ，1w ，1w ，③正确；对于④，由③知单位向量()1,0i =经过6G 变换后可以得到向量()1,0j =−r，再经过一次4w 变换即可得到向量()1,1b =r，④错误；对于⑤，易知向量的模长变为了原来的若存在n ，设其中有m 个v 变换，则0m n ≤≤，且,m n N ∈，可得12mn m−⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭331011n m−=⨯，显然不存在整数,m n 使上式成立，⑤错误.故答案为：①③.31．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）设V 是已知平面M 上素有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换，现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+；②若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈，设()f a a e =+，则f 是平面M 上的线性变换； ③对a V ∈，设()f a a =−，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =． 其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）． 【答案】①③④【分析】取1λμ==，可判断①；取,0k λμ==，可判断④；根据线性变换的定义验证即可判断②③. 【详解】取1λμ==，可知①为真；因为()f a a e =+，所以()f a b a b e λμλμ+=++，()()()()()f a f b a e b e a b e λμλμλμλμ+=+++=+++，当1λμ+≠时，()()()f a b f a f b λμλμ+≠+，所以②为假；因为()f a a =−，所以()()f a b a b λμλμ+=−+，()()f a f b a b λμλμ+=−−，所以()()()f a b f a f b λμλμ+=+，故③正确；取,0k λμ==，可知④为真. 故答案为：①③④32．（2021春·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记cos sin ※a b a b θθ=+，其中θ是非零向量,a b 的夹角，若1e ，2e 均为单位向量，且1245e e ⋅=，则向量12※e e 与()21※e e −的夹角的余弦值为_________. 【答案】4425−【分析】根据已知得出124cos ,5e e <>=，123sin ,5e e <>=，即可根据定义得出12※e e 与()21※e e −，再根据数量积的定义可求出. 【详解】1245e e ⋅=，124cos ,5e e ∴<>=，则123sin ,5e e <>=， 12124355※e e e e ∴=+，()21214355※e e e e −=−−， 设向量12※e e 与()21※e e −的夹角为α，则121212124334123664124455552512512525cos 433411255555e e e e e e e e α⎛⎫⎛⎫+⋅−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===−⨯+⋅−−. 故答案为：4425−. 33．（2021春·陕西宝鸡·高一统考期末）设Ox ､Oy 是平面内相交成120︒角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(,)x y 叫做OP 在坐标系xOy 中的坐标．假设(2,2)OP =，则OP 的大小为________． 【答案】2【分析】先依题意判断121e e ==和12e e ⋅，再计算()222OP e e =+即可.【详解】依题意，121e e ==，12121cos1202e e e e ⋅=⋅︒=−，由(2,2)OP =，知1222OP e e =+， 所以()22222444428OP e e e e e e =+=+⋅=+−=+.故答案为：2.34．（2018春·浙江台州·高一台州中学校考期中）已知向量d 及向量序列: 123,,,,,n a a a a 满足如下条件:11||22,1a d a d ==⋅=，且1n n a a d −−=()*2,N n n ≥∈,当19k ≤≤且*N k ∈时, 10k k a a −⋅的最大值为__________．【答案】28【分析】由1n n a a d −−=可得1(1)k d a a k =+−，进而得10k k a a −⋅()22310285k k k =−+=−−，结合二次函数的性质即可求得10k k a a −⋅的最大值.【详解】解：11,(1)n n k d a k d a a a −=∴−=+−，又11||22,1a d a d ==⋅=，112,1,1a a d d ∴==⋅=，10k k a a −⋅=()()1119a k d a k d ⎡⎤⎡⎤+−⋅+−⎣⎦⎣⎦=()()2211198a k k d a d +−−+⋅ ()()4891k k =++−− ()22310285k k k =−+=−−，根据二次函数的性质可得，当5k =，10k k a a −⋅有最大值28. 故答案为:28.35．（2017春·北京东城·高二统考期末）已知平面向量(,)a m n =，平面向量(,)b p q =，（其中,,,Z m n p q ∈）． 定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=−+．若(1,2)a =，(2,1)=b ，则a b ⊗=_____________；若(5,0)a b =⊗，且5a <，5b <，则=a _________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）． 【答案】 （0,5） (2,1) (2,1)−【详解】本题自定义：(),a m n =，(),b p q =，（其中,,,Z m n p q ∈）(,)a b mp nq mq np ⊗=−+ ， 已知若()1,2a =r，()2,1b =r ，则a b ⊗=(1221,1122)(0,5)⨯−⨯⨯+⨯=.又()5,0a b ⊗=，且5a <，5b <，则225,0,25mp nq mq np m n −=+=+<，2225p q +< ，不妨在[5,5]−内任取两组数(,)m n 和(,)p q ，为了满足0mq np +=，即m pn q=−，取(1,2)和(2,1)−，此时恰好满足5mp nq −=，则(1,2),(2,1)a b ==−.36．（2014·安徽·高考真题）已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）. ①有5个不同的值.②若则与无关. ③若则与无关. ④若，则.。
