2020版一轮复习理数通用版：“椭圆、双曲线、抛物线”双基过关检测

第六节双曲线知识点一双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．1．判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(B)A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.3．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( D )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：解法1：由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.解法2：由e ＝ca ＝1＋(b a )2＝3，得ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.5．(2019·合肥市质量检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于62.解析：不妨取双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝3ba 2＋b2，又d ＝22－(22)2＝3，∴3ba 2＋b2＝3，化简得a 2＝2b 2，∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线． (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线． (4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线． (2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线． 3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.(2)设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．【答案】(1)B(2)x2－y28＝1(x≤－1)双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2019·沈阳市教学质量监测(一))已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：如图，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ， ∴a ＝3.故选A.考向二 双曲线的标准方程【例2】 (2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1【解析】 解法1：因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，取双曲线的一条渐近线为直线bx －ay ＝0，由点到直线的距离公式可得d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc ＋b 2c ，因为d 1＋d 2＝6，所以bc －b 2c ＋bc ＋b 2c ＝6，所以2b ＝6，得b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.解法2：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.【答案】 C求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2019·福州高三考试)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( C )A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1(2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.解析：(1)由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝ca ＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C.(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法2：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y2＝1.考向三 双曲线的几何性质 方向1 渐近线问题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4【解析】 因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M (32，32)，所以|OM |＝(32)2＋(32)2＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.【答案】 B 方向2 离心率问题【例4】 (2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.【答案】 C方向3 最值与范围问题【例5】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 【解析】 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.【答案】 A1.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决.2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). (3)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).1．(方向1)(2019·福州四校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a 2a 2＋b2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.2．(方向2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则双曲线的离心率为( D )A ．2 B. 3 C ．3 D ．4解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0.依题意，直线bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则圆心(0,4)到直线bx ±ay ＝0的距离d ＝|4a |a 2＋b2＝1，所以4a c ＝1，所以双曲线离心率e ＝ca ＝4.3．(方向3)中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝3，若椭圆C 1的离心率e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，则双曲线的离心率e 2的范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫43，2 D.(2,3)解析：设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意有：|PF 2|＝3＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，同理可得2m ＝|PF 1|－|PF 2|＝2c －(2a －2c )＝4c －2a ，所以m ＝2c －a ，又e 2＝c m ＝c 2c －a＝12－1e1，因为e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，所以1e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32，所以e 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2.经久不衰的高考热点——离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法．一、利用定义求离心率典例1 (2019·广州高三调研测试)在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233 C ．1＋ 3D ．2＋ 3【解题思路】 设F ′为双曲线的左焦点，利用△OPF 为正三角形求出|PO |＝|PF |＝c ，∠POF ′＝120°，利用双曲线的定义得到|PF ′|＝2a ＋c ，最后在△PF ′O 中由余弦定理可得ca 的值．【解析】 设F ′为双曲线的左焦点，|F ′F |＝2c ，依题意可得|PO |＝|PF |＝c ，连接PF ′，由双曲线的定义可得|PF ′|－|PF |＝2a ，故|PF ′|＝2a ＋c ，在△PF ′O 中，∠POF ′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝c 2＋c 2－(2a ＋c )22c 2，化简可得c 2－2ac －2a 2＝0，即(c a )2－2×c a －2＝0，解得c a ＝1＋3或ca ＝1－3(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e ＝1＋3，故选C.【答案】 C二、利用平面几何性质求离心率典例2 (2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．【解析】 如图，设椭圆的右焦点为F (c,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A (c 2，3c2)，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1，∵双曲线的渐近线过点A (c 2，3c2)， ∴渐近线方程为y ＝3x ， ∴nm ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.【答案】 3－1 2三、利用椭圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)典例3 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22【解析】 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以33≤c a ≤22.故选B.【答案】 B(1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( A )A.13B.12C.23D.34(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( B )A.22B.33C.12D.13解析：(1)由题意，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，k >0，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka .设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得12|OE ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k (a －c )＝a a ＋c ，整理，得c a ＝13，故椭圆的离心率e ＝13.故选A.(2)由题意，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .因为在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，所以|F 1F 2||PF 1|＝2acb 2＝ 3.因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac－3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－ 3.又e ∈(0,1)，所以e ＝33.故选B.。

考点50 椭圆1．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C：22221x ya b+=，()0a b>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（）A ．2 B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( ) A 32B 31-C 2D 3【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以3131c e a ===-+, 故选：B ．4．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】12【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（河南省洛阳市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =u u u v u u u v，则椭圆的离心率为______. 【答案】3【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=u u u v由2AF FB =u u u v u u u v 得：23AF c AB BC ==u u u vu u uv u u u v 32BC c ∴=u u u v ，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-u u u v232B AF a a c c a ex FB a a ∴===--⋅u u u v u u u v ，整理可得：223a c = 213e ∴=，即3e =本题正确结果：37．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O，球2O的半径分别为3和1，球心距离128OO=,截面分别与球1O，球2O切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O，2O分别相切与B,A，连接12,O B O A则1O B AB^，2O A AB^，过1O作12O D O A^垂直于D，连接12,O F O E，EF交12O O于点C设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β在12Rt O O DD中，2312DO=-=，22182215O D=-=11221515cos84OO ODa\===128O OQ=218CO O C\=-21EO C FO CD DQ:11218O C O CO E O F-\= 解得1=2O C 222211213CF O FO C \=-=-=即13cos 2CF O C b ==则椭圆的离心率3cos 252cos 515e b a ===8．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=u u u r u u u r，当230t <≤时，求λ的取值范围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……② 因为AP PB λ=u u u r u u u r，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解λ⎫⎛∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦U 由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =±【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】（1）由2OC OB BC BA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，得2B A C C =u u u r u u u r，即2O A C C =u u u r u u u r ，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=u u u r u u u r ，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQV为等边三角形，求直线1l 的方程。

第十四单元椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(2017·浙江高考)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B.53C.23D.59解析：选B 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.2．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 上的点A ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin (A ＋C )＝( )A.43B.53C.45D.54解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1，得椭圆的半焦距为4，则A (－4,0)和C (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点．∵点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上， 作出示意图如图所示，∴sin A ＋sin C sin (A ＋C )＝sin A ＋sin C sin B ＝2a 2c ＝54.3．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的焦距为8，则m 的值为( )A ．3或41B ．3C.41D ．±3或±41解析：选A 当m ＜5时，焦点在x 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4， 由25－m 2＝16，得m ＝3；当m ＞5时，焦点在y 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4， 由m 2－25＝16，得m ＝41， 故m 的值为3或41.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0＜m ＜2， 所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m . 因为椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32.答案：32[清易错]1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或－21 解析：选D 当9＞4－k ＞0，即－5<k <4时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925； 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5，∴－k －54－k＝45，解得k ＝－21， ∴k 的值为1925或－21.2．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332C.94D.154 解析：选B 由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)， 所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3， 故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．3．双曲线的性质1．(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选B 由离心率e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8，故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 解析：选C 由双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 可设其方程为y 23－x 2＝λ(λ≠0)．又双曲线过点(2,3), 则323－22＝λ， 解得λ＝－1，所以双曲线的方程为y 23－x 2＝－1，即x 2－y 23＝1. 3．(2018·张掖一诊)如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D. 3解析：选A 依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，因为△ABF 2为等边三角形，所以∠F 1BF 2＝120°，由余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝4c 2，整理得c a ＝7，故选A.4．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：44[清易错]1．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab .1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：选B ∵c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6， ∴双曲线的焦距为12.2．已知直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，且与双曲线C 的一条渐近线平行，则双曲线C 的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选C ∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦点在x 轴上，直线l ：4x ＋3y －20＝0与x 轴的交点为(5,0)．∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①∵直线l ：4x ＋3y －20＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线平行，∴b a ＝43.②由①②解得a ＝3，∴双曲线C 的实轴长为2a ＝6.1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝10xD ．y 2＝20x解析：选D 双曲线x 213－y 212＝1的右焦点为(5,0) ，由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0) ， ∵抛物线的焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，∴p2＝5，p ＝10， ∴抛物线方程为y 2＝20x .2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0解析：选B 点M 到准线的距离等于点M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1， 故y ＝1516. 3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12 C.14D.18解析：选D 设点P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |的最小值为18.4．已知抛物线y 2＝6x 上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．解析：可知抛物线y 2＝6x 的焦点F ⎝⎛⎭⎫32，0，设P (x ，y )，x ＞0.由抛物线的定义，得点P 到焦点的距离d 1＝x ＋p 2＝x ＋32，点P 到y 轴的距离d 2＝x .由x ＋32＝2x ，解得x ＝32，∴该点的横坐标为32.答案：32[清易错]1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中的参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－132直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. [小题速通]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 因为直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点M 的纵坐标为4，则|AB |＝________.解析：由题意，可得焦点F (0,2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8，过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝8＋4＝12.答案：123．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，即2b a 2＋b2＜1，∴3b 2＜a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＜43a 2，∴e ＝c a ＜233.又e ＞1，∴1＜e ＜233. 答案：⎝⎛⎭⎫1，233[清易错]1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0).一、选择题1．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，若其上一点P (m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )A ．y ＝8x 2B ．y ＝16x 2C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 根据题意知，点P (m,1)在x 轴上方，则抛物线开口向上， 设其标准方程为x 2＝2py ， 其准线方程为y ＝－p2，由点P 到焦点的距离为5，得1－⎝⎛⎭⎫－p2＝5, 解得p ＝8，则抛物线的标准方程为x 2＝16y .2．椭圆x 216＋y 2m ＝1的焦距为27，则m 的值为( )A ．9B ．23C ．9或23D ．16－7或16＋7解析：选C 由椭圆x 216＋y 2m ＝1的焦距为27，可得，216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.4．若双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，满足PF 1―→·PF 2―→＝0的点P 依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积为( )A.855B ．2 5 C.865D ．2 6解析：选C 设P (x ，y )，由已知得F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 则(－5－x ，－y )·(5－x ，－y )＝x 2－5＋y 2＝0， 即x 2＋y 2＝5，与双曲线方程x 24－y 2＝1联立，可得交点分别为⎝⎛⎭⎫2305，55，⎝⎛⎭⎫－2305，55，⎝⎛⎭⎫－2305，－55，⎝⎛⎭⎫2305，－55，它们构成一个长为4305，宽为255的长方形，所以四边形P 1P 2P 3P 4的面积为4305×255＝865.5．若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±13x解析：选D 因为双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，所以e ＝ca ＝10，即e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝10，所以b a ＝3.因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±ab x ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±13x .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.7．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.()－3，3 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.[]－3，3解析：选C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1， |PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2. 设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得：(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，即2－2e 21＋2＋2e 22＝4.又∵2－2e 21＋2＋2e 22≥222－2e 1·e 2＝22e 1·e 2，∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 二、填空题9．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m1＝3，解得m ＝2.答案：210．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：511．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为__________．解析：由椭圆x 29＋y 24＝1，得a 2＝9，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为()±5，0. 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a ＞b ＞0，则c ＝5，又c a ＝55，得a ＝5，∴b 2＝25－5＝20.∴所求椭圆方程为x 225＋y 220＝1.答案：x 225＋y 220＝112．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y－1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－1 三、解答题13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且函数y ＝x 2－6516的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求△PMN 面积的最小值，并求此时直线l 的方程．解：(1)由题意可得，2b ＝2，所以b ＝1.联立x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)与y ＝x 2－6516，消去y ，整理得x 4＋⎝⎛⎭⎫1a 2－658x 2＋81×49162＝0，根据椭圆C 与抛物线y ＝x 2－6516的对称性，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫1a 2－6582－4×81×49162＝0，a ＞1，解得a ＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，S △PMN ＝12×2b ×a ＝2；当直线l 的斜率为0时，S △PMN ＝12×2a ×b ＝2；②当直线l 的斜率存在且不为0时．设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，解得x 2＝41＋4k 2，y 2＝4k 21＋4k 2.∴|MN |＝2x 2＋y 2＝41＋k 21＋4k 2.由题意可得，线段MN 的中垂线方程为y ＝－1k x ，联立⎩⎨⎧y ＝－1k x ，x24＋y 2＝1，可得x 2＝4k 2k 2＋4，y 2＝4k 2＋4. ∴|OP |＝x 2＋y 2＝21＋k 2k 2＋4. ∴S △PMN ＝12·|MN |·|OP |＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4)≥4(1＋k 2)(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝85，当且仅当k ＝±1时取等号，此时△PMN 的面积的最小值为85.∵2>85，∴△PMN 的面积的最小值为85，直线l 的方程为y ＝±x .14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得 |AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)， 所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．高考研究课(一)椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系 [全国卷5年命题分析][典例] (1)若椭圆C ：x 9＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6(2)(2018·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 [解析] (1)由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.(2)设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP |＝|OF |＝|OF 1|，知PF 1⊥PF .在Rt △PF 1F 中，由勾股定理， 得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝()452－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12， 从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.[答案] (1)C (2)B [方法技巧](1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．[即时演练]1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵椭圆方程为y 24＋x 23＝1，∴焦点坐标为B (0，－1)和B ′(0,1)， 连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义， 得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4， 可得|PB |＝4－|PB ′|，因此|PA |＋|PB |＝|PA |＋(4－|PB ′|) ＝4＋(|PA |－|PB ′|)．∵|PA |－|PB ′|≤|AB ′|，∴|PA |＋|PB |≤4＋|AB ′|＝4＋1＝5.当且仅当点P 在AB ′延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|PA |＋|PB |的最大值为5.2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3[典例] (1)(2016·椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.①若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； ②若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] (1)将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C⎝⎛⎭⎫32a ，b 2.又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2，CF ―→＝⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c ＋32a ⎝⎛⎭⎫c －32a ＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0， 即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．[答案]63(2)①由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.②如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2， 从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ单调递增，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13.进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.所以椭圆离心率e 的取值范围为⎝⎛⎦⎤22，53.[方法技巧]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[即时演练]1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△F 1PF 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为__________．解析：作出示意图如图，由题可知，|PF 2||PF 1|＝2，即|PF 2|＝2|PF 1|，又|PF 2|＋|PF 1|＝2a ， ∴|PF 1|＝ 23a ，|PF 2|＝43a ，∴(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2， 即c 2＝59a 2，∴e ＝53.答案：532．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，若以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：∵点P 为椭圆C 与y 轴的交点，以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即∠F 1PF 2≤90°，∴tan ∠OPF 2≤1，∴c b ≤1，c ≤b ，c 2≤a 2－c 2，∴0＜e ≤22.答案：⎝⎛⎦⎤0，22[典例] (2017·天津高考)设椭圆x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． [思路点拨] (1)由A 为抛物线的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，得a －c ＝12，又椭圆的离心率为12，求出c ，a ，b ，p ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；(2)由(1)知，A (1,0)，设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，解出P ，Q 两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据△APD 的面积为62解方程，求出m ，得出直线AP 的方程． [解] (1)设F 的坐标为(－c,0)．依题意⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝12，p2＝a ，a －c ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 23＝1消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0， 解得y ＝0或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 由Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62， 故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0. [方法技巧](1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[即时演练]1．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，斜率为k 的直线过右焦点F 2，与椭圆交于A ，B ，与y 轴交于C ，B 为CF 2的中点，若|k |≤255，则椭圆离心率e 的取值范围为__________．解析：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点在x 轴上，设椭圆的右焦点为F 2 (c,0)，则直线的方程可设为y ＝k (x －c )，令x ＝0，得y ＝－kc ，即C (0，－kc )． 由于B 为CF 2的中点，∴B ⎝⎛⎭⎫c 2，－kc2，又B 为椭圆上的点， ∴c 24a 2＋k 2c 24b2＝1， 由b 2＝a 2－c 2，e ＝ca ，可得e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，∴k 2＝e 4－5e 2＋4e 2.∵|k |≤255，∴k 2≤45， 即0≤e 4－5e 2＋4e 2≤45.又0＜e ＜1, 解得255≤e ＜1.答案：⎣⎡⎭⎫255，12．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解：(1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点， 故x 0>0，y 0>0.当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．②由①②解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫477，377.1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab b 2＋a2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63.2．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.4．(2016·全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)， 代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2. 由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3＜k ＜2.5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，消去y ， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k， 即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝⎛⎭⎫m3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m (3－k )3， 因此x M ＝k (k －3)m3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时， 四边形OAPB 为平行四边形．一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k ＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k ＞2，解得0＜k ＜1. ∴实数k 的取值范围是(0,1)．2．已知直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1,9]B ．[1，＋∞)C ．[1,9)∪(9，＋∞)D ．(9，＋∞)解析：选C ∵直线2kx －y ＋1＝0恒过定点P (0,1), 直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m ＝1恒有公共点，即点P (0,1)在椭圆内或椭圆上， ∴09＋1m ≤1，即m ≥1, 又m ≠9，∴1≤m ＜9或m ＞9.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心在原点，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率为( )A.13B.12C.22D.55解析：选D 如图所示，把x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a ， 又A (0，b )，B (a,0)，F 2(c,0)， ∴k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac，∵PF 2∥AB ，∴－b a ＝－b 22ac，化简得b ＝2c .∴4c 2＝b 2＝a 2－c 2，即a 2＝5c 2，∴e ＝c 2a 2＝55. 4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2 ，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A ．2 B. 3 C.12D.32解析：选A 设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，焦距为2c, 由椭圆与双曲线的定义可知， |AF 1|＋|AF 2|＝2a 1, |AF 1|－|AF 2|＝2a 2,在Rt △AF 1F 2中，∠AF 1F 2＝30°，则|AF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 1|＝32|F 1F 2|＝3c,所以2a 1＝(3＋1)c,2a 2＝(3－1)c ， 即e 1＝c a 1＝23＋1，e 2＝c a 2＝23－1，所以e 1·e 2＝23＋1×23－1＝2, 即椭圆与双曲线的离心率之积为2.5．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→<0，则x 0的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263B.⎝⎛⎭⎫－233，233C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 解析：选A ∵F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF 1―→·PF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3.又∵x 204＋y 20＝1， ∴PF 1―→·PF 2―→＝x 20＋1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263.6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 解析：选C 由已知得c ＝52， 设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立得⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450， 由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75， 所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．解析：设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y 22＝18．已知过点M (1，－1)的直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为____________________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由中点坐标公式可知：x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2,则⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0，则y 1－y 2x 1－x 2＝－3(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝34， 所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝34， 所以直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0.法二：由点M 是AB 的中点，可设A (1＋m ，－1＋n )， B (1－m ，－1－n ),则(1＋m )24＋(－1＋n )23＝1，①(1－m )24＋(－1－n )23＝1，② 两式相减得：m －43n ＝0，即n m ＝34，所以直线AB 的斜率k ＝n m ＝34，则直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0. 答案：3x －4y －7＝09．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是________．解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求△F 1PQ 面积的最大值． 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0,设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，于是S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2.设m 2＋1＝t ，则t ≥1， 即S △F 1PQ ＝12t (3t ＋1)2＝1219t ＋1t ＋6. 因为g (t )＝9t ＋1t 在[1，＋∞)上为单调递增函数，所以g (t )≥g (1)＝10，所以S △F 1PQ ≤3，所以内切圆半径r ＝2S △F 1PQ 8≤34， 因此△F 1PQ 内切圆面积的最大值是916π.答案：916π三、解答题10．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－1，e )在椭圆上，e 为椭圆的离心率，且点M 为椭圆短半轴的上顶点，△MF 1F 2为等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 2作不与坐标轴垂直的直线l ，设l 与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D 两点，当F 1A ―→·F 1B ―→＝λ且λ∈⎣⎡⎦⎤23，1时，求△F 1CD 的面积S 的取值范围．解：(1)由△MF 1F 2是等腰直角三角形，得b ＝c ，a 2＝2c 2＝2b 2，从而得到e ＝22，故而椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－1，22， 代入椭圆方程得12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1，a 2＝2，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋y 2＝3消去x ，得(t 2＋1)y 2＋2ty －2＝0，则y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－2t 2＋1，∴F 1A ―→·F 1B ―→＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2) ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(ty 1＋2)(ty 2＋2)＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4 ＝－2－4t 2t 2＋1＋4＝2－2t 2t 2＋1.∵F 1A ―→·F 1B ―→∈⎣⎡⎦⎤23，1，∴23≤2－2t 2t 2＋1≤1，解得t 2∈⎣⎡⎦⎤13，12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 22＋y 2＝1消去x ，得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－2t t 2＋2，y 3y 4＝－1t 2＋2，∴S △F 1CD ＝12|F 1F 2|·|y 3－y 4|＝(y 3＋y 4)2－4y 3y 4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋22＋4t 2＋2＝ 8(t 2＋1)(t 2＋2)2.设t 2＋1＝m ，则S ＝8m (m ＋1)2＝ 8m ＋1m＋2， 其中m ∈⎣⎡⎦⎤43，32，∵S 关于m 在⎣⎡⎦⎤43，32上为减函数， ∴S ∈⎣⎡⎦⎤435，467，即△F 1CD 的面积的取值范围为⎣⎡⎦⎤435，467.11．已知F 1，F 2分别是长轴长为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2是椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A 1，A 2的一个动点，O 为坐标原点，点M 为线段PA 2的中点，且直线PA 2与OM 的斜率之积恒为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14 ，0，求线段AB 长的取值范围． 解：(1)由题意可知2a ＝22，则a ＝2，设P (x 0，y 0)， ∵直线PA 2与OM 的斜率之积恒为－12，∴y 02x 0＋22·y 0x 0－2＝－12，。

第五节椭圆知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．1．判断正误(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(×)2．已知动点P(x，y)的坐标满足x2＋(y＋7)2＋x2＋(y－7)2＝16，则动点P的轨迹方程为x215＋y264＝1.解析：由等式关系可知，点P(x，y)到两定点(0,7)以及(0，－7)的距离之和等于16，且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以点(0,7)和点(0，－7)为焦点，长半轴长为8的椭圆，其方程为x2 15＋y264＝1.知识点二椭圆的标准方程和几何性质3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1解析：∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223解析：不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.5．(2018·浙江卷)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2(y 2－1)，即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋(3－2y 2)2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.1．椭圆方程中的a ，b ，c (1)a ，b ，c 关系：a 2＝b 2＋c 2. (2)e 与b a ：因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以离心率e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则ba 越大，椭圆就越圆．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.考向一 椭圆的定义【例1】 (1)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12(2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72D.752【解析】 (1)由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72. 【答案】 (1)C (2)C椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.(1)椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(D)A．5 B．6C．7 D．8(2)(2019·河北衡水中学调研)设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为－5.解析：(1)由椭圆的定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.(2)由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.考向二 椭圆的标准方程【例2】 (1)(2019·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1(2)(2019·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 28＋y 24＝1【解析】 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1. 【答案】 (1)D (2)A(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：(1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1. (2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1. 考向三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12 C.13 D.14(2)椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△F AB 外接圆的圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos60°，2c sin60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.(2)设F (－c,0)，A (0，b )，B (a,0)，且△F AB 的外接圆的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2.将(－c,0)，(0，b )，(a,0)分别代入圆的方程，可得m ＝－c ＋a2，n ＝b 2－ac 2b .由m ＋n <0，可得－c ＋a 2＋b 2－ac 2b <0，即1－c ＋b －cb <0⇒b －c ＋b －c b <0，所以b －c <0，即b 2<c 2，则e 2>12，所以22<e <1，故选A.【答案】 (1)D (2)A椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法：(1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca .(2)根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e 的值或取值范围.(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，位于第一象限，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q →＝2QP →.若F 1P →·F 2Q →＝0，则e 2＝( C )A.2－1 B ．2－ 2 C ．2－ 3D.5－2(2)中心为原点O 的椭圆的焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，若∠OP A ＝90°，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( B )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，63D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22解析：(1)由题可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，2b 23a ，∴F 2Q→＝－2c 3，2b 23a ，F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ，∴F 2Q →·F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3，2b 23a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ＝－4c 23＋2b 43a 2＝0，结合b 2＝a 2－c 2化简得e 4－4e 2＋1＝0，解得e 2＝2±3.∵0<e <1，∴e 2＝2－3，故选C.(2)设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，由题意知点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，化简为x 2－ax ＋y 2＝0.由⎩⎨⎧x 2－ax ＋y 2＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，则x ＝ab2c 2，因为0<x <a ，所以0<ab 2c 2<a ，可得22<e <1，故选B.考向四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .【解】 (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为(1，22)或(1，－22)．所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k 2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .(1)解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).(2019·贵州适应性考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0,1)是E 上一点．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程．解：(1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，x ＝my －1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，①y 1y 2＝－1m 2＋2，②因为F 1(－1,0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144，则kBF 2＝146或－146，所以直线BF 2的方程为 y ＝146x －146或y ＝－146x ＋146.。