量子力学教程 第三章

第三章习题解答

3.1 一维谐振子处在基态tixex2222)(，求：

(1)势能的平均值2221xU；

(2)动能的平均值22pT；

(3)动量的几率分布函数。

解：(1) dxexxUx2222222121

22222241212121221

41 0122)12(5312aandxexnnaxn

(2) dxxpxpT)(ˆ)(2122*2

dxedxdexx22222122221)(21

dxexx22)1(22222

][222222222dxexdxexx

]2[23222

442222222

41

或 414121UET

(3) dxxxpcp)()()(*

212221dxeePxix

dxeePxix2221 21 dxepipx2222222)(21 21

dxeeipxp222222)(212 21

第三章例题剖析

1 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是ILH22，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。

（1）转子绕一固定轴转动

（2）转子绕一固定点转动

[解]：（1）iLzˆ

22222ˆˆzLL

2222222ˆ2ˆˆIILILHz

能量的本征方程： )()(ˆEH，or )()(2222EI

引入 222IE

0)()(222dd iAe)(

由波函数的单值性 )()2(

iiAeAe)2(  12ie

n22  n ,2,1,0n

InEn222，inAe

其中 21A

（2） ILH2ˆˆ2，在球极坐标系中

22222sin1sinsin1ˆL

体系的能量算符本征方程：),(),(ˆEH

),(),(sin1sinsin122222EI

),(),(sin1sinsin1222 其中22IE，以上方程在0的区域内存在有限解的条件是必须取)1(ll，),2,1,0(l，即 )1(ll ,2,1,0l

于是方程的形式又可写成

),()1(),(sin1sinsin1222ll

此方程是球面方程，其解为

),(),(lmY lml,,2,1,0,2,1,0

64 第三章 算符和力学量算符

3.1 算符概述

设某种运算把函数u变为函数v，用算符表示为：

ˆFuv （3.1-1）

ˆF称为算符。u与v中的变量可能相同，也可能不同。例如，11duvdx，22xuv，33uv，1(,)2xth，(,)xipxhxedxCpt，则ddx，x，，12dxh，xipxhe都是算符。

1．算符的一般运算

（1）算符的相等：对于任意函数u，若ˆˆFuGu，则ˆˆGF。

（2）算符的相加：对于任意函数u，若ˆˆˆFuGuMu，则ˆˆˆMFG。算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u，若ˆˆˆFFuMu，则ˆˆˆMGF。算符的相乘一般不满足交换律。如果ˆˆˆˆFGGF，则称ˆF与ˆG对易。

2．几种特殊算符

（1）单位算符

对于任意涵数u，若ˆIu=u，则称ˆI为单位算符。ˆI与1是等价的。

（2）线性算符

对于任意函数u与v，若**1212ˆˆˆ()FCuCvCFuCFv，则称ˆF为反线性算符。

（3）逆算符

对于任意函数u，若ˆˆˆˆFGuGFuu则称ˆF与ˆG互为逆算符。即1ˆˆGF，111ˆˆˆˆˆˆ,1FGFFFF。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fuxafx，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a为常数。其解u可表示为对应齐次方程的通解u。与非齐次方程的特解之和，即0uuv。因0ˆ0Fu， 65 所以不存在1ˆF使100ˆˆFFuu。一般说来，在特解中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，=0，则中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF使11ˆˆˆˆFFvFFvv，从而由ˆFvaf得：1ˆFaf。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。

第三章 量子力学中的力学量

[教学目的]：

力学量算符的性质，力学量算符的本征值与本征函数，力学量算符本征函数的性质，常见算符的本征函数，算符的对易关系，氢原子的能级与波函数，算符随时间的变化。

由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中的力学量不同，经典力学中的力学量有确定的值，而微观粒子的力学量不一定有确定的值，表示微观粒子的力学量也不同于经典力学，量子力学中的力学量需用算符表示。

第一节 力学量算符

一. 算符

算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用 表示一算符。

二．力学量算符

1.坐标的算符就是坐标本身：

2.动量算符：

, ,

3.动能算符

4.哈密顿算符：

5.角动量算符：

如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式 中将 换成算符得出

算符和它所表示的力学量的关系

第二节 算符基本知识

一 线性算符

满足运算规则 的算符 称为线性算符。

二 单位算符

保持波函数不改变的算符

三 算符之和

加法交换律

加法结合律

两个线性算符之和仍为线性算符。

四 算符之积

定义: 算符 与 的积 为

注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。

五 逆算符

设 能唯一解出 ，则定义的逆算符 为：

注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。

，

六 算符的复共轭，转置，厄密共轭 1． 两个任意波函数 与 的标积

2． 复共轭算符

算符 的复共轭算符 为：把 的表示式中所有复量换成其共轭复量

3． 转置算符

定义: 算符 的转置算符 满足：