中考数学 二次函数培优-距离存在性问题

中考数学 培优专题：

距离存在性问题

例题1. 在直角坐标系中，抛物线241yxxn的顶点为A，与y轴交于点B，抛物线上的一点C的横坐标为1．

（1）求AC的长度．

（2）若顶点A在x轴上，此时抛物线上有一点D，使得直线BD交x轴于点F，且原点O到直线BD的距离为855，求点D的坐标．

【答案】

（1）根据题意，如图所示，过点C作CEx⊥轴交于点E，∵抛物线上一点C的横坐标为1，∴(1,6)Cn，又顶点为A，∴(2,3)An，在RtACE△中，根据勾股定理得：222AECEAC，得：310AC；

（2）①当直线DB经过第一、二、四象限时，设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OMDB⊥于点M，∵点O到直线DB的距离为855，∴855OM，

又∵点(2,3)An在x轴上，∴3n，244yxx，

∴(0,4)B，∴4OB，在RtOBM△中，根据勾股定理得：455BM，

∵OBOF，OMBF，∴90OBMBOM，90OBMBFO，

∴BOMBFO，又90OMBOMF，∴OBMFOM△∽△，

∴OBFOMBMO，即458555OBFO，∴28OFBO，∴(8,0)F，

∴直线BF解析式为142yx，

∴244142yxxyx，解得：1192254xy或2204xy，∴点D的坐标为925,24．

②当直线BD经过第一、二、三象限时，点D的坐标为79,24．

综上所述，点D的坐标为925,24或79,24．

例题2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC△的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已-1-2-3-4-4-3-2-112341 2 3 4 5OyxEMDAOBCyFx知||:||1:5OAOB，||||OBOC，ABC△的面积15ABCS△，抛物线2(0)yaxbxca经过A、B、C三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC△中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）s||:||1:5OAOBQ，||||OBOC，

设OAm，则5OBOCm

6ABm，由12ABCABOC△，

得165152mm，解得1m

（舍去负值），

(1,0)A，(5,0)B，(0,5)C．

设抛物线解析式为(1)(5)yaxx，

将C点坐标代入，得1a，

抛物线解析式为(1)(5)yxx，

即245yxx；

（2）设E点坐标为2(,45)mmm，抛物线对称轴为2x，

由2(2)mEH，得22(2)(45)mmm

或22(2)45mmm，

解得110m或310m，

2mQ，

110m或310m，

边长222102EFm或2102；

（3）存在．

由（1）可知5OBOC，

OBC△为等腰直角三角形，直线BC解析式为5yx，

依题意，直线9yx或直线19yx与BC的距离为72，

联立2945yxyxx，21945yxyxx，

解得27xy或716xy，

M点的坐标为(2,7)与(7,16)．

例题3. 如图是二次函数2()yxmk的图象，其顶点坐标为(1,4)M．

（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标．

（2）设抛物线与y轴交于点C，求BCM△的面积．

（3）在图中的抛物线上是否还存在点P（不与C重合），使得PMBBCMSS△△？如果不存在，说明理由；如存在，请求出P点的坐标．

【答案】

（1）根据题意，可得1m，4k，解得1m，4k

把1m，4k代入函数解析式，得2(1)4yx，

令0y，得2(1)40x，解得3x或1x，

A点坐标是(1,0)，B点坐标是(3,0)；

（2）令0x，得3y，则C(0,3)，

(3,0)BQ，(0,3)C，(1,4)M，

18BC，20BM，2CM，

222BCCMBM，

BCM△是直角三角形， 11182322BCMSBCCM，

（3）存在，过点C作BM的平行线，

∴CP的解析式为23yx，

∴22323yxxyx，解得：1145xy或2203xy，

∴点P的坐标为(4,5)．

例题4. 如图，二次函数21122yxmxm的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．

（1）当32m时，求tanADH的值；

（2）设BCD△和ABC△的面积分别为1S、2S，且满足12SS，求点D到直线BC的距离．

【答案】

（1）当32m时，22131325222228yxxx．

∴325,28D ．∴258DH．令0y，即2132022xx，

解得11x，24x．∴(1,0)A．∴35122AH．∴542tan2558AHADHDH．

（2）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，设过点(21,0)Bm，10,2Cm的直线为ykxb，则(21)012mkbbm，解得1212kbm．

∴直线BC为1122yxm．当xm时，12my．∴1,2mMm．

∴2(1)1(1)222mmmmDM，21(1)22ABmm．

∵12BCDSDMOB△，12ABCSABOC△，BCDABCSS△△，

∴(1)1(21)(22)22mmmmm．

又∵顶点D在第一象限，

∴0m，解得2m． BHOACDxy当2m时，(1,0)A，(5,0)B，50,2C．

∴22555522BC，

1556222ABCS△．

设点D到BC的距离为d，

∵12DBCSBCd△，

∴1555222d，解得655d．

答：点D到直线BC的距离为655．

例题5. 抛物线223yxx与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

（1）若点P到对称轴和y轴的距离相等，求P点坐标；

（2）若点P到对称轴和x轴的距离相等，求P点坐标；

（3）过点A作BC的平行线AQ且交抛物线于点Q，抛物线上是否存在点P使得P到BC的距离比上P到AQ的距离为1:2．

【答案】

（1）2223(1)4yxxxQ，则抛物线的对称轴为1x，

由题意到对称轴和y轴的距离相等即该直线为平行于对称轴，

则该直线为12x，与抛物线联立得到115(,)24P．

（2）方法一：（几何法）对称轴与x轴的交点为(1,0)，

由题意得到到交叉直线距离相等的点在这两条直线的角平分线上，

故可得该两条直线分别为1yx与1yx，联立方程：

2123yyxxx 解得1117321712xy 或2217321712xy

2123yxyxx 解得3317121712xy 或4417121712xy

故得到1173171,22P，2173171,22P，3171171,22P，4171171,22P．

方法二：（代数法）设点P为2(,23)aaa，到x轴的距离为2123|daa｜，到对称轴距离为2|1|da，由题意得到12dd，

当点P在第一象限：2231aaa，得173171,22P（另一解舍）；

当点P在第二象限：2231aaa，得171171,22P（另一解舍）； MyxDCAOHB当点P在第三象限：2231aaa，得173171,22P（另一解舍）；

当点P在第四象限：2231aaa，得171171,22P（另一解舍）．

故得到1173171,22P，2173171,22P，3171171,22P，4171171,22P．

（3）由题意可知，//BCAQ，又(1,0)A，故AQ所在直线为1yx，与y轴交点为(0,1)D，则4CD，

则满足题目条件的点所在直线定过y轴上到C点距离是到点D距离的一半，即过点5,03与点(7,0)，斜率与AQ所在直线相同，所以满足条件的两个直线解析式为53yx与7yx，

∴23235yyxxx，解得111299612916xy与221299612916xy，∴2723yyxxx，无解．

故112991291,66P，212991291,66P．

例题6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线24(2)9yxc与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MHx轴于点H，MA交y轴于点N，25sin5MOH．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若12HEHF时，求点P的坐标．

【答案】

（1）QM为抛物线24(2)9yxc的顶点，(2,)Mc，2OH，||MHc，

0aQ，且抛物线与x轴有交点，0c，MHc，25sin5MOHQ，255MHOM，52OMc，222OMOHMHQ，4MHc，(2,4)M，

抛物线的函数表达式为：24(2)49yx；

（2）如图1，OEPHQ，MFPH，MHOH，EHOFMH，OEHHFM，OEHHFM△∽△，12HEHOMFMH，12HEHFQ，

MFHF，45OHPFHM，2OPOH，(0,2)P，