大学物理授课教案第一章质点运动学

名师精编 优秀教案

第一篇 力学

1.运动学：只从几何观点研究物体的运动。如位置、速度、加速度等，而不涉及物体间的相互作用。

力学 2.动力学：研究物体间相互作用的规律。

3.静力学：研究力及力矩的平衡问题（此内容本课程不讲）

第一章 质点运动学

§1-1 质点运动的描述

一、参照系 坐标系 质点

1、参照系

为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。

2、坐标系

为了定量地研究物体的运动，要选择一个与

参照系相对静止的坐标系。如图1-1。

说明：参照系、坐标系是任意选择的，

视处理问题方便而定。

3、质点

忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的

物体，这样的物体称为质点。

说明：⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）

⑵质点突出了物体两个基本性质 1）具有质量

2）占有位置

⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。 名师精编 优秀教案

二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移

1、位置矢量

定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为

位置矢量（简称位矢或径矢）。如图1—2，取的是

直角坐标系，r为质点P的位置矢量

kzjyixr （1-1）

位矢大小：

222zyxrr （1-2）

r方向可由方向余弦确定：

rxcos，rycos，rzcos

2、运动方程

质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。

运动方程 ⑴矢量式：ktzjtyitxtr)()()()( （1-3）

⑵标量式：)(txx，)(tyy，)(tzz （1-4）

3、轨迹方程

从式（1-4）中消掉t，得出x、y、z之间的关系式。如平面上运动质点，

运动方程为tx，2ty，得轨迹方程为2xy（抛物线）

4、位移

以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。

设t、tt时刻质点位矢分别为1r、2r，则t时间

间隔内位矢变化为

12rrr （1-5）

称r为该时间间隔内质点的位移。

jyyixxrrr)()(121212 （1-6）

大小为

212212)()(yyxxr

讨论：⑴比较r与r：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量

⑵比较r与s（A→B路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般情况下sr。当0t时，sr。

⑶什么运动情况下，均有sr？

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三、速度

为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。

1、平均速度

如图1-3

定义： trv （1-7）

称v为ttt时间间隔内质点的平均速度。

jvivjtyitxtrvyx (1-8）

v方向：同r方向。

说明：v与时间间隔)(ttt相对应。

2、瞬时速度

v粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。

定义：dtrdtrvvtt00limlim

称v为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度。

dtrdv （1-9）

结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。

jvivjdtdyidtdxdtrdvyx

（1-10）

式中dtdxvx ，dtdyvy 。 xv、yv分别为v在x、y轴方向的速度分量。

v的大小：

2222yxvvdtdydtdxdtrdv

v的方向：所在位置的切线向前方向。v与x正向轴夹角满足xyvvtg。

3、平均速率与瞬时速率

定义：tttttsv内路程（参见图1-3）

称v为质点在ttt时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。

定义：dtdstsvvtt00limlim

称v为t时刻质点的瞬时速率，简称速率。

当0t时（参见图1-3），rdr，dss，有 dsrd

可知： vdtrddtrddtdsv 名师精编 优秀教案

即 dtdsvv

（1-11）

结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。

说明：⑴比较v与v：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。

⑵比较v与v：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。

四、加速度

为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。

1、平均加速度

定义：tvvtva12（见图1-4）

称a为ttt时间间隔内质点的平均加速度。

2、瞬时加速度

为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。

定义：dtvdtvaatt00limlim

称a为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。

dtrddtvda2 （1-12）

结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。

jdtydidtxdjdtdvidtdvdtvdayx2222

式中：

22dtxddtdvaxx，22dtyddtdvayy。xa、ya分别称为a在x、y轴上的分量。

a的大小： 2222222222dtyddtxddtdvdtdvaaayxyx

a的方向： a与x轴正向夹角满足xyaatg

说明：a沿v的极限方向，一般情况下a与v方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。

瞬时量：r，v，v，a

综上： 过程量：r，v，v，a

矢量：r，r，v，v，a，a

标量：s，v，v 名师精编 优秀教案

五、直线运动

质点做直线运动，如图1-5

1、位移

ixixixrrr1212

0x ：r沿+x轴方向；0x ：r沿-x轴方向。

2、速度

ividtdxdtrdvx

0xv ，v沿+x轴方向；0xv，v沿-x轴方向。

3、加速度

iaidtdvdtvdaxx

0xa ，a沿+x轴方向；0xa ，a沿-x轴方向。

由上可见，一维运动情况下，由x、xv、xa的正负就能判断位移、速度和加速度的方向，故一维运动可用标量式代替矢量式。

六、运动的二类问题

运动方程第二类问题：积分第一类问题：微分v、a等

例1-1：已知一质点的运动方程为jtitr)2(22（SI），求：

⑴t=1s和t=2s时位矢；

⑵t=1s到t=2s内位移；

⑶t=1s到t=2s内质点的平均速度；

⑷t=1s和t=2s时质点的速度；

⑸t=1s到t=2s内的平均加速度；

⑹t=1s和t=2s时质点的加速度。

解：⑴ jir21m

jir242m

⑵ jirrr3212m

⑶ jijitrv321232m/s

⑷ jtidtrdv22 名师精编 优秀教案

jiv221m/s

jiv422m/s

⑸ jjtvvtva213212m/s2

⑹ jdtvddtrda222m/s2

例1-2：一质点沿x轴运动，已知加速度为ta4(SI)，初始条件为：0t时，00v，100xm。求：运动方程。

解：取质点为研究对象，由加速度定义有

tdtdva4（一维可用标量式）

tdtdv4

由初始条件有：

tvtdtdv004

得： 22tv

由速度定义得：

22tdtdxv

dttdx22

由初始条件得：

dttdxtx02102

即

10322txm

由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。

§1-2圆周运动

本节先讨论圆周运动，之后再推广到一般曲线运动。

一、自然坐标系

图2-1中，BAC为质点轨迹，t时刻质点P位于A

点，te、ne分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为

原点，te切向和ne法向为坐标轴，由此构成的参照系为自

然坐标系（可推广到三维）

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二、圆周运动的切向加速度及法向加速度

1、切向加速度

如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质

点速度

tevv （2-1）

式（2-1）中，vv为速率。加速度为

dtedvedtdvdtvdatt （2-2）

式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方

向与te共线，称该项为切向加速度，记为

tttteaedtdva （2-3）

式（2-3）中，

dtdvat （2-4）

ta为加速度a的切向分量。

结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。

2、法向加速度

式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。

如图1-8，质点由A点运动到B点，有

BAdseevvtt''

因为OAet，OBet'，所以te、te'夹角为d。

ttteeed'（见图1-9）

当0d时，有ddeedtt。

因为tteed，所以ted由A点指向圆心O，可有

nteded

式（2-2）中第二项为：

nnntervedtdsrvedtdvdtedv2

该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度，记为

nnerva2 （2-5）

大小为