当前位置：文档之家 › 数学毕业论文级数敛散性的判别方法

数学毕业论文级数敛散性的判别方法

  • 格式：doc
  • 大小：1018.00 KB
  • 文档页数：21

淮北师范大学信息学院

2012 届学士学位论文

级数敛散性的判别方法

系 别: 数学系

专 业: 数学与应用数学

学 号: 20081884083

姓 名: 赵 高

指 导 教 师: 陈冬君

指导教师职称: 讲 师

2012年 5 月 10 日

级数敛散性的判别方法

赵 高

(淮北师范大学信息学院，淮北，235000)

摘 要

级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件.

关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法.

The Convergence of the Series of Discriminant Method

Zhao Gao

College of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000

Abstract

The series has a lot of important properties, which is the series convergence

and

divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has

been the focus of study. Through judging the convergence of series to

further

understand the series nature. This article of the series of positive terms,

staggered

series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a

series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines

the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence

of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert

discriminant

method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course

due to the particularity of the general will also have the special methods

of

discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and

the

convergence of alternate series method, let people in the learning process

of

convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp

the

discriminant conditions.

Key words: Series of positive terms，Alternating series，Convergence

and

divergence，Discriminant analysis method

目录

引言................................................................................................................................ 1

一、级数及其敛散性的有关概念................................................................................ 1

二、正项级数敛散性的判别方法................................................................................ 2

1、比式判别法（达朗贝尔判别法）................................................................... 2

2、根式判别法（柯西判别法）........................................................................... 3

3、拉贝判别法....................................................................................................... 4

4、高斯判别法....................................................................................................... 5

5、对数判别法....................................................................................................... 5

6、隔项比值判别法............................................................................................... 5

7、运用微分中值定理判别级数敛散性............................................................... 6

8、利用数列判别级数的敛散性........................................................................... 6

9、运用等价无穷小替换判别级数的敛散性....................................................... 7

三、交错级数敛散性的判别方法................................................................................ 8

1、利用级数敛散性定义判定............................................................................... 8

2、莱布尼茨判别法............................................................................................... 9

3、极限判别法..................................................................................................... 10

4、添加括号法..................................................................................................... 11

5、通项变形法..................................................................................................... 12

6、微分形式判别法............................................................................................. 13

7、比值判别法或根值判别法............................................................................. 14

四、任意项级数敛散性判别法.................................................................................. 15

总 结............................................................................................................................ 16

参考文献...................................................................................................................... 16

致 谢.......................................................................................................................... 17

合集下载

无限级数的收敛性和敛散判别法

无限级数的收敛性和敛散判别法

无限级数的收敛性和敛散判别法

无限级数是指将一系列数相加所得到的和，可以表示为∑n=1∞an。其中，an代表每一项的值。如果这个和存在，我们就称它为收敛，如果不存在，我们就称它为发散。因此，研究无限级数的收敛性以及敛散判别法具有重要的理论和实际意义。

一、收敛和发散的概念

先来看一下一个简单的例子：1+2+3+4+…+n=∑n=1∞n。如果我们将这个无限级数进行求和，得到的结果为正无穷，也就是说，它是发散的。而如果我们考虑另一个无限级数：1+1/2+1/4+1/8+…+1/2n=∑n=1∞1/2n。我们继续进行求和，当n越来越大的时候，每一项的值越来越小，最终趋近于0。因此，这个无限级数是收敛的。

从这个例子中，我们可以看出，无限级数的收敛性和每一项的值、次数以及其它因素有着密切关系。在精确地掌握这些关系之前，我们要先理解收敛和发散的概念，并学会用它描述不同的情况。

二、敛散判别法

判别一组数列是发散还是收敛，是数学中的一个基本问题。对于无限级数，也可以使用不同的方法来判别其是否收敛，这就是敛散判别法。下面，我们来介绍几种常见的敛散判别法：

1.比值判别法

比值判别法也叫做达朗贝尔判别法，它是判别无限级数收敛的一种重要方法。对于一般的级数∑a(n)，设ba(n)=|a(n+1)/a(n)|，则：

- 当0≤limn→∞ba(n)<1时，级数收敛；

- 当limn→∞ba(n)>1时，级数发散；

- 当limn→∞ba(n)=1时，级数可能收敛，也可能发散。

比值判别法的核心是比较数列的相邻两项的比值与1的大小，从而来判断级数的敛散性。需要注意的是，这个法则不一定适用于所有的级数，应该针对不同的级数进行具体的分析。

2.根值判别法 根值判别法也叫做柯西判别法，它是判别无限级数收敛的另一种重要方法。对于一般的级数∑a(n)，设ba(n)=|a(n)|^(1/n)，则：

- 当0≤limn→∞ba(n)<1时，级数收敛；

级数敛散性的判别法定稿 - 副本

级数敛散性的判别法定稿 - 副本

摘 要

级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点。通过判别级数的敛散性可以进一步了解级数的性质。本文探讨了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、一般项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有很多种，常用的有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法。当然由于通项的特殊性也会有特殊的判别方法。本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件。关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法

Abstract

The series has a lot of important properties, which is

the series convergence and

divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has

been the focus of study. Through judging the convergence of series to

further

understand the series nature. This article of the series of positive terms,

staggered

series as well as any series convergence and divergence sexual discrimination method,

a series of positive terms, staggered series, series of any general

variability,

级数敛散性判断方法

级数敛散性判断方法

- 1 - 级数敛散性判断方法

级数敛散性判断方法是一种遵循规律性原则，并由此得出结论的数学方法。它通过观察数字的发展趋势，推理出结论，并应用于实际运算中，以提高准确性和精确性。 17世纪德国数学家施高维根据他发现的几何形式有规律可追据，发展出级数敛散性判断方法。根据此方法，若果某系数的项与系数的其他项之和收敛于某一值或点，则该系列为收敛级数。否则，如果该系数的项与系数的其他项相差越来越远，这种情况下，该系列属于散级数。

级数敛散性判断方法的应用简直遍布了几乎所有的数学领域，从数列和级数的基本性质到积分、微积分和许多复杂概念，都与级数敛散性判断方法有关。例如，函数本质上是一系列数字的变化趋势。那么，当自变量具有特定区间的数值时，若此变化趋势收敛于某一值，则可以说这个函数具有分析性；如果趋势不收敛，则该函数不具有分析性。

另一方面，级数敛散性判断方法也用于证明或否定一个数学命题的真实性。例如，当自变量x满足某个无限级数的规律时，若这个级数收敛于某一值，则可以断定某个命题为真；如果级数散离到无穷远，则该命题为假。因此，级数敛散性判断方法是验证一个数学命题真实性的有效手段。

此外，级数敛散性判断方法也被广泛应用于数据分析中。当处理大量数据时，经常可以用级数敛散性判断方法来进行趋势分析，这在市场营销中有着十分重要的应用价值。若某项数据的趋势收敛于某一 - 2 - 值，便可以预测未来的趋势，做出正确的决策。

简言之，级数敛散性判断方法是一种能够提高数据分析准确性和精确性的数学方法，它与几乎所有数学领域以及实际应用都有着深远的联系。 从此，级数敛散性判断方法得以深入人们的日常生活，并发挥其高效性和可靠性。今天，这种方法在数学和实际应用中都得到了广泛应用，极大地提高了数据分析和决策的准确性和精确性。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

1. 引言

1.1 介绍

正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。

本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。

1.2 研究意义

正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。

1.3 研究现状

正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。

在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。