级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性

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级数敛散性判别方法的归纳

（西北师大）

摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词：级数；收敛；判别 ；发散

一. 级数收敛的概念和基本性质

给定一个数列｛nu｝，形如

nuuu21①

称为无穷级数(常简称级数),用1nnu表示。无穷级数①的前n项之和，记为

nnnnus1=nuuu21②

称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛ns｝收敛于s.则称无穷级数1nnu收敛，若级数的部分和发散则称级数nv发散。

研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：

定理1 若级数nu和nv都收敛，则对任意的常数c和d，级数)(nndvcu亦收敛，且)(nnducu=cnu+dnv

定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

定理4 级数①收敛的充要条件是：任给＞0，总存在自然数N，使得当m＞N和任意的自然数p，都有pmmmuuu21＜

以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。

由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 2 / 7 二 正项级数的收敛判别

各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{ns}有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n有ns＜M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法

1 比较判别法

设nu和nv是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切n＞N都有nnvu，则

（i）级数nv收敛，则级数nu也收敛；

（ii）若级数nu发散，则级数nv也发散。

例 1 . 设12nna收敛，证明：2lnnnnna收敛（na>0）.

证明：因为 0<12nna<)ln1(2122nnan

易知：22ln1nnn收敛（积分判别法），又22nna收敛，所以)ln1 21222nnann（收敛。

由比较判别法知2lnnnnna收敛（na>0）.

例 2 . 证明：级数)0(sin)1(1xnxn都是条件收敛的。

证： 不妨设x>0,则xN>0，当n>xN时，0

由莱布尼茨判别法知)0(sin)1(1xnxn收敛。

而当n>xN时，nxnsin)1( =nxsin>0，nxnxnsinlim=1 3 / 7 又1nnx发散，由比较判别法知1sinnnx也发散。

所以0x，级数)0(sin)1(1xnxn都是条件收敛的。

例 3. 证明级数)]!1!21!111([1nen收敛

证： 0

nnnbb1lim=!1)!1()1(1limnnnnn=2)1(limnnn=0

由比值判别法知nb收敛，再由比较判别法知na收敛，即有：

级数)]!1!21!111([1nen收敛。

根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。

2 柯西判别法（根式判别法）

设nu为正项级数，且存在某正整数0N及正常数l，（i）若对一切n＞0N，成立不等式nnul＜1，则级数nu收敛。（ii）若对一切n＞0N，成立不等式1nnu则级数nu发散。

例 1 . 判别级数nn22的敛散性。

解：因为 nnnulim2lim2nnn=121

所以由根式判别法知级数nn22收敛。

3 达朗贝尔判别法（比值判别法） 4 / 7 设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数q（0＜q＜1）. （i）若对一切n＞0N，成立不等式nnuu1q，则级数nu收敛。（ii）若对一切n＞0N，成立不等式11nnuu则级数nu发散。

例 1 .判别级数nnnn!3的敛散性。

解：因为 nnnuu1lim!3)1()!1(3lim11nnnnnnnnn=nnn)11(3lim=e3>1

所以由比式判别法知级数nnnn!3发散。

4积分判别法

积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

设f为[1，+)上非负减函数，那么正项级数)(nf与反常积分dxxf1)(同时收敛或同时发散。

例 1 .判别级数3)ln(ln)(ln1nqpnnn的敛散性。

解：设f(x)=qpnnn)ln(ln)(ln1 ,则f(x)在[3，+上非负递减。

若1p，这时有3)ln(ln)(lnqpxxxdx=3lnlnqudu=)1()1()3ln(ln1111qqqq

当小q＞1时级数收敛；当小q1时级数发散；

若1p,这时有3)ln(ln)(lnqpxxxdx=3lnln)1(qupuedu 对任意的q，当01p时，取t>1,有

quptuueu)1(1lim=0 即该积分收敛。当01p时，有 quptuueu)1(1lim=即该积分发散。 5 / 7

5拉贝判别法

设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数r，（i）若对一切n＞0N，成立不等式ruunnn)1(1＞1，则级数nu收敛。（ii）若对一切n＞0N，成立不等式1)1(1nnuun则级数nu发散。

例 1 .判别级数)()2)(1(!nxxxn（x>0）的敛散性。

解：因为

)1(lim1nnnuun=nnlim[1-)1()2)(1()!1(nxxxn•!)()2)(1(nnxxx]

=xnxnxn1lim

所以由拉贝判别法知，当小x＞1时级数收敛；当小x1时级数发散；

6对数判别法

对于正项级数nu，如果存在qnunnln)1ln(lim，则当q>1时，级数nu收敛；当q<1时，级数nu发散。

例 1判别级数2nna=2])1(ln[15nnn的敛散性。

证明：nlimnanln)1ln(=nlimnnnln5ln])1([ln1=ln 5>1

因此有对数判别法可知级数2nna=2])1(ln[15nnn收敛。

7双比值判别法

对于正项级数nu，如果存在nnnuu2lim=112limnnnuu=，则当<21时，级数6 / 7 nu收敛；当>21时，级数nu发散。

例 1判别级数12lnnnn的敛散性。

证明：因为nnnuu2lim=41ln)2()2ln(lim22nnnnn21

由此知级数12lnnnn收敛。

例 2 判别级数1!nnnenn的敛散性。

证明：这里1nnaa，即nnenn!>11)!1()1(nnenn

有nlimnnaa2=nnnnnnenenn!)!2()2(lim22=nnnnnnnnnennennenen2222)2()2(22)2(lim=22>21

所以级数1!nnnenn发散。

8高斯判别法

设na是严格正项级数，并设1nnaa=+n+nnvln+)ln1(nn，则关于级数na的敛散性，有以下结论：

（i）如果>1，那么级数na收敛；如果<1，那么级数na发散。

（ii）如果=1，>1，那么级数na收敛；如果=1，<1，那么级数na发散。

（iii）如果==1，>1，那么级数na收敛；如果==1，<1，那么级数na发散。

例1 Gauss 超几何级数1+nnnnnn1)1()2)(1(!)1()1()1()1(nx的敛散性，其中均,,,为非负常数。 7 / 7 解：因为1nnaa=1)1)(1()1)(11(1))(())(1(nnnnxnnnn

又因为1)1(n=1-n+)1(2n，1)1(n=1-n+)1(2n，

所以1nnaa=x1（1+n1+)1(2n）。

根据高斯判别法可以判别：

如果x<1;或者x=1,,那么级数收敛。

如果x>1;或者x=1,,那么级数发散。

参考文献

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[3]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程 下册.：高等教育，1999.6

[4]杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较[J].XX师X大学学报，2004，（1）：57-60.

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