中考数学 整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习(及答案)

中考数学 整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习(及答案)

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题

1．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2.

（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；

（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；

（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3.

2．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3 ， 常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x ．

请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．

（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．

（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．

（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；

（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021 ， 则a2020=________．

3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如

， ···，因此 都是奇巧数.

（1） 是奇巧数吗？为什么？

（2）奇巧数是 的倍数吗？为什么？

4．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片， 种纸片是边长为 的正方形，

种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 ，宽为 的长方形.并用 种纸片一张，

种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2的大正方形.

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：________；方法2：________；

（2）观察图2，请你写出代数式： 之间的等量关系________；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知： ，求 的值；

②已知 ，求 的值；

③已知(a-2019)2+(a-2021)2=8，则求(a-2020)2的值.

5．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）

（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________.（用含a，b的等式表示）

（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：

①已知4m2＝12+n2 ， 2m+n＝4，则2m﹣n的值为________.

②计算：20192﹣2020×2018.________

（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.

6．阅读下列材料:

对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)

又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)

请你根据以上材料，解答以下问题:

（1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________.

（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6

（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想:

代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ， ________ ， ________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。

7．有一个边长为m+3的正方形，先将这个正方形两邻边长分别增加1和减少1，得到的长方形①的面积为S1.

（1）试探究该正方形的面积S与S1的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；

（2）再将这个正方形两邻边长分别增加4和减少2，得到的长方形②的面积为S2.

①试比较S1 ， S2的大小；

②当m为正整数时，若某个图形的面积介于S1 ， S2之间（不包括S1 ， S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求m的值.

8．观察下列一组等式，然后解答后面的问题

，

，

，

（1）观察以上规律，请写出第 个等式：________ 为正整数）．

（2）利用上面的规律，计算：

（3）请利用上面的规律，比较 与 的大小．

9．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 ．

（1）图③可以解释为等式：________．

（2）图④中阴影部分的面积为________．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是________．

（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形； ①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示）

②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．

10．

（1）填空：

________ ；

________ ；

________ ；

（2）猜想：

（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）= ________（其中n为正整数，且n≥2）；

（3）利用（2）猜想的结论计算：

①29+28+27+…+22+2+1

②210-29+28-…-23+22-2．

11．已知A=2 a -7，B=a2- 4a+3，C= a2 +6a-28，其中 ．

（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）阅读对B因式分解的方法：

解：B=a2- 4a+3=a2- 4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.

请完成下面的两个问题：

①仿照上述方法分解因式：x2- 4x-96；

②指出A与C哪个大？并说明你的理由．

12．阅读下面材料:

通过整式运算一章的学习，我们发现要验证一个结论的正确性可以有两种方法：

例如：要验证结论

方法1：几何图形验证：如下图，我们可以将一个边长为（a+b）的正方形上裁去一个边长为(a-b)的小正方形则剩余图形的面积为4ab,验证该结论正确。

方法2：代数法验证：等式左边= ，

所以，左边=右边，结论成立。

观察下列各式：

（1）按规律，请写出第n个等式________；

（2）试分别用两种方法验证这个结论的正确性.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题

1．（1）解：由图可得，S1＝a2﹣b2 ，

S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab

（2）解：S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，

∵a+b＝10，

解析： （1）解：由图可得，S1＝a2﹣b2 ，

S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab

（2）解：S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，

∵a+b＝10，ab＝20，

∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40

（3）解：由图可得，S3＝a2+b2﹣ b（a+b）﹣ a2＝ （a2+b2﹣ab），

∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，

∴S3＝ ×30＝15.

【解析】【分析】（1）用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即为S1 ， 用边长为a的正方形的面积减去一个边长分别为a、（a－b）的长方形的面积再减去两个边长分别为b、（a－b）的长方形的面积即为S2 ， 据此解答即可；

（2）先计算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝10，ab＝20整体代入计算即可；（3）先计算S3＝ （a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积.

2．（1）-11

（2）63.5

（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：

1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0

∴a=-3． 解析： （1）-11

（2）63.5

（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：

1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0

∴a=-3．

（4）2021．

【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：

．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．

所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．

【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x ，

选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．

3．（1）解：36是奇巧数，理由： ；

50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50

（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，

则 ，奇巧数是 4 的倍数.

【解析】【分析】

解析： （1）解：36是奇巧数，理由： ；

50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50

（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，

则 ，奇巧数是 的倍数.

【解析】【分析】（1）根据定义是两个现需偶数的平方差判断即可.（2）将

进行运算、化简，便可发现是4的倍数.

4．（1）(a+b)2；a2+b2+2ab

（2）(a+b)2=a2+2ab+b2

（3）解：①∵ a+b=5 ，

∴ (a+b)2 =25，

∴ a2+b2+2ab=25 ，

又∵ a2+b2