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(完整版)圆锥曲线知识点总结

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高中数学圆锥曲线选知识点总结

一、椭圆

1、定义：平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆．

即：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

2、椭圆的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程 222210xyabab 222210yxabab

范围 axa且byb bxb且aya

顶点 1,0a、2,0a

10,b、20,b 10,a、20,a

1,0b、2,0b

轴长 短轴的长2b 长轴的长2a

焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc

焦距 222122FFccab

对称性 关于x轴、y轴、原点对称

离心率 22101cbeeaae越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁

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二、双曲线

1、定义：平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

2、双曲线的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 222210,0xyabab 222210,0yxabab

范围 xa或xa，yR ya或ya，xR

顶点 1,0a、2,0a 10,a、20,a

轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a

焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc

焦距 222122FFccab

对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

离心率 2211cbeeaa，e越大，双曲线的开口越阔

渐近线方程 byxa ayxb

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

三、抛物线 - 3 -

1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

2、抛物线的几何性质：

标准方程 22ypx

0p 22ypx

0p 22xpy

0p 22xpy

0p

范围 0x 0x 0y 0y

顶点 0,0

对称轴 x轴 y轴

焦点 ,02pF ,02pF 0,2pF 0,2pF

准线方程 2px 2px 2py 2py

离心率 1e，p越大，抛物线的开口越大

焦半径

0,0()Mxy 02pMFx 02pMFx 02pMFy 02pMFy

通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp

焦点弦长

公式 12ABxxp 12AByyp

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．

4、关于抛物线焦点弦的几个结论：

设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)AxyBxy、，直线AB的倾斜角为，则 - 4 -

⑴ 221212,;4pxxyyp ⑵ 22;sinpAB

⑶ 以AB为直径的圆与准线相切；

⑷ 焦点F对AB、在准线上射影的张角为2；

⑸ 112.||||FAFBP

四、直线与圆锥曲线的位置关系

繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有)位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到02cbxax。

①. 若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若0a，设acb42。a.0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线k斜率为与圆锥曲线交于点11y,xA，22y,xB时，则

AB=2k121xx=2k1212214xxxx

=211k21yy=211k212214yyyy

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圆锥曲线 知识点总结

圆锥曲线 知识点总结

圆锥曲线 知识点总结

1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化

①建立适当的直角坐标系；

②设动点,Mxy及其他的点；

③找出满足限制条件的等式；

④将点的坐标代入等式；

⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

2、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。12222MFMFaac

3、椭圆的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 222210xyabab 222210yxabab

第一定义 到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）

第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFeed

范围 axa且byb bxb且aya

顶点 1,0a、2,0a

10,b、20,b 10,a、20,a

1,0b、2,0b

轴长 长轴的长2a 短轴的长2b

对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc

焦距 222122()FFccab

离心率 22222221(01)ccabbeeaaaa

准线方程 2axc 2ayc

焦半径 左焦半径：10MFaex 下焦半径：10MFaey 0,0()Mxy 右焦半径：20MFaex 上焦半径：20MFaey

焦点三角形面积 12212tan()2MFFSbFMF

通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结

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圆锥曲线知识点总结（安图一中高二数学）

（学习要善于归纳总结，同学们请注意收藏）

椭圆

知识关系网

椭

圆 1. 椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0

2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)

标准方程 22221(0)xyabab 22221(0)xyabba

图 形

顶 点 (,0)a,(0,)b (0,)a,(,0)b

对称轴 x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b

焦 点 1(,0)Fc、2(,0)Fc 1(0,)Fc、2(0,)Fc

焦 距 焦距为122(0),FFcc 222cab

离心率 eca (0

通 径 ab22

准线方程 2axc 2ayc

点P(x0,y0)

的焦半径公式 |PF2|=a-ex0 , |PF1|=a+ex0

(“左加右减”) |PF2|=a-ex0 , |PF1|=a+ex0

焦点三角形F1 PF2的面积2tan212PFFbS

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知识

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双

曲

线 1.双曲线的定义：

第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e叫做双曲线的离心率.

标准方程 22221(0,0)xyabab 22221(0,0)yxabab

图形

顶点 (,0)a (0,)a

对称轴 x轴，y轴，实轴长为2a，虚轴长为2b

(完整版)高三圆锥曲线知识点总结

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第八章 《圆锥曲线》专题复习

一、椭圆方程.

1. 椭圆的第一定义：

为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF

2．椭圆的方程形式：

①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax. ii. 中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.

②一般方程：)0,0(122BAByAx.③椭圆的参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.

注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.

3．椭圆的性质：

①顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.③焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.④焦距：2221,2baccFF.⑤准线：cax2或cay2.⑥离心率：)10(eace.⑦焦半径：

i. 设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则：

证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.

ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则：

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径： 222bda；坐标：22(,),(,)bbccaa

4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，)0ba的离心率也是ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

圆锥曲线知识点总结 2

圆锥曲线知识点总结 2

班级 姓名 学号 命题人： 审题人： 编号：2013-12-专题-02

圆锥曲线与方程 2013年12月

一．椭圆与双曲线的基本性质：

椭圆方程及其几何性质 双曲线方程及其几何性质

定义 1212||||2(2||)MFMFaaFF 1212||||2(2||)||MFMFaaFF

定义

追踪 ①若2a=|F1F2|，则M的轨迹是线段

②若2a<|F1F2|，则M的轨迹不存在 ①若2a=|F1F2|，则M的轨迹是两条射线

②若2a>|F1F2|，则M的轨迹不存在

焦点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准

方程 22221(0)xyabab 22221(0)yxabab 22221(,0)xyabab 22221(,0)yxabab

一般方程 (已知过两点时用) (已知过两点时用)

a,b,c的关系 222bac 222bac

图形

范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R

顶点 1212(,0),(0,)AaBb，， 1212(,0),(0,)BbAa，， 12(,0)Aa， 12(0,)Aa，

对称性 关于原点，x轴，y轴对称；长轴长a2，短轴长b2 关于原点，x轴，y轴对称；实轴长a2，虚轴长b2