对称信道容量计算

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§4.2信道容量的计算这里,我们介绍一般离散信道的信道容量计算方法,根据信道容量的定义，就是在固定信道的条件下，对所有可能的输入概率分布)(x P 求平均互信息的极大值。

前面已知()Y X I ;是输入概率分布的上凸函数，所以极大值一定存在。

而);(Y X I 是r 个变量)}(),(),({21r x p x p x p 的多元函数。

并且满足1)(1=∑=ri i x p 。

所以可用拉格朗日乘子法来计算这个条件极值。

引入一个函数：∑-=ii x p Y X I )();(λφ解方程组0)(])();([)(=∑∂-∂∂∂i ii i x p x p Y X I x p λφ1)(=∑iix p （4.2。

1）可以先解出达到极值的概率分布和拉格朗日乘子λ的值，然后在解出信道容量C .因为 )()(log)()();(11i i i i i ri sj i y p x y Q x y Q x p Y X I ∑∑===而)()()(1i i ri i i x y Q x p y p ∑==，所以e e y p y p i i i i i x y Q i x p i x p log log ))(ln ()(log )()()(==∂∂∂∂。

解（4.2。

1）式有0log )()()()()()(log )(111=--∑∑∑===λe y p x y Q x y Q x p y p x y Q x y Q ii i ii r i s j i i i i sj i i (对r i ,,2,1 =都成立） 又因为)()()(1j k k rk k y p x y Q x p =∑=ri x y Q sj i j,,2,1,1)(1==∑=所以（4.2.1）式方程组可以转化为 ),,2,1(log )()(log)(1r i e y p x y Q x y Q j i j sj i j =+=∑=λ1)(1=∑=ri i x p假设使得平均互信息);(Y X I 达到极值的输入概率分布},,{21r p p p 这样有 e y p x y Q x y Q x p j i j i j ri sj i log )()(log)()(11+=∑∑==λ从而上式左边即为信道容量，得 e C log +=λ 现在令)()(log)();(1j i j sj i j i y p x y Q x y Q Y x I ∑==式中，);(Y x I i 是输出端接收到Y 后获得关于i x X =的信息量，即是信源符号i x X =对输出端Y 平均提供的互信息。

信道容量的计算方法研究
信道容量是指在某个给定的带宽和信噪比条件下，传输信息的最大速率。

信道容量通常用单位时间内传输的比特数（比特每秒）来表示。

计算信道容量的公式为：
C = B × log2(1 + S/N)
其中，C表示信道容量，B表示信道带宽，S表示信号功率，N 表示噪声功率。

此公式在120年前由德国数学家Hartley提出，称为哈特利公式。

它用于描述在理想信道条件下的信息传输限制。

该公式表示，在频带B内、噪声功率为N的情况下，传输速率C理论上最高为
C=B*log2(1+S/N)。

这个公式是通过链路的信道特性分析来得出的，实际链路中应用时需要估计 S/N 的值。

重点是最大值的计算，信道容量很大程度上反映了信道的质量，在无线通信系统中，信道容量的提高是很重要的一个方面，因为它能够提高系统的使用效率和可靠性，从而增加系统的吞吐量和容量。

此外，还可以通过其他信源不同于离散和连续的信源，或者利用其他编码方法和调制技术等等方法，提高信道容量。

关于强对称离散信道信道容量计算的讨论
闫常丽;王利民;邓全才
【期刊名称】《河北建筑工程学院学报》
【年(卷),期】2014(000)003
【摘要】信道是构成通信系统的重要部分，用来传输和储存信息，而信息在信道中传输的多少不仅仅与信道本身的特性有关，还和信源的输入有关。

讨论了信息论中的强对称离散信道，并给出其信道容量的一种算法，得出只有离散信源的输入呈等概率分布时，此时强对称离散信道才可以达到其信道容量。

【总页数】3页(P102-104)
【作者】闫常丽;王利民;邓全才
【作者单位】河北建筑工程学院，数理系张家口 075000;河北建筑工程学院，数理系张家口 075000;河北建筑工程学院，数理系张家口 075000
【正文语种】中文
【中图分类】O21
【相关文献】
1.N元强对称信道的信道容量代价函数计算 [J], 蒋书法
2.马尔科夫对称离散信道级联信道容量研究 [J], 王睿甲;王星;程嗣怡;周东青
3.基于低压电力信道的信道容量计算与分析 [J], 张秀秀;冯晋军
4.行准对称离散信道信道容量的计算 [J], 游雪肖;程舰
5.关于准对称离散无记忆信道容量两个定理的等价性 [J], 孙燕;杨海涛;张亚平;于海敏
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二元对称信道容量计算m.tn： IBl =-(«)» *log2(s)-(l-a) * *1QI2(1-a);subpl nt (2, 2j11plot U—lriwN a n J.ylabelCHf).fprimf「Bl=:*6. 3f*f Hl);lpll=p(yj/jrl>jpl2=p{yl/K2)jpL3=v(y2/xl)t pl4=p(T2/K2)p] 1=127/128, pl 2=1/1 28J plS=l/128^14=127/128；Kpl l=p (xl/yl), pl 2=p tx2/y 1) j. p 13=p (xl/y2), p 14=p i x2/y2)p2l= (n)!b«(pl 1). / ((s). * (pl 1) +(l-a) t * (pl2));p22=(]-a), *(pl2). / 1]-a). *''pl2)+a. ):p23= (a) - * (pl3). / ( (a). * (pl3) + ( Ha). * (pl4));p24- (1-a). ■ (pit)./ ( 1-a). * (pld) + (a). }:PFl= (■)- * (l-p)+(p). *(]-■):P?2= (p^, *(a)+(l-p|. *(l-a):H2^-(pyl}.*(p21>.*loi2(p2l)-<nyl).*(p22J • *Lci2(P22)-t P y2) t(p23). *1QE(P Z3)-(py2) • «Cp24). *U t2924) subplnt (2,2j 2), plot (a^HSJ^xlabelC a J)T/label C H2n).fprintf C 监:辭.卅'胡2):sm-船；subpl o+ (2r 2^3)plot (jj C) jilabelC a J), ylabe 1C C*),00.5 10 0.5 10 0.5 1fprimf C 洁道吝里:«6.r C);二元对称信道容量随a变化时的变化曲线■'拆器• F:\MATLAB\R2014a\UntrtledSC.m Until11asO> B Hl=-(a|, #lQ£2Ca)-(： subp Lm 2^ 1);plot (^HI\^xlabeL pl1=127/128, pl2=l/： p21=(a). «<pll)./(dp22=(l-a).*(pl2k/ p23=(ai . * 1 p 13). / (I' ip24=(l-a).*(pl4k/pyl-(A 1.* 1l-p)*(p ),py2=(p'丄 乂 ia)+tl-p) >命常行闔口 」i ：'不施 MATLAB?观看吃眩,Columns 79 throuih 910.0575 0. 0575Columns 92 through0.0575 0. 0575将程序中的a 修改为0~1的某个确定值，即可用改程序计算出其相应的二元对称信道值， 下例题所示，取 a 为0.5时，信源熵H1 (即H(x))以及H(x/y)为定值，在图像上显示为 定点，计算出信道容量为0.942 同理，当取a 为0.3时，计算出信道容量为 0.825二元非对称信道容量计算a=0: 0. 01:1Hl=-(a). *log 2 (a)-(l-a) * *lo (2(l-a)；subplot (2, 2j I ) zplcrt Hilij njrlabelC a J )f ylabel C Hl*);fpnntf 『H1=:S6. 3f* r Hl):Kpll-ptyl/xDj pl2=p(yl/x2iplS^p(y2/xl)f pl4^=p (y2/x2)P 11=1/2, PHD P13=.l/2f pl4=2/3:寫p 1 l=p (x 1/yl )j p 12=p (i2/yl 》，pl 3=p (x l/y2). pl bp (x2/y2)|p21= (ah *(pl l) + /((a). *(pll)+(l-a)* *(pl2));p22= (1-a). *(pl2). / * (pl2)+a, *(pll));p23= (a). «(p)3)./((a). *(pl3)+(l-a)« *(pi4))；p24= < 1-a). *(pl4). / ((.L-a)・ * (p!4) + (a)a • (pl3)):[pyl-(a). *(l-p) + (p)B *(Ha):py2= *(a) + (l-ph *(l~a):H2=- (pyl), *(p21). *lc[2(p21)-(pyl)« *Cp22L *Lag2(p22)-(py2)« *(p23'. *log 'p23J- (py2). *(p24)*lo<2(p24) subplot (2f 2r 2):plot (a.HS), xlabel (J a J ) T ylabel (? H2Z ):fprintf 『H2:乐& 3f ?, H2):C=HJ-H2;subplot 2* 3)plot (pjp C) r xlabel a* ylabel CC*);fprintf (:信道W1：K6. 3f\C):非对称信道容量随a变化时的变化曲线'謂釜-F:\MATLAB\I -1C □ntifledSO/n a=0, 5 Hl =-(■). *log2 (a subplot (2r Z J 1): plot I aj H1 i i xla Ififpviritf Hl=：＞ 10 %pll=p(xl f yl , p p2L= (a). p22= 11*3), * (pl 2 p2J=*a'' * n "'it f 1 -31 . * (n 1 4 命令行衰口 -i 7^^ MATLAB? through 0, 89770. ®977 Columns S2 through0. 8977fit 信1B 苔重：0. L将程序中的a 修改为0~1的某个确定值，即可用改程序计算出其相应的二元对称信道 值，如下例题所示，取 a 为0.5时，H(x)及H (x/y )为定值，在图像中显示为一定点，同时 信道容量计算出为 0.102同理，取a 为0.3时，计算出信道容量为 0.138疑问：在代入a 为一定值条件下，同 H ( x )和0H (x/y )，计算出的信道容量也是一个 定值，那么在图像中也应为一定点，为何这两个程序输出结果图中显示为一直线？。

准对称离散信道的信道容量概述及解释说明1. 引言1.1 概述在现代通信领域中，信息的传输是通过信道完成的。

而对于离散信道而言，其容量即为最大可达到的信息传输速率，对于设计和优化通信系统至关重要。

准对称离散信道是一类常见的离散信道模型，在实际应用中具有广泛的应用场景和重要意义。

1.2 文章结构本文将对准对称离散信道的信道容量进行全面探究与解释。

首先，在第2部分中，我们将介绍离散信道的定义和特性，并详细阐述了准对称信道的概念。

接下来，在第3部分中，我们将探讨计算准对称离散信道容量所用到的方法与技巧，并着重介绍了香农公式及其推导过程以及极大极小化与对偶性原理在计算中的应用。

然后，在第4部分中，我们将回顾以往研究成果并进行总结分析，同时探讨当前研究现状和存在问题，并展望未来研究方向和挑战。

最后，在第5部分中，我们将总结全文主要结论，并展望未来可能的研究方向。

1.3 目的本文的目的主要为探讨准对称离散信道的信道容量，并解释其在通信系统设计和优化中的重要性。

通过深入了解离散信道的定义和特性，以及准对称信道的概念，读者可以更加清晰地理解准对称离散信道相关概念和理论基础。

此外，本文还将介绍计算准对称离散信道容量所用到的方法与技巧，帮助读者更好地掌握相关计算技术，并总结过去研究成果并分析当前研究现状，以期激发未来进一步深入研究的兴趣和思路。

2. 准对称离散信道的信道容量：2.1 离散信道的定义和特性：离散信道是指在传输信息时，输入和输出都是离散的符号序列，并且中间有隐含的噪声干扰。

离散信道可以用条件概率分布表示，其中输入符号与输出符号之间存在一定的概率转移关系。

离散信道的特性包括：- 有限输入字母表：输入符号集合是一个有限集合。

- 有限输出字母表：输出符号集合也是一个有限集合。

- 条件概率分布：用于描述输入字母在给定条件下生成输出字母的概率分布。

- 恒等性：理想情况下，理想的离散信道应该满足恒等性，即输入与输出完全相同。

第3章 信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。

i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{0.5，0.5} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。

1b 2b 3b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 2a 1a Y X 3b 11111110.70.3第一种：无噪无损信道，其概率转移矩阵为： 1 0 0P=0 1 00 0 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦信道容量：()max (;)P X C I X Y @ bit/符号()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==离散无记忆信道(DMC)只有输入为等概率分布时才能达到信道容量，C=log3=1.5850 bit/符号输入最佳概率分布如下：111,,333⎧⎫⎨⎬⎩⎭第二种：无噪有损信道，其概率转移矩阵为： 1 0P=0 10 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，离散输入信道， ()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H Y H Y X H Y X C I X Y H Y ==-∴=∴==H(Y)输出为等概率分布时可达到最大值，此值就是信道容量 此时最佳输入概率：123p(a )+p(a )=0.5,p(a )=0.5 信道容量：C=log(2)=1 bit/符号 第三种：有噪无损信道，由图可知：()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==输入为等概率分布时可达到信道容量，此时信道容量p(x)C=max{H(X)}=log(2)=1 bit/符号 输入最佳概率分布：11,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭3-3 设4元删除信道的输入量{1,2,3,4}X ∈，输出量{1,2,3,4,}Y E ∈，转移概率为(|)1(|)1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε P=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε p1= p2=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε εP Y i X i P Y E X i εε===-===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1,2,3,4i = 1）该信道是对称DMC 信道吗？ 2）计算该信道的信道容量；3）比较该信道与两个独立并联的二元删除信道的信道容量。