1.3函数的基本性质

观察某城市一天24小时气温变化图．
θ＝f (t)，t∈[0，24]
问题：如何描述气温θ随时间t的变化情况？
如图，研究函数 θ ＝ f(t) ， t∈[0 ， 24] 的图 象在区间[4，14]上的变化情况．
(t2,θ2) (t1,θ1)
t1 t2
问题： 在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻
k p= V 例2：物理学中的玻意耳定律
（k为正常数） 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
k 例2、物理学中的玻意耳定律 p = V (k为正常数 ) 告诉
f(x1)
f(x2)
0 x1
x2
三、单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
请问: 上升的 在单调区间上增函数的图象是__________, 下降的 减函数的图象是__________. (填“上升的”或“下降的”)
画“θ随t的增大而增大”这一特征？
在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如 t1 ＝5 ， t2 ＝6， t3 ＝ 8， t4 ＝ 10 ，得到相对应的 输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有 θ1＜θ2＜ θ3＜θ4，所以在 [4， 14]上，θ随t的增 大而增大． 取区间内n个输入值t1，t2，t3，„， tn， 得到相对应的输出值 θ1，θ2，θ3，„，θn，在 t1 ＜ t2 ＜ t3 ＜ „ ＜ tn 时，有 θ1 ＜ θ2 ＜ θ3 ＜ „ ＜ θn ，所以在区间 [4 ， 14] 上， θ 随 t 的增大而增大 ． 在 [4， 14] 上任取两个值 t1 ， t2 ，只要 t1＜ t2 ，就有 θ1＜ θ2，就可以说在区间 [4，14]上， θ 随t的增大而增大．
证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
1 f ( x2 ) = x2 1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) = x1 . x2 1 函数 = x 在(, 0 )上是减函数吗？ xf ( x) 1 f ( x1 ) = , x1
y
－1 1
O
f（x）在定义域 上是减函数吗？
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度 25m到30m处)时爆裂. 如果在距地面高度18m的地 方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s. (1) 写出烟花距地面的高度与 时间之间的关系式.
θ
O
t
在[4，14]上内任取两个值t1，t2，只要t1＜t2 ，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t 的增大而增大．
问题： 设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 A ，区间 IA, 在区间 I 上， y 随 x 的增大而增大，该如何用 数学符号语言来刻画呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果 对于区间I内的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
-1 o o x x
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
1 探究： y= x 的图象。 画出反比例函数 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。
通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做 出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确 性，是研究函数性质的一种常用方法。
1 例函数 . f ( x) = 在(0, )上是增函数还是 x 减函数？证明你的结论.
想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个 函数在定义域内的某个单调区间上是增函数 还是减函数？ 如果这个函数在某个单调区间上的图象 是上升的，那么它在这个单调区间上就是增 函数；如果图象是下降的，那么它在这个单 调区间上就是减函数。
1、增函数、减函数的三个特征： （1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以 是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函 数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1 (X∈Z)不具有单调性 （2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量， 决不能理解为很多或无穷多个值。 （3）一致性
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上 取值 的任意两个实数，且V1<V2，则
V2 V1 k k 作差 p(V1 ) p(V2 ) = = k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1 ) p(V2 ) 0
y
O
1
2
3
x
区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？
判断
2.对于二次函数f(x)＝x2，因为－1，2∈(－∞， ＋ ∞ ) ，当－ 1 ＜ 2 时， f( － 1) ＜ f(2) ，所以函数 f(x) ＝x2在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数．
3. 已知函数 y ＝ f(x) 的定义域为 [0 ，＋ ∞ ) ，若 对于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，则函数y＝f(x) 在区间[0，＋∞)上是单调减函数．
1 能说： 函数f ( x) = 的单调递减区间是(, 0 ) (0, )吗？ x
方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式(x1－x2
② 配成非负实数和。 ③有理化。
(4). 作结论.
Байду номын сангаас
5、讨论函数f(x)= x + 1 在(0,+∞) 上的单调性. x 解：设 0 <x1 < x2 1 1 -(x1 –x2) (x1 x2 –1) 则 f (x1) – f ( x2) =（x1 - x2）+ x x = x1· x2 1 2
∵0 < x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0, x1· x2 > 0
1.3 函数的基本性质
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y 值 增大 ；图（2）中的y值 增大 。 2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y 值 减小 ；图（2）中的y值 增大 。
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞) 和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是 下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的， 则函数值y随x的增大而增大，反之亦真； 若一个函数在某个区间内图象是下降的， 则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。
∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) < f ( x2) 1 ∴ f (x)= x + x 在[1，+∞）上是增函数.
x2 x1 (x1x2-k) = x2 x1
k 例3求函数f(x)=x+ （k>0）在x>0上的单调性 x k -k 解：对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+ x2 x1
问题：
如何定义单调减函数 和单调减区间呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A，如 果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.
概念辨析
1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示．
增函数： x1 ＜ x2 减函数： x1 ＜ x2 。

x1 ) ＜ f( x2 ) f( x ) ＞ f( x ) 1 2
f(
例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个 单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
y x2
O f(x2)
x
一、增函数
y
f(x1)
f(x2)
0
x1
x2
x
设函数f(x)的定义域 为I: 如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意 两个自变量的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有f(x1) ＜ f(x2),那么就说f(x) 在这个区间上是增函 数