习题详解-第9章 无穷级数

无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

习 题 课一．选择题1.若级数，则级数（ ）S u n n 收敛于∑∞=1 )(11+∞=+∑n n n u u2．下列级数中收敛的级数是（ ） （A）∑∞=121n n ；（B）∑∞=+1)11ln(n n ；（C）n n n n n 1()1(1+−∑∞=；（D）dx x x n n ∑∫∞=+10411。

3．设，则级数为常数 a ]1)sin([12∑∞=−n n n na （ ）（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性与有关。

的取值a 4．)(!)(ln 2)1(2R n n n n n nn ∈α−∑∞=α（ ） （A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）不能确定其敛散性。

二．填空题1．设常数，则当0>p p 满足条件 时，级数∑∞=π12sinn p n n 收敛。

2．设，且，则 S u u n n n n =−∑∞=−11)(A nu n n =∞→lim ∑∞==0n n u 。

三．判别下列级数的敛散性 1．∑∞=−+12)1(2n n n 2.∑∞=+π13cos n n n n 3．∑∞=+1)1(3n n n n n4．∑∞=−1354n n n n 5．11ln )1(51+−−+∑∞=n n n n n 四．解答题 1.讨论级数)0( ln )1(2>−∑∞=a n a nn n 的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。

2.常数，级数取什么范围时 P p n nn n ln )1(1∑∞=−是（1）发散；（2）条件收敛；（3）绝对收敛。

五．证明题1．设级数收敛，且绝对收敛，试证绝对收敛。

)(11∑∞=−−n n n a a ∑∞=1n n b ∑∞=1n n n b a 2．设函数上在1 )(≤x x f 有定义，在某邻域内具有二阶连续导数，且的 0=x 0)(lim 0=→x x f x ，证明级数)1(1∑∞=n n f 绝对收敛。

丄，Sn=1」+ —-+_—=1——T 1(n T^(n +1! 2! 2! 3! n! (n +1 ) (n +1)第九讲：无穷级数 一、 常数项级数1、概念与性质： （1） 数列t u j 中的各项用加号连接的形式： U1+U 2 +■…□c+ u n +…=2 U n 称为无穷项n 二1数项级数，第n 项称为一般项（通项）。

n oc数列s n =送U n 称为级数s U n 的前n 项之和 （部分和），若n ms n = S ，则称级数Z U n 的和为S ，级数艺U n 收敛；若lim S n 不存在, n£ ni F 则称级数 送U n 发散。

n4oC oC若级数2 U n 收敛，r n =S-S n 称为级数送U n n 二 n 二 的余项，lim r n =0。

n _jpc例1判定下列级数的敛散性: 解：U n =ln 1 中一1 = 1 n (n +1 )-|n n ， V n 丿 S n = In2-In1+In 3- I n2+…+ln (1+n )-lnn =ln (1 + n l 处(n T 处故S In nd ：〔1+1 ］发散; V n 丿解: U n□c故 2(n +1! 收敛;③调和级数：2 1；n# nn!(2) 性质:ii 、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性;□C OC推论：送U n 与无U n 同敛散;n=1n =N +边 1巳― +[(2k -1 2(2k 门1—Lh . J , I k#(2k-1f 4+1Q1 < 1解：由一 >1 n |1 + — 1 = 1 n (n+1 )_|n n , n I n 丿 1 1S^ =1 +- +…+— >1 n2 - In1 + ln 3-1 n2 +…+ln (n +1)—1 n n = ln (n + 1 □C 1（n T 处），故级数2 —发散。

n4 n④几何级数: Z aqnA4-q' 发散,d e q >1⑤p —级数: £1-n 吕n P (p >0 冶［收敛，p A 1 改散,p 兰1i 、设a 、P 为常数,□c若送U nn =1oCoCZ V n 收敛，则送(a U nn=1P V n ）也收敛，且n=3推论: 比如: □C 2 (a U n + Pv n ) = aZ ni□c常数 k H 0 , 2 ku n n z!证明级数2： 2发散心n □CU nn 二□c与S u n 同敛散;n=1处2 处：因为£ -与送-同敛散，又心n 心n比1 处2 Z 1发散，故级数£ -发散; nT n 心 n注意: 至2 处1处Z 2工22 1, Z心门 n^n nd ： o ’1 比 1+丄 Hy 1+y —2 厶厶 2iii 、收敛级数“加括号” 则原级数必发散）后所得的级数仍收敛于原来的和;（“加括号”后所得的级数发散,□Civ 、若级数W U n 收敛，则n z1□C 1则送沪发散。

第九章 无穷级数（数一、三）9.1 常数项级数的概念与性质 9.1.1 常数项级数的概念设{}n u 是给定的数列，则表达式 +++++n u u u u 321称为常数项无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u 。

其中n u 称为级数的通项。

（1）部分和数列：n n u u u s +++= 21称为级数的前n 项和，{}n s 称 为级数的部分和数列。

（2）级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件是它的部分和数列{}n s 收敛。

备注：①若∑∞=1n nu 的部分和数列{}ns 存在极限，且s snn =∞→lim ，则∑∞=1n n u 收敛于和s 。

②“和”相对于级数收敛而言的，发散的级数没有和而言。

③ ++=++21n n n u u r 称为级数∑∞=1n nu 的余项，且当∑∞=1n nu 收敛时有0l i m =∞→n n r 。

9.1.2 常数项级数的性质（1）设级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于常数B A ,，对于任意常数βα,，则级数∑∞=±1)(n n n v u βα也收敛，且B A v u n n n βαβα+=±∑∞=1)(。

备注：两收则和差均收，两发则和差不定，一收一发和差必发。

（2）任意改变、增加、去掉级数前面有限项不会改变级数的敛散性。

（3）在一个收敛级数中任意添加括号得到的新级数仍收敛于原级数的和。

备注：①若任意添加括号得到的新级数发散，则原级数必发散。

②若任意添加括号得到的新级数收敛，则原级数不一定收敛。

（4）若级数∑∞=1n n u 收敛，则0lim =∞→n n u 。

（级数收敛的必要条件） 备注：①若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n n u 发散。

②若0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性无法判断。

（5）几种特殊级数的敛散性①几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥-=∑∞=11,100q q q a q a nn n 发散，②调和级数：∑∞=11n n发散③-p 级数：⎩⎨⎧≤=∑∞=1111p p n n p发散，收敛， 例1：已知级数∑∞=-+1212)(n n n u u 发散，则（）（A ）∑∞=1n n u 一定收敛 （B ）∑∞=1n n u 一定发散（C ）∑∞=1n n u 不一定收敛 （D ）0lim ≠∞→n n u 例2：若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均发散，则（）（A ）∑∞=+1)(n n n v u 发散 （B ）∑∞=1n n n v u 发散（C ）∑∞=+1)(n n nv u 发散（D ）∑∞=+122)(n n n v u 发散例3：设有以下命题：①若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛；②若1lim 1 nn n u u +∞→，则∑∞=1n n u 发散；③若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均发散。

第九章 无穷级数（数二不作要求）第一节 基本概念与内容提要一、级数的基本概念、基本性质、级数收敛的必要条件 （一）1()n nn a aR ∞=∈∑称为级数。

令1nn k k S a ==∑，称n S 为级数1n n a ∞=∑的部分和。

若lim ()n n S A A R →∞=∈称级数1nn a∞=∑收敛，否则称级数发散。

（二）1nn a∞=∑收敛的必要条件是lim 0n n a →∞=（三）若1nn a∞=∑，1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ab ∞=±∑也收敛（四）若1nn a∞=∑收敛，1nn b∞=∑发散，则1()nn n ab ∞=±∑也发散（五）收敛级数任意加括号后的新级数仍收敛，且其和不变。

（六）正项级数收敛的充要条件是其某一加括号后的新级数收敛 二、正项级数的审敛法 （一）1nn a∞=∑为正项级数，1nn a∞=∑收敛⇔{}n S 有界（二）比较判别法 若0n n a b ≤≤，则 （1）由1nn b∞=∑收敛⇒1nn a∞=∑收敛 （2）由1nn a∞=∑发散⇒1nn b∞=∑发散（三）比较判别法的极限形式 设0,0,limnn n n na ab b λ→∞≥>=，则（1）当0λ≤<+∞，1nn b∞=∑收敛时⇒1nn a∞=∑收敛（2）当0λ<≤+∞，1nn b∞=∑发散时⇒1nn a∞=∑发散（四）比值判别法 设10,limn n n na a a λ+→∞>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散（五）根值判别法设n n a λ>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散三、两个重要级数 （一）p-级数11pn n∞=∑，当1p ≤时，发散；当1p >收敛。

（二）几何级数n n q ∞=∑，当且仅当1q <时收敛，这时0n n q ∞=∑=11q- 四、任意项级数的绝对收敛、条件收敛、莱布尼兹法则 （一）1nn a∞=∑收敛时，1nn a∞=∑必收敛，这时称1nn a∞=∑为绝对收敛（二）1nn a∞=∑发散时，但1nn a∞=∑收敛，这时称1nn a∞=∑为条件收敛（三）莱布尼兹判别法 若交错级数1(1)nnn a ∞=-∑中，1n n a a +≥，且lim 0n n a →∞=，则1(1)n nn a ∞=-∑收敛。

第九章 无穷级数 §9.2 正项级数的审敛法一般情况下，利用定义或级数的性质来判别级数的敛散性是很困难的，可否有更简单易行的判别方法呢？由于级数的敛散性可较好地归结为正项级数的敛散性问题，因而正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。

定义1 若级数∑∞=1n nu中的每一项都是非负的( 即 ,2,1,0=≥n u n )，则称级数∑∞=1n nu为正项级数.由正项级数的特性很容易得到下面的结论.定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件是：它的前n 项部分和数列{}n s 有界.证 （1）级数∑∞=1n nu的前n 项部分和数列{}n s 满足：),3,2,1(1 =+=-n u s s n n n显然{}n s 是单调增加的，且{}n s 有界；则由数列的单调有界准则得数列{}n s 是收敛的，即级数∑∞=1n nu收敛.（2）若正项级数∑∞=1n nu是一个收敛的级数，设其收敛于s ，又其前n 项部分和数列{}n s 是单调增加的，则可得M s s n ≤≤≤0，其中M 是一正常数，即数列{}n s 有界.借助于正项级数收敛的充分必要条件，我们可建立一系列具有较强实用性的正项级数审敛法.定理2 （比较审敛法）设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且),2,1( =≤n v u n n （1）则：(1) 如∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(2) 如∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv亦发散.证 (1) 设∑∞=1n nv收敛于σ，且n n v u ≤，则∑∞=1n nu的部分和n s 满足σ≤+++≤+++=n n n v v v u u u s 2121即单调增加的部分和数列{}n s 有上界.由定理1可得∑∞=1n nu收敛.(2) 设∑∞=1n nu发散，则它的前n 项部分和)(21∞→+∞→+++=n u u u s n n因n n v u ≤，则级数∑∞=1n nv的前n 项部分和n n n n s u u u v v v =+++≥+++= 2121σ所以当∞→n 时+∞→n σ，即∑∞=1n nv发散.由于级数的每一项同乘以一个非零常数，以及去掉级数的有限项不改变级数的敛散性，因而比较审敛法又可表述如下：推论1 设C 为正数，N 为正整数，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且),1,( +=≤N N n Cv u n n （2）则：(1) 如∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(2) 如∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv亦发散.例1 讨论 -p 级数+++++=∑∞=p p p n p n n 13121111的敛散性，其中0>p .解 （1）若10≤<p ，则n n p≤，可得n n p 11≥；又因调和级数∑∞=11n n发散，由定理2知∑∞=11n p n 发散. （2）若1>p ，对于满足 n x n ≤≤-1的x （其中2≥n ），则有p p p n x n ≤≤-)1(继而可得p pnx 11≥ 又)1)1(1(11111111111---------=-=≤=⎰⎰p p nn pnn p nn p p nn p x p x dx n dx n 考虑级数 ∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2111)1(111n p p n n p ，它的部分和 ∑+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=12111)1(111n k p p n k k p s)(11)1(11111∞→-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-n p n p p故 ∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2111)1(111n p p n n p 收敛，由比较审敛法可得∑∞=21n pn收敛，再由级数的性质可得∑∞=11n p n 亦收敛. 综上讨论，当10≤<p 时，-p 级数∑∞=11n p n 是发散的；当1>p 时，-p 级数∑∞=11n p n是收敛的.-p 级数是一个很重要的级数，在解题中往往会充当比较审敛法的比较对象，其它的比较对象主要有几何级数、调和级数等.推论2*（比较审敛法的极限形式）设∑∞=1n nu、∑∞=1n nv为两个正项级数，如果两级数的通项n n v u ,满足)0(lim+∞<<=∞→l l v u nnn （3）则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.证 由极限的定义，取2l=ε，存在着自然数N ，当N n >时，有不等式 2l l v u n n <- 成立，可得232lv u l n n <<，即n n n v l u v l ⋅<<⋅232；再由推论1即得结论.例2 判别级数（1）∑∞=-122n n n （2）)11ln(12∑∞=+n n 的敛散性.解 （1）因n n n n n 1222=>-，且∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=-122n n n发散；（2）因221)11ln(n n <+，且∑∞=121n n 收敛，故级数)11ln(12∑∞=+n n 收敛.例3 讨论级数)0(111>+∑∞=a an n的敛散性. 解 （1）当1>a 时，级数∑∞=+111n n a 的通项n n a a 111<+，而∑∞=11n na 是一个公比为a 1的等比级数，且a 1<1，则∑∞=11n n a 收敛，故级数∑∞=+111n na收敛； （2）当1=a 时，级数∑∞=+111n n a 的通项2111=+n a ，且∑∞=121n 发散，故级数∑∞=+111n na发散.（3）当1<a 时，级数∑∞=+111n n a 的通项2111>+n a ，而∑∞=121n 发散，故级数∑∞=+111n na发散.例4 设),2,1( =≤≤n c b a n n n ，且级数∑∞=1n na及∑∞=1n nb都收敛，证明级数∑∞=1n nc收敛.证 因n n n c b a ≤≤， ,2,1=n ，可得n n n n a b a c -≤-≤0；而级数∑∞=1n na及∑∞=1n nb都收敛，由级数收敛的性质知∑∞=-1)(n n na b收敛，再由比较审敛法得∑∞=-1)(n n n a c 收敛.而])[(11n n n n n na a c c+-=∑∑∞=∞=故可得级数∑∞=1n nc收敛.定理3 （比值审敛法，又称达朗贝尔审敛法） 若正项级数∑∞=1n nu满足ρ=+∞→nn n u u 1lim（4）则：（1）当1<ρ时，级数∑∞=1n nu收敛；（2）当1>ρ(或+∞=ρ)时，级数∑∞=1n nu发散；（3）当1=ρ时，级数∑∞=1n nu的敛散性用此法无法判定.证 （1） 当1<ρ时，则可取一足够小的正数ε，使得 1<=+r ερ；又因ρ=+∞→nn n u u 1lim ，据极限的定义，对正数ε，存在自然数N ，当N n >时，使得ερ<-+nn u u 1成立，即ρερε+<<+-+nn u u 1则有r u u nn =+<+ερ1，可得 ),2,1(1 ++=⋅<+N N n u r u n n即有N N u r u ⋅<+1N N N u r u r u ⋅<⋅<++212N N N N u r u r u r u ⋅<<⋅<+++31223…则相加有++++++321N N N u u u +⋅+⋅+⋅<N N N u r u r u r 32因10<<r ，得级数∑∞+=1N n nu收敛，再由级数得性质得∑∞=1n nu收敛.（2） 当1>ρ时，存在充分小的正数ε，使得1>-ερ，同上由极限定义，当N n >时，有11>->+ερnn u u 即n n u u >+1，因此当N n >时，级数∑∞+=1N n nu的一般项是逐渐增大的，故它不趋向于零，由级数收敛的必要条件知∑∞=1n nu发散.（3）当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散. 如对于-p 级数∑∞=11n p n ，不论p 取何值，总有 11lim 1)1(1lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→+∞→pn p pn n n n n n n n u u 但是，该级数却在1>p 时收敛， 1≤p 时发散.例5 判定下列级数的敛散性 （1）!11n n ∑∞= （2）∑∞=1!n n n n （3）∑∞=⋅-12)12(1n nn解 （1）因 !1n u n =，故 1011lim !1)!1(1limlim 1<=+=+==∞→∞→+∞→n n n u un n nn n ρ 由比值审敛法知级数!11n n ∑∞=是收敛的. （2）因 !n n u nn =，故1)11(lim )!1(!)1(lim lim 11>=+=+⋅⋅+==∞→+∞→+∞→e n n n n n u u n n n n n nn n ρ由比值审敛法知级数∑∞=1!n nn n 是发散的.（3）因 nn u n 2)12(1⋅-=，故1)12(22)12(lim lim1=+⋅⋅-==∞→+∞→n n nn u u n nn n ρ用比值法无法确定该级数的敛散性；注意到n n n ≥->122，可得22)12(n n n >⋅-，即212)12(1n n n <⋅-；而级数∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=⋅-12)12(1n nn 收敛.定理4*（根值审敛法或柯西审敛法） 若正项级数∑∞=1n nu满足ρ=∞→n n n u lim （5）则：（1）当1<ρ时，级数∑∞=1n nu收敛；（2）当1>ρ(或+∞=ρ)时，级数∑∞=1n nu发散；（3）当1=ρ时，级数∑∞=1n nu的敛散性用此法无法判定.证 （1）当1<ρ时，可取一足够小的正数ε，使得 1<=+r ερ；据极限的定义，存在自然数N ，当N n >时有r u nn =+<ερ即nn r u <；而等比级数∑∞+=1N n nr(10<<r )是收敛的，由比较判别法知∑∞+=1N n nu收敛；再由级数的性质得级数∑∞=1n nu收敛.（2）当1>ρ时，同理存在充分小的正数ε，使得1>-ερ，据极限定义，当N n >时有1>->ερnn u即1>n u ，因此级数的一般项不趋向于零,由级数收敛的必要条件知∑∞=1n nu发散.（3）当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散.如级数∑∞=121n n 是收敛，而级数∑∞=11n n是发散的，但1)1(lim 1lim lim 22===∞→∞→∞→n n nn n n n n n u 11lim 1lim lim ===∞→∞→∞→n n nn n n n nn u 例6 判别级数∑∞=+12)12(n n nn 的敛散性.解 因nn nn u )12(2+=，则121)12(lim lim 2<=+==∞→∞→n nn nn n nn u ρ故级数∑∞=+12)12(n n nn 收敛.注：对于利用比值审敛法与根值审敛法失效的情形(即1=ρ时)，其级数的敛散性应另寻它法加以判定，通常可用构造更精细的比较级数来判别.§9.3 交错级数及其审敛法定义2 级数中的各项是正、负交错的，即具有如下形式n n n u 11)1(-∞=-∑或n n n u )1(1-∑∞= （6）的级数称为交错级数.其中 ,3,2,1,0=≥n u n .因两者的表示只差一个负号，它们的敛散性完全相同，故下面一般只讨论nn n u 11)1(-∞=-∑这一形式.定理5 （交错级数审敛法又称莱布尼兹定理) 如果交错级数n n n u 11)1(-∞=-∑满足条件：（1） ,2,1,1=≥+n u u n n（2） 0lim =∞→n n u则交错级数n n n u 11)1(-∞=-∑收敛，且收敛和1u s ≤，其余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证 （1）先证n n s 2lim ∞→存在. 级数n n n u 11)1(-∞=-∑的前n 2项的部分和n s 2可表示为以下两种形式：)()()(21243212n n n u u u u u u s -++-+-=- （7） n n n n u u u u u u u u s 21222543212)()()(--------=-- （8） 由条件(1) 1+≥n n u u ，即01≥-+n n u u ， ,2,1=n ；则（7）式表明：数列n s 2是非负的且单调增加的；而（8）式表明：12u s n <,即数列n s 2有上界.由单调有界准则，当n 无限增大时，n s 2必有极限，不妨设为s ，显然1u s ≤，即12lim u s s n n ≤=∞→（2）再证s s n n =+∞→12lim .因 12212+++=n n n u s s ，由由条件(2) 0lim 12=+∞→n n u 可知s s u s s n n n n n n =+=+=+∞→∞→+∞→0lim lim lim 12212因级数前n 项部分和数列n s 的两个子数列满足：前n 2项的部分和数列n s 2与前12+n 项的部分和12+n s 都趋向于同一极限s ，故的前n 项部分和数列n s 在当∞→n 时的极限存在且仍为s ，且1u s ≤.（3）最后证明1+≤n n u r . 级数n n n u 11)1(-∞=-∑的余项可以写成 )(21 +-±=++n n n u u r ，其绝对值为+-=++21n n n u u r此式表明，其右端也是一个交错级数，且也满足此定理的两个条件，故n r 应小于它的首项，即 1+≤n n u r .例7 判别交错级数∑∞=--111)1(n n n 的敛散性. 证 因级数∑∞=--111)1(n n n 的通项n u 满足： 1111+=+<=n n u n n u 且01lim lim ==∞→∞→nu n n n 满足定理5的条件，故此交错级数收敛，并且其和1<s .例8 判别交错级数∑∞=--11ln )1(n n nn的敛散性. 证 因级数∑∞=--111)1(n n n 的通项n u n n ln =，令3,ln )(>=x x x x f ；则 0ln 1)(2<-='x xx f ，3>x 即当3>n 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 是递减数列；又利用洛必达法则知 01lim ln lim ln lim ===+∞→+∞→∞→xx x n n x x n满足定理5的条件，故此交错级数收敛.9.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义3 如级数∑∞=1n nu中的每一项),2,1( =n u n 为任意实数，称该级数为任意项级数.对于该级数，我们可以构造一个正项级数∑∞=1n n u ，通过级数∑∞=1n n u 的敛散性来推断级数∑∞=1n nu的敛散性.定义4 （1）如果级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛；（2）如果级数∑∞=1n n u 发散，而级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛.定理6 如果级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 亦收敛.证 设级数∑∞=1n nu收敛，令),2,1()(21=+=n u u v n n n 显然0≥nv ，且n n u v ≤；由比较审敛法知正项级数∑∞=1n n v 收敛，从而∑∞=12n n v 亦收敛.另一方面，n n n u v u -=2，则由级数性质知级数)2(11n n n n nu v u-=∑∑∞=∞=收敛.例9 讨论级数∑∞=--111)1(n n n的收敛性.解 因级数∑∞=11n n 是21=p 的-p 级数，故而发散，；而交错级数∑∞=--111)1(n n n 可由交错级数审敛法得其是收敛的，故级数∑∞=--111)1(n n n不是绝对收敛，而是条件收敛的.例10 判定任意项级数∑∞=12)sin(n n n α，),(+∞-∞∈α的收敛性。

无穷级数例题选解1．判别下列级数的敛散性：212111111!21(1)sin;(2)ln(1);(3);(4)()32n nn n n n n n nnnn ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？（1）211(1)[3n nn n ∞-=-+∑； （2）21cos 3nn n n ∞=∑； （3）11(1)n n ∞-=-∑。

3．求幂级数0nn ∞=∑的收敛区间。

4．证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。

5．在区间(1,1)-内求幂级数11n n xn+∞=∑的和函数6． 求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。

7．把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0(1)3(21)nnn n ∞=-+∑ 的和8．设11112,()2n n na a a a +==+（1,2,n = ）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)n n n a a ∞=+-∑收敛。

9．设40tan nn a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值；2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1n n a nλ∞=∑收敛。

10．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n n a 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。

11．已知222111358π+++= ，计算1011ln 1xdx x x +-⎛⎜⎠。

12．计算48371115!9!3!7!11!πππππ++++++。

参考答案：1．解：（1）2211sin n n<，而∑∞=121n n收敛，由比较审敛法知∑∞=121sinn n收敛。

（2）)(1~)11ln(∞→+n nn，而∑∞=11n n 发散，由比较审敛法的极限形式知∑∞=+1)11ln(n n发散。