建立适当的直角坐标系

建立适当的平面直角坐标系解决实际问题例1、如图,一石拱桥呈抛物线状,已知石拱跨度AB为40 m,拱高CM为16m,把桥拱看作一个二次函数的图象,建立适当的平面直角坐标系.1写出这个二次函数的表达式.2已知点N在距离中心M5 m处,求点N正上方桥高DN的长.例2、如图所示,公园要建造圆形的喷水池,水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A处喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.1若不计其他因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不能落到池外2若水流喷出的抛物线形状与1相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度可达多少米例3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2．8m,装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．练习1、如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥面顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-x-62+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是____________.2、2016·唐山二模设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE=B.113、一个横断面是抛物线的渡槽如图所示,根据图中所给的数据求出水面的宽度是______.4、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4m时,拱顶拱桥洞的最高点离水面2m,水面下降1m时,水面的宽度为____________m.5、如图,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门底部地面宽4米,顶部距地面的高度为米,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为米,该车要想通过此门,装货后的高度应小于A．米B．米C．米D．米6、一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测得,当水面宽AB＝1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少是否会超过1 m7、如图,有一座抛物线型拱桥,已知桥下在正常水位AB时,水面宽8m,水位上升3m, 就达到警戒水位CD,这时水面宽4m,若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．8、平时我们在跳大绳时,绳子甩到最高处的形状可近似看为抛物线,如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面距离均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m,2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,求学生丁的身高.9、2016·常州模拟如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B,有人在直线AB上点C靠点B一侧竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶.试图让网球落入桶内,已知AB=4m,AC=3m,网球飞行最大高度OM=5m,圆柱形桶的直径为0.5m,高为0.3m网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计.当竖直摆放圆柱形桶至少几个时,网球可以落入桶内。

建立适当的坐标系解决实际问题一、建立坐标系解决实际问题的一般步骤 1. 恰当地建立直角坐标系； 2. 将已知条件转化为点的坐标； 3. 合理地设出所求函数关系式；4. 代入已知条件或点的坐标，求出关系式；5. 利用关系式求解问题。

方法归纳：（1）恰当地建立直角坐标系是准确、简捷地求解问题的关键； （2）将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系； （3）设函数关系式应根据题设合理选择三种函数式中的一种； （4）求解问题应能将点的坐标正确地转化为距离或高度。

总结：1. 能分析实际问题中数量关系，建立二次函数模型。

2. 能够建立坐标系，确定二次函数关系式，并解决实际问题。

例题1 如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB 之间按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.36米，则立柱EF 的长为（ ）ABCEFOA. 0.4米B. 0.16米C. 0.2米D. 0.24米解析：由于按相同的间距0.2m 用5根立柱加固，则AB ＝0.2×6＝1.2，以C 为坐标系的原点，OC 所在直线为y 轴建立坐标系，由此得到抛物线过B （0.6，0.36）、C （0，0）、A （－0.6，0.36），据此求出其解析式。

把x ＝－0.4代入后求出y ，令EF=0.36－y 即可。

答案：如图，以C 为坐标系的原点，OC 所在直线为y 轴建立坐标系，设抛物线解析式为y ＝ax 2，由题意知，图象过B （0.6，0.36），代入得：0.36＝0.36a ，∴a ＝1，即y ＝x 2。

∵F 点横坐标为－0.4，∴当x ＝－0.4时，y ＝0.16，∴EF＝0.36－0.16＝0.2米。

故选C 。

点拨：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题。

主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，建立恰当的坐标系是解题关键。

例题2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图所示，已知球出手时离地面209m ，与篮筐中心的水平距离是7m ，当球运行的水平距离是4m 时，达到最大高度4m ，设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m 。

11．实际问题与二次函数(三)建立坐标系解决问题预习归纳1．建立适当的直角坐标系，将实际问题转化为_________的模型来解决问题．例题讲解【例】有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图所示平面直角坐标系中，求抛物线的函数解析式．基础题训练1． (2014•绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣(x﹣6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．2．如图所示，有一建筑工从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m．(1)求抛物线的解析式．(2)求水流落地点B离墙的距离OB．3．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽AB＝8cm，然后有一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m．(1)求抛物线的解析式；(2)求门高OE的长．中档题训练4．如图，排球运动员甲站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行路线是抛物线的一部分．当球运动到最高点D时，其高度为2．6m，离甲站立地点O点的水平距离为6cm，球网BC离O点的水平距离为9m，以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，乙站立地点M的坐标为(m,0)．⑴求出抛物线的解析式；(不写出自变量的取值范围)⑵求排球落地点N离球网的水平距离；⑶乙原地起跳可接球的最大高度为2．4m，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．综合题训练5．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y＝﹣x2＋x，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．(1)请写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴．(2)请求出球飞行的最大水平距离．(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．。

建立直角坐标系的原则建立直角坐标系是一项日常使用的有用工具，它有助于确定两个点之间的距离和方向。

它还可以帮助我们描绘出空间的几何形状。

鉴于其重要性，建立直角坐标系的原则也变得特别重要。

首先，建立直角坐标系的原则之一是建立一个第一坐标轴，也称作x轴，它是建立坐标系的基础。

它是把坐标系分成两条线，线的两端称为原点和端点。

原点是坐标系中的起点，代表x轴的数值为0，而端点则代表x轴的数值为最大或最小，这取决于给定的参数。

第二，建立第二个坐标轴，也称作y轴，它是建立坐标系的支柱。

它的原点和端点的位置是垂直于x轴的，并且在建立y轴的过程中，应该确保轴的原点和x轴的原点完全重合，而y轴的端点则在x轴和y轴上都有一个数值，这取决于给定的参数，同样也可以为最大或最小。

然后，基于以上两条轴建立第三条坐标轴，即z轴，它垂直于x 轴和y轴，并以原点为起点，端点也有一个数值，这取决于给定的参数，可以为最大或最小。

最后，建立三条轴后，就可以创建更多坐标点，使三个轴全部被描述出来，并有一个坐标系作为确定两个点之间的距离和方向的工具。

建立直角坐标系的基础设置会关系到空间的几何形状，因此，建立直角坐标系的原则是经过精心研究的，必须精确的确定每条轴的原点和端点的位置，并确保它们的相对位置适当。

此外，在建立坐标系的过程中，我们还需要注意每个分量，确保它们满足原则。

至此，建立直角坐标系的原则可以分为四个部分：第一，建立一个第一坐标轴，也称作x轴，并确定原点和端点的位置；第二，建立一个第二坐标轴，也称作y轴，并确定原点和端点的位置；第三，建立一个第三坐标轴，也称作z轴，并确定原点和端点的位置；第四，在构建坐标系的过程中，我们还需要注意每个分量，以确保坐标系满足原则。

建立直角坐标系是一种重要的工具，能够用在许多不同的场合，尤其是在科学、技术和工程等领域中。

理解和遵循建立直角坐标系的原则，是有效利用坐标系的基础。

如何建立适当的坐标系
□ 河北井陉微水中学 梁彦庭
求曲线方程是解析几何研究的主要内容之一，用解析法证明有关题目也是一种重要的数学方法，这两个问题的第一步都是建立适当的直角坐标系.那么，怎样建立的坐标系才是适当的呢？它一般有三种考虑：一是建立的坐标系有利于求出题目的结果；二是尽可能多地使图形上的点（或已知点），落在坐标轴上；三是充分利用图形本身的对称性.下面举例说明：
例 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB =20米，拱高OP =4
米，在建造时每隔4米需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长度.（解析几何P 62例
4）
解 以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，
则P （0，4），B （10，0），设圆心的坐标是（0,b ），圆的半径是r ，那么圆的方程
是x 2+(y －b )2=r 2
∵P 、B 都在圆上，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+222222)0(10)4(0r
b r b 解得b =－10.5,r 2=14.52
∴这个圆的方程是x 2+(y +10.5)2=14.52
把点P 2的横坐标x =－2代入这个圆的方程可求得
y =3.86(米)（很明显，y 取正值）
即A 2P 2=3.86米
评析 此题建立坐标系三方面都考虑到了.一：P 2点的纵坐标即为所求；二：A 、B 、P 、A 1、A 2、A 3、A 4都在坐标轴上；三：利用了线段的垂直平分线的对称性，且垂直平分线是所求圆的对称轴.。

建立空间直角坐标系的几种方法方法一：直角坐标系基于物体的参考点和参考线。

首先，选择一个点作为原点，然后选择一个方向作为x轴的正方向，并将参考直线从原点开始延伸。

然后，选择与x轴垂直的方向作为y轴的正方向，并延伸直线。

最后，选择与xy平面垂直的方向作为z轴的正方向，并延伸直线。

这样，就完成了一个空间直角坐标系的建立。

方法二：直角坐标系基于坐标系的旋转和平移。

在二维平面中，我们可以通过将一个坐标系进行旋转和平移来建立另一个坐标系。

同样，在三维空间中，我们可以通过对一个已有的坐标系进行旋转和平移来建立一个新的坐标系。

通过旋转和平移的组合，我们可以得到一个新的坐标系，其中的坐标轴可以与原坐标系的坐标轴成直角。

方法三：直角坐标系基于物体的方向和参考面。

在航空航天等领域，直角坐标系通常是根据物体的方向和参考面来建立的。

例如，在航空航天器中，航天员在太空中的朝向通常是以地球为参考面建立的直角坐标系。

方法四：直角坐标系可以通过测量和计算得到。

在地理测量和地质勘探等领域，可以通过测量物体的位置和方向来确定一个直角坐标系。

测量可以通过使用全站仪或其他测量设备进行精确的三维测量来完成。

方法五：直角坐标系可以基于地图坐标系建立。

在地理信息系统（GIS）中，地图坐标系是一种基于平面坐标系的直角坐标系。

通过将地图上的点与已知的地理坐标进行对应，并利用平面坐标系的投影方法，可以建立地图坐标系。

以上是建立空间直角坐标系的几种常见方法。

这些方法在各种领域中得到广泛应用，可以帮助我们更好地理解和描述物体在空间中的位置和方向。

教学设计首页平面直角坐标系------ 如何建立适当的平面直角坐标系静态自习课自习安排：1、自习课本65页例3、例4、议一议，并完成课本内容2、完成学导练69页自学检测部分3、思考：1）给定一个图形，有几种建系方法，不同坐标系下坐标相同吗？ 2）给定一个图形，如何建立平面直角坐标系较为简便 3）给定点的坐标，应如何建立平面直角坐标系动态展示课（一） 基础检测 （共4分）1、 右图是某市几个主要景点示意图，根据图中信息可确定 九疑山的中心位置C 点的坐标为＿＿(3,1)＿＿．（1分）2、 下图均为边长为4的正方形，写出各图中点C 的坐标 （1）图一：C （4，4） （1分） （2）图二：C （0，4） （1分） （3）图三：C （2，4） （1分）阅卷组起立，评分 （二）知识构建 1、（师）：昨日自习课中，你学到了什么？ （生）：同一图形，可以建立不同的平面直角坐标系，坐标系不同，点的坐标也不同 2、展示小组对学导练69页自学检测部分进行展示汇报 一组展示题：例1.（1）如图，矩形ABCD 的长与宽分别是6，4，建立 适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

（2）在上面的问题中，你还可以怎样建立直角坐标系？与同伴交流。

（3）对比不同的建立坐标系的方法，你更喜欢哪一种？谈谈你的看法 二组展示题：（生）：在讲解自己解题过程中结合学生的互动，并讲解清楚了不同坐标的具体求法，注意顶点落到不同象限对应的正负 （师）：总结刚刚两个小组的展示，我们再次看到同一图形可以建立不同的平面直角坐标系，坐标系不同，对应点的坐标也不相同。

那如何进行选择，需要我们进一步讨论 （师）：汇报自习检测情况，小组报分，错误多的小组说明错误原因 （三）解惑提升学生困惑：1、给定一个图形，怎样建立平面直角坐标系最简便 2、平面直角坐标系的坐标原点一定要在顶点上吗？ 3、答题格式是什么？ 学生补充困惑： 老师质疑：如图，矩形ABCD 中，AB=8，CB=4，AF//CE,且AE=5,建立恰当的平面直角坐标系，并表示各顶点的坐标小组讨论困惑，给出你的回答 （生）：1、答：建系原则：1）让尽可能多的点落在坐标轴上；2）坐标运算要简便3）先定原点，X 轴Y 轴，再标坐标，根据长度及所在位置确定点的坐标 2、答： 平面直角坐标系的坐标原点不一定要在顶点上，是以方便建系，方便标坐标为原则建系的。