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庖丁巧解牛知识·巧学一、条件概率1.设A 、B 为两个事件，且P （A ）＞0，称P(B|A)=)()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.一般把P(A|B)读作B 发生的条件下A 的概率.2.条件概率的性质为：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).疑点突破 事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的.深化升华 已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求P （B ｜A ）相当于把A 看做新的基本事件空间来计算AB 发生的概率，即 P(B|A)=)()()()()()()()(A P AB P n A n n AB n A n AB n =ΩΩ=. 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件），求另一事件在此条件下发生的概率.二、事件的独立性设A 、B 为两个事件，如果P （AB ）=P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立 如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立.“P （AB ）=P （A ）P （B ）”，说明事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P （B ｜A ）=P （B ）.一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 相互独立，那么这ｎ个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A 1A 2…A n )=P （A 1）×P(A 2)×…×P(A n ).同两事件相互独立的公式应用前提一样，这儿也只有当A 1,A 2,…,A n 相互独立时才成立.辨析比较 事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念.两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生，两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.知识拓展 1-P （A ）×P （B ）表示两个相互独立事件A 、B 至少有一个不发生的概率.三、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的ｎ次试验称为ｎ次独立重复试验.“在相同条件下”，是指在ｎ次独立重复试验中，各次试验的结果不会受到其他试验的影响. ｎ次独立重复试验常见的实例有：①反复抛掷一枚均匀硬币；②正（次）品率的抽样；③有放回的抽样；④射手射击目标命中率已知的若干次射击.2.二项分布：一般地，在ｎ次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为ｐ，那么在ｎ次独立重复试验中，事件A 恰好发生ｋ次的概率为P （X=k ）=k n C p k （1-p ）n-k ，k=0，1，2，…，n.此时称随机变量X 服从二项分布.记作X —B （n,p ），并称ｐ为成功概率.二项式［（1-p ）+p ］n 的展开式中，第ｋ＋1项为T k+1=k n C (1-p)n-k p k ，可见P(X=k)就是二项式［(1-p)+p ］n 的展开式中的第ｋ＋1项，故此公式称为二项分布公式.方法归纳 求概率问题时，一般按如下步骤解决：①确定所给事件的性质.归纳为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验中的某一种；②u 判断事件的运算.看是和事件、积事件，确定事件至少有一个发生还是同时发生，从而运用相加或相乘的公式；③运用相应的公式求解.问题·探究问题1 我们知道，抛掷两次硬币，出现一次正面的概率是21.那么抛掷100次硬币一定会出现50次正面吗？思路:不会.事实上，将一枚硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能结果（出现正面或出现反面）.出现正面的概率为21，根据ｎ次独立重复试验中事件发生ｋ次的概率公式，随机掷100次正好出现50次正面的概率为P 100(50)=50100C (21)100≈0.08.这个事件发生的可能性很小.探究:误认为“抛掷100次硬币一定会出现50次正面”，是因为没有理解“ｎ次独立重复试验恰好发生ｋ次”这一概率模型.这里指的是掷100次硬币恰好有50次正面，因而它的概率并不等于21，应该是掷100次硬币至少有50次正面的概率为21. 问题2 条件概率和相互独立事件同时发生的概率有什么异同？互斥事件和相互独立事件的区别是什么？思路:设事件A 、B ，在事件A 发生的条件下事件B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，即AB 发生.但是在相互独立事件同时发生的概率中，A 、B 相互独立，互不影响，在条件概率中A 、B 有联系，不独立，即若B 发生，则A 一定发生.互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念，两者都是对两个事件而言的，不同的是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否与另一个事件发生的概率没有影响.因此，互斥事件和相互独立事件一定要区分清楚.探究:相互独立事件的概率求解一般是应用乘法公式，应用时要注意理解并运用相互独立事件的性质，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立.如甲乙两人独立解同一道题，甲解决该问题的概率为P 1，乙解决该问题的概率为P 2，求恰好有1人解决这个问题的概率.我们应明确“恰好有1人解决这个问题”是指一人解出，同时另一人解不出，而两人解决问题是相互独立的.可以记甲解决这个问题的事件为A ，乙解决这个问题的事件记为B.则所求概率为P(A·B +A ·B)=P （A·B ）+P （A ·B ）=P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）=P 1（1-P 2）+P 2（1-P 1）.典题·热题例1(2005浙江高考)袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(1)从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列.(2)若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是52，求p 的值． 思路分析： 由题意知，问题(1)可以看做是一个独立重复试验，可能利用独立重复试验的概率公式求解；问题(2)属于一个古典概型问题，可以用古典概型的概率公式解决.解：(1)①24C ×(31)2×(32)2×31=818. ②随机变量 ξ的取值为0，1，2，3.由n 次独立重复试验概率公式P n (k)=k n C p k (1-p)n-k ，得P(ξ=0)=05C ×(1-31)5=24332,P(ξ=1)=15C ×31×(1-31)4=24380, P(ξ=2)=25C ×(31)2×(1-31)3=24380, P(ξ=3)=33C (31)3+23C (31)2·32·31+24C ·（31）2·（32）2·31=8117或 P （ξ=3）=1-P （ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=2)=1-811724351243808032==++ 随机变量 ξ的分布列是Ξ 01 2 3 P 24332 24380 24380 8117 (2)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球. 由523231=+m mp m ,得p=3013. 方法归纳 解决概率问题的关键是找出概率类型，所以对各种类型必须熟悉.根据试验的特点找出试验类型，然后采用相应的公式求解.例2在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.思路分析： 本题属于条件概率问题.在已知该考生在考试中通过的前提下，获得优秀的概率，所以应根据条件概率的公式求解.解：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题另2道答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A 、B 、C 两两互斥，且D=A ∪B ∪C,E=A ∪B.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=620210410620110510620610C C C C C C C C ++; P(AD)=P(A),P(BD)=P(C ∪B);P(E|D)=P(A ∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=58131********12180210)()()()(620620620620=+=+C C C C D P B P D P A P ,所以所求的概率为5813. 误区警示 利用公式P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）可使求有些条件概率较为简捷，但应请注意这个性质在“B 与C 互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.例3甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为31和41，求： （1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）至多1个人译出密码的概率；（4）至少1个人译出密码的概率.思路分析： 我们把“甲独立地译出密码”记为事件A ，把“乙独立地译出密码”记为事件B ，显然，A ，B 为相互独立事件.问题（1）相当于事件A ，B 同时发生，即事件AB.问题（2）相当于事件A ·B .问题（3）“至多1个人译出密码”的对立事件是“两个人都译出密码”，即事件AB.问题（4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，即事件A ·B .由于A 、B 是相互独立事件，上述问题中，A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率.解：记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”记为事件B ，A 、B 为相互独立事件，且P （A ）=31，P （B ）=41. （1）两个人都译出密码的概率为：P （A·B ）=P （A ）·P （B ）=31×41=121. （2）两个人都译不出密码的概率为：P(A ·B )=P （A ）·P （B ）=［1-P （A ）］×［1-P(B)］=(1-31)(1-41)=21. （3）“至多1个人译出密码”的对立事件是“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-31×41=1211. （4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为1-P(A ·B )=1-P(A )P(B )=1-4332⨯=21. 方法归纳 解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来解决.在运用乘法公式时，一定要注意是否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式.深化升华 在求事件的概率时，有时遇到求“至少…”或“至多…”等事件概率的问题，如果从正面考虑这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但它们的对立事件却往往较简单，其概率也易求，此时，可逆向思维，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式，求得原来事件的概率，即正难则反.例4某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少两次中靶的概率.思路分析： 至少有两次中靶包括恰好有2次中靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四种情况.而这些事件是彼此互斥的，而他每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而他射击5次是进行5次独立重复试验.解：解法一：在5次射击中恰好有2次中靶的概率为25C ×0.92×0.13；在5次射击中恰好有3次中靶的概率为35C ×0.93×0.12；在5次射击中恰好有4次中靶的概率为45C ×0.94×0.1；在5次射击中5次均中靶的概率为55C ×0.95.至少有2次中靶的概率为25C ×0.92×0.13＋35C ×0.93×0.12+45C ×0.94×0.1＋55C ×0.95=0.008 1＋0.072 9＋0.328 05＋0.590 49=0.999 54.解法二：至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件.在5次射击中恰好有1次中靶的概率为15C ×0.9×0.14；在5次射击中全没有中靶的概率为0.15.所以至少有2次中靶的概率为1-15C ×0.9×0.14-0.15=1-0.000 45-0.000 01=0.999 54.误区警示 如果我们对独立重复试验的意义理解不深刻，很容易得出其概率为25C ×0.92×0.13=0.008 1的错误结果.究其原因是“至少有2次中靶”这一事件并不是指“有2次中靶，而其余三次不中靶”，因而不能直接运用公式k n C p k (1-p)n-k .该公式仅适用于求某ｎ次独立重复试验中，事件A 发生了ｋ次，而其余的ｎ-ｋ次事件A 不发生的概率，且P （A ）=ｐ.例5某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5%（即每件为次品的概率）.现从一件产品中任意连续地取出2件，其中次品数ξ的概率分布是ξ 0 1 2P请完成上表.思路分析： 由于每件产品的次品率为5%，则连续取出2件就相当于2次独立重复试验，即题中次品数ξ服从二项分布.解：由题意知，ξ—B(2,5%)，则P(ξ=0)=02C (5%)0(95%)2=0.902 5,P(ξ=1)=C 12(5%)1(95%)1=0.095,P(ξ=2)=22C (5%)2(95%)0=0.002 5.所以，所求随机变量ξ的分布列为：Ξ 0 1 2P 0.902 5 0.096 0.002 5深化升华 二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程，因此我们应熟练掌握二项分布.应用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为ｎ次独立重复试验，随机变量是否为在这ｎ次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.例6某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现因电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率是多少？ 思路分析：50千瓦电力可同时供给5台机床开动，10台机床同时开动的台数不超过5台都可以正常工作，而每台开动与否是相互独立的，这是独立重复实验的问题.解：每台机床只有“开动”与“不开动”两种情况，开动的概率为516012=，不开动的概率为1-5451=.由于机床是否开动是相互独立的，因此10台机床正常工作，相当于做10次重复实验，但供电部门提供50千瓦的电力只能使5台机床同时工作.所以P=P 10（0）+P 10（1）+P 10（2）+P 10（3）+P 10（4）+P 10（5）=010C ·（51）0·（54）10+110C ·（51）1·（54）9+210C ·（51）2·（54）8+310C ·（51）3·（54）7+410C ·（51）4·（54）6+510C ·（51）5·（54）5=0.094. 故这10台机床能够正常工作的概率为0.094.误区警示 本题容易忽视的是独立重复试验含义，独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果，并且在每一次试验中，事件发生的概率均相等.。
