垂径定理课件PPT

D D
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C,
·Ｏ
A (E)
B 推论1：
⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， C 并且平分弦所对的两条弧．
探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB
于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？
为什么？
C
ED F B
设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，
r
O
得: r≈3.9（m）
在Rt△ONH中，由勾股定理，得：
OH=√ON2-NH2=√3.92-1.52=3.6
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5
A F
O· E C
B
AF=√OA2-OF2=√62-1.52=
3√15 2
AB=2AF= 3√15
9.如图,圆O与矩形ABCD交
AH
于E、F、G、H,EF=10， HG=6，AH=4，求BE的长.
BE
BE=2
MG D
·ON F C
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦
M
B
图中相等的线段有 :AE=EB CF=FD . 图中相等的劣弧有: A⌒MC⌒=NB⌒=MN⌒D. .A⌒C=B⌒D. .
A
E
O·F
D
CN
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,

C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。

《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。

1.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是 圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱 高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆 的半径（结果精确到0.1m）.
解为：Rm如，图经，过用圆A⌒心BO表作示弦桥A拱B，的A⌒垂B 线所O在D圆，的D为圆垂心足为，O，与半A⌒径B 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是A⌒B 的中
点，CD就是拱高.由题设
AB=37.4，CD=7.2，
37.4 C
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 7.2
2
2
OD=OC-DC=R-7.2.
A
D
B
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得：OA2=AD2+OD2，
O
即 R2=18.72+(R-7.2)2.பைடு நூலகம்解得 R≈27.9（m）.
答：桥拱所在圆的半径约为27.9m.
2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦
所夹的弧相等吗？为什么？ 相等
E
C
D
O·
证明:作直径EF垂直于弦AB， A
B
由于AB//CD，因此EF⊥CD，
F
由于EF⊥AB，因此，AE=BE，
由于EF⊥CD，因此，CE=DE，
从而AE-CE=BE-DE，即AC=BD.

沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 A
E
B
个半圆重合，A点和B点重合，⌒ AE
和BE重合，AC、AD⌒分别和⌒BC、
D
BD重⌒ 合。⌒因此
⌒
⌒ppt课件⌒.
⌒
4
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
总结
3、图形语言
A
垂径定理
1、文字语言 垂直于弦的直径平分圆，并 且平分 圆所对的两条弧。
O
C
E
D
B
2、符号语言
ppt课件.
1
问题：左图中AB为圆O

的直径，CD为圆O的弦。
A
相交于点E，当弦CD在
圆上运动的过程中有没有
特殊情况？
O
D
C
E
B
运动CD
直径AB和弦CD互相垂直
ppt课件.
2
特殊情况
C
O
A
E
D
特殊情况
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
提问：你在圆中还能找 到那些相等的量？并证 明你猜得的结论。
B
CE=DE
ppt课件.
AC =AD ,BC=BD
3
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
证CA明DC：⊥＝连AB⌒结CBO，，A垂A⌒、D足O＝B为B，⌒ED则。。O求⌒A＝证O：BA。E＝BEC，
因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴
.O
又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆
ppt课件.
7
例题1
例1 如图，已知在 A ⊙O中，弦AB的长为8 厘米，圆心O到AB的 距离为3厘米，求⊙O 的半径。
EB .

定理内容
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径，则该直线被直径分为两段 ，其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中，垂径定理是基础且 重要的定理之一，广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词：推广应用
详细描述：在椭圆中，垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助，如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词：拓展应用
详细描述：除了圆和椭圆，垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如，在抛物线、双曲线等中， 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息，从而解决一些复杂的几何问题。此外，在一些更 复杂的组合图形中，垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三：机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中，垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸，以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理，可以计算出零件的最佳位置和尺 寸，从而提高机械设备的效率和精度。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
在解决与圆相关的几何问题时，垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系，而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点，可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法，垂径定理与解析几何的结合，使得几 何问题可以通过代数方法求解。

解析
要证明FM垂直于FN， 只需证明角MFN等于 90度。根据抛物线的 性质可知AF = AM， BF = BN。因此，角 AFM和角BFN均为45 度。所以角MFN等于 90度，即FM垂直于FN
。
例题6
已知椭圆C： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别 为F1、F2，过F1的直 线l与椭圆C交于A、B 两点。若|AF1| = 3|F1B|，且|AB| = 4√3 ，求椭圆C的方程。
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
Hale Waihona Puke 。判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
03
利用垂径定理可以解决与线段中点相关的各种问题，如求线段
的长度、证明线段的平行或垂直等。
应用场景
在解决三维几何问题中，如计算球面上两点的最短距离、 判断点到球面的位置关系等问题时，可应用三维空间中的 垂径定理。
垂径定理与其他知识点的联系
与勾股定理的联系
在直角三角形中，垂径定理可视 为勾股定理的特殊情况，当直角 三角形的两条直角边相等时，斜
边上的中线即为垂径。
与圆的性质的联系
垂径定理与圆的性质密切相关，如 圆心角、弧长、弦长等概念在证明 垂径定理时均有涉及。
解决角平分线问题
1 2 3
利用垂径定理构造角平分线
通过构造以角为顶点的圆，利用垂径定理可求得 角的平分线。
判定角平分线的性质
根据垂径定理，若一条射线是某圆的切线，且切 点是角的顶点，则该射线是角的平分线，从而可 判定角平分线的性质。

曹雪芹
（1715?──1764?)名霑， 号雪芹，是我国伟大的现实 主义作家。
《红楼梦》是他“披阅
十载，增删五次”，“字字
看来皆是血，十年辛苦不寻
常”的产物。可惜，在他生
前，全书没有完稿。今传 《红楼梦》120回本，其中 前80回的绝大部分出于他的 手笔，后40回则为高鹗所续。 80回以后他已写出一部分初 稿，但由于种种原因而没有 流传下来。
在文中画出黛玉精要概括律诗 要点的句子。
用自己的话进行概括， 完成填空： 律诗 是形式， 词句 是表象，
只有 立意 才是精髓
延伸阅读、探究思考
黛玉指导香菱学诗，这对我们学习 语文有何借鉴作用
首先，要多读。诵读就是学好诗歌 的根基，这是提高鉴赏能力的根本 途径。
其次，要学诗就要学一流的。我们 在阅读时，也要挑选文质兼美的作 品，这对于陶冶情操，培养纯正的 文学趣味是非常有益的。
需积累的词语
起承转合 以词害意
诲人不倦 挖心搜胆
穿凿
揣摩
地灵人杰 精血诚聚
你认为香菱是怎样一个人？
香 菱咏月诗（三）的鉴赏
精华欲掩料应难， 影自娟娟魄自寒。 一片砧敲千里白， 半轮鸡唱五更残。 绿蓑江上秋闻笛， 红袖楼头夜倚栏。 博得嫦娥应自问， 何缘不使永团圆？
思考、讨论：
香菱学诗成 功的原因是什么？
AB是弦，垂足为E.
求证：AE=BE
C
AC=BC,AD=BD
AE B D
C O
A
BA E B
D
连结OA,OB, OA=OB
C和D⊙所O在的直对线称是轴等腰三角形C
1 两个半圆重合
2 A,B两点重合
O
3 AE,BE重合 4 AC,BC重合

④A⌒C = B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
C
A
B
M└
●O
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
D
精品课件
6
判断
⑴垂直于弦的直径线平分弦，并且平分弦所对的弧( × )
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ )
⑶圆的不与直径两垂条直直的径弦必不被这条直径平分 ( × ) 不是直径
⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× )
⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
精品课件
7
（1）平分不弦是的直直径径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直直径线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
O
D
(1) B
•O
A
B
(2) D
精品课件
•O
A
B
(3) D
8
1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分. B•O来自DCA
(5)
精品课件
C
•O
E
A
B
D (6)
9
平分已知弧AB
已知：弧AB 求作：弧AB的中点
A
C
E
B
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
D
点E就是所求弧AB的中点。
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
)C
A
C
A.1.5cm
B
D
O

案例分析
案例一：从“公款虚荣”到“无期徒刑” 顺德市建国以来最大的贪污“大王”张娟，因爱慕虚
荣一步步走向犯罪的深渊。日前，佛山市中级人民法院 一审判其无期徒刑，剥夺政治权利终身。
案例二：嫉妒她竟用硫酸泼她，疑犯竟是十几岁的学生 （见扩展资料）
如果学生中间存在盲目追星、模仿明星的现象， 教师不妨组织学生根据扩展资料中的文章《假如满 大街都是金喜善和谢霆锋》进行讨论，引导学生认 识什么是真正的美。
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
小结
因为上述因素的影响，常常使青少年不能正确对待自 尊自信。所以，正确认识自尊自信，掌握正确的尺度， 对青少年树立自尊自信是十分重要的。
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。
看图片并讨论： 问：图片中的女孩只因别人的一句话而盲目减
肥，摧残自己的身体，最终住进了医院。她的这种 做法是自尊自信的表现吗？你在生活中有没有类似 的行为呢？
22
D
B
OD OC DC R 7.2.
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
O
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（米）.