2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}{}2|1,P x x M a ==….若P M P = ,则a 的取值范围是（ ）A ．(], 1-∞-B ．[1, +∞）C ．[11]?-，D ．][1 1-∞-+∞ （，，）【测量目标】集合的基本运算，并集.【考查方式】描述法，列举法表示出集合，根据两集合并集为其中一集合，求参数取值范围. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】2{|1}{|11}P x x x x ==-剟?，[1,1]P M P a =⇒∈- ，选C.2．复数i 212i-=+（ ）A ．iB ．i -C ．43i 55-- D ．43i 55-+ 【测量目标】复数的代数运算.【考查方式】直接求复数的代数式的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】22i 2(i 2)(12i)2i i i 242(1)2412i (12i)(12i)141i ii i 4(1)-----+---+====++----，选A. 3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（ ）A ．π(1,)2B ．π(1,)2-C ．()1,0D ．(1π)，【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出参数方程，化为圆的标准方程得到圆心，进而得到圆心极坐标. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为0,1-（），极坐标为π(1,)2-，选B.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）第4题图A ．3-B ．12- C ．13 D ．2【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】看懂程序框图内的逻辑，代数关系，求值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D. 5．如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F 延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论： ①CA BC AB AE AD ++=+； ②AF AG AD AE = ③ADG AFB ∽△△ 其中正确结论的序号是（ ）第5题图A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【测量目标】圆的性质.【考查方式】给出图形，根据圆的性质，判断命题的正确性. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】①正确.由条件可知BD BF =，CF CE =，可得CA BC AB AE AD ++=+. ②正确.通过条件可知AD AE =.由切割定理可得2AF AG AD AD AE == . ③错误.连接FD ，若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠.通过图像可知 2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误.答案选A.6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为,()x A f x x A <=…（A ，c 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A的值分别是 （ ） A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【测量目标】分段函数，函数的应用.【考查方式】将分段函数应用到实际问题中，进行分段求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由条件可知，x A …时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即(4)3060f c ==⇒=，()1516f A A ==⇒=，选D. 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）第7题图A ．8 B． C ．10 D．【测量目标】空间三视图的表面积.【考查方式】已知四面体的三视图，通过三视图还原几何体，求最大面的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是PAC △，面积为10，选C.第7题图8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t ∈R .记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 （ ）A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【测量目标】平行四边形的定义，直角坐标系.【考查方式】根据已给的两点和含参的两点，在直角坐标系中确定平行四边形，得到坐标，求出参数.【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】如下图，分别对应点为12，9，11,选C.第8题图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC △中.若b =5，π4B ∠=， tan A =2，则sin A =____________；a =_______________. 【测量目标】正弦定理，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出一角和其对应边的大小以及另一角的正切值，根据正弦定理和同角关系求角A 正弦值和对应边长. 【难易程度】中等【参考答案】5，【试题解析】由tan 2A =⇒sin 12cos sin cos 2A A A A =⇒=，又22sin cos 1A A +=所以 221sin sin 14A A +=解得sin A =55,πsin 4a ==a =10．已知向量a =1），b =（0，-1），c =（k.若2-a b 与c 共线，则k =________. 【测量目标】向量的坐标和线性运算.【考查方式】给出两向量的具体坐标和一向量参数坐标，根据共线关系，求参数值. 【难易程度】容易 【参考答案】1【试题解析】2-=a b 由2-a b 与c31k k =⇒= 11．在等比数列{n a }中，1a =12，44a =-，则公比q =______________；12...n a a a +++=____________.【测量目标】等比数列通项以及前n 项和.【考查方式】给出等比数列两项，利用等比数列的通项求公比，继而求出前n 绝对值的和. 【难易程度】中等 【参考答案】2-，1122n --【试题解析】由{}n a 是等比数列得341a a q =，又141,4,2a a ==- 所以31422q q -=⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=- .12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）【测量目标】排列，组合及其应用. 【考查方式】通过排列组合计算个数. 【难易程度】容易 【参考答案】14【试题解析】个数为42214-=.13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩… 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______【测量目标】利用函数单调性求参数的范围.【考查方式】已知函数的解析式和条件，求参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】（0,1） 【试题解析】2()(2)f x x x=…单调递减且值域为(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是 . 【测量目标】命题的正确性.【考查方式】给出已知条件，判断命题的正确性. 【难易程度】较难 【参考答案】②③【试题解析】①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么1a =，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处212||||,PF PF a =关于原点的对称点处也一定符合212||||;PF PF a =③三角形12F F P 的面积invm S 12=12||||PF PF 121sin 2F PF ∠…12||||PF PF =22a三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 已知函数π()4cos sin()16f x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像及其变换，两角和的正弦.【考查方式】将已给的解析式通过两角和的正弦化为sin()y A x ωϕ=+形式，得到周期； 根据函数图像及性质求最值.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()4cos sin()16f x x x =+-1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x (步骤1) 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=π2sin(2)6x =+（步骤2）所以)(x f 的最小正周期为π（步骤3）（Ⅱ）因为ππππ2π,2.64663x x --+所以剟剟 于是，当πππ2,626x x +==即时，)(x f 取得最大值2；（步骤4）当πππ2,,()666x x f x +=-=-即时取得最小值1-.（步骤5）16．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠= . （I ）求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.第16题图【测量目标】空间中线线，线面，面面的位置关系，二面角，空间向量及其运算. 【考查方式】建立合适的空间直角坐标系，得到各个点的坐标，使立体几何问题成为代数问题，从而证明线面垂直，二面角的余弦值，以及空间内长度. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.(步骤1)又因为PA ABCD ⊥平面. 所以PA BD ⊥.所以BD PAC ⊥平面.(步骤2) （Ⅱ）设AC BD O = .因为602BAD PA PB ∠=︒==，,所以1BO AO CO ===，3.(步骤3)如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,(0,(1,0,0),P A B C .（步骤4）所以 设PB 与AC 所成角为θ，则cos ||||PB AC PB AC θ=== . (步骤5)（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=设(0,),P t （0t ＞），则(1,)BP t =-设平面PBC 的法向量(,,)x y z =m ,则0,0BC BP ==m m (步骤6)所以0,0x x tz ⎧-+⎪⎨--+=⎪⎩令,3=y 则.6,3t z x ==所以6)t=m (步骤7)同理，平面PDC的法向量6()t=-n因为平面PCB PDC ⊥平面, 所以0 m n =，即03662=+-t ， 解得6=t ，所以PA =6(步骤8)第16题图17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.第17 题图 （Ⅰ）如果8X =,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望. （注：方差()()()2222121n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数） 【测量目标】茎叶图，离散型随机事件的分布列和期望.【难易程度】中等【考查方式】直接根据茎叶图求平均数和方差；继而求事件的分布列和期望.【试题分析】当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 8891035;44x +++==(步骤1)方差为 .1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s (步骤2) （Ⅱ）当9X =时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此（(17)P Y =）=.81162=(步骤3) 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P (步骤4)(步骤5)17171818191920202121EY P Y P Y P Y P Y P Y =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=（）（）（）（）（）1111117181920211984448=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(步骤6)18．（本小题共13分） 已知函数2()()e xkf x x k =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()ef x …，求k 的取值范围. 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出含参数的函数解析式，利用导数求其单调区间；根据最值和不等式解出参数的取值范围.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）221()()e .xk f x x k k'=-(步骤1)令()0f x '=，得k x ±=.当0k ＞时，)()(x f x f '与的情况如下所以，)(x f 的单调递增区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调递减区间是),(k k -当0k <时，)()(x f x f '与的情况如下所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调递增区间是(,)k k -(步骤3)（Ⅱ）当0k >时，因为11(1)e ek kf k ++=>所以不会有1(0,),().e x f x ∀∈+∞…(步骤4)当0k <时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是24().e k f k -= 所以1(0,),()e x f x ∀∈+∞…等价于241().e ek f k -=…(步骤5) 解得102k -<…. 故当1(0,),()e x f x ∀∈+∞…时，k 的取值范围是).0,21[-(步骤6) 19．（本小题共14分） 已知椭圆22:14x G y +=过点,0m （）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式.【考查方式】已知椭圆的标准方程，求椭圆的焦点和离心率；过定点的直线与圆相切，与椭圆有两个交点，求两交点距离的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以c ==(步骤1)所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为.23==a c e (步骤2) （Ⅱ）由题意知，||1m ….当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A B 、的坐标分别为),23,1(),23,1(- 此时3||=AB (步骤3)当1m =-时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=(步骤4) 由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得 设A B 、两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x k m k x x +-=+=+(步骤5) 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切 所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2 .3||342+=m m (步骤6) 由于当3±=m 时，,3||=AB 所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+= m m m AB .(步骤7)因为||2,||||AB m m ==+ 且当3±=m 时，||2AB =，所以||AB 的最大值为2. (步骤8)20．（本小题共13分）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =…满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()S A ＞0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，2000n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011； （Ⅲ）对任意给定的整数2n n （）…，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.【测量目标】数列的概念和通项公式，等差数列的综合应用,归纳推理.【考查方式】已知数列的的条件，写出符合该条件的一般数列；知道首项和项数利用归纳推理判断充要条件；探究深层次的数列问题.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列5A .(步骤1) （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列5A ）（Ⅱ）必要性：因为E 数列5A 是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .所以5A 是首项为12，公差为1的等差数列. (步骤2)所以2000122000112011a =+-⨯=（）.充分性，由于20001999211,1a a a a -⋯⋯-……，所以200012000119991999a a a a -+，即剟.(步骤3)又因为12000122011a a ==，,所以200011999a a =+.故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列. (步骤4)综上，结论得证.（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则 (步骤5)因为2111112c c a a c a a ++=++=… ,1211+++++=n n c c c a a所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n (步骤6) 因为1,1k k c c =±-所以为偶数(1,,1).k n =-所以12(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c --+--++- 为偶数,所以要使()0,n S A =必须使(1)2n n -为偶数, 即4整除(1),n n -亦即4n m =或*41()n m m =+∈N .(步骤7)当*41(),n m m =+∈N 时E 数列n A 的项满足4141420,1,k k k a a a +--===-14=k a ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时当*41(),n n m m E A =+∈N 时数列的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a当*4243(),(1)n m n m m n m =+=+∈-N 或时不能被4整除，此时不存在E 数列n A ， 使得.0)(,01==n A S a (步骤8)。
