迭代法求解线性方程组的研究
【摘要】:本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi 迭代法，Gauss-seidel 迭代法，SOR
迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB 在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。
【关键字】:Jacobi 迭代法 Gauss-seidel 迭代法 SOR 迭代法 数值实验
一． 引言
迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
设有方程组
b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式
f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,),
并由此构造迭代公式
f Bx x k k +=+)()1( …③
式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量)0(x
，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x x
k k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性质。
本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。本文结构如下：第二部分介绍Jacobi 迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel 迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR 迭代法及其数值实验，第五部分总结。
二． 雅克比（Jacobi ）迭代法
1. 雅克比迭代法的格式
设有方程组
),,3,2,1(1
n i b x a j j n
j ij ==∑= …①
矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠
从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式 )(1
1
1j n j j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②
取初始向量),,,()
0()0(2)0(1)0(n x x x x =，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(1
1
1)
()1(∑≠=++-=n
j j i k j ij ii k i b x a a x …③
也可记为矩阵形式：
J x J k F B x k +==)
()1( …④
若将系数矩阵A 分解为A=D-L-U ，式中
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn a a a D 2211，
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=--0000121323121nn n n a a a a a a L ，
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=--0000122311312n n n n a a a a a a D 。
则方程Ax=b 变为 b x U L D =--)(
得 b x U L Dx ++=)(
于是 b D x U L D x 11)(--++=
b
D x A D I b
D x A D D 1111)()(----+-=+-= 于是式中④中的 b D f A D I B J J 11,--=-=。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。
2. 雅克比迭代法的程序
雅克比迭代法的MATLAB 函数文件 ag ＿jacobi.m 如下。
Function x= agui ＿jacobi(a,b)
%a 为系数矩阵，b 为右端向量，0x 为初始向量（默认为零向量）
%e 为精度（默认为1e-6）,n 为最大迭代次数（默认为100）
x 为返回解向量。
n=length(b)；
N=100;
e=1e-6;
x0=zeros(n,1);
x=x0;
x0=x+2*e;
k=0;
d=diag(diag,0);
1=-tril(a,-1);
u=-triu(a,1);
while norm(x0-x,inf)>e&kk=k+1;
x0=x;
x=inv(d)*(l+u)*x+inv(d)*b;
k
disp('x )
end
if k=N warning(‘以达到最大迭代次数’);end
3. 数值例子
用雅克比迭代法求解如下线性方程组。
⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--42
58321072
210321321321x x x x x
x x x x
解：在MATLAB 命令窗口求解例题
