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线性代数(同济六版)知识点总结

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线性代数-工程版(同济大学第六版)

线性代数-工程版(同济大学第六版)
线性代数是代数学的一个分支，专注于处理线性关系问题，涉及线性空间、线性变换和有限维的线性方程组。其历史可追溯到古代，如“鸡兔同笼”问题即线性方程组的求解，而现代意义的，莱布尼兹、克莱姆、范德蒙、柯西、高斯、西勒维斯特和凯莱等数学家做出了重要贡献，推动了行列式、矩阵等概念的诞生和发展。线性代数在数学、物理学和技术学科中占据首要地位，其理论和方法已渗透到许多数学分支，并成为理论物理和理论化学所必需的代数基础。随着计算机技术的广泛应用，线性代数在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等领域也发挥着重要作用。此外，线性代数还体现了几何观念与代数方法之间的联系，其公理化方法、逻辑推证和归纳综合等技巧对于强化数学训练和增益科学智能非常有益。

线性代数教案全(同济大学第六版)

线性代数教案全(同济大学第六版)

线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。

同济线代笔记

同济线代笔记

同济线代笔记同济线代，又称同济高等数学线性代数，是大学数学中的一门重要课程。

它主要研究向量空间、线性变换、特征值和特征向量等内容，是几何代数学的一个重要分支。

在大学生的学习生涯中，同济线代产生了极其重要的影响，为日后学习和研究提供了扎实的数学基础和思维方法。

以下是对同济线代的一些笔记和心得体会。

一、向量空间向量空间是同济线代的核心概念，也是数学中的一个重要概念。

向量空间具有线性结构，即对于任何向量a、b，以及任何实数k，都满足以下两条性质：1、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；2、数乘结合律：k(a+b)=ka+kb。

这些性质使得向量空间成为了一种规范化的通用数学结构。

二、线性变换线性变换是同济线代中的另一个核心概念。

在向量空间的基础上，通过定义线性变换，可以在向量空间的基础上定义函数，并且使其满足以下两个性质：1、加法性：T(u+v)=T(u)+T(v)；2、数乘性：T(ku)=kT(u)。

这样，就可以将向量空间上的运算扩展到函数的定义域和值域中。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是同济线代中的另一个核心概念。

在线性变换中，对于非零向量v，如果满足T(v)=λv，那么λ就是T的特征值，v就是T的属于λ的特征向量。

特征值和特征向量是线性变换的重要性质，也是求解矩阵的重要手段。

四、常用矩阵1、单位矩阵：单位矩阵是一个方阵，主对角线上的元素都是1，其他位置上的元素都是0。

单位矩阵在矩阵乘法中起到了类似于数字中的1的作用，是一个非常重要的矩阵。

2、对角矩阵：对角矩阵是一个主对角线上的元素都不为0，其他位置上的元素都为0的矩阵。

对角矩阵在矩阵乘法中的作用是对向量进行缩放的效果。

3、上三角矩阵：上三角矩阵是除了主对角线及其上方的元素都为0的矩阵。

上三角矩阵在矩阵乘法中的作用是将向量投射到某一维度上。

五、常用方法1、高斯-约旦消元法：高斯-约旦消元法是一种求解线性方程组的方法，通常可以通过把方程组转化为三角形式，再通过回带法求解出未知数的值。

6-2同济大学 线性代数 第六章

6-2同济大学 线性代数 第六章
T T
于是α + β与kα的坐标分别为 T (a 1+ b1,a 2 + b 2 ,L,a n + b n )
= (a 1,a 2 ,L,a n ) + (b1,b 2 ,L,b n ) T T ( k a 1,k a 2 ,L,k a n ) = k (a 1,a 2 ,L,a n )
T T
上式表明 : 在向量用坐标表示后 , 它们的运算 就归结为坐标的运算 ,因而线性空间 V n 的讨论就 归结为 R n 的讨论 . 下面更确切地说明这一 点.
ε 1 = 1, ε 2 = ( x − a ), ε 3 = ( x − a ) ,L , ε n = ( x − a )
2
n−1
则由泰勒公式知
f ' ' (a ) 2 f ( x ) = f (a ) + f ' (a )( x − a ) + ( x − a) 2! ( n − 1) (a ) f n−1 +L+ ( x − a) ( n − 1)! 因此 f ( x )在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 ,L , ε n 下的坐标是
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,L, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． 同构的线性空间之间具有反身性、对称性 ２．同构的线性空间之间具有反身性、 与传递性． 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构． 同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中， 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的， 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质． 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的， 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数． 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．

同济大学《线性代数》 PPT课件

同济大学《线性代数》 PPT课件

称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32

a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
验证 1 7 5 6 6 2 196
175 3 5 8 196
358
662
175 175 于是 6 6 2 3 5 8
358 662
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D，所以
. D0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
D

ai1
Ai1

ai 2
Ai
2

L

同济版线性代数笔记

同济版线性代数笔记
而 p1 p2 p3 ，它是 1,2,3 三个数的某个排列，共 3! = 6 种，对应三阶行列式等号右边的 6 项。 这六项前面有的是正号有的是负号，这和 p1 p2 p3 的逆序数有关，如果逆序数为偶数则为正， 逆序数为奇数则为负，设 t 为列标排列的逆序数，则正负号表示为 ( −1) 。依次类推，对于 n
' a21 a22 L a2 i L a2 n
M
M
M
M
M
M
M
M
' an1 an 2 L (ani + ani ) L ann
' an1 an 2 L ani L ann
（8）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元 素上去，行列式不变。如下所示
a11 L a1i L a1 j L a1n a21 L a2i L a2 j L a2 n M M M M an1 L ani L anj L ann =
t
阶行列式，共有 n 个数，排成 n 行 n 列，其计算如下
2
⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜ M ⎜ ⎝ an1
a12 a22
M an 2
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ = ∑ (−1)t a1 p1 a2 p2 L anpn M ⎟ ⎟ L ann ⎠
（3）
其中的 p1 p2 L pn 为自然数 1, 2, L , n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数。上式共有 n!项。 行列式简记作 det( aij ) 。 特殊行列式： （1）对角阵，如下所示
的代数余子式。关于余子式引出的定理有 （1）一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除（i，j）元 aij 外都为零，那么这行 列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即 D = aij Aij 。 （2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和。即

同济版线性代数

同济版线性代数

同济版线性代数同济版线性代数简介线性代数是现代数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构以及它们之间的关系。

同济版线性代数是同济大学出版社出版的一本经典教材，被广泛应用于各个高校的线性代数教学中。

1. 线性代数的基本概念同济版线性代数从最基础的概念开始介绍，如向量的定义、线性组合、线性方程组、矩阵等。

通过精心组织的内容，使学生逐步形成对线性代数的整体认识。

2. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数中的重要概念，同济版线性代数对其进行了详细讲解。

包括向量空间的定义与性质，子空间的概念以及子空间的判定方法。

此外，线性变换也是线性代数的核心内容之一，同济版线性代数着重介绍了线性变换的定义、性质和实例，帮助学生理解线性变换的本质。

3. 矩阵与行列式矩阵是线性代数中的重要工具，同济版线性代数对矩阵的定义和运算进行了详细讲解。

同时，行列式也是线性代数中重要的概念之一。

同济版线性代数对行列式的性质、求法以及与线性方程组的关系进行了深入的讲解，帮助学生理解行列式在线性代数中的重要性。

4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，同济版线性代数对特征值与特征向量的定义、性质、求法以及与矩阵的关系进行了详细的讲解。

通过具体的例题和习题，帮助学生掌握计算特征值与特征向量的方法。

5. 内积空间与正交变换内积空间是线性代数中的一个重要概念，同济版线性代数对内积空间的定义、性质以及内积空间的一些特殊性质进行了详细介绍。

同时，正交变换也是内积空间中的重要概念，同济版线性代数通过实例和习题，帮助学生理解和应用正交变换。

总结：同济版线性代数全面系统地介绍了线性代数的基本概念、向量空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量以及内积空间与正交变换等内容。

它不仅适用于大学的线性代数教学，也可以作为工科、理科等专业相关课程的参考书。

同济版线性代数以其内容完整、深入浅出的特点，深受广大师生的喜爱。

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个
2.矩阵的秩：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)。零矩阵的秩等于 0。
常用：
1）对于 n 阶方阵 A，R(A)=n(称 A 满秩)?
?A 可逆
2）若 ，则 R(A)=R(B) 3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数
第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 2.向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 3.给定向量组 A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数 k1,k2,…,km，表达式
k1a1+k2a2+…+kmam 称为向量组 A 的一个线性组合。k1,k2,…,km 称为这个线性组合的系数． 4.给定向量组 A：a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm，使得
：即对矩阵(A,B)进行初等行变换，当 A 变成 E 时，B 就变成了所求的
二、矩阵的秩
1.k 阶子式：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它 们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
5.伴随矩阵：其中 是 的代数余子式， A* 称为 A 的伴随矩阵。（特别注意符号）
A11 A21
An1
6.逆矩A阵：B对为于A A的n1阶逆2 方矩阵阵A，A22，记如为果有 n。A阶且n方2A阵的B逆，注矩使阵意得的是：第A唯B元=j一B素A行的=E第。，的则i代列称数（A 余可类逆子似，式于转置是）位于
b=l1a1+l2a2+…+lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示． 向量 b 能由向量组 A 的线性表示?R(A)=R(A,b)?方程组 x1a1+x2a2+…+xmam=b 有解 5.设有向量组 A：a1,a2,…,am 及 B：b1,b2,…,bl，若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示．若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价． 两个向量组等价?R(A)=R(B)=R(A,B) 6.向量组 B 能由向量组 A 线性表示?存在矩阵 K，使 B=AK?矩阵方程 AX=B 有解
求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵
4）
5）若 P、Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A)(∵
)
即：可逆矩阵与任何矩阵 A 相乘，都不会改变所乘矩阵 A 的秩
6）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
当 B=b 为非零列向量时，R(A)≤R(A,B)≤R(A)+１
7）R(A+B)≤R(A)+R(B)
性质 2：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,Pl，使 A=P1P2…,Pl．
推论：方阵 A 可逆的充要条件是
r
A~ E
如果 r ，则存在可逆矩阵 P，使 PA=B。?
r：即当 A 变换成 B 是时，E 变为 P（求 P）
求方阵 A 的逆矩阵方法总结：
方法 1：①判断 A 可不可逆：若
注意：一般情况下：AB≠BA。但是满足结合律和分配律。
EA=AE=A
4）矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，则：
显然：
Ak Al Akl , (Ak )l Akl
( AB)k Ak Bk
( A B)2 A2 2AB B2
A、B 可交换时才成立
( A B)( A B) A2 B2
3.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作 AT.
7.重要性质：利用行列式的性质
或
，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算 n 阶
行列式的值。（P11 页例 7） 8.行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念：
余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去,剩下的(n?1)2 个元素按原来的排法构 成的 n?1 阶行列式叫做 aij 的余子式，记为 Mij
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如
第 j 列的 k 倍加到第 i 列上：
判断方阵 A 是否A可1n逆：A2≠n 0 A 可逆A，nn且逆矩性阵 质：
推论：若 ≠0，则
。此时称 A 为非奇异矩阵。若
二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。 A=
单位矩阵 E 是可逆的
。零矩阵是不可逆的。
，则称 A 为奇异矩阵。 ----->
对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。
8）R(AB)≤min{R(A),R(B)}
3.线性方程组的解
n 元非齐次线性方程组
---P75 页例 13P79 页 17 题
1）无解? 2）有解? n 元齐次线性方程组
①有唯一解?
有非零②解有?R无(A限)解<n?
第四章
一、向量组及线性组合 1.n 维向量：n 个有次序的数 a1,a2,…,an 所组成的数组。这 n 个数称为该向量的 n 个分量，
?A 可逆---书中 P41 页
②
：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号
方法 2：本身蕴含了判断 A 可不可逆的条件，即 r ?A 可逆---书中 P64 页例 2 r ：即对矩阵(A,E)进行初等行变换，当 A 变成 E 时，E 就变成了所求的
求
：该方法r 用来求方程组
?
---若
，可先化为
方法：
1 . 二 阶 行 列 a式 -a - a- - - - - - 对 角 线 法 则 :
11
12
13
2.三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则
aaa
21
22
23
aaa
31
32
a a a a a a a a a a a a a a a a a a 33
11 22 33
12 23 31
1）单位矩阵对换 i，j 行，记作
2）以常数 k≠0 乘单位矩阵第 i 行（列），记作
3）以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行，记作
性质 1：左行右列
设 A 是一个 m×n 矩阵，
对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；
对 阶初等矩阵.
3.矩阵之间等价关系的性质： ①反身性： ②对称性：若
4.行阶梯形矩阵：
，则 ③传递性：若
， ，则
1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 2）每个台阶只有一行； 3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行最简形矩阵： 4）非零行的首非零元为 1; 5）首非零元所在的列的其它元素都为零. 5.初等矩阵：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）
如：
性质： 1 2 2 设 A 为An(3阶)方(阵4，A如)T5果满8足AT,;
1 4
A(，4T即) ( AB22)T ，58则BTA;A为T对. 称阵
如果满足
，即
，则 A 为反对称阵
4.方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 detA.
性质：①| AT || A | ，②| A | n | A | ，③| AB || A || B | 。
推论：如果 n 阶方阵 A、B 可逆，那么 、 、λA(λ≠0)、AB 也可逆
用逆矩阵且求：解线(性A方程1组)：1 A,
( AT )1 ( A1 )T ,
（5）
已知
，若 AB 可逆，则
（A 在 X 左边，则 必须在 C 左边，B 也如此）
7.矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；
13 21 32
11 23 32
12 21 33
13 22 31
3.全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， =n！
逆序数：对于排列 … ，如果排在元素 前面，且比 大的元素个数有 个，则 这个元素的逆序数为 。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即
每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）
1）加法：要求矩阵 A 和 B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的)
2）分块矩阵 A 的转置 ：除了 A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。
8.分块对角矩阵：
第三章
1.初等行变换：（运算符号： ）----注意与行列式的运算加以区分
①互换两行，记做 ②第 i 行乘以非 0 常数 k，记做
③第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记做
2.若矩阵 A 经过有限次初等变换成矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记做
的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ=B
对角矩阵：对角线元素为 1, 2 , , n ，其余元素为 0 的方阵单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为 0 的方阵，
2.矩阵的运算
1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律