指数函数---31

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学科教师辅导讲义

教学主任签字：

学员编号： 年 级：高一 课时数：2课时

学员姓名： 张浩翔 辅导科目：数学 学科教师：

授课日期及时段

教学目标 1．复习分数指数幂的性质和有理数幂的运算。

2．会进行分数指数幂的计算和化简计算

重点难点 简单的分数指数幂的化简及其计算

一、指数函数的定义

函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

[化解疑难]

指数函数的概念中规定a>0且a≠1的原因

(1)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．

(2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝14，x＝12，„，在实数范围内函数值不存在．

(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．

为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax>0.

问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图象．

提示：

问题2：两函数图象有无交点？

提示：有交点，其坐标为(0,1)．

问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？

提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝12x是减函数．

二、指数函数的图象和性质

a＞1 0＜a＜1

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图 象

性

质 定义域 R

值域 (0，＋∞)

过定点 过点(0,1)即x＝0时，y＝1

单调性 是R上的增函数 是R上的减函数

[化解疑难]

透析指数函数的图象与性质

(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0

(2)当a>1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0

(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．

[例1] (1)下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.

其中，指数函数的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )

A．a＝1或a＝3 B．a＝1

C．a＝3 D．a>0且a≠1

[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；

②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；

③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；

④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．

(2)由指数函数定义知 a－22＝1，a>0，且a≠1，所以解得a＝3.

[答案] (1)B (2)C

[类题通法]

判断一个函数是否为指数函数的方法

判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：

(1)底数a>0，且a≠1.

(2)ax的系数为1.

(3)y＝ax中“a是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上．

[活学活用]

下列函数中是指数函数的是________(填序号)．

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①y＝2·(2)x；②y＝2x－1；③y＝π2x；④y＝xx；

⑤y＝3－1x；⑥y＝x13.

解析：①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝12·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.

答案：③

[例2] (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )

A．a

B．b

C．1

D．a

(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.

过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1

(2)法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．

法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．

[答案] (1)B (2)(3,4)

[类题通法]

底数a对函数图象的影响

(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0

(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0

当a>b>1时，

①若x>0，则ax>bx>1；

②若x<0，则1>bx>ax>0.

当1>a>b>0时，

①若x>0，则1>ax>bx>0；

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②若x<0，则bx>ax>1.

[活学活用]

若函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( )

A．a>1且b<1 B．0

C．00 D．a>1且b≤0

解析：选D 由指数函数图象的特征可知00，且a≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋(b－1)≤0，即b≤0，故选项D正确.

[例3] 求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝1－3x；(2)y＝21x－4；(3)y＝23－|x|.

[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，

因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，

故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x＜1，

所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．

(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝21x－4的定义域为{x∈R|x≠4}．

因为1x－4≠0，所以21x－4≠1，即函数y＝21x－4的值域为{y|y>0且y≠1}．

(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数y＝23－|x|的定义域为{x|x＝0}．而y＝23－|x|＝230＝1，则函数y＝23－|x|的值域为{y|y＝1}．

[类题通法]

指数型函数的定义域、值域的求法

(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝fax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．

(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．

[随堂即时演练]

1．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )

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解析：选C 由于0

2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )

A.12，＋∞ B．(－∞，0)

C.－∞，12 D.－12，12

解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.

3．指数函数y＝f(x)的图象过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________.

解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

又f(2)＝a2＝4，

∴f(2)·f(4)＝a2·a4＝4·42＝43＝64.

答案：64

4．函数f(x)＝13x－1，x∈[－1,2]的值域为________．

解析：∵－1≤x≤2，∴19≤13x≤3.

∴－89≤13x－1≤2.

∴值域为－89，2.

答案：－89，2

5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，12)，其中a>0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

解：(1)因为函数图象过点(2，12)，

所以a2－1＝12，则a＝12.

(2)f(x)＝(12)x－1(x≥0)，

由x≥0得，x－1≥－1，

于是0<(12)x－1≤(12)－1＝2.

所以函数的值域为(0,2]．

6．下列函数中，指数函数的个数为( )

①y＝(12)x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝(12)2x－1.

A．0个 B．1个

C．3个 D．4个