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量子括号与经典括号关系的探讨

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本 科 生 毕 业 论 文 论文题目：量子括号与经典括号关系的探讨 学生姓名： 李勇

学 号： 2011012137

专业名称： 物理学

论文提交日期： 2015年 月 日

申请学位级别： 理学学士

论文评审等级： 指导教师姓名： 李茂泉

职 称： 副教授

工 作 单 位： 玉溪师范学院

学位授予单位： 玉溪师范学院

玉溪师范学院理学院物理系 2015年3月

量子括号与经典括号关系的探讨 李勇 (玉溪师范学院物理系11级物理一班 云南 玉溪 653100） 指导老师：李茂泉

摘要：经典力学的研究方法和表达形式为量子力学及量子场论提供

了一整套可供借鉴的理论体系。特别是在海森伯“表象”中,经典理论同量子理论之间在形式上的相似尤其显著。根据量子力学假设,对于经典体系的每一个物理量,都有一个量子体系的物理量与之相对应。唯一的差别在于经典体系的物理量是一些服从普通代数规则的量,而量子体系的物理量是一些服从非对易代数规则的算符。那么，经典力学代数里的各类括号，在量子力学中又有怎样的不同呢？只要我们能够找到量子场论中算符的表示式与普通代数的表示式的一致性,那么，在解决量子化物理量的运动方程时，它们就同经典模拟的运动方程基本一致了。 关键词：括号、内积、态矢量、对易关系、非对易、量子化

1.引言 括号(brackets)，无论是在经典力学[1] [2]]还是量子力学里都扮演着重要的角色，特别是在量子力学中，括号作为一种算符更是举足轻重，通过算符的作用，可以操作波函数，在这方面突出体现了它便于计算的优点。但是在两类力学中，各类括号很多时候却被孤立开来使用。那么，从经典力学[3] [4]过渡到量子力学中，它们之间又有怎样的关系呢？ 本论文采用比较研究法，对经典括号与了量子括号进行探讨。首先，是经典括号[5]的分析，其次讨论量子括号[6] [7]，最后通过计算案例[7] [8] [9] [10]研究两类括号之间存在的关系。 2.括号的定义及性质 本文将括号分为两类—经典与量子，分别从它们的定义和性质以及它们之间的关系加以讨论。

2.1经典括号的定义与性质

2.1.1希尔伯特空间中矢量的内积 希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定及时后的两 个波函数和的内积为 *,dr （2.1.1.1）

它具有下述性质： 2. ,0adr （2.1.1.2） *. ,,b

.c若1C、2C为常数11221122,,,CCCC **

11221122,,,CCCC

2.1.2 泊松括号 在数学及经典力学中，泊松括号Poisson bracket )是哈密顿力学中重要的运算，在哈密顿表述的动力系统中时间演化的定义起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。 若函数),,(tpqf是正则方程的积分，对所给系统的任何运动，此函数保持常值,即 (,,)fqptconst （2.1.2.1）

因而是函数),,(tpqf成为正则方程积分的条件为

1()0sffHfHtqppq(2.1.2.2) 哈密顿函数不显含时间t，则()Hqpconst，即函数()Hqp广义报数系统的一个积分，若q是循环坐标，则其

对应的广义动量p是循环积分。 若函数12n,,......fff都是正则方程的积分，则这些积分的函数

12n,,......Ffff（） （2.1.2.3）

仍是正则方程的积分。因此人们总是想找找可能多的独立积分。系统具有s个自由度，则有2s个正则方程。若知道了2s个独立积分，就 知道了系统的运动。若知道了2s个独立积分中的一部分，就只能知道系统的运动的运动那个作部分的了解。因此，总是希望独立积分越多越好，泊松括号就可以提供求正则方程独立积分的方法。

（1）泊松括号的定义

泊松对于任意的两个波函数(,,)qpt和(,,)qpt的偏导数所构成的如下表达式引用了一个特殊的符

1,()sqppq







（2.1.2.5）

则把,称为泊松括号。 利用泊松括号可以把（2）式写为

,0ffHt

 （2.1.2.6）

即上式为函数),,(tpqf成为正则方程的积分条件。 有正则变量组成的泊松括号,,,qqpp和,qp称为基本的泊松括号。 （2）泊松括号的性质 .,,a

1,()sqppq







= 1()sqppq





= ,

（2.1.2.7）

同理可证得

,,, （2.1.2.8） .,,,0bcc

（2.1.2.9）

1212.,,,c

（2.1.2.10） 1212121,sqppq









111sqppq







221sqppq







12,,

（2.1.2.11）

上述说明了泊松括号同样适用于代数分配律。

.,,,dttt



（2.1.2.12） 证：

1,sttqppq







1sqtpptq







1sqptpqt







,,tt



（2.1.2.13）

.,eppH

,sppHHpHqppq



（2.1.2.14） 由于p和q是相互独立的，对于所有的值 0pq 1pp （2.1.2.15） 当 时， 0pp（2.1.2.17） 以上为任意数. 1,2,3......,s

因而 ,HppHq（2.1.2.18） .,fqqH

,sqqHHqHqppq



（2.1.2.19）

对于所有的值，0qp 1qq （2.1.2.20） 当 时，0qq （2.1.2.21） 以上为任意数. 1,2,3......,s

故可得 ,HqqHp （2.1.2.22） .,,,g （2.1.2.23）

1,sqppq







1sqpppqq





11ssqppqqppq













 ,, （2.1.2.24）

.,,,,,,0h

（2.1.2.25） 2.2量子括号的定义、性质与意义

2.2.1 狄拉克算符

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[理学]第三章量子力学中的力学量1

[理学]第三章量子力学中的力学量1


能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
泊松括号运算法则

泊松括号运算法则

泊松括号运算法则是一个用于计算两个函数之间的括号运算法则。

该法则通常用于物理学和数学中的哈密顿力学和泊松几何。

泊松括号运算法则的数学表达式可以写为：{f, g} = -其中，f和g是两个函数，{f, g}表示它们之间的泊松括号运算结果，q和p是两个相互独立的变量。

泊松括号运算法则具有如下重要性质和应用：1.泊松括号的反对称性：根据泊松括号运算法则可知，{f, g} = -{g, f}，即泊松括号的结果与两个函数的顺序无关，这意味着可以交换两个函数的位置。

2.泊松括号的线性性：根据泊松括号运算法则可知，{af + bg, c} = a{f, c}+ b{g, c}，其中a和b是常数。

这意味着可以将泊松括号运算扩展到包含线性组合的情况。

3.泊松括号的雅可比恒等式：根据泊松括号运算法则可知，{f, {g, h}} +{g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0。

这个恒等式称为雅可比恒等式，它是泊松括号的一个重要性质，具有深远的数学和物理意义。

4.泊松括号与哈密顿方程：在哈密顿力学中，泊松括号运算法则是其中的核心概念。

通过泊松括号可以将物理系统的演化方程（哈密顿方程）重写成更为简洁的形式。

泊松括号运算法则能够描述物理系统中的相空间的演化，并且与经典力学的李群和李代数有密切联系。

5.泊松括号的守恒量：泊松括号运算法则可用于推导很多守恒量。

如果两个函数之间的泊松括号为零，即{f, g} = 0，则称f和g是守恒量。

这意味着守恒量在系统的演化过程中保持不变。

除了以上几点，泊松括号运算法则还在很多其他的数学和物理领域有应用，例如量子力学的对应关系（波动力学与矩阵力学）、天体力学（描述行星和恒星的轨道运动）等。

此外，由于泊松括号可以描述系统的切变和旋转，因此在流体力学和统计力学中也有广泛应用。

总结起来，泊松括号运算法则是一个重要的数学工具，具有深刻的物理意义。

它在哈密顿力学和泊松几何中起到了核心的作用，并在其他领域中也有广泛的应用。

“量子力学”教学改革的探索与实践

“量子力学”教学改革的探索与实践

中图分 类号 Ｇ ４ ． ６２０ 文献标识 码 Ａ
相 对论 和量子 力学是 ２ ０世纪物 理基础 理论 的两项 重 大进展 ，是近 代物理 的主要 理论基 础 … ，
是物理学专业最重要的一门专业基础必修课 ，是学习理论物理、材料科学、激光物理与技术、生 物物理、理论化学等研究生课程的重要基础。通过这门课程的学习，可使学生熟练地掌握量子力 学的基本概念和基本理论 ，具备利用量子力学的基本理论分析问题和解决问题的能力。 不断进行 课程教学内容与方法的改革与创新 ，是在新的形势下搞好课程教学、培养创新型应用人才的十分 重要 的环节。在借鉴前人经验 的基础上 ，结合我校的实际情况 ，近几年来我们对量子力学 的教学 内容 、教学方法 、教学模式和教学手段进行了改革 ，并取得了初步成果。
道 效应 的基础 上介绍 恒 星的量子 力 学 ，在 海森 堡不 确定关 系基 础 上介 绍压缩 态光 场 和压缩态 原子
及其在量子光学和原子光学中的重要应用 ，在 Ｅ Ｒ佯谬基础上介绍量子信息工程与量子计算机 ， Ｐ 在不相容原理基础上介绍激光与超流体等 。实践证明，学生对课程前沿 内容都很感兴趣 ，会提出 各种问题并乐于作进一步的探讨 ，从而对学生的探索精神进行 了培养。另一方面 ，对于可以继续 读研的学生来说 ，对物理学 的很多重大发展和成就的了解 ，为将来进入相关领域的学科和技术研 究提 供必 要 的学科基础 知识 ，激 发 了他们 的研究 欲 望 。每 届学 生都 有相 当数 量 的同学 继续投 身于 量子光学 、量子信息理论、生物物理学等 以量子力学为基础的研究之中。
高等理 科教 育
２９ Ｏ 年第３ （ Ｏ 期 总第８期） ５
“ 子 力 学 ＂ 教 学 改 革 的探 索 与 实践 ’ 量
第三章 力学量用算符表达

第三章 力学量用算符表达

ˆ ˆ ˆ BA ˆ BA ˆ B ˆA ˆ ˆ ˆC ˆ ˆC ˆC ABC
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A


任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
（7）逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为： A ˆ * dr * A
即
思考：常 数算符的 转置？
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明，
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考：
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1：证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。