2019年北京市顺义区初三数学二模试题及详细解析

顺义区2019届初三第二次统一练习数学试卷第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1. 右图是一个几何体的展开图，这个几何体是A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱2. 如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四个点中，与表示数A ． 点AB ． 点BC ． 点CD ． 点D3. 中国一直高度重视自主创新能力，从2000年以来，中国全社会研发经费投入以年均近20%的速度增长，到2017年，这一投入达到1.76万亿元人民币，位居全球第二. 将1.76万亿用科学记数法表示应为A ．81.7610⨯B ．111.7610⨯C ．121.7610⨯D ．131.7610⨯4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为 A ．50︒ B ．40︒C ．30︒D ．25︒5. 为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x 元/个，根据题意可列方程为 A ．10007505=-x x B ．10007505=-x x C ．10007505=+x x D ． 1000750+5=x x6. 某公司的班车在7∶30，8∶00，8∶30从某地发车，小李在7∶50至8∶30之间到达车站乘坐班车，如果他到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．347．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为： (,)=OP m n . 已知11(,=）OA x y ，22(,)=OB x y ，如果12120+=x x y y ，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是 A ．(4,3)=-OC, (3,4)=-OD B ．(2,3)=-OE , (3,2)=-OFC ．(3,1)=OG(=OH D ．4)=OM ， (=-ON8．数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD ，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：甲同学：A （0，1）， B （0，0）， C （1，0）， D （1，1）； 乙同学：A （0，0）， B （0，-1）， C （1，-1）， D （1，0）； 丙同学：A （1，0）， B （1，-2）， C （3，-2）， D （3，0）； 丁同学：A （-1，2），B （-1，0）， C （0，0）， D （0，2）；上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是A ．甲、乙、丙B ．乙、丙、丁C ．甲、丙D ．甲、乙、丙、丁二、填空题（本题共16分，每小题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10. 若一个正数的平方根分别是1+a 和27-a ，则a 的值是 . 11．已知a 2 +2a =-2，则22(21)(4)a a a +++的值为 ．12．用一组a ，b 的值说明命题“若a 2 ＞b 2 ，则a ＞b ”是错误的，这组值可以是a = ，b =．13．改革开放以来，由于各阶段发展重心不同，北京的需求结构经历了消费投资交替主导、投资消费双轮驱动到消费主导的变化.到2007年，北京消费率超过投资率，标志着北京经济增长由投资消费双轮驱动向消费趋于主导过渡．下图是北京1978—2017年投资率与消费率统计图.根据统计图回答： 年，北京消费率与投资率相同；从2000年以后，北京消费率逐年上升的时间段是 ．D C B A北京1978-2017年投资率与消费率统计图14.如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则扇形OAB 的面积是 ．15.如图，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，⊥BD AD ，点E 是BC 的中点，连结DE ,且6=AB ，10=AC ，则=DE .14题图 15题图 16题16. 如图,在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则∆DEF 的面积是 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题, 每小题6分，第27、28题，每小题7分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.214cos 45()12-︒+-.18. 解不等式组2+1)5733<+⎧⎪+⎨≤+⎪⎩（x x x x ，并写出它的非负整数解.投资率消费率200220062010201720141990199419981986198280.070.060.050.040.030.0年份197810.00.020.0 百分比（%）ECDABHD19. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC ．求作：BC 边上的高线．作法：如图，①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，E ； ②作直线DE ，与AB 交于点F ，以点F 为圆心，F A 长为半径画圆，交CB 的延长线于点G ；③连接AG ．所以线段AG 就是所求作的BC 边上的高线．根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明.证明：连接DA ，DB ，EA ，EB ， ∵DA =DB ，∴点D 在线段AB 的垂直平分线上（ ） （填推理的依据）． ∵ = ，∴点E 在线段AB 的垂直平分线上． ∴ DE 是线段AB 的垂直平分线． ∴F A =FB ．∴AB 是⊙F 的直径．∴∠AGB =90°（ ） （填推理的依据）． ∴ AG ⊥BC即AG 就是BC 边上的高线．20. 已知关于x 的一元二次方程2(3)30mx m x +--=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．ACBA CB E D21. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°， BD=BC ，CE ⊥BD 于E ． （1）求证：BE=AD ；（2）若∠DCE =15°，AB=2，求在四边形ABCD 的面积.22. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 为BD 的中点.（1）求证：∠ACD=∠DEC ；（2）延长DE 、CB 交于点P ，若PB=BO ，DE =2，求PE 的长23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线=+y kx k 与双曲线4=y x（x >0）交于点1)（，A a ． (1) 求a ，k 的值；(2) 已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线=+y kx k ，点P （m ，n ）（m>3）是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线4=y x（x >0）于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域（不含边界）记为W ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当4=m 时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．AB CDEBCA24．丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ① A 、B 两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x <60，60≤x <70，70≤x <80，80≤x <90，90≤x ≤100）：A 、B 两班学生数学成绩频数分布直方图②A 、B 两班学生测试成绩在80≤x <90这一组的数据如下：A 班： 80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89B 班： 80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 8787 88 88 89③A 、B 两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）补全数学成绩频数分布直方图；（2）写出表中m 、n 的值；（3）请你对比分析A 、B 两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．BA频数/分25．如图，在半圆弧AB 中，直径6AB =cm ，点M 是AB 上一点，2MB =cm ，P 为AB 上一动点，PC AB ⊥交AB 于点C ，连接AC 和CM ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、C 两点间的距离为1y cm ，C 、M 两点间的距离为2y cm.小东根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究： 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3） 结合函数图象，解决问题：①当>AC CM 时，线段AP 的取值范围是 ； ②当∆AMC 是等腰三角形时，线段AP 的长约为 .AB26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 223=+-y mx mx （0m >）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线的顶点D 的纵坐标是4-. （1）求点A 、B 的坐标；（2）设直线l 与直线AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的表达式；（3）平行于x 轴的直线b 与抛物线交于点11(,)M x y 、22(,)N x y ,与直线l 交于点33(,)P x y .若132<<x x x ，结合函数图象，求123++x x x 的取值范围.27．已知：在∆ABC 中，90∠=︒BAC ，=AB AC ．(1) 如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60︒得到AD ，连结CD 、BD ，∠BAC 的平分线交BD 于点E ，连结CE ． ① 求证：∠=∠AED CED ；② 用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系 (直接写出结果)； (2) 在图2中，若将线段AC 绕点A 顺时针旋转60︒得到AD ，连结CD 、BD ，∠BAC 的平分线交BD 的延长线于点E ，连结CE ．请补全图形，并用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明．图2图1CB AA BCDE28. 对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点M (1x ，1y )，N (2x ，2y )，给出如下定义： 点M 与点N 的“折线距离”为：2121),(y y x x N M d -+-=．例如：若点M (-1，1)，点N (2，-2)，则点M 与点N 的“折线距离”为：(,)121(2)336d M N =--+--=+=．根据以上定义，解决下列问题： (1) 已知点P (3，- 2) ．① 若点A (-2，-1)，则d (P ，A )=② 若点B (b ， 2)，且d (P ，B )=5 ③ 已知点C （m , n ）是直线y x =-上的一个动点，且d (P ，C )<3 ，求m 的取值范围．(2) ⊙F 的半径为1，圆心F 的坐标为(0，t )，若⊙F 上存在点E ，使d (E ，O )=2，直接写出t的取值范围．顺义区2019届初三第二次统一练习数学参考答案及评分参考三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题,每小题6分，第27、28题,每小题7分）17. 214cos 45()12-︒+-.解：原式4412=⨯+-…………………………………………………………………4分= …………………………………………………………………………………5分18. 解不等式组2+1)5733<+⎧⎪⎨+≤+⎪⎩（①②x x x x ，并写出它的整数解.解：解不等式①得3<x ， ………………………………………………………2分解不等式②得1≥-x ， ……………………………………………………3分 ∴此不等式组的解集是13-≤<x ，…………………………………………4分 ∴此不等式组的非负整数解是0,1,2. ………………………………………5分 19. 解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）……………………………………………………………2分A C BE DF G（2）到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上…………………………3分EA =EB ……………………………………………………………………………4分 直径所对的圆周角是直角 …………………………………………………………5分 20. （1）证明：()22224(3)4369(3)-=--⋅-=++=+b ac m m m m m ，…1分∵ 2(3)0+≥m ，∴ 方程总有实数根．……………………………………………………2分（2）解：∵ 3(3)2-±+==m m x m，∴ 13332-++==m m x m m ，23312---==-m m x m．……4分∵方程的两个根均为整数，且m 为正整数，∴m 为1或3．…………………………………………………………5分21. （1）证明：∵∠A =90°， CE ⊥BD 于E ，∴90∠=∠=︒A CEB ． ∵AD ∥BC ， ∴∠=∠EBC ADB ． 又∵BD=BC ，∴△ABD ≌△ECB . …………………………………………2分 ∴BE=AD . ……………………………………………………3分（2）解：∵∠DCE =15°，CE ⊥BD 于E ，∴∠BDC =∠BCD =75°，∴∠BCE =60°，∠CBE =∠ADB =30°，在Rt △ABD 中，∠ADB =30°，AB=2.∴BD=4，AD=.∴∆=ABD S 122⨯= …………………………………4分 ∵△ABD ≌△ECB . ∴CE = AB=2. ∴∆=BCD S 14242⨯⨯=．∴=四边形ABCD S ∆ABD S +∆=BCD S 4+………………………5分A 频数/分22. (1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BDC =90°，∴ ∠BCD +∠B =90°， ∵ ∠ACB =90°， ∴ ∠BCD +∠ACD =90°，∴ ∠ACD =∠B ，……………………………1分 ∵ ∠DEC=∠B ,∴ ∠ACD=∠DEC ………………………2分（2）证明：连结OE∵E 为BD 弧的中点. ∴∠DCE =∠BCE ∵OC =OE ∴∠BCE =∠OEC ∴∠DCE =∠OEC∴OE ∥CD ………………………………3分 ∴△POE ∽△PCD ， ∴PO PE PC PD=∵PB=BO ，DE =2 ∴ PB=BO=OC∴23PO PE PC PD == ……………………………4分∴223PE PE =+ ∴ PE =4 …………………………………………5分23．解：（1） 将1)（，A a 代入 4=y x得 a =4 ------1分将14)（，A 代入 =4+k k ， 得=2k ----2分（2）①区域W 内的整点个数是3 --------------4分②∵直线l 是过点(2,0)D 且平行于直线22=+y x ∴直线l 的表达式为24=-y x当24=5-x 时，即=4.5x 线段PM 上有整点∴3 4.5<≤m ---------------------------6分 24．解：（1）A 、B 两班学生数学成绩频数分布直方图如下:-----------------------2分( 2 ) m=81 ， n =85----------------------------------------------------------4分 （3） 略 ------------------------------------------------------------------------------6分BCA25．解： （1）补全下表：------------------------------------------1分 （2）描点（x ，1y ），画出函数1y 的图象：-------------------------------------------3分（3）①线段AP 的取值范围是26<≤AP -----------------------------------------4分 ②线段AP 的长约为 2或 2.6 ------------------------------------------------6分26.解：（1）∵抛物线 223=+-y mx mx （0m >）的顶点D 的纵坐标是4-∴212444--=-m m m，解得=1m ∴ 223=+-y x x令0=y ，则 13=-x ，21=x∴ A (-3 ，0) B (1 ，0) ------------------------------2分 （2）由题意，抛物线的对称轴为1=-x点C （0 ，-3）的对称点坐标是E （-2 ，-3） 点A (-3 ，0)的对称点坐标是B (1 ，0) 设直线l 的表达式为=+y kx b∵ 点E （-2 ，-3）和点B (1 ，0)在直线l 上∴-23,0.+=-⎧⎨+=⎩k b k b 解得1,1.=⎧⎨=-⎩k b ∴直线l 的表达式为1=-y x -------------------------4分（3）由对称性可知 21(1)1--=--x x ，得122+=-x x 321-<<x∴12341-<++<-x x x ------------------------------6分D图2 在△CAE 和△DAF 中， ∵=AC AD ，45CAE DAF ∠=∠=︒，AE=AF ， ∴△CAE ≌△DAF （SAS ）． ∴CE=DF ．∵=AB AC ，45BAE CAE ∠=∠=︒，AE=AE ， ∴△BAE ≌△CAE （SAS ）． ∴BE=CE ． ∴BE=CE ．∵DF+BE -EF=BD ，∴2CE -AE=BD ． ------------------------------------------7分28. 解：(1) ① )1()2()2(3),(---+--=Q P d =6 -------------1分② 5432)2(3),(=+-=--+-=b b H P d∴ 13=-b∴b =2或4 ----------------------3分③ 32323)2(3),(<-+-=+-+-=--+-=m m m m n m C P d即数轴上表示数m 的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3，所以1＜m ＜4 ----------------5分 (2) 223322-≤≤-≤≤-t t 或 -------------------7分。

2x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.y5]5(x2+bx+c)过点数学试卷2019年北京市各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总y1、（2019年门头沟二模）25．如图25-1，抛物线y=-x2+b x+c与直线y=1y作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；72B CB CP E（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.O N A x PB'y．．．．MP'O N A x P图1D DC F CA O EB x A O B x 3、（2019年平谷二模）25.定义：任何一个一次函数y=px+q，取出它的一次项系数p和常数项q，有序数组[p，q]为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是[2，，同理，[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c的特征数。

图25-1备用图（1）直接写出二次函数y=x2-5x的特征数是：_______________。

（2）若特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值；2、（2019年丰台二模）25.如图，经过原点的抛物线y=-x2+bx（b>2）与x轴的另一交（3）以y轴为对称轴的二次函数抛y=ax2+bx+c的图象经过A(2，m)、B(n，1)两点（其b点为A，过点P（1，2）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对中m﹥0，n<0），连结OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S的特征数．△AOB=10，求二次函数y=ax2+bx+c称点为C.连结CB，CP.（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；（3）当b=6时，如图△2，将CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△C B’P’，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.4、(2019年顺义二模)25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=3中，射线 l: y = 3x (x ≥ 0).点 A 是第一象限内一定点，OA = 4 3 ，射线 OA 与射线 l 的MA(1,0) ，B(0, 3) ，这条抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C ，点 P 为射线 CB 上一个动点（不与点 C 重合），点 D 为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD = 60︒ ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的横坐标为 △m ， PCD 的面积为 S ，求S 与 m 之间的函数关系式；（3）过点 P 作 PE ⊥DP ，连接 DE ，F 为 DE 的中点，试求线段 BF 的最小值．5、（2019 年石景山二模）25．在平面直角坐标系 xoy．．．．．夹角为 30°.射线 l 上有一动点 P 从点 O 出发，以每秒 2 3 个单位长度的速度沿射线 l 匀速运动，同时 x 轴上有一动点 Q 从点 O 出发，以相同的速度沿 x 轴正方向匀速运动，设运 动时间为 t 秒.（1）用含 t 的代数式表示 PQ 的长.（2）若当 P 、Q 运动某一时刻时，点 A 恰巧在线段 PQ 上，求出此时的 t 值.（3）定义 M 抛物线：顶点为 P ，且经过 Q 点的抛物线叫做“M 抛物线”.若当 P 、Q 运动 t秒时，将△PQA 绕其某边中点旋转 180°后，三个对应顶点恰好都落在“ 抛物线”上，求此时 t 的值. 解：（1）数学试卷（3）6、（2019 年海淀二模）25. 对于半径为 r 的⊙P 及一个正方形给出如下定义：若⊙P 上存在 到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P 是该正方形的“等距圆”．如图 1，在平面直角 坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，4），顶点 C 、D 在 x 轴上，且点 C 在点 D 的左侧.（1）当 r = 4 2 时，①在 P 1（0，-3），P 2（4，6），P 3（ 4 2 ，2）中可以成为正方形 ABCD 的“等距圆”的圆心的是 ；②若点 P 在直线 y = - x + 2 上，且⊙P 是正方形 ABCD 的“等距圆”，则点 P 的坐标为 ；（2）如图 2，在正方形 ABCD 所在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 EFGH 的顶点 F 的坐标为（6，2），顶点 E 、H 在 y 轴上，且点 H 在点 E 的上方.①若⊙P 同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与 BC 所在直线相切，求⊙P 在 y 轴上截得 的弦长；②将正方形 ABCD 绕着点 D 旋转一周，在旋转的过程中，线段 HF 上没有一个点能成为它的 “等距圆”的圆心，则 r 的取值范围是 ．y H GBAEFCO Dx（2）备用图 1图 1图 2备用图 2x 是闭区间 [1,2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)是闭区间 m , n 上的“闭函数”，求此函数的表达式；5 x 2 - [ ] 5 是闭区间 a, b 上的“闭函数”，直接写出实数a ，b [ ] [ ]7、（2019 年西城二模）25.在平面直角坐标系 xOy 中，对于⊙A 上一点 B 及⊙A 外一点 P ，给出如下定义：若直线 PB 与 x 轴有公共点（记作 M ），则称直线 PB 为⊙A 的“x 关联直线”，（1）反比例函数 y =2014数学试卷记作 l PBM .[ ]（1）已知⊙O 是以原点为圆心，1 为半径的圆，点 P （0,2），①直线 l ： y = 2 ，直线 l ： y = x + 2 ，直线 l ： y = 3x + 2 ，直线 l ： y = -2 x + 2 都经1234（3）若二次函数 y = 1的值.4 5 x - 7过点 P ，在直线 l ， l ， l ， l 中，是⊙O 的“x 关联直线”的是；12 3 4②若直线 l是⊙O 的“x 关联直线”，则点 M 的横坐标 x 的最大值是；PBMM（2）点 A （2,0）,⊙A 的半径为 1，9、（2019 年东城二模）25.定义：对于数轴上的任意两点 A ，B 分别表示数 x x ，用 x - x1, 2 1 2表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点 A( x , y ), B( x , y ) 我们把1 12 2①若 P （-1,2）,⊙A 的“x 关联直线” l当 x 最大时，求 k 的值；M②若 P 是 y 轴上一个动点，且点 P的纵坐标 y > 2 ，⊙A 的两条“x 关联pPBM： y = kx + k + 2 ，点 M 的横坐标为 x ，Mx - x + y - y 叫做 A ，B 两点之间的直角距离,记作 d （A ，B ）．1 2 1 2（1）已知 O 为坐标原点，若点 P 坐标为（－ 1，3），则 d (O,P )＝_____________; （2）已知 C 是直线上 y ＝x ＋2 的一个动点，①若 D （1，0），求点 C 与点 D 的直角距离的最小值；②若 E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点， 请直接写出点 C 与点 E 的直角距离的最小值．直线”lPCM, l PDN是⊙A 的两条切线，切y点分别为 C ,D ，作直线 CD 与 x 轴点于点 E ，当点 P 的位置发生变化时， AE 的长 度是否发生改变？并说明理由.8、（2019 年通州二模）24．设 a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤ x ≤ b的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a, b . 对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 m ≤ x ≤n 时，有 m ≤ y ≤n ，我们就称此函数是闭区间 m , n 上的“闭函数”.32 1-2 -1O1 2 x-1 -210、（2019 年朝阳二模）25．如图，在平面直角坐标系中 xOy ，二次函数 y =ax 2-2ax +3 的图象与 xyCA OB xC -2 -1 O A2 x大，请直接写出点 M 的坐标..轴分别交于点 A 、B ，与 y 轴交于点 C ，AB =4，动点 P 从 B 点出发，沿 x 轴负方向以每秒 1 个单位长度的速度移动．过 P 点作 PQ 垂直于直线 BC ，垂足为 Q ．设 P 点移动的时间为 t 秒（t ＞△0）， BPQ 与△ABC 重叠部分的面积为 S ． （1）求这个二次函数的关系式； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （△3）将 BPQ 绕点 P 逆时针旋转 90°，当旋转后的△BPQ 与二次函数的图象有公共点时，求 t 的取值范围（直接写出结果）．11、（2019 年密云二模）25．按右图所示的流程，输入一个数据 x ，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据 y ， 这样可以将一组数 据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含 20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（一）新数据都在 60～100（含 60 和 100）之间；（二）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致， 即原数据大的对应的新数据也较大.（1） 若 y 与 x 的关系是 y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当 p1＝ 2 时，这种变换满足上述两个要求；（2） 若按关系式 y=a(x －h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式（不要求对关 系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过 程）12、（2019 年延庆二模）13 、 (2019 年 房 山 二 模 )25. 如 果 一 条 抛 物 线说明理由；（3）在（2）的条件下，若以点 E 为圆心，r 为半径的圆与线段 AD 只有一个公共点，求出 r 的 取值范围．14、（2019 年昌平二模）25．如图，已知点A （1，0），B （0，3），C （-3，0），动点 P （x ，y ）在线段 AB 上，CP 交 y y轴于点 D ，设 BD 的长为 t . B（1）求 t 关于动点 P 的横坐标 x 的函数表达式； 2（2）若 △S BCD ：△S AOB =2：1，求点 P 的坐标，并判断线段 CD 与线段 AB 的数量及位置关系，说明理由； 1（3）在（2）的条件下，若 M 为 x 轴上的点，且∠BMD 最-115、（2019 年怀柔二模）25.在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A(3，0)、B(1，2)， 直线 l 围绕△OAB 的顶点 A 旋转，与 y 轴相交于点 P.探究解决下列问题： （1）在图 1 中求△OAB 的面积.（2）如图 1 所示，当直线 l 旋转到与边 OB 相交时，试确定点 P 的位置，使顶点 O 、B 到直线 l 的 距离之和最大，并简要说明理由.（3）当直线 l 旋转到与 y 轴的负半轴相交时，在图 2 中试确定点 P 的位置，使顶点 O 、B 到直 线 l 的距离之和最大，画出图形并求出此时 P 点的坐标. （点 P 位置的确定只需作出图形，不 用证明）.y =ax 2 +bx +c (a ≠ 0)与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线yyB的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛 物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；lPBO Ax（2）如图，△ OAB 是抛物线 y =-x 2 +b x (b >0)的“抛物线 x三角形”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD ？若 存在，求出过 O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，O A图 1图 2x-2+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=x-2+1是y与x的“反比例平移函数”．16、（2019年大兴二模）24.已知：二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于点A（–2，0）．（1）求二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴的另一个交点B及顶点M的坐标；（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点O时，P、Q同时停止运动.点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点，设四边形PQCD的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系表达式（不必写出t的取值范围）；（3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9，0)、(0，3)．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y=ax+k的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式x-6为；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧)，若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．yC BEO D A x17、（2019年燕山二模）25.定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如:y=11x的图象，则y=1（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．。

2023年北京市顺义区九年级二模数学试卷数 学学校名称 班级 姓名 准考证号考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将答题卡交回。

第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．右图是某几何体的侧面展开图，该几何体是（A ）圆柱 （B ）圆锥（C ）三棱柱（D ）长方体2．4月23日是世界读书日．2023北京书市以“书香京城·悦读春天”为主题，于4月14日至4月24日在主展区内集中展示展销超过40万种优秀出版物及文化产品，满足民众多样化高品质的阅读文化需求．将400 000用科学记数法表示应为（A ） （B ） （C ） （D ）3．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE ，使DE ∥BC ．若∠ABC =30°，则∠BDE 的度数是 （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°4．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足-b <<b ，则b 的值可以是（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-15．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）6104.0⨯5104⨯41040⨯4104⨯a6. 某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费 9 元．某学习小组收集了一段时间内该外卖平台的部分订单,统计了每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的两组数据，对于这两组数据，下列判断正确的是（A ）众数相同 （B ）中位数相同 （C ）平均数相同 （D ）方差相同7. 如图，要测量楼高MN ，在距MN 为15m 的点B 处竖立一根长为5.5m 的直杆AB ，恰好使得观测点E 、直杆顶点A 和高楼顶点N 在同一条直线上．若DB =5m ，DE =1.5m ，则楼高MN 是（A ）13.5m （B ）16.5m （C ）17.5m （D ）22m8．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x （元），每星期的销售量为y （袋），每星期销售这种干果的利润为z （元）．则y 与x ，z 与x 满足的函数关系分别是（A ）一次函数，二次函数 （B ）一次函数，反比例函数（C ）反比例函数，二次函数 （D ）反比例函数，一次函数第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若分式的值为0，则 x 的值为 ．10．五边形的内角和是 °.11．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数的图象经过点A （1，3）和点B （-3，n ），则n 的值为 .12．如果a-b=3，那么代数式的值为 .13．如图，在△ABC 中，AD ，BD 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，过点D 作EF∥AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F .若AE=4，BF=6，则EF 的长为 .14．不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4．随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字不相同的概率是_________.15．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与CD 边的中点E 重合，折痕恰好为AF ，则的值为 .12--x x )0(≠=k xky b b a b a a 221-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-BFCF16．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃2～红桃10共9张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌. 已知甲的三张牌数字之和是12，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数.写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 .三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．解不等式组：19．已知：线段AB 及射线AM ．求作：等腰△ABC ，使得点C 在射线AM 上．作法一：如图1，以点B 为圆心，BA 长为半径作弧，交射线AM 于点C （不与点A 重合），连接BC ．作法二：如图2，①在AB 上取一点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交射线AM 于点E ，连接DE ；②以点B 为圆心，AD 长为半径作弧，交线段BA 于点F ；③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，交前弧于点G ；④作射线BG 交射线AM 于点C ．作法三：如图3，①分别以点A ，B 为圆点，大于AB 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P ，Q ；②作直线PQ ，交射线AM 于点C ，连接BC ．根据以上三种作法，填空：1860cos 22)4(0-︒--+-π⎪⎩⎪⎨⎧->+-<-.1534,3243x x x 21由作法一可知： =AB，∴△ABC是等腰三角形．由作法二可知：∠ =∠BAM，∴CA=CB（）（填推理依据）．∴△ABC是等腰三角形．由作法三可知：PQ是线段AB的，∴CA=CB（）（填推理依据）．∴△ABC是等腰三角形．20．已知关于x的方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．21．如图，△ABC中，AB=AC，点A关于BC的对称点为D，连接BD，CD.（1）求证：四边形ABDC是菱形；（2）过点A作AE⊥BD于E，交BC于点F，若AB=6，BE=4，求AF的长．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由y=-2x的图象平移得到，且过点（2，-1）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围．23．在某次男子三米跳板比赛中，每名参赛选手要进行六轮比赛，每轮得分的计算方式如下：a. 甲、丙两位选手的得分折线图：422=-+-bbxx)0(≠+=kbkxy2>x)0(≠=mmxy)0(≠+=kbkxyb . 乙选手六轮比赛的得分：74.5 68.6 96.9 m 63.25 92.75c . 甲、乙、丙三位选手六轮比赛得分的平均数：选手甲乙丙平均数85.55n82.55根据以上信息，回答下列问题：（1）已知乙选手第四轮动作的难度系数为3.5，七名裁判的打分分别为：8.0 8.0 8.5 8.0 8.0 8.0 7.5求乙选手第四轮比赛的得分m 及表中n 的值；（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；（3）每名选手六轮比赛得分的总和为个人最终得分．根据上述信息判断：在甲、乙、丙三位选手中，最终得分最高的是 （填“甲”“乙”或“丙”）．24．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，AC 是⊙O 的直径．（1）求证：∠BAC=∠APB ；（2）连接PO 交⊙O 于点D ，若AC =6，cos ∠BAC =，求PD 的长．25. 某架飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）近似满足函数关系，由电子监测获得滑行时间x 与滑行距离y 的几组数据如下：滑行时间 x / s 0246810滑行距离 y / ｍ114216306384450（1）根据上述数据，求出满足的函数关系；（2）飞机着陆后滑行多远能够停下来？此时滑行的时间是多少？2154)0(2≠+=a bx ax y )0(2≠+=a bx ax y26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x 2 - 2a 2x - 3 .（1）求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；（2）若a =1，当-2＜x ＜3时，求y 的取值范围；（3）已知A (2a -1，y 1 )，B (a ，y 2 )，C (a +2，y 3)为该抛物线上的点，若y 1 ＜y 3 ＜y 2 ，求a 的取值范围 .27．已知：∠ABC=120°，D ，E 分别是射线BA ，BC 上的点，连接DE ，以点D 为旋转中心，将线段DE绕着点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接EF ，BF . （1）如图1，当BD=BE 时，求证：BF=2BD ；（2）当BD ≠BE 时，依题意补全图2，用等式表示线段BD ，BF ，BE 之间的数量关系，并证明．图1 图228．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ，直线l 与图形G ，连接点P 与图形G 上任意一点Q ，取PQ 的中点M ，点M 关于直线l 的对称点为N ，所有的对称点组成的图形W 称为图形G 关于点P 及直线l 的“对应图形”．已知点A （4，0）．（1）对于直线l : x =a ，若直线y =-2x -4关于点A 及直线l 的“对应图形”与直线y =-2x -4的交点在x 轴的上方，求a 的取值范围；（2）已知点B （0，4），C （-4，0），D （6，4），直线l : x =-1，⊙T 的圆心T （t ，0），半径为2．若存在⊙T 关于点D 及直线l 的“对应图形”与△ABC 的边有交点，直接写出t的取值范围．)0( a参考答案一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案BBDADDCA二、填空题（共16分，每题2分）9． 2； 10．540； 11．-1； 12． 3； 13．10； 14．； 15．； 16．2，4，6， 3，8，10． 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．解：原式= …………………………………… 4分 = ………………………………………………………… 5分18. 解：解不等式①，得 x < 1． ……………………………………………… 2分 解不等式②，得 x > -2． …………………………………………… 4分 ∴原不等式组的解集为 -2 < x < 1． ………………………………… 5分19．解：由作法一可知： CB =AB ， ………………………………………… 1分∴ △ABC 是等腰三角形．由作法二可知：∠ ABG =∠BAM ， ……………………………………… 2分∴ CA =CB （ 等角对等边 ）（填推理依据）． ………………… 3分∴ △ABC 是等腰三角形．由作法三可知：PQ 是线段AB 的 垂直平分线 ，……………… 4分∴ CA =CB （ 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ）（填推理依据）．……………………………………………………………… 5分∴ △ABC 是等腰三角形．20．（1）证明：∵△=≥0，………… 1分 ∴方程总有两个实数根． ………………………………………… 2分（2）解：∵，∴，． ……………… 3分 ∵方程有一个根为负数，∴． ∴． …………………………………………… 4分 ∵ b 为正整数，43212321221-⨯-+22-222)4(168)42(4)(-=+-=---b b b b b 2)4(2)4(2-±=-±=b b b b x 22)4(1-=-+==b b b x 22)4(2=--==b b x 02<-b 2<b∴ b=1． …………………………………………………………………… 5分121．（1）证明：∵A 关于BC 的对称点为D ，∴AB =BD ，AC =CD ． ………………………………………… 1分∵AB =AC ，∴AB =BD =AC =CD ， ………………………………………… 2分∴四边形ABDC 是菱形． ………………………………………… 3分（2）解一：∵AE ⊥BD ，AB =6，BE =4，∴∠AEB =90°．∴． …………………… 4分∵四边形ABDC 是菱形， ∴BD ∥AC ，AC=AB =6．∴△BEF ∽△CAF ． ………………………………………………… 5分∴． ∴． 设EF =2x ，AF =3x ，有2x+3x =． ∴． ∴． ……………………… 6分解二：连接AD ，交BC 于点O .∵AB =6，BE =4，∴DE =2.∵AE ⊥BD ，∴∠AEB =∠AED =90°，∴， ……………………… 4分.∵四边形ABDC 是菱形，∴∠BOA =90°，AO=AD，∴∠BOA =∠AED =90°.∵∠OAF =∠EAD ，∴△AFO ∽△ADE ． ………………………………………………… 5分∴．AE===AF EFAC BE =3264==AF EF 52552=x 5563==x AF AE ===AD ===21AF AOAD AE=．∴AF………………………………………………………… 6分22．解：（1）∵一次函数的图象由y =-2x 的图象平移得到， ∴ k =-2． …………………………………………………… 1分 ∵一次函数的图象过点（2，-1）， ∴ -2×2+b =-1．∴ b =3． ……………………………………………………… 2分∴ 这个一次函数的解析式为：y =- 2x +3． …………………… 3分（2）m ≥-且m ≠0． …………………………………………… 5分 23．解：（1）． …………………………………… 1分 ．……… 3分（2）选手 甲 发挥的稳定性更好． …………………………… 5分（3）最终得分最高的是 甲 ．…………………………………… 6分24．（1）证明一：如图，连接PO ，交AB 于点E ．∵PA 、PB 为⊙O 的切线，∴PA =PB ，∠1=∠2=∠APB ，∠PAO = 90°．∴PE ⊥AB ，∠3+∠BAC = 90°，∴∠PEA=90°．∴∠1+∠3=90°．∴∠BAC =∠1 ．∴∠BAC =∠APB ． ………………………………………………　3分 证明二：如图，连接OB ． ∵PA 、PB 为⊙O 的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°．∵∠PAO+∠PBO+∠P+∠1=360°，∴∠P+∠1=180°．∵∠2+∠1=180°，∴∠P=∠2．∵OA=OB ，=)0(≠+=k b kx y b x y +-=212845.3)888(=⨯++=m 806480675.9225.63849.966.685.74==+++++=n 1212∴∠BAC=∠3．∵∠2=∠BAC+∠3，∴∠2=2∠BAC ．∴∠P=2∠BAC ．即∠BAC =∠APB ． ………………………………………………　3分（2）解：∵cos ∠BAC =，∴sin ∠BAC =，∴sin ∠1=，∵AC =6，∴AO =3，∴OP =5，∴PD =OP -OD =2． …………………………………………………　6分25．解：（1）根据表格可以得出函数图象过点（2，114），（4，216），代入函数关系式,可得解之得,∴函数关系式为． ……………………………　3分（2）当时，．∴飞机着陆后滑行600m 能够停下来，此时滑行的时间是20s ．…… 5分26．解：（1）对称轴x = -=a ．……………………………………………… 1分（2）∵a =1，∴抛物线解析式为y =x 2 -2 x -3，对称轴为x =1，开口向上．∵-2＜x ＜3，包含对称轴x =1，且x =-2比x =3距离对称轴远，∴当x =1时，y 最小=-4；当x =-2时，y =5．∴-4≤y ＜5． ………………………………………………………… 3分（3）∵y 1＜y 3＜y 2，B (a , y 2) ，对称轴为x =a ，∴B (a , y 2)为抛物线的顶点，a ＜0，C (a +2, y 3)在对称轴右侧，当A (2a -1, y 1)在对称轴左侧时：a -(2 a -1）＞（a +2）- a ，∴ a ＜-1．124535352y ax bx =+42114164216a b a b +=⎧⎨+=⎩3260a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩23602y x x =-+6020322()2b x a =-=-=⨯-232060206002y =-⨯+⨯=222a a-当A (2a -1, y 1)在对称轴右侧时：2a -1＞a +2，∴a ＞3，不符合题意，舍去．∴a ＜-1．……………………………………………………………… 6分27．（1）证明：∵DE 绕着点D 逆时针旋转60°得到DF ，∴DE =DF ，∠EDF =60°．∴△DEF 是等边三角形． ………………………………………… 1分∴FE =FD ，∠DFE =60°．∵BD =BE ，∠ABC =120°，BF =BF ，∴∠BDE =30°，△BDF ≌△BEF ．∴∠BDF =90°，∠BFD =∠BFE =30°．∴BF =2BD ． …………………………………………………… 3分（2）依题意补全图2，如图．数量关系为：BF =BD + BE ． ………………………………………………… 4分证明：在DA 上截取DG ，使DG =BE ，连接FG ．∵DE 绕着点D 逆时针旋转60°得到DF ，∴DE =DF ，∠EDF =60°．∴△DEF 是等边三角形．∴FE =FD ，∠DFE =60°．∵∠ABC =120°，∴∠BDF +∠BEF =180°．∵∠BDF +∠GDF =180°，∴∠GDF =∠BEF ．在△GDF 和△BEF 中∴△GDF ≌△BEF （SAS ）． ………………………………………… 5分∴GF =BF ，∠GFD =∠BFE ．∴∠GFB =∠DFE =60°．∴△GFB 是等边三角形．∴BG =BF ． ………………………………………………… 6分∵BG = BD +DG ，∴BF = BD +BE ． …………………………………………………… 7分DG BE GDF BEFDF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩28．解：（1）如图，直线与两坐标轴的交点分别是E （-2，0），F （0，-4），则点A 与直线上的任意一点所成的线段的中点，构成了直线E’F’．其中E’ （1，0），F’ （2，-2）．∴ 直线E’F’：．设直线E’F’：关于直线l ：x =a 的对称直线与x轴的交点为点H ，若要使直线关于点A 及直线l ：x =a 的“对应图形”与直线的交点在x 轴的上方，则只需要点H 在点E 左侧，因此，所以．又，所以，即． ………………………………… 3分（2）≤t ≤或≤t ≤．………………… 7分24y x =--24y x =--22y x =-+22y x =-+24y x =--24y x =--H E x x <2H x <-'2H E x x a +=212a -+<12a <-2214--2214+-226--226+-。

第11讲作图题【2019规作点P，使点a.点P到Ab.点P到∠小明的作法是：①连接AB②作∠MON所以点P（1（2）证明：∵∴PA= .∵OP∴点的两边的距离相等（）【答案】（1）（2）PB角平分线上的点到角两边的距离相等【2019·昌平二模】2．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线”．小明的作法如下：①在直线l 上取一点A ，以点A 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线l 于点B ； ②分别以P ，B 为圆心，以AP 长为半径作弧，两弧相交于点Q （与点A 不重合）； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：∵AB =AP =_________=__________ .∴四边形ABQP 是菱形（______________________________）（填推理的依据）.∴PQ ∥l .【答案】解：（1）画图略 （2）BQ ，PQ四条边相等的四边形是菱形【2019·西城二模】3．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程. 已知：平行四边形ABCD.求作：点M ，使点M 为边AD 的中点. 作法：如图， ①作射线BA ；②以点A 为圆心，CD 长为半径画弧， 交BA 的延长线于点E ； ③连接EC 交AD 于点M ． 所以点M 就是所求作的点． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；P（2）完成下面的证明． 证明：连接AC ，ED ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AE//CD ． ∵AE= ，∴四边形EACD 是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∴AM=MD （ ）（填推理的依据）． ∴点M 为所求作的边AD 的中点． 【答案】解：（1）补全图形如图所示： （2）CD,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分【2019·东城二模】4．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.已知：四边形ABCD 是平行四边形.求作：菱形ABEF （点E 在BC 上，点F 在AD 上）. 作法：①以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；②以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交BC 于点E ； ③连接EF.所以四边形ABEF 为所求作的菱形. 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明. 证明：∵AF=AB ，BE=AB ，∴ ________ = ________. 在□ABCD 中，AD ∥BC.CBA即AF∥BE.∴四边形ABEF为平行四边形.∵AF=AB，∴四边形ABEF为菱形（_________________________）（填推理的依据）. 【答案】图略 AF,BE；一组邻边相等的平行四边形是菱形【2019·朝阳二模】5．下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BP，∵ _____=_____=_____=AP，∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．∴∠APQ=90°（_____）．（填写推理的依据）即PQ⊥l．【答案】（1）图略．（2）BP，BA，BQ，直径所对的圆周角是直角．【2019·海淀二模】6．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，∠C=90°．求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．作法：如图，① 分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧交于P ，Q ② 作直线PQ ，与AB 交于点D ，与AC 交于点E ． 所以线段DE 就是所求作的中位线． 根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接PA ，PC ，QA ，QC ， DC ，∵ PA =PC ，QA =_________，∴ PQ 是AC 的垂直平分线（________）（填推理的依据）． ∴ E 为AC 中点，AD =DC ． ∴ ∠DAC =∠DCA ，又在Rt △ABC 中，有∠BAC +∠ABC =90°，∠DCA +∠DCB =90°． ∴ ∠ABC =∠DCB （________）（填推理的依据）． ∴ DB =DC ． ∴ AD =BD =DC ． ∴ D 为AB 中点． ∴ DE 是△ABC 的中位线．【答案】（1）补全的图形如图所示：（作等弧交于两点P ,Q 点1分，直线PQ 1分）（2）QC到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 等角的余角相等【2019·门头沟二模】7．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程．baCMB已知：如图1，线段a 和线段b ．求作：△ABC ，使得AB = AC ，BC = a ，BC 边上的高为b ． 作法：如图2，① 作射线BM ，并在射线BM 上截取BC = a ； ② 作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ； ③ 以D 为圆心，b 为半径作圆，交PQ 于A ； ④ 连接AB 和AC ．则△ABC 就是所求作的图形． 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC = a ，AD = b ．∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，∴ AB = AC （ ）（填依据）． 又∵ AD 在线段BC 的垂直平分线PQ 上， ∴ AD ⊥BC ．∴ AD 为BC 边上的高，且AD = b ．【答案】略【2019·平谷二模】8．下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和l 外一点P ． 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2，（1）在直线l 上任取一点A ；（2）连接AP ，以点P 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线l 于点B （点A ，B 不重合）； （3）连接BP ，作∠APB 的角平分线，交AB 于点H ； （4）作直线PH ，交直线l 于点H ． 所以直线PH 就是所求作的垂线． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 （保留作图痕迹）；图1图2PACB（2）完成下面的证明. 证明：∵PH 平分∠APB ， ∴∠APH = ． ∵PA= ，∴PH ⊥直线l 于H ．( )(填推理的依据)【2019·顺义二模】9．下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC ．求作：BC 边上的高线．作法：如图，①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，E ； ②作直线DE ，与AB 交于点F ，以点F 为圆心，FA 长为半径画圆，交CB 的延长线于点G ；③连接AG ．所以线段AG 就是所求作的BC 边上的高线．AE根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明.证明：连接DA，DB，EA，EB，∵DA=DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∵ = ，∴点E在线段AB的垂直平分线上．∴DE是线段AB的垂直平分线．∴FA=FB．∴AB是⊙F的直径．∴∠AGB=90°（）（填推理的依据）．∴AG⊥BC即AG就是BC边上的高线．【答案】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上EA=EB直径所对的圆周角是直角【2019·怀柔二模】10．下面是一位同学的一道尺规作图题的过程. 已知：线段 a，b，c.求作：线段x，使得a：b=c：x.x.。