5 IIR DF的设计方法

实验范例一

பைடு நூலகம்



Wc= Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N))); 或者Wc= Ws/((A*A-1)^(1/(2*N))); [z,p,k]=buttap(N); %normalized lowpass butterworth transfer function z、p和k分别是设计出的函数的零点、极点及增益。 %计算分子分母多项式系数 num=k*real(poly(z)); den=real(poly(p)); w=0:pi/512:pi; [H,phw]=freqz(num,den,w); %画出系统对数幅频特性 subplot(2,2,1); plot(w/pi,20*log10(abs(H)),’k’); subplot（2,2,2）; plot(w/pi,20*log10(angle(H)),’k’); [ha,x,t]=impulse(num,den);
思考题
思考题： （1）IIR滤波器设计步骤。 （2）对实验过程中所涉及的问题进行分析，试编写 和修改相应的程序，得出最终正确的结果和波形图， 并对实验报告进行整理分析。 （3）设计低通数字滤波器，要求在通带内频带低于 0.2pi时，允许幅度误差在1dB以内，在频率之间的阻 带衰减大于0.3~pi阻带衰减大于 15dB。用双线性设 计数字滤波器，模拟滤波器采用巴特沃兹滤波器原型。 （4）设计一个巴特沃兹高通滤波器，要求通带截止 频率为0.6pi，通带内衰减不大于1dB，阻带起始频率 为0.4pi，阻带内衰减不小于15dB。（选做）
实验原理
3、指标之间关系
BUTTERWORTH低通滤波器：幅度平方函数定义为
实验原理
阶数N可以用下式求得：

1T
Im(z)
Z平面
如何将上述两个映射转化为s平面与z平面之间的映射关系？
双线性变换（2）
时域分析:
AF的Ha(s) 表示为：
H a ( s)
a s b s
i 0 i i 0 N i
M
i
不妨令 M = N，则：
i
H a (s)
a s b s
i 0 i i 0 N i
Ha (S )
i 1
N
Ai S Si
冲激响应不变法（7）
单阶极点（cont’d）：
1) 验证（幅频特性、稳定性和因果性） 2) S平面与Z平面之间的映射关系
极点间的映射关系：
z i e si T
zi esiT
若Ha(s)稳定，则si位于左半平面，而zi位于单位圆内 若ha(t)因果，则h(n)=Tha(nT)因果
优点： 1）无混叠；在窄带内能近似保持原幅频特性； 2) 因S与Z之间有简单的代数关系，故数字化过程较冲激响应不变法 简单； 3) 较冲激响应不变法而言，适用范围更广；
故，若Ha(s)稳定且因果，则H(z)稳定且因果
冲激响应不变法（8）
例题：
利用脉冲响应不变法，把
H a (s)
s 1 s 2 5s 6
转换成数字滤波器 H(z)，其中 T = 0.1。
解：首先把 Ha(s) 展成部分分式形式：
H a ( s) s 1 2 1 s 2 5s 6 s 3 s 2
因此, 数字积分器的系统函数：
Y ( z ) 1 z 1 T H I ( z) 1 X ( z) 1 z 2
1
即：
2 1 z 2 z 1 1 T 1 z 1 s 1 1 T 1 z T z 1 s 2 1 z

得：
Xˆ a (s) xa (nT )esnT
n
当z esT时，X (z) Xˆ a (s)
16
当 z esT 时
抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换
即：
X (z) zesT X (esT ) Xˆ a (s)
是复平面s平面到z平面的映射：
s平面：s j (直角坐标）
k 0 N
1 ak zk
k 1
FIR滤波器（N-1阶）
N 1
H (z) h(n)zn n0
6
§5-1 IIR数字滤波器的设计思想
IIR滤波器（N阶）
M
bk zk
H(z)
k 0 N
1 ak zk
k 1
特点： h（n）无限长
H（Z）有理分式
H（S）有理分式（带宽无限长）
数字滤波器的设计思想 • 按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 • 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性
s
1
3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
Ha (s) ha (t) ha (nT ) h(n) H (z)
Ha (s)
N k 1
s
Ak sk
N
ha (t) L1[Ha (s)] Akesktu(t)
h(n) ha (nT )
N
k 1
AkesknTu(nT )
N
Ak
eskT
n
u(n)
k 1
k 1
H (z)
1 1 H (e j ) 1 H (e j ) 2
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率 1 ：通带容限 2 ：阻带容限

函数G(z -1) 的特性： 1) G(z -1) 是z -1 的有理函数。 2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求
u的单位圆内部必须对应于z 的单位圆内部。 3）G(z -1) 必须是全通函数。 为使两个函数的频率响应满足一定的变换要求，z 平面的
单位圆应映射到 u 平面的单位圆上，若以 e jθ 和 e jω 分别表 示u平面和z 平面的单位圆，则由上式为
波器为
Ha
(s)

1
1
s
解 首先确定上下边界频率
T 2f
fs
1 2f1 / fs 2 105/ 1000 0.21
2 2f2 / fs 2 95/ 1000 0.19
求中心频率
coso

sin(0.21 0.19 ) sin0.21 sin0.19
解：确定数字频域的上下边带的角频率
1 2f1 / f s 0.55 2 2f 2 / f s 0.45 3 2f 3 / f s 0.6
T 2f
fs
求中心频率：
cos0

sin0.45 0.55
sin 0.45 sin 0.55
0.9695(z2 1.6188z 1) z2 1.5695z 0.9390
17
3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的 频率变换
前面讨论由模拟低通滤波器原型来设计各种数字滤波器 的方法，该设计方法同样也可直接在数字域上进行。
数字低通滤波器 原型函数Hp(z)
变换
各种数字滤 波器的H(z)
2
0.6 0.2
cos(
)
a
2
0.6 0.2