微积分下期末试题（一）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、 已知22
(,)y f x y x y
x +=-,则=),(y x f ___2(1)1x y y -+__________.
2、 已知, π
=⎰∞
+∞--dx e
x 2
则
=
⎰
∞
+--dx e x x
21
______
3、函数
22
(,)1f x y x xy y y =++-+在 点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f __1______.
5、以x
e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是
____________________."6'0y y y -+= 二、选择题(每小题3分,共15分 6 知dx
e
x
p ⎰∞
+- 0
)1(与
⎰
-e
p x x dx
1
1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( C ).
(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 数
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+≠++=0 ,0 0
,4),(222
222y x y x y x x y x f 在原点间断,
是因为该函数( B ).
(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在
(C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
)3
2
,31(-
8
、若
2211
x y I +≤=
⎰⎰
,22212
x y I ≤+≤=⎰⎰
,
22324
x y I ≤+≤=
⎰⎰
,则下列关系式成立的是( A).
(A) 123
I I I >> (B)
213
I I I >> (C)
123
I I I <<
(D)
213
I I I <<
9、方程x
e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( D ).
(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=
(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=
10、设∑∞
=1
2
n n
a
收敛，则∑∞
=-1
)
1(n n
n
a ( D ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 11、求由2
3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
解：
32
y x
=的函数为23
,0x y y =>。且4=x 时，8=y 。于是
)6()
3(分分248
8
2
2
33
8
37
730
(4)16(80)33
128128(80)
775127
V y dy y dy
y ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰
12、求二重极限
1
1lim
22220
0-+++→→y x y x y x .
解：原式
11)11)((lim 2222220
0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)
2
)11(lim 220
=+++=→→y x y x (6分)
13、),(y x z z =由
xy e z z
=+确定，求y x z
∂∂∂2. 解：设
(,,)z
F x y z z e xy =+-，则
x F y
=-，
y F x
=- ，
1z
z F e =+
11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)
22
2111(1)1(1)z z z z
z z z z
e y e z y
e xy y
x y y e e e e ∂+-⋅⋅
∂∂∂⎛⎫
===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭
(6分)
14、用拉格朗日乘数法求
22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：
222
(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得
12x =
,"40z =>,1
2x =
为极小值点. (3分)
故22
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11
(,)22,极小值为32
(6分)
