五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
0121和
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021
的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae
-⋅=
ψ
2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=
。
4、)ˆˆ(22x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2 =+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以
)ˆˆ(2
2x x p x x p i -是厄密算符。
5、设F ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆，
则有
42
2
2
k )G ˆ()F
ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。 坐标x 和动量x
p ˆ之间的测不准关系为：
2ˆ
≥∆⋅∆x p
x
二、解1、由于1ˆ2=A
，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A
设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于
1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，21121b b =∴；由于B
ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010
12
12b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*
12
*12b b *
12121
b b =∴
令δ
i e b =12，其中δ为任意实常数，得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B
2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A
在B 表象中算符A ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-βαλβαδδ00
i i e e ，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒⎩⎨⎧=-=+--00
λβαβλαδ
δi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即
0=---λλδ
δ
i i e e ⇒012=-λ1±=∴λ
对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
121δϕi A
e ，对1-=λ有：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
121δϕi A e 所以，在B 表象中算符A ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121δi e 3、类似地，在A 表象中算符B ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121δi e
从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B
ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=-1121δδ
i i e e S
