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第5课时正弦函数的图像与性质
1.能从单位圆得出正弦函数的性质(定义域、值域、周期性,在[0,2π]上的单调性).
2.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角α的正弦线.
3.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图.
4.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.
如图所示,装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的运动的木板上的曲线轨迹.
问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),过点P作x轴的垂线,垂足为M,我们称MP为角α的,如果b>0,把MP看作与y轴,规定此时MP具有正值b;如果b<0,把MP看作与y轴反向,规定此时MP具有负值b,当角α的终边在x轴上时,正弦线变成.
问题2:作正弦函数图像的一般方法
(1)描点法:列表,描点,连线.
(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.
(3)五点法:正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]中,
五个关键点为、、、、. 问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质:
函数y=sin x
性质定义域
值域
周期性是周期函数,周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为最值
当时,取得最大值1
当时,取得最小值-1 单调性
增区间
减区间
奇偶性
对称性
对称轴为
对称中心为点
问题4:《创设情境》中细沙在木板上形成的曲线是的曲线,可采用“五点法”作图画出该曲线的图像.
1.y=sin x,x∈[错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]的值域为().
A.[-1,1]
B.[错误!未找到引用源。,1]
C.[错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]
D.[错误!未找到引用源。,1]
2.若sin x=2m+3,且x∈[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。],则m的取值范围为().
A.[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]
B.[-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。]
C.[-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。]
D.[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]
3.用“五点法”作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图像时的五个点分别是、、、、.
4.观察正弦函数的图像,求满足sin x>0的x的取值范围.
与正弦函数有关的函数的定义域
求函数y=错误!未找到引用源。的定义域.
与正弦函数有关的函数的值域
求下列函数的值域.
(1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=m sin x+n(m≠0).
正弦函数性质的运用
求函数y=lo错误!未找到引用源。sin x的单调递增区间.
求下列函数的定义域:
(1)y=lg(错误!未找到引用源。sin x-1);(2)y=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。.
求f(x)=2sin2x+2sin x-错误!未找到引用源。,x∈[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]的值域.
求函数y=sin(-2x)的单调递增区间.
1.点M(错误!未找到引用源。,m)在函数y=sin x的图像上,则m的值为().
A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.1
2.函数y=sin x的图像的一条对称轴方程可以是().
A.x=-错误!未找到引用源。
B.x=错误!未找到引用源。
C.x=-错误!未找到引用源。
D.x=π
3.函数y=错误!未找到引用源。的定义域为.
4.判断方程x+sin x=0的根的个数.
(2010年·江西卷)函数y=sin2x+sin x-1的值域为().
A.[-1,1]
B.[-错误!未找到引用源。,-1]
C.[-错误!未找到引用源。,1]
D.[-1,错误!未找到引用源。]
考题变式(我来改编):
第5课时正弦函数的图像与性质
知识体系梳理
问题1:有向线段正弦线同向一点
问题2:(3)(0,0)(错误!未找到引用源。,1)(π,0)(错误!未找到引用源。,-1) (2π,0)
问题3:R[-1,1]2πx=错误!未找到引用源。+2kπ(k∈Z)x=-错误!未找到引用源。+2kπ(k∈Z)[-错误!未找到引用源。+2kπ,错误!未找到引用源。+2kπ](k∈Z)[错误!未找到引用源。+2kπ,错误!未找到引用源。+2kπ](k∈Z)奇函数x=kπ+错误!未找到引用源。(kπ,0)
问题4:正弦型函数
基础学习交流
1.B当x=错误!未找到引用源。时,y有最大值1,当x=错误!未找到引用源。时,y有最小值错误!未找到引用源。.
2.C∵x∈[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。],∴由y=sin x的图像可知y∈[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。],即-错误!未找到引用源。≤2m+3≤错误!未找到引用源。,解得-错误!未找到引用源。≤m≤-错误!未找到引用源。.故m的取值范围为[-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。].
3.(0,2)(错误!未找到引用源。,3)(π,2)(错误!未找到引用源。,1)(2π,2)
4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ 重点难点探究 探究一:【解析】由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥-错误!未找到引用源。. 在一周期[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]内满足的角为x∈[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。π], 由此可以得到函数的定义域为[2kπ-错误!未找到引用源。,2kπ+错误!未找到引用源。π](k∈Z). 【小结】此题等价于求解不等式sin x≥-错误!未找到引用源。,注意数形结合,利用图像、正弦线可以快速、准确地得到答案. 探究二:【解析】(1)设t=sin x,则有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1], ∴当t=-1时,y=(t-2)2+1取得最大值10;当t=1时,y=(t-2)2+1取得最小值2, ∴y=(sin x-2)2+1的值域为[2,10]. (2)∵sin x∈[-1,1],且m≠0, ∴当m>0时,y=m sin x+n的值域是[n-m,n+m]; 当m<0时,y=m sin x+n的值域是[n+m,n-m]. 综上可知,函数y=m sin x+n的值域是[n-|m|,n+|m|]. 【小结】本题用到换元法,先设t=sin x,得出t的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的一、二次函数的值域问题. 探究三:【解析】令u=sin x,则y=lo错误!未找到引用源。u, ∵错误!未找到引用源。∈(0,1),∴y=lo错误!未找到引用源。u是关于u的减函数,故只需求u=sin x的单调递减区间即可, 而u=sin x的单调递减区间为{x|2kπ+错误!未找到引用源。≤x≤2kπ+错误!未找到引用源。,k∈Z}, ∴y=lo错误!未找到引用源。sin x的单调递增区间为[2kπ+错误!未找到引用源。,2kπ+错误!未找到引用源。](k∈Z). [问题]sin x可以小于等于0吗? [结论]sin x不可以小于等于0,因为它是对数函数的真数,故sin x>0. 于是,正确解答如下: 令u=sin x,则y=lo错误!未找到引用源。u, ∵错误!未找到引用源。∈(0,1),∴y=lo错误!未找到引用源。u是关于u的减函数,故只需求u=sin x大于0的减区间即可, 而u=sin x的减区间为{x|2kπ+错误!未找到引用源。 ∴y=lo错误!未找到引用源。sin x的单调递增区间为[2kπ+错误!未找到引用源。,2kπ+π)(k∈Z), 【小结】解决此题的关键是理解并掌握对数函数和正弦函数的性质.对于复合函数的单调性问题,注意“同增异减”.同时,注意对数函数的真数大于0. 思维拓展应用
