2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．某质点沿曲线运动的方程为()23f x x =-+（x 表示时间，()f x 表示位移），则该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－6 D ．6【答案】A【分析】直接求平均速度.【详解】由题得该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为()()32532f f -=--．故选：A ．2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度h 是关于时间t 的函数()h t ，则函数()h t 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据几何体的形状，判断水面高度h 随时间t 升高的快慢，判断可得出合适的选项.【详解】几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢， 即图象越来越平缓， 故选：B.3．给出以下新定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）A ．()e xf x =B ．()2f x x =C ．()3f x x = D ．()ln f x x =【答案】D【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否()0f x ''<在定义域上恒成立,从而得到答案.【详解】对于A 选项，()()e e ,x x f f x x '==，则()e 0xf x ''=>，不是凸函数；对于B 选项，()2,()2f x x f x '==，则()0f x ''=，不是凸函数；对于C 选项，()32,()3f x x f x x '==，则()'60f x x =<'在R 上不恒成立，不是凸函数；对于D 选项，()1,(ln )f f xx x x '==，则()210f x x ''=-<，在定义域上恒成立，是凸函数. 故选：D.4．设函数()y f x =在R 上可导，则()()0lim x f f x x∆→-∆=∆（ ）A ．()0f 'B ．()0f '-C ．()f x 'D ．以上都不对【答案】B【分析】利用导数的定义可得结果. 【详解】由导数的定义可知()()()()()0000lim lim 0x x f f x f x f f x x∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆. 故选：B.5．已知函数()cos f x x x =，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．2π-【答案】D【分析】求导之后，代导函数表达式即可求解 【详解】()cos f x x x =()()cos sin f x x x x '⇒=+-所以cos sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫'=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D6．若函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)e,+∞D ．(],e -∞【答案】D【分析】由题意()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()mine xk ≤，从而可得答案.【详解】∵函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减， ∴()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()minexk ≤，()1,x ∈+∞，∴e k ≤，∴k 的取值范围是(],e -∞， 故选：D ．7．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∵()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∵11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.8．已知定义在()(),00,∞-+∞上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】令()()F x xf x =，根据奇偶性的定义，可得()F x 的奇偶性，利用导数可得()F x 的单调性，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，分析即可得答案.【详解】令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增， 由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞． 故选：A ． 二、多选题9．下列函数是复合函数的是（ ） A ．211y x x=+- B ．()sin 21y x =+C ．ln y x x =D ．()423y x =-【答案】BD【分析】根据复合函数的定义判断是否为各选项是否为复合函数.【详解】A ：211y x x=+-为基本函数相加，不为复合函数，不符合； B ：()sin 21y x =+可看成sin y t =与21t x =+两个函数复合而成，符合； C ：ln y x x =为两个基本函数相乘不为复合函数，不符合； D ：()423y x =-可看成4y t =与23t x =-两个函数复合而成，符合. 故选：BD10．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD【分析】根据导函数()f x '的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断ABC ，利用导数的几何意义可判断D.【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误； 因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确. 故选：ACD.11．已知函数()()2e 2xf x x x =- ，则()f x 在定义域上（ ）A ．有极小值2e 222-B ．有极大值2e 222-+C ．有最大值D ．无最小值【答案】ABD【分析】求导，根据导数符号计算判断即可.【详解】函数()()2e 2xf x x x =- ，可得()()'2e 2x f x x =- ，令220x -=可得2x =± 当(,2x ∈-∞-时，()'0f x > ，函数是增函数，当(2,2x ∈-时，()'0f x < ，函数是减函数，当)2,x ∈+∞时，()'0f x > ，函数是增函数，在2x =-处取极大值=2e222-+ ，在x 处取极小值=(2- ，无最大值和最小值， 故选：ABD ．12．已知0x x =是函数()ln 1x xf x x=+的极小值点，则以下判断正确的是（ ） A ．()000x f x +< B ．()000x f x +> C ．()000x f x += D ．()012f x <【答案】CD【分析】求导数()f x '，由极小值点得()0000ln 1f x x x '=⇒=--，即可代入()00x f x +判断符号；再化简得()00f x x =，用二分法分析0x 的范围即可判断D 【详解】()ln 1x xf x x=+，则()()21ln 1x x f x x ++'=+，()01ln 0f x x x '=⇒++=存在唯一的零点0x x =，即满足00001ln 0ln 1x x x x ++=⇒=--， ∴()()00000000001ln 011x x x x x f x x x x x --+=+=+=++，A 、B 错，C 正确； ()()0000000001ln 11x x x x f x x x x x --===-=++，数形结合0x x =是()0f x '=即ln 1x x =--两个初等函数的交点横坐标，易观察()00,1x ∈，用二分法检验()110f '=>，102f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0012f x x =<，D 正确； 故选：CD ．三、填空题13．函数()33f x x x =-+的极大值等于______．【答案】2【分析】先求导函数，在根据导函数，求极值点即可.【详解】由题意知()233'=-+f x x ，令()0f x '=，得1x =±，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,1x ∈-时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 所以当x ＝－1时，函数取极小值()12f -=-；当x ＝1时，函数取极大值()12f =． 故答案为：2.14．已知函数()()321f x f x x x '=-+-，则()1f '-的值为______．【答案】32【分析】对函数()f x 求导，将1x =-带入，即可求解.【详解】∵()()321f x f x x x '=-+-，∴()()23121f x f x x ''=-+-，∴(1)3(1)3f f ''-=--∴()312f '-=． 故答案为：32.15．已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高与底面半径之比为______． 【答案】2【分析】利用表面积表示出圆柱的高，然后可将容积V 表示成底面半径的函数，求导可知容积最大时的条件，然后可得高与底面半径之比值.【详解】设圆柱的底面半径为r ，则22S r π=圆柱底，2S rh π=圆柱侧，∴圆柱的表面积222S r rh ππ=+．∴222S r h rππ-=，又圆柱的容积()3222222r rS r V r h S r πππ-==-=，()262S r V r π-'=，令()0V r '=得26S r π=，即r =当0r <<()0V r '>，当r >()0V r '<，所以当r =V 有最大值. 此时26S r π=，代入222S r h rππ-=可得2h r =，即2h r =故答案为：216．已知函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．【答案】(],0-∞【分析】分析可知直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意知()22424a x x a f x x x x-+'=-+=，函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，由()0f x '=可得242a x x =-，则直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点）， 如下图所示：由图可知，当0a ≤时，直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），故答案为：(],0-∞. 四、解答题17．求下列函数的导数． (1)2y x=，{}0x x ≠； (2)tan y x x =，,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．【答案】(1)22y x '=- (2)2sin cos cos x x xy x+'=【分析】（1）根据求导公式，计算即可得答案.（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】(1)()12221222y x x x x -'⎛⎫⎛⎫''===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)()()()2sin cos sin cos sin tan cos cos x x x x x x x x y x x x x '''-⎛⎫''=⋅==⎪⎝⎭()222sin cos cos sin sin cos cos cos x x x x x x x x x xx+++==． 18．已知函数()341f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导数．(1)求()4f x x '<-的解集； (2)求曲线()y f x =的单调区间．【答案】(1)223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭ 【分析】（1）求导数()f x '，直接解不等式即可；（2）由函数单调性与导数符号的关系，讨论()f x '的符号即可【详解】(1)由()341f x x x =-+得，()234f x x '=-，∴()4f x x '<-，即23440x x +-<，解得223x -<<， ∴()4f x x '<-的解集是223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)()234f x x '=-，()2340f x x x '=-=⇒= ∴当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭． 19．已知函数()3221f x x ax =-++，2x =是()f x 的一个极值点．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 在区间[]3,4-上的最大值和最小值． 【答案】(1)32a =(2)最大值是55，最小值是-15.【分析】（1）由函数()f x 在2x =处有极值，得()20f '=，进而求解实数a 的值； （2）利用导函数()'f x 求解函数()f x 的单调区间，进而求解最值. 【详解】(1)∵()f x 在2x =处有极值，∴()20f '=，∵()234f x x ax '=-+，∴1280a -+=，∴32a =，经检验，当32a =时，2x =是()f x 的极值点， ∴32a =． (2)由（1）知32a =，∴()3231f x x x =-++，()236f x x x '=-+， 令()0f x '=，得10x =，22x =，当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：从上表可知:()f x 在区间[]3,4-上的最大值是55，最小值是-15．20．已知函数()ln f x x =．(1)证明：不等式()1x f x -≥恒成立； (2)函数()()1x g x f x -=，证明：当()1,x ∈+∞时，()1g x x <<恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）构造函数()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+，利用导数求函数最值即得； （2）利用（1）的结论可得()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，进而即得. 【详解】(1)令()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+， 得()h x 的定义域为()0,∞+，()11h x x'=-． 令()0h x '=，得x ＝1．当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减． 又()10h =，所以()()10h x h ≤=，即恒有()1x f x -≥成立．(2)由（1）知，故当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，且ln 0x >， ∴11ln x x-<， 用1x 替换x ，得11ln 1x x<-， 化简即1ln x x x-<， 综上，()1g x x <<．21．已知函数()ln 2f x x x =-，R a ∈．(1)求()f x 在x ＝1处的切线方程；(2)设()()2g x f x ax ax =-+，试讨论函数()g x 的单调性．【答案】(1)1y x =--；(2)答案见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而写出切线方程；（2）由题设可得()()()()1210ax x g x x x +-'=->，讨论0a ≥、2a <-、2a =-、20a -<<对应()g x '的区间符号，即可判断单调性.【详解】(1)因为()ln 2f x x x =-，则12f ， 所以()12f x x'=-，在x ＝1处()1121f '=-=-． 在x ＝1处切线方程：()21y x +=--，即1y x =--．(2)因为()()()22ln 2g x f x ax ax x ax a x =-+=-+-，所以()()()()1210ax x g x x x +-'=->，①若0a ≥，则当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，0g x ，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． ②若0a <，()()()1210a x x a g x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=->， 当2a <-时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ， 所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a =-时，0g x 恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增；当20a -<<时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上，0a ≥，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 20a -<<，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 2a =-，()g x 在()0,+∞上单调递增；2a <-，()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 22．已知函数()()12ln f x x ax a R x =+-∈． (1)若()f x 在x ＝1处的切线方程为4x －y －4＝0，求a 的值；(2)对于任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x >，都有()()122133f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =(2)[)3,∞-+【分析】（1）求出()f x '，再根据()14f '=计算可得答案；（2）将条件变形可得()3y f x x =+在(0,+∞)上是增函数，记()()3g x f x x =+，求出()g x '，有()0g x '≥恒成立，转化为最值求解即可.【详解】(1)由已知0x >，且()2222121ax x f x a x x x ++'=++=， 由()14f '=，可得34a +=，∴1a =，经检验，符合题意(2)由已知可得，当120x x >>时，有()()112233f x x f x x +>+恒成立，即()3y f x x =+在()0,∞+上是增函数．记()()()132ln 3g x f x x x a x x=+=++-，则()2213g x a x x '=+++， ∴22130a x x +++≥在()0,∞+上恒成立，即2213a x x--≤+在()0,∞+上恒成立． ∵0x >时，有22211110x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭， 由2213a x x --≤+在()0,∞+上恒成立，得3a -≤，即3a ≥-， 即实数a 的取值范围为[)3,∞-+．。
