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§5.4 两角和与差的余弦、正弦、正切

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1 教 案 专业名称：材料成型与控制工程（中本贯通） 课程名称： 数 学 课 题：§5.4 两角和与差的余弦、 正弦、正切

主讲教师： 肖金秀 学 校： 上海市高级技工学校 日 期： 2

教 案 教学对象 专业：材料成型与控制工程（中本贯通） 班级：17CKZB1,3 授课日期 使用教材 数学（高中一年级第二学期） 出版单位 上海教育出版社

课 题 §5.4 两角和与差的余弦、正弦、正切 计划学时 2

教 学 目 标

1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用； 2、 理解公式：asinθ＋bcosθ＝a2＋b2 sin(θ＋)(其中cos＝aa2＋b2 ，sin＝ba2＋b2 ，θ为任意角)，灵活应用上述公式解决相关问题；

知 识 技 能 态 度 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用 培养学生的创新意识，提高学生的思维素质.

简析目标设定依据 根据学生的基础以及学生的认知情况还有教学大纲来设定教学目标。

教 学 要 求

知识＆技能 重点 难点 目 标 达 成 度 识记 理解 应用 分析 综合 两角和与差的正弦 √ √ √ √ √ 两角和与差的余弦 √ √ √ √ √ 两角和与差的正切 √ √ √ √ √ √ √

教学场景设计 无

教学资源 教材以及教材参考书、教案、黑板、粉笔 3

教学活动流程

教学步骤与内容 教学组织形式 教学方法 达成目标 时间

组织教学 点名、了解学生的出勤情况以及课堂用品准备情况。 复习回顾 1．数轴上两点间的距离公式

21xxd

2．平面内任意两点),(111yxP，),(222yxP间的距离公式 从点1P，2P分别作x轴的垂线1P1M, 2P2M与x轴交于点1M (1x,0), 2M (2x,0) 再从点

1P,2P分别作y轴的垂线1P1N, 2P2N与y轴交于点1N, 2N

直线1P1N, 2P2N与相交于Q点则：1PQ=1M2M=|2x-1x| Q2P= 1N2N=|2y-1y|由勾股定理：2122122221221||||yyxxQPQPPP

212212)()(yyxx

从而得),(111yxP，),(222yxP两点间的距离公式： 21221221)()(yyxxPP

3．练习：已知A(-1,5),B(4,-7) 求AB 解：1314425)57()14(22AB 二、讲解新课： 两角和与差的余弦 （含意：cos(±)用、的三角函数来表示）

1． 探究coscos)cos(反例：

6cos3cos)63cos(2cos 问题：cos,cos),cos(的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线

班级教学 班级教学 班级教学 班级教学 提问与讲授相结合 讲授 讲授 讲授 帮助学生复习前一节课的知识，并为开展新课做准备

发现集合之间的不等关系

理解子集的概念，理解集合之间的包含关系

2 3

85 x y

o P1

P2 M1 N1

N2

M2 Q 4 教学活动流程

教学步骤与内容 教学组织形式 教学方法 达成目标 时间 2．探究：在坐标系中、角构造+角 3．探究：作单位圆，构造全等三角形4．探究：写出4个点的坐标 )0,1(1P)sin,(cos2P))sin(),(cos(3P，))sin(),(cos(4P， 5．计算31PP，42PP. 31PP=)(sin1)cos(22, 42PP=22)]sin([sin)cos(cos 6．探究 由31PP=42PP导出公式 22cos()1sin() 22cos()cossin()sin 展开并整理得)sinsincos(cos22)cos(22 所以sinsincoscos)cos( 可记为 )(C 7．探究 特征 ①熟悉公式的结构和特点,特点是：左边为两角和与差的余弦，右边含有单角的余弦和正弦同名函数的积；左边两个角之间的符号与右边两项间的符号相反； ②此公式对任意、都适用③公式记号)(C④公式的逆用. 不仅要会从左边到右边运用公式，也要熟悉从右边到左边运用公式.在运用公式时，和不一定是“单角”，也可以是“复角”，应根据题中的具体情况选定. 8．探究 cos()的公式,以代得：sinsincoscos)cos(公式记号)(C 范例： 例1、 计算：① cos105 ②cos15 ③cos5cos103sin5sin103

班级教学 班级教学 讲授 讲授与提问相结合 理解真子集的概念，并注意和子集的区别

理解集合相等的意义 5 教学活动流程

教学步骤与内容 教学组织形式 教学方法 达成目标 时间 解：①cos105=cos(60+45) =cos60cos45sin60sin45 =46222232221 ②cos15=cos(6045) =cos60cos45+sin60sin45 =46222232221 ③cos5cos103sin5sin103 = cos(5+103)=cos2=0 例2、已知sin=53，cos=1312，求cos()的值。 由公式C知，应先根据题中条件求出sin和cos的值.但因为角和的象限不确定，就必须对和的情况分别进行讨论. 解：∵sin=53>0，cos=1312>0 ∴可能在一、二象限，在一、四象限 若、均在第一象限，则cos=54，sin=135 cos()=656313553131254 若在第一象限，在四象限，则cos=54，sin=135 cos()=6533)135(53131254 若在第二象限，在四象限，则cos=54，sin=135 cos()=6563)135(531312)54( 练习: 已知54cos，135sin，求cos的值. 解∵054cos，∴是第一象限或第四象限角. ∵0135sin，∴是第一象限或第二象限角. ① 是第一象限角，是第一象限角， 53541cos1sin22，

班级教学 班级教学 讲授 讲授与提问相结合 理解真子集的概念，并注意和子集的区别

理解集合相等的意义 6

教学步骤与内容 教学组织形式 教学方法 达成目标 时间

13121351sin1cos22， ∴

653313553131254sinsincoscos)cos(.

②若是第一象限角，是第二象限角， 53sin，

1312sin1cos2，

∴656313553131254)cos(. ③若是第四象限角，是第一象限角，

53541cos1sin22，1312cos，

∴656313553131254cos. ④若是第四象限角，是第二象限角，53sin，1312cos，

∴653313553131254)cos( 课堂练习： 1．已知cos()=31,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值

解: (sin+sin)2+(cos+cos)2=2+2 cos()=2+32=38 2．sinsin=21，coscos=21，(0, 2),(0, 2),求cos()的值 解: ∵sinsin=21，coscos=21，(0, 2),(0, 2),

∴(sinsin)2=(21)2，(coscos)2=(21)2∴2-2 cos()=21 ∴cos()=43 3.若BA、是ABC的两内角，且BAcoscos是1和)cos(BA的等差中项，则ABC（ ） A．是等腰三角形； B．是直角三角形； C．是等腰直角三角形； D．是不等边三角形.

班级教学 讲授与提问相结合 掌握集合之间的关系

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两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A+B) = sin[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= sin[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] + cos[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) + 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB + cosAsinB这就是两角和的正弦公式。

2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A-B) = sin[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= sin[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + cos[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) - 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB - cosAsinB这就是两角差的正弦公式。

3.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A+B) = cos[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= cos[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] - sin[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = cosAcosB - sinAsinB这就是两角和的余弦公式。

4.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A-B) = cos[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= cos[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + sin[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = cosAcosB + sinAsinB这就是两角差的余弦公式。

两角和与差的正弦、余弦、正切(一)

两角和与差的正弦、余弦、正切(一)

一、知识概述（一）、两角和与差的余弦公式在直角坐标系内作出角α、β、-β，得到单位圆内的两条弦长相等，然后运用平面内两点间的距离公式，推导出两角和的余弦公式.cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ在上式中用－β代替β即得到差角的余弦公式.cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ（二）、两角和与差的正弦公式和诱导公式，可推出两角和的正弦公式：运用Cα＋βsin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ用－β代替β可得差角的正弦公式：sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ（三）、两角和与差的正切公式，Cα＋β及商数关系可得到两角和的正切公式.运用Sα＋β同理在上式中用－β代替β，可得.二、重难点知识归纳及讲解（一）、对于正、余弦、正切的和（差）角公式，不仅要会“正用”，而且还要会“逆用”、“变用”。

例1、cos82.5°cos52.5°＋cos7.5°cos37.5°=________.分析：此题考查和（差）角的正、余弦公式的逆用，注意82.5°与7.5°，52.5°与37.5°是互余关系.解法一：解法二：例2、(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°) =________.分析：此题考查和角的正切公式的变形用法，注意到21°＋24°=45°,22°＋23°=45°.解：同理可得(1＋tan22°) (1＋tan23°)=2∴(1＋tan21°) (1＋tan22°) (1＋tan23°) (1＋tan24°)=4.（二）、和（差）角公式在求值、化简、证明中的应用.例3、已知，α，β均为锐角，求cosβ的值.分析：注意已知角与要求的角的关系β =（α＋β）－α故cosβ=cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.因此要求出sinα、cosα以及sin(α＋β).解：∵tan α =4，α为锐角.又∵，α、β均为锐角.例4、化简.分析：注意观察角之间的联系。

两角和与差的正弦余弦和正切公式

两角和与差的正弦余弦和正切公式


利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出，对于任意角度α， sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式，我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出，对于任意角度α、 β，sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理，我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中，很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算，如 时差、太阳高度角等，利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中，很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题， 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式，可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展，得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式，从而扩展了原有的公式。例如，利用积化 和差公式，可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数，进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
两角和与差的正弦余弦和正切公式

两角和与差的正弦余弦和正切公式

❖ (1)确定角α所在的象限；
❖ (2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出 对应的锐角α1；如函数值为负，求出其绝 对值对应的锐角α1；
❖ (3)求出满足条件的角．首先根据角α所在 的象限，得出0～2π间的角．如果适合已 知条件的角在第二象限，则它是π－α1； 如果在第三或第四象限，则它是π＋α ，
❖ 幂的变换(升幂缩角1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α，降幂扩角 等)；
❖ 1的代换(1＝sin2α＋cos2α＝tanα·cotα＝
❖ [例1] 计算(tan10°－ )·sin40°.
❖ 三、已知三角函数值求角的步骤
❖ 已知角α的一个三角函数值求角α，应注 意所得的解不是惟一的，而是有无数多个， 其解法步骤是：
❖ 分析：条件式中含角α、β、γ，而待求式 中只有β与α，故可运用消元思想，先通 过sin2γ＋cos2γ＝1消去γ.
❖ 解析：由已知，得sinγ＝sinβ－sinα， cosγ＝cosα－cosβ.
❖ 平方相加得
❖ (sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.
❖ ∴－2cos(β－α)＝－1，
❖ 答案：1
❖ [例3] 已知sin(α＋β)＝ ，sin(α－β) ＝ ，则tanαcotβ的值是________．
❖ 解析：据和角公式可知，已知条件是关于 sinαcosβ与cosαsinβ的二元一次方程组， 待求三角函数可化为
❖
，故只要用加减消元法解方程
❖ 已知α、β、γ∈(0， )，sinα＋sinγ＝sinβ， cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α的值为 ________．
❖ 解析：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ❖ ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ❖ ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－