3[1].2.1立体几何中的向量方法(平行和垂直)

数学立体几何解题技巧必看

各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。下面是小编给大家整理的一些数学立体几何解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。

高考数学答题技巧：立体几何解答

立体几何篇

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

知识整合

1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2、判定两个平面平行的方法：

(1)根据定义--证明两平面没有公共点;

(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;

(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3、两个平面平行的主要性质： (1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。

(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

描述：

例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法

一、学习任务

1.

理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．

2.

能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．

3.

能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和

垂直关系．

4.

能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．

二、知识清单

异面直线所成的角 线面角 二面角

三、知识讲解

1.异面直线所成的角

设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线

所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a,bOa,b,a′b′,a′

b′

a,ba,b

如图，在正方体 中，求：

（1）异面直线 与 所成的角；

（2） 与 所成的角．

解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所

成角为 ．

（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为

与 所成的角．

又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为

，即 与 所成的角为 ．ABCD−A

1B

1C

1D

1

ABA

1D

1

AD

1DC

1

∥ABA

1B

1⊥A

1D

1A

1B

1⊥ABA

1D

1ABA

1D

1

90∘

AB

1B

1D

1A∥DB

1C

1AB

1AD

1

DC

1AD

1

A=A=D

1B

1B

1D

1△AB

1

D

1AD

1AB

1

60∘

AD

1DC

160∘

描述：

例题：2.线面角

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平

面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足

和斜足

的直线

叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条

直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则称直线和平面所成的角是；一条直线和

平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是．A

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题

1．用向量方法证明空间中的平行关系

(1)证明线线平行

设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

(2)证明线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，

平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，

则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(3)证明面面平行

①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．

2．用向量方法证明空间中的垂直关系

(1)证明线线垂直

设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)证明线面垂直

设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

(3)证明面面垂直

若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )

(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )

(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )

立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直

【考点梳理】

1．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

2．空间位置关系的向量表示

位置关系 向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0

l⊥α n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm

α⊥β n⊥m⇔n·m＝0

【考点突破】

考点一、利用空间向量证明平行问题

【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：PQ∥平面BCD.

[解析] 法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0).

设点C的坐标为(x0，y0，0). 因为AQ→＝3QC→，

所以Q34x0，24＋34y0，12.

因为M为AD的中点，故M(0，2，1).

又P为BM的中点，故P0，0，12，

所以PQ→＝34x0，24＋34y0，0.

又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故PQ→·a＝0.

又PQ⊄平面BCD，

所以PQ∥平面BCD.

法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).

∵CF→＝14CD→，设点F坐标为(x，y，0)，则