1 §8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
最新考纲
考情考向分析
1.理解直线的方向向量及平面的法向量．
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容．以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 n·a＝0，n·b＝0.
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
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题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题
1．用向量方法证明空间中的平行关系
(1)证明线线平行
设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(2)证明线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，
平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，
则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)证明面面平行
①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
2．用向量方法证明空间中的垂直关系
(1)证明线线垂直
设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)证明线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(3)证明面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )
立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直
【考点梳理】
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
【考点突破】
考点一、利用空间向量证明平行问题
【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
[解析] 法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0).
设点C的坐标为(x0，y0，0). 因为AQ→＝3QC→，
所以Q34x0，24＋34y0，12.
因为M为AD的中点，故M(0，2，1).
又P为BM的中点，故P0，0，12，
所以PQ→＝34x0，24＋34y0，0.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故PQ→·a＝0.
又PQ⊄平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).
∵CF→＝14CD→，设点F坐标为(x，y，0)，则
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【基础检测】
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( )
(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( )
2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)
C．－33，－33，－33 D．33，33，－33
3．已知直线l的方向向量v＝(1,2,3)，平面α的法向量为u＝(5,2，－3)，则l与α的位置关系是__ __.
4．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__ _；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为_ __.
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是__
__.
题型一 利用空间向量证明平行问题
第 2 页 共 6 页 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
【例1】 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
