《正多边形和圆》ppt课件

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解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
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8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.

探究四：正多边形和圆的应用
练习：正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是
。
解：因为外角是20°，360÷20=18，则这个多边形是18边形。
【思路点拨】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和 求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握。
探究四：正多边形和圆的应用
活动2 提升型例题
解：如图，三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为，1 a
2
3a 2
∴S空白=1 a 3 a 3 a2
22 4
∵AB=a，
∴OC=，3 a
2
∴S正六边形6= 1 a 3 a 3 3 a2
22
2
∴S阴影=S正六边形﹣S空3白3=a2 3 a2 5 3 a2
2
4
4
S阴影
53 4
a2
5
S空白
3a
探究四：正多边形和圆的应用
例4.如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B
的坐标分别为（1，1），（-1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针
旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分
所形成的正八边形的边长为
。
【思路点拨】如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′ 的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′ 的长度，即可解决问题。
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动1 回顾旧知
观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形。
（1）正六边形；（2）正八边形；（3）等边三角形；（4）正五边形。
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动2 整合旧知
正多边形与圆有什么关系呢？

【检查评价】
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
布置作业： 1、教科书习题3.10第1题，第2题，第3题．（必做题） 2、教科书习题3.10第4题，第5题．（选做题）
谢谢观看！
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系； 2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；(重点) 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （难点） 4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
D
C
E
D
知识讲解
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正 多边形的中心.
追问1：除了上述方法作圆的内接正六边形外，你还有其他方法吗？
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【讲授新知】
追问2：你会用用圆规和直尺来作一个已知圆的内接正方形吗？你是怎么做的？ 与同伴交流．
【| 下册
学生练习1：课本98页随堂练习． 学生练习2：用等分圆周的方法画出下列图案．
__各__边__相__等___，___各__角__也__相__等__的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边
形.
合作探究
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
H
A
D
E
0
B
C

正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等 的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反 例. 各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形, A７ A６
A５
且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
Rt△OBE为等腰直角三角形.则有
BE 2 OE 2 OB2
A
O ·
D
2OE 2 OB 2
OB OE 2
2 2
倍 速 课 时 学 练
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2BE 2 R 2R 2
B
E
C
S正方形ABCD AB BC

2R

2
圆,这两个圆是同心圆.
例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面 积(精确到0.1m2). 解: 如图，由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
360 60 ， 6
∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA， A ∴ AB=BC=CD=DE=EA, 弧BCE=弧CDA， B O E
·
D
倍 速 课 时 学 练
∴ ∠A=∠B. 同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的 外接圆.
∴弧A1A2=弧A2A3=弧A3A4=…=弧An－1An =弧AnA1,
An
A1
· O

例题分析
1. (1)正三角形的半径为R，则边长为_____，边心距为______，
面积为________． (3)定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和正确率，适量做一些综合题，提高解题思维能力。并及时总结、记忆，内化提高。
A
知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 。
中心 O 中心角
AB=BC=CD=DA .
边心距r
边心距r
边心距r
思考
各边相等的多边形是正多边形吗？
反例：如图，菱形的四条边相等， 但是四个角不相等，所以不是正 多边形.
各角相等的多边形是多边形吗？ 反例：如图，矩形的四个角相等， 但是四条边不相等，所以不是正 多边形.
思考
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？
OB=OC=2，则
Rt△OBD中，边心距
O是正五边形ABCDE
观察这些图片，你看到了哪些正多边形？
复习回顾
正多边形是轴对称图形； 当边数为偶数时，正多边形也是中心对称 图形； 圆既是轴对称图形又是旋转对称图形. 正多边形和圆的关系联系非常密切，只要把 一个圆分成相等的一些弧，就可以作出正多 边形.
分析：画出示意图，圆内接正三角形ABC. (3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。
高三数学复习中的几个注意点
中心角BOC 360 3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 120 ,OB=OC=R,则
O R
OBC 30, Rt
3 OBD
找出下列正多边形的中心，并标出正多边形的半 中心角
,OA=OB, AB=a,则
已知：如图， O 中内接四边形ABCD ，

新课讲解
证明：如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点 得到五边形ABCDE. ∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A,
知识点
∴AB=BC=CD=DE=EA, BC⌒E=3A⌒B=C⌒DA.
∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.
n
依次截取这个圆心角所对弧的等弧”. 这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
新课讲解
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆
上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是 任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在 作图的误差．
课堂小结
B.18°
C.72°
D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副
三角板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)
，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能
取值的个数是( B )
A.4
B.5
C.6
D.7
拓展与延伸
一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大
值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称
知识点框架
补充说明：正多边形的性质： （1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形； （2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴； （3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形与圆的关系 （1）把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个 圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这 个圆的外切正n边形． （2）定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．

（7）正三角形的高∶半径∶边心距为__积是____．
5．课堂小结
（1）正多边形与圆有什么关系？ （2）本节课学习了哪些与正多边形有关的概念？ 在解决有关的计算问题时，关键是什么？
6．布置作业
教科书习题 24.3 第 1，6 题．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二上午9时26分50秒09:26:5022.4.12
有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
3．探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就 是求什么图形的周长和面积？
正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子 的三角形？
观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？ 将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪 位同学说说自己的想法？
3．探究学习
正 n 边形的 n 条半径、n 条边心距将正 n 边形分割 成全等直角三角形的个数是多少？
每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？
4．强化练习
（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形；
（2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心 距为______，面积为________．若正三角形边长为 a， 则半径为______；
2．小组合作学习
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
2．小组合作学习
正 n 边形的中心角度数如何计算？ 中心角的度数= 360