广东省深圳市龙城高级中学2023年高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2023-2024学年广东省高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．集合{}|2sin 1,R A x x x ==∈，{}230B x x x =-≤，则A B =（）A ．[]0,3B ．π6⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．π5π,66⎡⎢⎣⎦D ．π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【正确答案】D【分析】根据三角函数的性质求出集合A ,再解一元二次不等式求出集合B ，即可求解.【详解】由2sin 1x =得1sin 2x =解得π2π6x k =+或5π2π,Z 6k k +∈，所以π|2π6A x x k ⎧==+⎨⎩或5π2π,Z 6k k ⎫+∈⎬⎭，又由230x x -≤解得03x ≤≤，所以{}03B x x =≤≤，所以A B =π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故选:D.2．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1～5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：522553135354313531423521541142125323345131332515324132255325则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（）A ．25B ．920C ．12D ．710【正确答案】B根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数，再按照古典概型求概率.【详解】20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以920P =.故选：B3．设复数z 满足1z z z -=-，则z 在复平面上对应的图形是（）A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【正确答案】A【分析】设i z x y =+，根据模长相等列出方程，得到z 在复平面上对应的图形是两条直线.【详解】设i z x y =+，则i z x y =-，1z z z -=-可得：()()22212x y y -+=，化简得：()2213x y -=，即13x y -=或13x y -=-，则z 在复平面上对应的图形是两条直线.故选：A4．在ABC 中，已知3a =，π3A =，b x =，满足此条件的三角形只有一个，则x 满足（）A．x =B ．()0,3x ∈C．{()0,3x ∈⋃D．{(]0,3x ∈⋃【正确答案】D【分析】结合正弦定理得x B =，满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，即可确定B 的范围，求得结果.【详解】由正弦定理得3πsin sin 3x B =，则有2x B==，()2π0,π0,3B A 骣琪Î-=琪桫.∵满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，则ππ0,23B 禳纟镲çÎú睚çú镲铪棼，故{(]0,3x B =Î.故选：D5．圆内接四边形ABCD 中2AD =，4CD =，BD 是圆的直径，则AC BD ⋅=（）A ．12B ．12-C ．20D ．20-【正确答案】B【分析】根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求.【详解】由题知90BAD BCD ∠=∠=o ，2AD =，4CD =∴()AC BD AD DC BD AD BD DC BD⋅=+⋅=⋅+⋅ 22=cos cos AD BD BDA DC BD BDC AD DC ∠-∠=- 41612=-=-.故选：B.6．已知数列{}n a 为等差数列，若2830a a +<，670a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和有最大值，那么n S 取得最小正值时n 为（）A ．11B ．12C ．7D ．6【正确答案】A【分析】根据已知条件，判断出67,a a ，67a a +的符号，再根据等差数列前n 项和的计算公式，即可求得.【详解】因为等差数列的前n 项和有最大值，故可得0d <，因为2830a a +<，故可得10224+<a d ，即10112+<d a ，所以7012-<a d ，可得7102<<a d ，又因为670a a ⋅<，故可得60a >，所以数列{}n a 的前6项和有最大值，且6712110+=+<a a a d ，又因为()122711612602=⨯=++<a S a a a ，()611111111102+>=⨯=⨯S a a a ，故n S 取得最小正值时n 等于11.故选：A.7．已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【正确答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫--⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B8．定义在()0,∞+的函数()y f x =满足：对1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()39f =，则不等式()3f x x >的解集为（）A ．()9,+∞B ．()0,9C ．()0,3D ．()3,+∞【正确答案】D【分析】构造函数()()f x g x x=，讨论单调性，利用单调性解不等式.【详解】由()()2112120x f x x f x x x ->-且1x ∀，()20,x ∈+∞，则两边同时除以12x x 可得()()121212f x f x x x x x ->-，令()()f x g x x =，则()()f x g x x=在()0,∞+单调递增，由()3f x x >得()3f x x>且(3)(3)33f g ==，即()(3)g x g >解得3x >，故选：D.二、多选题9．已知双曲线22221x y a b-=0a >0b >的右焦点为(),0F c ，在线段OF 上存在一点M ，使得M到渐近线的距离为34c ，则双曲线离心率的值可以为（）AB ．2C ．43D【正确答案】AB【分析】写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离列出不等式，得到c a >AB 正确.【详解】22221x y a b-=的一条渐近线方程为0bx ay -=，设(),0M m ，0m c <<，34c =，整理得：234c m b =，因为0m c <<，所以234c c b<，即34c b <=解得：7c a >，>2>43<<，所以AB 正确，CD 错误.故选：AB10．已知正实数a ，b 满足8ab a b ++=，下列说法正确的是（）A ．ab 的最大值为2B ．a b +的最小值为4C ．2+a b 的最小值为3-D ．()111a b b++的最小值为12【正确答案】BCD【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将81ab a -=+代入2+a b ，化简，利用基本不等式求解可判断C ，利用基本不等式“1”的妙用可判断D.【详解】对于A,因为8ab a b ab ++=≥+，即280+-≤，解得42-≤，又因为正实数a ，b ，所以02≤，则有4ab ≤，当且仅当2a b ==时取得等号，故A 错误；对于B ，2()8()4a b ab a b a b +++=≤++，即()24()320a b a b +++-≥，解得8a b +≤-（舍）4a b +≥，当且仅当2a b ==时取得等号，故B 正确；对于C,由题可得(1)8b a a +=-所以801ab a -=>+，解得08a <<，81818221323611231a a a a a a b a a -=+-=++-≥++==+++，当且仅当1811a a +=+即1a =时取得等号，故C 正确；对于D,[]11111(1)(1)8(1)a b b a b b a b b ⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦1(1)112(22)8(1)82b a b a b b ⎡⎤+=++≥+=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当(1)44,(1)15b a b b a b a a b b b +=⇒=⇒==++时取得等号，故D 正确，故选:BCD.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为正方体内（包括边界）上的一点，且满足1sin EDD ∠=）A ．若E 为面1111D CB A 内一点，则E 点的轨迹长度为π2B ．过AB 作面α使得DE α⊥，若E α∈，则E 的轨迹为椭圆的一部分C ．若F ，G 分别为11AD ，11B C 的中点，E ∈面FGBA ，则E 的轨迹为双曲线的一部分D ．若F ，G 分别为11A D ，11B C 的中点，DE 与面FGBA 所成角为θ，则sin θ的范围为24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】AD【分析】对于A项，1sin EDD ∠=转化为11tan 2EDD ∠=，得到E 的轨迹再求解；对于BC 项，求得轨迹可得解；对于D 项，建立空间直角坐标系解决.【详解】对于A 项，正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111D C B A ，若E 为面1111D C B A 内一点，所以11DD D E ⊥.又因为1sin EDD ∠=，所以11tan 2EDD ∠=，在1Rt EDD 中，11111tan 22D E D E EDD DD ∠===，所以11D E =，故点E 的轨迹是以1D 为圆心1为半径的14个圆弧，所以E 点的轨迹长度为1π2π142⋅⋅=，故A 正确；对于B 项，若DE α⊥，则DE AB ⊥，则E 只能在平面11ADD A 内运动，且DE EA ⊥，轨迹为一个点，B 错误；对于C 项，平面α与轴线1DD 所成的角即为平面α与1AA 所成的角，1A AF ∠是平面α与轴线1DD 所成的角，在1Rt A AF 中1111tan 2A F A AF AA ∠==，而母线DF 与轴线1DD 所成的角为1FDD ∠，在1Rt FDD 中1111tan 2FD FDD DD ∠==，即母线与轴线所成的角与截面α与轴线所成的角，所以点E 的轨迹应为抛物线，故C 不正确；对于D 项，以D为原点，建立如图所示的坐标系，连接DE 并延长交上底面1111D C B A 于点1E ，设111π,0,2A D E γγ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()()10,0,0,cos ,sin ,2,2,0,0,2,2,0,1,0,2D E A B F γγ，()1cos ,sin ,2DE γγ=，则()()0,2,01,0,2AB AF ==-，设面ABGF 的法向量为(),,n x y z = ，所以()0202,0,1200n AB y n x z n AF ⎧⋅==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，所以DE 与面FGAB所成角的正弦值为112cos 2sin 5n DE n DE γθ⋅+===⋅又因为[]π0,,2cos 22,42γγ⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦，所以2cos 124,555γ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.用平面去截圆锥所得的曲线可能为，圆、椭圆、抛物线、双曲线；截面与圆锥轴线成角等于轴线与母线所成的角，截面曲线为抛物线；截面与圆锥轴线成角大于轴线与母线所成的角，截面曲线为椭圆；截面与圆锥轴线成角小于轴线与母线所成的角，截面曲线为双曲线；截面与轴线垂直得到截面曲线为圆.12．已知函数()()ln f x x =-，()()ln 4g x x =+，则（）A ．函数()()22y f x g x =-+-为偶函数B ．函数()()y f x g x =-为奇函数C ．函数()()22y f x g x =---为奇函数D ．2x =-为函数函数()()y f x g x =+图像的对称轴【正确答案】CD【分析】根据函数的的奇偶性定义可判断A,B,C ，根据对称轴的性质判断D.【详解】对于A ，()()22ln(2)ln(2)y f x g x x x =-+-=-++，定义域为()2,+∞，所以函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B,()()ln()ln(4)y f x g x x x =-=--+定义域为()40-，，所以函数为非奇非偶函数，故B 错误；对于C,()()22ln(2)ln(2)y f x g x x x =---=--+，定义域为()2,2-，设()ln(2)ln(2)h x x x =-++，()ln(2)ln(2)()h x x x h x -=+--=-，所以函数为奇函数，故C 正确；对于D,设()()2()ln(4)t x f x g x x x =+=--定义域为()4,0-，22(4)ln (4)4(4)ln(4)()t x x x x x t x ⎡⎤--=------=--=⎣⎦，所以2x =-为函数函数()()y f x g x =+图像的对称轴，故D 正确，故选:CD.三、填空题13．已知首项为2的数列{}n a 对*N n ∀∈满足134n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =______.【正确答案】1432n -⨯-【分析】构造()1232n n a a ++=+，得到{}2n a +是等比数列，求出通项公式，进而得到1432n n a -=⨯-.【详解】设()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，故24λ=，解得：2λ=，故134n n a a +=+变形为()1232n n a a ++=+，12224a +=+=，故{}2n a +是首项为4的等比数列，公比为3，则1243n n a -+=⨯，所以1432n n a -=⨯-，故1432n -⨯-14．已知直线l 的方向向量为()1,0,2n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为______.【正确答案】5【分析】求出AP与直线l 的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离．【详解】()1,1,1=AP，cos ,⋅=n AP n AP n AP所以sin ,5= n AP ，点()1,2,2P 到l的距离为sin ,= d AP n AP故5．15．函数()()f x x ωϕ=+0ω>ππ2ϕ<<的部分图象如图所示，直线y m =（0m <）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，则()123sin 2x x x +-=______.【正确答案】22-【分析】由图象求得参数，由交点及余弦函数的对称性结合()()()()1231223sin 2sin 2x x x x x x x +-=+-+即可求值【详解】由图可知，5π5π2cos 144f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5π2cos 42ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5ππ2π825π7π2π440ππ2k k ωϕωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪>⎪⎪<<⎪⎩，解得2ω=，3π4φ=-，故()3π2cos 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.则()3π02cos 14f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()f x 最小正周期为2ππ2=.直线y m =（0m <）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，则由图可知125ππ3π2848x x +=-=，235ππ7π2848x x +=+=.∴()()()()123122312π14πππ2sin 2sin 2sinsin sin 88442x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=-=-=-=-⎪⎝⎭⎝⎭故22-16．已知实数x 、y 满足||||14x x y y -=，则25x y -________．【正确答案】(5,225].【分析】讨论,x y 得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得25z x y =-的取值范围，进而可得25x y -.【详解】因为实数,x y 满足||||14x x y y -=，当0,0x y >>时，方程为2214xy -=的图象为双曲线在第一象限的部分；当0,0x y ><时，方程为2214xy +=的图象为椭圆在第四象限的部分；当0,0x y <>时，方程为2214xy --=的图象不存在；当0,0x y <<时，方程为22+14x y -=的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，2x y -(,)x y到直线20x y -=根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为12y x =±，令2z x y =-+，即122z y x =-观察图象可得，当过点(,)x y 且斜率为12的直线与椭圆相切时，点(,)x y到直线20x y -=的距离最大，即当直线2z x y =-与椭圆相切时，z 最大，联立方程组2214122x y z y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(222210x z x z z --+-+=，(()22Δ24210z z z =--⨯⨯-+=，解得z =又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以z =又直线20x y -+=与20x y -=的距离为1，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以z >z <≤z <≤即24x y +-∈，故答案为.四、解答题17．已知函数()2πππ2sin sin 363f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)求π2π3π4π5π6π7π24242424242424f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【正确答案】(1)()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简，由整体法结合三角函数的单调增区间列不等式求解即可；（2）令()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎝⎭，分析得()g x 关于4π,024骣琪琪桫对称，根据对称性化简求值.【详解】（1）()2ππππ2sin cos 2cos 13263f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππ2sin cos 2333x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππsin2233x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 233x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()πππ22π,2π322x k k k Z ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，则()π5ππ,π1212x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.故函数()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()π2sin 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()π2π3x k k -=ÎZ 得()()43+1πππ6224k k x k =+=ÎZ ，故()g x 关于()()43+1π,024k k 骣琪Î琪桫Z 对称，故当0k =时，()g x 关于4π,024骣琪琪桫对称.故π2π3π4π5π6π7π24242424242424f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π7π2π6π3π5π4π24242424242424g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000=++++=18．已知等比数列{}n a 对任意的n +∈N 满足183n n na a ++=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，定义{}min ,a b 为a ，b 中较小的数，13min ,log 2n n n a b S ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)123n -(2)21,42111093,42318n n n nn T n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）由递推公式得1183n n n a a --+=，结合等比数列性质与条件等式两式相处，即可求得q ，再令1n =由等式求得1a ，即可根据公式法得通项公式；（2）化简对数式得13log 12na n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，分析n S 与n 1-的大小，即可根据{}min ,a b 定义得n b 的分段函数，即可分段求和.【详解】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，则有()1118131813n n n n n n n n a a a q a a a q +--⎧+=+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+=+=⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除化简得11131q q+=+，解得13q =，又()121831a a a q =+=+，可得12a =.∴数列{}n a 的通项公式1112233n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.（2）11213131313n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，则111331111min min ,log min ,221111333313333n n n n n n b n-----⎧⎫⎛⎫⎧⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭-⎪⎪⎪---⎪ ⎪⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎩⎭.令11313n n -->-，即1143n n -->，∵()1143,43n --∈，∴当4n <时，1143n n -->，即11313n n -->-；当4n ≥时，1143n n --<，即11313n n --<-；∴111,41min 31133,43n n n n n b n n ---<⎧⎪⎧⎫=--=⎨⎬⎨-≥⎩⎭⎪⎩.故当4n <，()20122n n nn nT +--==；当4n ≥时，()341111333333n n T n -骣骣骣琪琪琪=+-+-+-++-琪琪琪桫桫桫33111113311111093636311823231813n n n n n n ---轾骣骣犏--琪琪琪琪犏骣桫桫臌琪=-+=--+=×+-琪×桫-.故21,42111093,42318n n n nn T n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.19．已知平面内一动点P 到定点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1.(1)求P 点的轨迹方程C ；(2)过点()0,5Q 作直线l 与曲线C 交于,A B （A 点在B 点左侧），求ABF AFO S S +△△的最小值.【正确答案】(1)24x y =或.0(0)x y =<(2)20【分析】（1）设(,)P x y1y =+即可解决；（2）设直线l 为11225,(,),(,)y kx A x y B x y =+，联立方程，结合韦达定理得1220x x -=，由基本不等式解决即可.【详解】（1）由题知，动点P 到定点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1，设(,)P x y ，所以1PF y =+，当0y ≥1y +，化简得24x y =，当0y <1y -，化简得0x =，所以P 点的轨迹方程为2:4C x y =，或.0(0)x y =<.（2）由题得，过点()0,5Q 作直线l 与曲线C 交于,A B （A 点在B 点左侧），所以由（1）得2:4C x y =，设直线l 为11225,(,),(,)y kx A x y B x y =+，将5y kx =+代入2:4C x y =中得24200x kx --=，所以216800k ∆=+>，即R k ∈，12124,20x x k x x +==-，即1220x x -=，所以ABFAFOAQFBQFAFOSSSSS+=++1212111112()222QF x x OF x x x x =-+=--222224*********x x x x x =++=+≥当且仅当22502x x =，即25x =时，取等号，所以()min20ABFAFO SS+=所以ABF AFO S S +△△的最小值为20.20．已知正项数列{}n a12n a +=，且121a a ==，设n b (1)求证：数列{}n b 为等比数列并求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求数列1n n n b S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n P .【正确答案】(1)()222211,113721,2n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯⨯⨯⨯-≥⎪⎩(2)12221n n P +=--【分析】（112++=n a 1n nb b +可得数列{}n b 是以12为公比12为首项的等比数列，求出n b 可得()2121+=-n n na a ，再利用累乘法求通项公式可得答案；（2）求出1+⋅nn n b S S 利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）因为n b =1+=n b ，12n a +=12+=n a所以1+=n nb b12=，且112==b ，所以数列{}n b 是以12为公比，12为首项的等比数列，即12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12⎛⎫= ⎪⎝⎭n12+=n ，()2121+=-nn n a a ，所以2n ≥时，()22221324112313721--⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-n nn a a a a a a a a ，即()2222113721-=⨯⨯⨯⨯-n n a ，而此时1n =时，()1121210-=-=a ，所以()222211,113721,2n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯⨯⨯⨯-≥⎪⎩；（2）由（1）12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11122111212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，11112++⎛⎫=- ⎪⎝⎭n n S 所以11111122111111112222+++⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥==-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦nn n n n nn n S S b ，所以122311111112111111111111222222+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-++-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n P 1111122221111122n n n P ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥-⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.21．已知四棱锥E ABCD -中，44AB CD ==，2AE =，CD AB ∥，AD =45DAB ∠=︒，面ABCD ⊥面ABE，CE =(1)求证：AE CB⊥(2)求面ADE 与面BCE 所成的锐二面角的余弦值【正确答案】(1)证明见解析42【分析】（1）过C 作CG AB ⊥交AB 于G ，连接AC ，根据面面垂直的性质可得CG ⊥面ABE ，从而可得CG AE ⊥，再利用向量法结合数量积的运算律证明AC AE ⊥，从而可得⊥AE 面ABCD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）过D 作⊥DO AB 交AB 于O ，以O 为坐标原点，以AE ，OB，OD 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：过C 作CG AB ⊥交AB 于G ，连接AC ，∵面ABCD ⊥面ABE ，且AB 为交线，CG ⊂平面ABCD ，∴CG ⊥面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴CG AE ⊥，∵EC EA AD DC =++ ，∴()22EC EA AD DC =++ ，即()222222EC EA AD DC EA AD DC AD DC =++⋅++⋅+ ，即()174812222cos 45EA AD DC =+++⋅++⋅︒，∴0EA AC ⋅=，即AC AE ⊥，∵,,AC CG C AC CG ⋂=⊂平面ABCD ，∴⊥AE 面ABCD ，又CB ⊂平面ABCD ，∴AE CB ⊥；（2）解：过D 作⊥DO AB 交AB 于O ，∴∥OD CG ，∴DO ⊥面ABE ，由（1）得AE AB ⊥，以O 为坐标原点，以AE ，OB，OD 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，由AD =45DAB ∠=︒，得2AO =，2BO =，2DO =，∴()0,2,0A -，()0,2,0B ，()0,0,2D ，()0,1,2C ，()2,2,0E -，∴()2,0,0AE =，()0,2,2AD = ，()0,1,2BC =- ，()2,4,0BE =- ，设面ADE ，面BCE 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z = ，∴1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11120220x y z =⎧⎨+=⎩，令11y =，则()10,1,1n =- ，2200BE n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220240y z x y -+=⎧⎨-=⎩，令21z =，则()24,2,1n = ，∴121212cos ,n n n n n n ⋅=，∴面ADE 与面BCE所成的锐二面角的余弦值为42.22．换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知0a >，0b >，4a b +=，求33+a b 的最小值.其求解过程可以是：设2a t =-，2b t =+，其中22t -<<，则()()()()3333232322281268126161216a b t t t t t t t t t +=-++=-+-++++=+≥；当0=t 时33+a b 取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.已知平面内一动点P 到两个定点()11,0F -，()21,0F 的距离之和为4.(1)请利用上述方法，求P 点的轨迹方程M ；(2)过轨迹M 与x 轴负半轴交点A 作斜率为k 的直线交轨迹M 于另一点B ，连接2BF 并延长交M 于点C ，若1F C AB ⊥，求k 的值.【正确答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）根据椭圆定义解决即可；（2）设直线AB 为(2)y k x =+，直线1FC 为1(1)y x k=-+，11(,)B x y ，联立方程解得2226812(,)3434k k B k k -++，得22222124346814134BF k k k k k k k +==---+，得224:(1)14BF k l y x k =--，联立24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩，得2(81,8)C k k --，由点C 在椭圆上即可解决.【详解】（1）由题知，平面内一动点P 到两个定点()11,0F -，()21,0F 的距离之和为4，满足椭圆的定义，即P 点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，所以2,1a c ==，所以b =所以P 点的轨迹方程M 为22143x y +=，（2）由（1）得22:143x y M +=，()11,0F -，()21,0F ，因为M 与x 轴负半轴交点A 作斜率为k 的直线交轨迹M 于另一点B ，连接2BF 并延长交M 于点C ，1F C AB⊥所以(2,0)A -，设直线AB 为(2)y k x =+，直线1FC 为1(1)y x k=-+，11(,)B x y ，联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2222(34)1616120k x k x k +++-=，所以21216234k x k--+=+，即2126834k x k -=+，所以121234k y k =+，所以2226812(,3434k k B k k -++，所以22222124346814134BF k k k k k k k +==---+，所以224:(1)14BF k l y x k =--，联立24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩，解得2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩，即2(81,8)C k k --因为点C 在椭圆上，所以()()222818143k k --+=，化简得4219220890k k +-=，解得2124k =或298k =-（舍去），所以k =所以k的值为12.。

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．直线3x +3y ﹣2＝0的倾斜角为（ ） A ．π4B ．−π4C ．3π4D ．π22．等比数列{a n }中，a 2＝2a 1＞0，a 44=（ ）A ．2a 1B ．4a 1C ．12a 1D ．14a 13．已知向量a →=（1，1，﹣1），b →=(2，m ，0)，若a →⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．04．f （x ）＝xlnx 在x ＝e 处的导数f ′（e ）＝（ ） A ．1B ．2C ．eD ．e +15．M 是抛物线C ：y 2＝4x 上一点，F 是C 的焦点，l 为C 的准线，MM 1⊥l 于M 1，若|MF |＝4，则△MM 1F 的周长为（ ） A ．8+√3B ．8+2√3C ．10D ．126．若直线l ：mx +ny ﹣1＝0圆x 2+y 2+2x ＝0相切，则原点O 到直线l 距离的最大值为（ ） A ．√3B ．2C ．2√2D ．17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝4，则a 17+a 18+a 19+a 20＝（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）中，A 为上顶点，F 为左焦点，过原点O 作AF 的平行线与椭圆C 在第一象限交于点B ，若|OB |=a 22c，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．√22B ．√33 C ．12D ．√55二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．对于双曲线Γ：x 28−y 216=1，下列结论错误的是（ ）A ．Γ的离心率为√3B ．Γ的渐近线为y ＝±2xC ．Γ的焦距为2√6D ．Γ的右焦点到渐近线的距离为2√210．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S n ≥S 4（n ∈N *），则（ ）A ．a 1＜0B ．d ＞0C ．a 4≤0D ．S 9＜011．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 、G 分别是AD 、BC 、EF 的中点，如图所示，将正方形沿EF 折起，使得平面ABFE 与平面DCFE 垂直，则（ ）A ．∠AGG =2π3B ．异面直线AC 与EF 的所成角为π3C ．AC 与平面ABFE 的所成角的正切值为√55D ．三棱锥C ﹣AEG 、C ﹣BFG 和C ﹣ABG 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则V 1+V 2＝V 312．直线x ＝λp （λ＞0）交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于M 、N 两点，R 是C 上不与M 、N 重合的一个动点．下列说法正确的是（ ）A ．存在正实数λ，使得以MN 为直径的圆与C 的准线相切B ．k 1，k 2分别是直线RM 和RN 的斜率，|k 2−k 1k 1k 2|=√2λC ．作RQ ⊥MN 于Q ，则|MQ||NQ||RQ|的值与R 点位置无关D ．对于任意的正实数p 和λ，存在点R ，使得RM →⋅RN →=−116p 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．经过点（﹣2，3），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 ．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，N 为AB 中点，M 为BB 1中点，则异面直线DN 与CM 所成角的余弦值为 ．15．一个乒乓球从1m 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的23，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 m ．16．点P 在△ABC 所在的平面α外，且P A ⊥α，PB ＝PC =√17，tan ∠BPC =815，当A 到平面PBC 的距离最大时，△ABC 的面积为 ．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的可导函数，两个函数部分函数值和导数值如下表（1）设F （x ）＝f （x ）•g （x ），求F ′（2）的值．（2）设h （x ）＝f （g （x ）），求h （x ）的图象在点（1，h （1））处的切线方程． 18．（12分）公比为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝1，a 3＝2a 2+3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝（﹣1）n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，过点（2，0）的直线l 与圆O 交于A 、B 两点（A 、B 不重合）． （1）求直线l 斜率的取值范围； （2）当AB =√2时，求直线l 的方程．20．（12分）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，BD ＝BC ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 中点，FE ＝FG ＝1，cos ∠EFG =14．点A 在底面BCD 上的射影为点G ．求：（1）∠BCD 的大小；（2）平面BCD 与平面EFG 的夹角的余弦值．21．（12分）正项数列{a n }满足a 1＝1，a n 2−a n−12=1（n ≥2，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）n ≥2，n ∈N *时． ①证明：a n +1＞1+√1−1n；②证明：1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n+1＜a n −1．22．（12分）如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)离心率为√32，椭圆C 的左右项点分别为A 、B ，上顶点为P ．点Q(85，35)在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上有一动点R （x 0，y 0）（y 0＜0），连接PR 和QR 分别交x 轴于C 和D ，请问是否存在实数k ，使得|AC||DB||CD|=k|AB|．若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．直线3x +3y ﹣2＝0的倾斜角为（ ） A ．π4B ．−π4C ．3π4D ．π2解：设倾斜角为α，直线3x +3y ﹣2＝0的斜率为﹣1，则tan α＝﹣1， ∵0≤α＜180°，∴α＝135°=3π4． 故选：C ．2．等比数列{a n }中，a 2＝2a 1＞0，a 44=（ ）A ．2a 1B ．4a 1C ．12a 1D ．14a 1解：等比数列{a n }中，a 2＝2a 1＞0，∴q =a 2a 1=2， ∴a 44=a 1q 34=8a 14=2a 1．故选：A ．3．已知向量a →=（1，1，﹣1），b →=(2，m ，0)，若a →⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．0解：向量a →=（1，1，﹣1），b →=(2，m ，0)，若a →⊥b →，故2+m ＝0，解得m ＝﹣2． 故选：A ．4．f （x ）＝xlnx 在x ＝e 处的导数f ′（e ）＝（ ） A ．1B ．2C ．eD ．e +1 解：根据题意，f （x ）＝xlnx ，其导数f ′（x ）＝（x ）′lnx +x ×1x=lnx +1， 则f ′（e ）＝lne +1＝2． 故选：B ．5．M 是抛物线C ：y 2＝4x 上一点，F 是C 的焦点，l 为C 的准线，MM 1⊥l 于M 1，若|MF |＝4，则△MM 1F 的周长为（ ） A ．8+√3B ．8+2√3C ．10D ．12解：抛物线C ：y 2＝4x 上一点，F 是C 的焦点（1，0），l 为C 的准线x ＝﹣1，|MF |＝4，可得M 的横坐标3，不妨设M 在第一象限，M 的纵坐标：2√3， 所以M 1的坐标（﹣1，2√3），则△MM 1F 的周长为：4+4+√(−1−1)2+(2√3−0)2=12． 故选：D ．6．若直线l ：mx +ny ﹣1＝0圆x 2+y 2+2x ＝0相切，则原点O 到直线l 距离的最大值为（ ） A ．√3B ．2C ．2√2D ．1解：圆x 2+y 2+2x ＝0的圆心C （﹣1，0），半径r ＝1， 因为直线l 与圆相切，所以圆心C 到直线的距离d =|−m−1|√m +n =1，整理可得n 2＝2m +1≥0，可得m ≥−12，所以原点O 到直线的距离为d '=1√m 2+n 2=1√m 2+2m+1=1|m+1|≤1|−12+1|=2，所以d '的最大值为2． 故选：B ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝4，则a 17+a 18+a 19+a 20＝（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10解：根据题意，等差数列{a n }中，S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12，S 20﹣S 16……也成等差数列， 其首项S 4＝1，第二项S 8﹣S 4＝3，则其公差d ＝3﹣1＝2， 则S 20﹣S 16＝1+2（5﹣1）＝9，故a 17+a 18+a 19+a 20＝9． 故选：C ．8．椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）中，A 为上顶点，F 为左焦点，过原点O 作AF 的平行线与椭圆C 在第一象限交于点B ，若|OB |=a 22c，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√22B ．√33C ．12D ．√55解：设∠AFO ＝∠BOx ＝θ，则cos θ=c a ，sin θ=b a ，又|OB |=a 22c，∴x B =|OB|cosθ=a 22c ×c a =a2， y B =|OB|sinθ=a 22c ×b a =ab2c ，∴B 为（a 2，ab2c），又点B 在椭圆上，∴a 24a2+a 2b 24c 2b 2=1，∴14+a24c2=1，∴c2a2=13，∴椭圆C的离心率为√3 3．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．对于双曲线Γ：x28−y216=1，下列结论错误的是（）A．Γ的离心率为√3B．Γ的渐近线为y＝±2xC．Γ的焦距为2√6D．Γ的右焦点到渐近线的距离为2√2解：由双曲线的方程可得a2＝8，b2＝16，所以c2＝a2+b2＝8+16＝24，A中，双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√1+168=√3，所以A正确；B中，双曲线的渐近线方程为：y＝±bax＝±2√2x＝±√2x，所以B不正确；C中，双曲线的焦距2c＝2√24=4√6，所以C不正确；D中，双曲线的右焦点F（2√6，0），到渐近线±√2x+y＝0的距离d=|2√6⋅(±√2)|√(±√2)+1=4，所以D不正确．故选：BCD．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S n≥S4（n∈N*），则（）A．a1＜0B．d＞0C．a4≤0D．S9＜0解：根据题意，等差数列{a n}中，若S n≥S4，则有S3≥S4，S5≥S4，则有a4＝S4﹣S3≤0，a5＝S5﹣S4≥0，C正确；必有d＝a5﹣a4＞0，B正确；则有a1＝a4﹣4d＜0，A正确；S9=(a1+a9)×92=9a5≥0，D错误．故选：ABC．11．正方形ABCD的边长为2，点E、F、G分别是AD、BC、EF的中点，如图所示，将正方形沿EF折起，使得平面ABFE与平面DCFE垂直，则（）A ．∠AGG =2π3B ．异面直线AC 与EF 的所成角为π3C ．AC 与平面ABFE 的所成角的正切值为√55D ．三棱锥C ﹣AEG 、C ﹣BFG 和C ﹣ABG 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则V 1+V 2＝V 3 解：连接BG ，BC ，如图，因为CF ⊥EF ，平面ABFE 与平面DCFE 垂直，且交线为EF ， CF ⊂平面DCFE ，所以CF ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，所以CF ⊥AF ，又AF 是AC 在平面ABFE 上的射影， 所以∠CAF 为AC 与平面ABFE 的所成角， 因为AF =√AB 2+BF 2=√5，CF ＝1， 所以在Rt △ACF 中， tan ∠CAF =CF AF =15=√55，故C 正确； 易知AG =CG =√2，AC =√AF 2+CF 2=√5+1=√6， 由余弦定理可得：cos ∠AGC =AG 2+CG 2−AC 22AG⋅CG =2+2−62×√2×√2=−12，由0＜∠AGC ＜π，所以∠AGC =2π3，故A 正确； 因为EF ∥AB ，所以∠BAC 即为异面直线所成的角， 由CB =√CF 2+BF 2=√2， 所以AC 2＝AB 2+CB 2，即AB ⊥BC ，在Rt △ACB 中，tan ∠CAB =CB AB =√24，故∠CAB ≠π3，故B 错误； 因为S △AEG +S △BFG =12AE ⋅EG +12BF ⋅GF =1，S △ABG ＝2×1﹣（S △AEG +S △BFG ）＝1， 故S △ABG ＝S △AEG +S △BFG ，因为三棱锥C ﹣AEG ，C ﹣BFG 和C ﹣ABG 的高都为CF ， 所以V 3＝V 1+V 2，故D 正确． 故选：ACD ．12．直线x ＝λp （λ＞0）交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于M 、N 两点，R 是C 上不与M 、N 重合的一个动点．下列说法正确的是（ ）A ．存在正实数λ，使得以MN 为直径的圆与C 的准线相切B ．k 1，k 2分别是直线RM 和RN 的斜率，|k 2−k 1k 1k 2|=√2λC ．作RQ ⊥MN 于Q ，则|MQ||NQ||RQ|的值与R 点位置无关D ．对于任意的正实数p 和λ，存在点R ，使得RM →⋅RN →=−116p 2解：当λ=12时，x =p2过抛物线焦点F ，作MA ⊥l ，NB ⊥l 分别于A ，B ，如图，则|MA |＝|MF |＝p ，|NF |＝|NB |＝p ，故12|MN|=|FC|=p ，且F 为圆心，所以圆与准线相切，故A 正确； 设R （x 0，y 0），则y 02=2px 0，不妨设M(λp ，√2λp)，N(λp ，−√2λp)，如图，则k 1=y 0−√2λp x 0−λp ，k 2=y 0+√2λp x 0−λp ，所以k 1k 2=y 02−2λp 2(x 0−λp)2，k 2−k 1=2√2λp x 0−λp ， 所以|k 2−k 1k 1k 2|=|2√2λp(x 0−λp)y 02−2λp2|=|2√2λp(x 0−λp)2px 0−2λp 2|=√2λ，故B 正确； 由题意，Q （λP ，y 0）， 则|MQ||NQ||RQ|=|√2λp−y 0|⋅|−√2λp−y 0||λp−x 0|=|2λp 2−2px 0||λp−x 0|=2p 为定值，故与B 点位置无关，故C 正确；因为RM →=(λP −x 0，√2λp −y 0)，RN →=(λP −x 0，−√2λp −y 0)，所以RM →⋅RN →=(λP −x 0)2+y 02−2λp 2=(λP −x 0)2+2px 0−2λp 2=(x 0−λp)(x 0−λp +2p)，设f （x 0）＝（x 0﹣λp ）（x 0﹣λp +2p ）（x 0≥0），关于x 0的二次函数对称轴为x 0=λp+λp−2p2=λp −p ， 当x 0＝λp ﹣p ≥0，即λ≥1时，f(x 0)min =f(λp −p)=−p 2， 若对于任意的正实数p 和λ，存在点R ，使得RM →⋅RN →=−116p 2， 则−p 2≤−116p2，即p 2≥14，而不等式非恒成立， 当x 0＝λp ﹣p ＜0时，即λ＜1时，f(x 0)min =f(0)=−2λ2−2λ≤−116p 4p 2+(λp)2≤−116p 2， 由题意，−2λp 2+(λp)2≤−116p 2，即λ2−2λ≤−116p 4，由于p →+∞时，−116p 4→−∞，所以不等式不恒成立，综上，任意的正实数p 和λ，存在点R ，使得RM →⋅RN →=−116p 2不成立，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．经过点（﹣2，3），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 y 25−x 25=1 ．解：根据题意，设要求双曲线的方程为x 2﹣y 2＝λ（λ≠0）， 要求双曲线经过点（﹣2，3），则有4﹣9＝λ，即λ＝﹣5， 要求双曲线的方程为x 2﹣y 2＝﹣5，其标准方程为y 25−x 25=1．故答案为：y 25−x 25=1．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，N 为AB 中点，M 为BB 1中点，则异面直线DN 与CM 所成角的余弦值为45． 解：取AA 1的中点E ，连接DE ，EN ，因为DE ∥CM ，故∠EDN即为异面直线DN与CM所成的角．在△DEN中，DE=DN=√5，EN=√2，由余弦定理可得cos∠EDN=DE2+DN2−EN22DE⋅DN=5+5−22√5×√5=45，则异面直线DN与CM所成角的余弦值为4 5．故答案为：4 5．15．一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的23，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为299m．解：由题意得第3次着地时，乒乓球经过的总路程为：S＝1+2×23+2×(23)2=299m．故答案为：29 9．16．点P在△ABC所在的平面α外，且P A⊥α，PB＝PC=√17，tan∠BPC=815，当A到平面PBC的距离最大时，△ABC的面积为2√2．解：如图，平面α即为平面ABC，∵PB＝PC=√17，tan∠BPC=815，∴易知cos∠BPC=1517，∴BC2=17+17−2×√17×√17×1517=4，∴BC＝2，∵PB ＝PC ，取BC 中点E ，连接AE ，PE ，则BC ⊥PE ，又P A ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥P A ，又PE ∩P A ＝P ， ∴BC ⊥平面P AE ，在平面P AE 内，过A 作AF ⊥PE 于点F ，又平面P AE ∩平面PBC ＝PE ， ∴AF ⊥平面PBC ，即A 到平面PBC 的距离为AF ，∵BC ⊥平面P AE ，AE ⊂平面P AE ，∴AE ⊥BC ，又E 为BC 中点， ∴AE 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，设AB ＝AC ＝x ，又PB =√17，BE ＝1，∴P A =√17−x 2，AE =√x 2−1，x ∈（1，√17）， 又易知P A ⊥AE ，∴PE =√PA 2+AE 2=√17−x 2+x 2−1=4， ∴AF =PA×AE PE =√17−x 2⋅√x 2−14≤14×[(17−x 2)+(x 2−1)2]=2，当且仅当17﹣x 2＝x 2﹣1，x ∈（1，√17），即x ＝3时，等号成立， 此时AE =√x 2−1=√9−1=2√2，∴此时△ABC 的面积为12×BC ×AE =12×2×2√2=2√2．故答案为：2√2．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的可导函数，两个函数部分函数值和导数值如下表（1）设F （x ）＝f （x ）•g （x ），求F ′（2）的值．（2）设h （x ）＝f （g （x ）），求h （x ）的图象在点（1，h （1））处的切线方程． 解：（1）设F （x ）＝f （x ）•g （x ）， 则F '（x ）＝f '（x ）g （x ）+f （x ）g '（x ），故F '（2）＝f '（2）g （2）+f （2）g '（2）＝（﹣4）×（﹣3）+3×5＝27； （2）h （x ）＝f （g （x ）），则h'（x）＝f'（g（x））•g'（x），h'（1）＝f'（g（1））•g'（1）＝f'（2）•g'（1）＝﹣4，h（1）＝f（g（1））＝f（2）＝3，故h（x）的图象在点（1，h（1））处的切线的斜率为﹣4，切线过点（1，3），即切线方程为y﹣3＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣7＝0．18．（12分）公比为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝1，a3＝2a2+3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则a2＝1•q＝q，a3＝1•q2＝q2，∵a3＝2a2+3，∴q2＝2q+3，即q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，∴a n＝1•3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）可得，b n＝（﹣1）n a n＝（﹣1）n•3n﹣1＝（﹣1）•（﹣3）n﹣1，故数列{b n}是以﹣1为首项，﹣3为公比的等比数列，∴S n=(−1)⋅[1−(−3)n]1−(−3)=(−3)n−14．19．（12分）已知圆O：x2+y2＝1，过点（2，0）的直线l与圆O交于A、B两点（A、B不重合）．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）当AB=√2时，求直线l的方程．解：（1）圆O：x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径r＝1，将（2，0）代入圆的方程可得42+02＞1，可知（2，0）在圆外，所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，要使直线与圆由两个不同的交点，则圆心O到直线的距离d=|2k|√1+k r＝1，整理可得3k2＜1，解得−√33＜k＜√33，即直线l斜率的取值范围为（−√33，√33），（2）因为|AB|＝2√r2−d2=√2，可得d2＝r2−12=12，由（1）可得（√1+k2）2=12，整理可得：7k2＝1，解得k ＝±√77，符合k ∈（−√33，√33），所以直线l 的方程为y ＝±√77（x ﹣2）．20．（12分）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，BD ＝BC ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 中点，FE ＝FG ＝1，cos ∠EFG =14．点A 在底面BCD 上的射影为点G ．求：（1）∠BCD 的大小；（2）平面BCD 与平面EFG 的夹角的余弦值．解：（1）如图，连接AG ，BG ，由E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 中点，且FE =FG =1，cos ∠EFG =14，可得AC ＝BD ＝2，且EG =√FE 2+FG 2−2FE ⋅FGcos∠EFG =√62，又由BD ＝BC ，且G 为CD 的中点，可得BC ＝2且BG ⊥CD ， 因为点A 在底面BCD 上的射影为点G ，可得AG ⊥平面BCD ， 又因为CD ⊂平面BCD ，所以AG ⊥CD ，因为G 为CD 的中点，所以△ACD 为等腰三角形，可得AD ＝AC ＝2， 设CD ＝2x ，在直角△BCG 中，可得BG 2＝BC 2﹣x 2＝4﹣x 2， 在直角△ACG 中，可得AG 2＝AC 2﹣x 2＝4﹣x 2， 在直角△AGB 中，由E 为AB 的中点，且EG =√62，可得AB =√6，又由AG 2+BG 2＝AB 2，可得4﹣x 2+4﹣x 2＝6，解得x ＝1，所以CD ＝2，所以△BCD 为等边三角形，所以∠BCD =π3；（2）由（1）知AG ⊥平面BCD ，且CD ，BG ⊂平面BCD ，所以AG ⊥GC ，AG ⊥GB ，又由GB ⊥GC ，以G 为原点，以GC ，GB ，GA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0，0，√3)，B(0，√3，0)，C(1，0，0)，G(0，0，0)， 因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，可得E(0，√32，√32)，F(12，√32，0)， 所以GE →=(0，√32，√32)，GF →=(12，√32，0)， 设平面EFG 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅GE →=√32y +√32z =0n →⋅GF →=12x +√32y =0，取x =√3，可得y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=(√3，−1，1)， 又因为x 轴垂直于平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量为m →=(0，0，1)， 设平面BCD 与平面EFG 的夹角为θ，且θ为锐角，所以cosθ=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√5×1=√55，所以平面BCD 与平面EFG 的夹角的余弦值为√55． 21．（12分）正项数列{a n }满足a 1＝1，a n 2−a n−12=1（n ≥2，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）n ≥2，n ∈N *时． ①证明：a n +1＞1+√1−1n；②证明：1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n+1＜a n −1．解：（1）由题意，a n 2−a n−12=1(n ≥2，n ∈N ∗)，且a 1＝1， 则数列{a n 2}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n 2=1+（n ﹣1）×1＝n ， 由{a n }为正项数列，则a n =√n ．证明：（2）①当n ＝2时，a n+1=√2+1=√3＞1+√22=1+√1−12，所以当n ＝2时，a n+1＞1+√1−1n成立；当n ≥3时，a n+1=√n +1≥2＞1+√1−1n 成立；综上所述，a n+1＞1+√1−1n．②要证明1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n+1＜a n −1， 即证明√2⋅√3+√3⋅√4+⋯+√n⋅√n+1＜√n −1．由①结论√n +1＞1+√1−1n得，√n +1⋅√n ＞√n +√n −1＞0所以√n+1⋅√n ＜√n+√n−1=√n −√n −1（n ≥2，n ∈N *）， 则有√2⋅√3√2−1，√3⋅√4√3−√2，√4⋅√5√4−√3，⋯，√n⋅√n+1＜√n −√n −1，各式相加得√2⋅√3+√3⋅√4+⋯+√n⋅√n+1√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√n −√n −1=√n −1，即1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n+1＜a n −1，得证．22．（12分）如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)离心率为√32，椭圆C 的左右项点分别为A 、B ，上顶点为P ．点Q(85，35)在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上有一动点R （x 0，y 0）（y 0＜0），连接PR 和QR 分别交x 轴于C 和D ，请问是否存在实数k ，使得|AC||DB||CD|=k|AB|．若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．解：（1）因为椭圆C 的离心率为√32，所以ca=√32，即4c2＝3a2，因为c2＝a2﹣b2，所以a2＝4b2，①因为点Q(85，35)在椭圆上，所以6425a2+925b2=1，②联立①②，解得a2＝4，b2＝1，则椭圆C的方程为x24+y2=1；（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），P（0，1），|AB|＝4，当x0＝0，y0＝﹣1时，点C与原点O重合，此时直线QR的方程为y+135+1=x85，即y＝x﹣1，令y＝0，解得x＝1，即D（1，0），所以|AC|＝2，|DB|＝2﹣1＝1，|CD|＝1，则k=|AC|⋅|DB||CD|⋅|AB|=2×11×4=12；当x0=85，y0=−35时，DR⊥x轴，D(85，0)，此时直线PR：y−1−35−1=x85，即y＝﹣x+1，令y＝0，解得x＝1，即C（1，0），所以|AC|＝1+2＝3，|DB|=2−85=25，|CD|=85−1=35，则k=|AC|⋅|DB||CD|⋅|AB|=3×2535×4=12；当x0≠0且x0≠85时，直线PR的方程为y−1y0−1=xx0，即y=(y0−1)xx0+1，令y＝0，解得x=−x0y0−1，即C(−x0y0−1，0)，此时直线Q R：y−35y0−35=x−85x0−85，令y＝﹣0，解得x=−35(x0−85)y0−35+85=−35x0+85y0y0−35，即D（−35x0+85y0y0−35，0），则|AC|=−x0y0−1+2=2y0−2−x0y0−1，|DB|=2−−35x0+85y0y0−35=25y0+35x0−65y0−35，|CD|=−35x0+85y0y0−35+x0y0−1=(−35x0+85y0)(y0−1)+x0(y0−35)(y0−35)(y0−1)=25x0y0+85y02−85y0(y0−35)(y0−1)，则k=|AC|⋅|DB||CD|⋅|AB|=2y0−2−x0y0−1⋅25y0+35x0−65y0−354⋅25x0y0+85y02−85y0(y0−35)(y0−1)=(2y0−2−x0)(25y0+35x0−65)4(25x0y0+85y02−85y0)，因为点R在椭圆上，所以x024+y2=1，即x2=4−4y2，则k=45y02+45x0y0−165y0+125−125+125y024(25x0y0+85y02−85y0)=165y02+45x0y0−165y04(25x0y0+85y02−85y0)=12，综上，存在实数k=12，使得|AC||DB||CD|=k|AB|．。

2023-2024学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．曲线y ＝e x 在点A （0，1）处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2C ．eD ．1e3．已知双曲线x 29−y 216=1的左、右焦点F 1、F 2，P 是双曲线上一点且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝（ ） A ．1或13B ．1C ．13D ．94．已知等比数列{a n }中，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝（ ） A ．3B ．15C ．48D ．635．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =32a n −3，则a n ＝（ ）A ．a n ＝3nB ．a n ＝2•3nC ．a n ＝6•3nD ．a n ＝6n6．已知A(1，1，1)，B(1，0，1)，BC →=(1，−1，1)，则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．√33B ．2√33C ．√63D ．2√637．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，斜率为k 的直线l 经过点F ，并且与抛物线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点N ，若AF →=2MN →，则k ＝（ ） A ．√3B ．√2C ．±√2D ．±√38．过点（1，a ）可以作三条直线与曲线y ＝xe x 相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−5e 2，0) B ．(−5e 2，e) C ．(−5e 2，−1e )D ．(−1e，0)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

2022-2023深圳中学高二（上）期末数学试卷参考答案一、单项选择题(每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分) 1．【分析】根据题意，分2步进行分析：先从a，b，c中任取两个字母，再将取出的字母排成一列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从a，b，c中任取两个字母，有C32＝3种取法，再将取出的字母排成一列，有A22＝2种情况，则有3×2＝6种不同的排法；故选：D．2．【分析】由直线的倾斜角为135°，所以可求出直线的斜率，进而根据直线的点斜式方程写出即可．【解答】解：∵直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan135°＝﹣1，又直线过点P（，﹣2），∴直线的点斜式为y+2＝﹣1（x﹣），即x+y+＝0．故选：D．3．【分析】直线y＝k（x﹣2）+1恒过点（2，1），且在椭圆的内部，由此可得直线y＝k（x ﹣2）+1与椭圆的位置关系是与椭圆的位置关系．【解答】解：直线y＝k（x﹣2）+1，所以直线恒过点（2，1），∵+＜1，∴（2，1）在椭圆的内部，∴直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆的位置关系是相交，故选：B．4．【分析】依次分析两条曲线的焦点，实轴长，离心率，渐近线等即可得答案．【解答】解：将双曲线化为标准方程得，对于双曲线，a2＝4，b2＝3，c2＝7，焦点坐标为，实轴长为2a＝4，离心率为，渐近线方程为；对于双曲线，a2＝3，b2＝4，c2＝7，焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线方程为；故双曲线与双曲线具有相同的渐近线．故选：D．5．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，则＝＝＝，故选：A．6．【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用三角形的面积，将面积的最值小问题转化为点到直线的距离的最小值可求结论．【解答】解：由圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，则圆心坐标为C（2，0），半径R＝1，则△PAC的面积S＝|PA|•|AC|＝|PA|，∴要使△PAC的面积的最小，则|PA|最小，又|PA|＝＝，即PC最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d＝＝，|PA|min＝＝，即△PAC的面积的最小值为S＝×＝．故选：C．7．【分析】利用已知条件，分析三位数的数字特征，转化求解即可．【解答】解：自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻，十位数为0时，有100，或101，共2个；十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个；十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．综上共有：2+6+7×9+4＝75个．故选：C．8．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，在△F1PF2中根据余弦定理可得到3a12+a22＝4c2，结合离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos，化简得3a12+a22＝4c2，该式可变成+＝4，结合e1＝，e2＝，∴＝4．故选：A．二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．【分析】由已知结合等比数列的定义检验各选项即可判断．【解答】解：若数列{a n}是等比数列，则＝q，A：＝q2，符合等比数列，A正确；B：＝q2，符合等比数列，B正确；当a n＝（﹣1）n时，CD显然不符合题意．故选：AB．10．【分析】根据题意，由排列组合公式依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法，所以A正确；对于B，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有＝85，所以B不正确；对于C，抽出的3件产品中一件不合格的抽法：C C，两件不合格的抽法：C C，三件不合格的抽法：C，所以至少有1件是不合格品的抽法有C C+C C+C种，所以C正确；对于D，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有＝85，所以D正确；故选：ACD．11．【分析】由于m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，解得m，n，进而可得曲线C的方程，再结合性质，即可得出答案．【解答】解：因为m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，所以2m＝3+5，n2＝4×16，解得m＝4，n＝±8，则曲线C的方程为+＝1或﹣＝1，其中+＝1表示焦点在y轴的椭圆，此时它的离心率为e＝＝＝＝＝，故A正确，C正确；﹣＝1表示焦点在x轴的双曲线，焦距为2c＝2＝2＝4，渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，故B不正确，D正确．故选：ACD．12．【分析】对于AB：根据对称理解运算即可判断；对于CD：根据椭圆定义可知曲线C为椭圆，结合椭圆性质分析即可求解．【解答】解：对B：曲线C的上任一点A（x，y）关于原点的对称点为A′（﹣x，﹣y），则（﹣x）2+（﹣y）2﹣（﹣x）（﹣y）＝x2+y2﹣xy＝1，即A′在曲线C上，∴曲线C关于原点中心对称，B正确；对A：∵曲线C的上任一点B（x，y）关于x轴的对称点为B′（x，﹣y），则x2+（﹣y）2﹣（﹣y）x＝x2+y2+xy≠1，即B不在曲线上，∴曲线C关不于x轴对称，A错误；∵x2+y2﹣xy＝1，则（x+y）2+3（x﹣y）2＝4，∴（x+y）2≤4，即﹣2≤x+y≤2，又∵x2+y2﹣xy＝1，即，则＝＝，同理可得：，则曲线C的上任一点P（x，y）到的距离之和为：，∴曲线C表示以M，N为焦点且的椭圆，则，对C：则线段|PQ|的最大值为，C正确；对D：则曲线C的面积，D错误；故选：BC．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．【分析】根据抛物线的标准方程，再利用抛物线x2＝2py的焦点坐标为（0，），求出物线y＝x2的焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝x2，即x2＝y，∴p＝，＝，∴焦点坐标是（0，），故答案为：（0，）．14．【分析】配方法将圆的一般式方程化为标准方程，确定圆心和半径之后，根据中点弦所在直线与AC垂直可求该弦的斜率．【解答】解：将x2+4x+y2﹣5＝0配方得（x+2）2+y2＝9，圆心为C（﹣2，0），r＝3，∴k AC＝＝2，∵弦以点A（﹣1，2）为中点，∴该弦的斜率为﹣．故答案为：﹣．15．【分析】根据椭圆的方程求得a，b，c，得到|F1F2|，设出|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得t1t2的值，即可求出||•||的值．【解答】解：∵a＝2，b＝1；∴c＝，∴|F1F2|＝2c＝2，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，∵P为椭圆上一点，∴t1+t2＝4①，∵∠F1PF2＝90°，∴t12+t22＝（2）2②，由①2﹣②得t1t2＝2，∴||•||＝t1t2＝2．故答案为：2．16．【分析】x2+y2＝100，整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），如图，共12个点，直线（a，b为非零实数）与x，y轴不平行，不经过原点，任意两点连线有C122条，与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，其中有两条既过原点又与x，y轴平行，共有C122+12﹣14﹣6+2＝60条这样的直线．【解答】解：x2+y2＝100，整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），如图，共12个点，直线（a，b为非零实数），∴直线与x，y轴不平行，不经过原点，任意两点连线有C122条，与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，其中有两条既过原点又与x，y轴平行，∴共有C122+12﹣14﹣6+2＝60．故答案为：60．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．【分析】利用组合数以及排列数公式分别化简即可求解．【解答】解：（1）A＝4×3×2+5×4×3＝84；（2）C+C+C+C+C＝C＝C＝C＝C＝70．18．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，可得所求通项公式；（2）由等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由，，成等比数列，可得＝，即有（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）对n∈N*，a2+a+a+…+a＝4+8+16+...+2n+1＝＝2n+2﹣4．19．【分析】（1）由已知得c＝1，再将点代入椭圆方程，可得a2＝2，b2＝1；（2）△ABP的面积分成两部分，都以|FP|＝1为底，再代入根与系数的关系即可，另外，由于本题直线利用反设法，避免了讨论直线斜率不存在的情况．【解答】解：（1）右焦点为F（1，0），则c＝1，则a2＝b2+1，椭圆过点（1，），则+＝1，则a2＝2，b2＝1，椭圆的方程为+y2＝1；（2）直线l过点F（1，0），设l方程为x＝my+1，直线l交椭圆C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，联立方程，得y1+y2＝，y1y2＝，S△ABP＝×1•|y1|+×1•|y2|＝|y1﹣y2|＝＝＝＝，则m2＝1，m＝±1，则直线l的方程为x＝±y+1，即x±y﹣1＝0．20．【分析】（1）由a n＝，两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）由累乘法求得b n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）证明：由a1＝1，a n+＝0，可得a n＝，两边取倒数可得＝﹣2，即﹣＝2，则数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，则＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即有a n＝；（2）由b1＝2，＝2＝2•，可得b n＝b1•••...•＝2•（2•3）•（2•）•...•（2•）＝2n•（2n﹣1），所以S n＝1•2+3•4+5•8+...+2n﹣1•（2n﹣3）+2n•（2n﹣1），2S n＝1•4+3•8+5•16+...+2n•（2n﹣3）+2n+1•（2n﹣1），上面两式相减可得﹣S n＝2+2（4+8+...+2n﹣1+2n）﹣2n+1•（2n﹣1）＝2+2•﹣2n+1•（2n﹣1），化简可得S n＝6+（2n﹣3）•2n+1．21．【分析】（1）由双曲线的定义解方程求得|PF1|，|PF2|，再由余弦定理和离心率公式，计算可得所求值；（2）由正弦定理可得外接圆半径R，由三角形的等积法，计算可得内切圆半径r，可得所求比值．【解答】解：（1）由P为双曲线的右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝（2+）|PF2|，可得|PF1|＝（+1）a，|PF2|＝（﹣1）a，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝（4+2）a2+（4﹣2）a2﹣2（+1）（﹣1）a2•＝8a2﹣2a2＝6a2，即c＝a，可得e＝＝；（2）由2R＝＝＝2a，即R＝a；因为S＝|PF 1|•|PF2|•sin60°＝（+1）（﹣1）a2•＝a2，又S＝（|PF 1|+|PF2|+2c）r＝（2a+a）r，所以r＝a＝a，所以＝＝2+2．22．【分析】（1）由题意|MH|＝|MF|，所以动点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，即可求曲线C的方程；（2）先设直线l AB：x＝ty+m，t≠0与抛物线联立，结合三点共线得y A y P＝﹣4和y B y Q＝﹣4，再计算出k2＝＝就可以得解．【解答】解：（1）根据线段垂直平分线的性质，知|MH|＝|MF|．∴动点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线．故曲线C的方程为y2＝4x．（2）设点A（x A，y A），B（x B，y B），P（x P，y P），Q（x Q，y Q），E（m，0）（m＞0），直线l AB：x＝ty+m，t≠0，由，消去x，得y2﹣4ty﹣4m＝0，因为t≠0，Δ＝16（t2+m）＞0，所以y A+y B＝4t，y A y B＝﹣4m，又＝（x P﹣1，y P），＝（x A﹣1，y A），由A，F，P三点共线，知y A（x P﹣1）﹣y P（x A﹣1）＝0，即y A （﹣1）﹣y P （﹣1）＝0，化简得（+1）（y P﹣y A）＝0，显然y P≠y A ，所以+1＝0，即＝﹣4，同理可得y B y Q＝﹣4，所以k2＝＝＝＝＝﹣＝，又k1＝，由k2＝2k1，可得＝，所以m＝2，故点E的坐标为（2，0）．第11页共11页。

2023-2024学年广东省深圳高二上册期末数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，则3a =（）A ．3B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】直接把1n =和2n =代入递推关系式求解即可．【详解】解： 数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，21213a a ∴=+=，32228a a =+=，故选：C ．2．设R a ∈，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，若12l l ⊥，则=a （）A ．1B ．2-C ．23-D ．1或2-【正确答案】C【分析】由题意，根据两直线垂直的性质列方程即可求得a 的值．【详解】R a ∈ ，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，12l l ⊥，()1210a a ∴⨯+⨯+=，求得23a =-，故选：C ．3．已知数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．32D ．3【正确答案】D【分析】根据已知的递推关系式求出数列的前4项，即可发现循环，求出数列的周期，进而求得结果即可．【详解】解：因为数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，所以2111a a a =-，解得223a =，由2321a a a =-，解得312a =-，由3431a a a =-，解得413a a ==，L ，故可得数列{}n a 是周期为3的数列，且前三项为：3，23，12-，因为202367431=⨯+，所以202313a a ==.故选：D4．如图，在四面体PABC 中，E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则FE =（）A ．111232PA PB PC-+B ．111242PA PB PC-+C ．111343PA PB PC ++D ．212343PA PB PC -+ 【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【详解】解：E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则()1111142242FE FP PE PB PA PC PA PB PC =+=-++=-+．故选：B ．5．已知直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈与圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，给出下面三个结论：①直线n l 与直线1n l +平行且两直线距离为1；②若直线n l 与圆n C 相切，则22n a n =；③若直线n l 与圆n C 相切，圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【正确答案】D【分析】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1n l +的方程，进而判断两直线的关系，判n a =，进而求得22n a n =，判断②；利用同心圆可求圆环的面积，进而可求圆环面积最小值判断③．【详解】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1:345(1)60n l x y n +-++-=，即34510x y n -+-=，∴直线n l 与直线1n l +平行，直线n l 与直线1n l +1=，故①正确；由圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，得圆心(2,0)n C ，半径为n a ，若直线n l 与圆n C 相切，n a =，22n a n ∴=，故②正确；圆1n C +与圆n C 是同心圆，且*N n ∈，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积为221π()π()π(21)3πn n a a n +-=+≥，当且仅当1n =时取等号，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π，故③正确．故选：D ．6．设椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若||2MN c =，22:1:MF NF =C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．37【正确答案】B【分析】由已知易得四边形12MF NF 是矩形，设2||MF m =，1MF =，进而可得123F F m =，利用212+=MF MF a ，求解即可．【详解】 过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，MN ∴被O 平分，又12F F 被O 平分，∴四边形12MF NF 是平行四边形，又122MN c F F ==，∴四边形12MF NF 是矩形，22:1:MF NF = ，由对称性可得12MF NF =，∴设2||MF m =，1MF =，123F F m ∴=，23c m ∴=，21223c MF MF a ∴+==，∴c a =．故选：B ．7．关于x4kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）A ．2k ≤-或2k ≥B ．2k ≤-或2k ≥或k =C ．2k <-或2k >或k =D ．2k <-或2k >【正确答案】C【分析】将问题转化为曲线y =与4y kx =+有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.4kx =+有唯一解等价于曲线y =4y kx =+有唯一交点，由y =得：()2204y x y +=≥，则其图形为以()0,0为圆心，2为半径的圆的上半部分；4y kx =+为恒过定点()0,4的直线；作出y =与4y kx =+图象如下图所示，由图象可知：当3k k =或4k k =或1k k >或2k k <时，曲线y =与4y kx =+有唯一交点；当直线4y kx =+与圆()2204y x y +=≥2，解得：k =即3k =，4k =又140202k -==+，240202k -==--，∴4kx =+有唯一解时，实数k 的取值范围为2k <-或2k >或k =.故选：C.8．已知曲线22:1C x y x y +=-）ABC ．1D ．1+【正确答案】A【分析】利用222222x y x y x y ++-≤≤【详解】 曲线22:1C x y x y +=-，221()x y x y ∴=-+，又222222x y x y x y ++-≤≤，当且仅当x y =时取等号，2222221()22x y x y x y ++∴-≤-+≤，∴221132x y +≤≤，∴22232x y ≤+≤，∴3≤≤，．故选：A ．二、多选题9．设{},,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若a b ⊥ ，b c ⊥，则a c⊥ B ．a c + ，b c + ，c a +一定能构成空间的一个基底C ．对空间中的任一向量p ，总存在有序实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc=++ D ．存在有序实数对，使得c xa yb=+【正确答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于A ，a b ⊥ ，b c ⊥，不能得出a c ⊥ ，也可能是a 、c 相交不一定垂直，选项A 错误；对于B ，假设向量a b +，b c + ，c a + 共面，则()()a b x b c y c a +=+++ ，x 、R y ∈，化简得()(1)(1)x y c x b y a +=-+-r r r，所以a 、b 、c 共面，这与已知矛盾，所以选项B 正确；对于C ，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x ,y ,)z ，使p xa yb zc =++，选项C 正确；对于D ，因为{},,a b c 是空间一个基底，所以a 与b 、c不共面，选项D 错误．故选：BC ．10．已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A ．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28【正确答案】BD【分析】由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，对于A ，因为圆心()3,0到直线:50l x y -+=的距离为d ==min MC =min MA =A 错误；对于B ，假设存在点M 使得AMB ∠为60 ，如图，则30∠= AMC ，故在Rt AMC △中，24MC r ==，由A 选项知min 4MC =>，故矛盾，即不存在点M 使得AMB ∠为60 ，故B 正确；对于C ，由于MC AB ⊥,故四边形MACB 的面积为1222MACB MAC S MC AB S MA r MA =⋅==⋅=△，所以，4MC AB MA ⋅=，故当MC AB ⋅最小时，MA 最小，由A 选项知min MA =此时MC l ⊥，//l AB ，即直线AB 的斜率为1，由于直线210x y --=的斜率为12，故C 错误；对于D ，由题知()()1,0,5,0P Q ，设(),5M x x +，则()()()()()221,55,55152430MP MQ x x x x x x x x x ⋅=---⋅---=--++=++ ()2212828x =++≥，当且仅当=1x -时等号成立，故MP MQ ⋅的最小值为28，故D 正确；故选：BD11．已知双曲线()222:10x C y a a-=>，若圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的离心率2e =C ．点P 为双曲线C 上任意一点，点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则2134d d =D ．直线1y k x m =+与C 交于,A B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则123k k =【正确答案】ABD【分析】先根据直线与圆的位置关系求得双曲线C 的标准方程，由双曲线的性质判断AB ，利用点到直线的距离公式化简整理判断C ，将直线与双曲线联立，利用韦达定理求得D 点坐标进而求得2k 判断D.【详解】双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为1y x a =±即0ay x ±=，因为圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，1=，解得a =C 的方程为2231x y -=，选项A ：双曲线C的实轴长23a =，正确；选项B：c ==2c e a ==，正确；选项C ：设P 点为00(,)x y ，则220031x y -=，点P0y x ±=，则2222000012211(3)1334413x y x y d d --==+⎝⎭，错误；选项D ：直线1y k x m =+与双曲线C 联立可得22211(3)210k x k mx m ----=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得1122123k m x x k +=-，所以12112216()23my y k x x m k +=++=-，因为点D 为弦AB 的中点，所以D 点坐标为122113,33k m m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，所以2121121303303ODmk k k k mk k --===--，所以123k k =，正确；故选：ABD12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A ．46a =B ．()221n n a a n +=++C ．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为()1n n +【正确答案】BCD【分析】直接由递推公式求出4a 即可判断A 选项；分n 为奇数或偶数即可判断B 选项；分n 为奇数或偶数结合累加法即可判断C 选项；由分组求和法即可判断D 选项.【详解】对于A ，213243112,24,318a a a a a a =++==+==++=，A 错误；对于B ，当n 为奇数时，1n +为偶数，则211n n a a n ++=++，11n n a a n +=++，可得()221n n a a n +=++；当n 为偶数时，1n +为奇数，则2111n n a a n ++=+++，1n n a a n +=+，可得()221n n a a n +=++，B 正确；对于C ，当n 为奇数且2n ≥时21324312111,2,31,,21,1n n n n a a a a a a aan a an ---=++=+=++=+-+=+- ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-++- ()()113121241n n =+++++-+++++- 2211211122222n n n n n +--+---=⋅+⋅=，1n =时也符合；当n 为偶数且2n ≥时21324312111,2,31,,2,11n n n n a a a a a a a an a an ---=++=+=++=+-=+-+ ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-+-+ ()()113111242n n =+++++-+++++- 221122222222n n n n n +-++--=⋅+⋅=；则221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，C 正确；对于D ，设数列{}(1)nn a -的前2n 项和为2n S ，则21234212n n n S a a a a a a -=-+-+--+ ，又()()222212211222n n n n a a n ----=-=，()22224212n nS n n n n +=+++=⋅=+ ，D 正确.故选：BCD.本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分n 为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前2n 项和，使问题得以解决.三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______.【正确答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为.10,8⎛⎫⎪⎝⎭14．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为DM ==故15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11A C 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1AG =__________．【正确答案】3【分析】以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，可设()0,,4G a ，求出平面AEF 的法向量，再根据0AG m ⋅= 求出a ，即可得出答案．【详解】如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，则)A，)1A ，()0,2,2E，1,42F ⎫⎪⎪⎝⎭，由题可设()0,,4G a ，则()2AE =，1,42AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,4AG a =- ，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则201402y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =93,55y z ==，故93,55m ⎫=⎪⎭ ，由()91231055AG m a ⋅=-+-+= ，得43a =，则11,03G A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13A G ==．16．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n c 满足()*12121,1,3,n n n c c c c c n n N --===+≥∈，则该数列不是比等差数列；②若数列满足132n n a -=⋅，则该数列是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有正确的序号是_________；【正确答案】①②【分析】①数列{}n c 为斐波那契数列,根据数列的性质代入211n n n na a a a +++-化简即可判断;②数列为等比数列,所以代入公式211n n n n a a a a +++-化简即可判断;③利用具体数列,代入即可判断;④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.【详解】对于①,数列{}n c 为斐波那契数列,所以21111111n n n n n n n n n n n n n nc c c c c c c c c c c c c c +++--+++++-=-=-≠常数不满足比等差数列的定义,所以①正确;对于②,数列132n n a -=⋅,则1211132322203232n nn n n n n n a a a a +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅满足比等差数列的定义,所以②正确;对于③,设等比数列11n n a a q -=,则1211111110n n n n n n n n a a a q a q q q a a a q a q +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅,所以等比数列一定是比等差数列;当等差数列为常数数列时,2111111110n n n n a a a a a a a a +++-=-=-=也是比等差数列,所以③错误;对于④,{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列,所以设,2n n na b n ==则2n n n a b n =⋅所以()()()2121112212122n n n n n n n n n n a a a a n n +++++++⋅+⋅-=-+⋅⋅()()()2221211n n n n n n ++=-=-≠++常数不满足比等差数列的定义,所以④错误.综上可知,①②正确故答案为:①②本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线1:1y x l =--上，且经过(0,1)A -，(2,1)B -两点．(1)求圆C 的方程；(2)已知过点(0,2)P 的直线2l 与圆C 相交，被圆C 截得的弦长为2，求直线2l 的方程．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)0x =或158160x y +-=．【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标和斜率，可得AB 的垂直平分线的方程，与直线=1y x --联立，可得圆C 的圆心，求得||AC ，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l 的斜率不存在和存在的两种情况，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线2l 的方程．【详解】（1）线段AB 的中点为(1,1)-，直线AB 的斜率为11020AB k -+==-，所以线段AB 的垂直平分线为1x =，由11y x x =--⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心为(1,2)C -，半径为AC ==所以圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=；（2）当直线2l 的斜率不存在时，则方程为0x =，由220(1)(2)2x x y =⎧⎨-++=⎩，得1y =-，或=3y -，即直线0x =与圆C 相交所得弦长为1(3)2---=，符合题意，当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由于圆C 到2l 1=1=，解得158k =-，所以1528y x =-+，即158160x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为0x =或158160x y +-=．18．已知函数21()2cos 2f x x =-．(1)求函数()f x 的单调增区间与值域；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()0f A =，1b =，ABC 求tan B 的值．【正确答案】(1)单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)tan 3B =或tan B 【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质即可求；（2）先根据()0f A =求出A ，再由面积可得c 边长度，再利用余弦定理可得a 边长度，再利用正弦定理即可得sin B ，从而可得tan B 的值．【详解】（1）211()2cos cos 222f x x x =-=+，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，则πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，则()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当22πx k =，即πx k =，Z k ∈时，max 13()122f x =+=，当22ππx k =+，即ππ2x k =+，Z k ∈时，min 11()122f x =-+=-，则()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由()0f A =，1cos 202A ∴+=，1cos 22A ∴=-，0πA << ，022πA ∴<<，2π23A ∴=或4π3，π3A ∴=或2π3，则sin A =，又ABC的面积为2，∴1sin 22bc A =，1b =Q ，2c ∴=，当π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=+-，a ∴=则ABC为直角三角形，则tan 3B =，当2π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=++，a ∴=在ABC中，1sin sin 3B =sin B ∴=π02B <<，cos B =则tan 5B =，综上tan B =tan B 19．设首项为112a =的数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列n n T ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1211134n S S S +++< ．参考公式：()()222211231216n n n n ++++=++ ．【正确答案】(1)1n n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得111n n n n a a ++-=，即数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，然后求解即可；（2）由参考公式可得()()123n n n n S ++=，则()()()13112112n S n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，然后累加求和即可．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-.则111n n n n a a ++-=,又112a =，112a =，则数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，则()211n n n n a =+-=+1n n a n ⇒=+；（2）由（1）可得1212311n n T n n =⨯⨯⨯=++ ，则2n n n n T =+则()()()()()22221112312312162n n n S n n n n n +=+++++++++=+++ ()()123n n n ++=.则()()()()()133********n S n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦则()()()121113111121223233411112n S S S n n n n +++=-+-++⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()()311322412n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦.20．已知双曲线22 1.416x y -=(1)过点(1,4)N 的直线与双曲线交于,S T 两点，若点N 是线段ST 的中点，求直线ST 的方程；(2)直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程.【正确答案】(1)30.x y -+=(2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案；（2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+，因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯，即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3y x =+,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>，故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=，因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩，得224(4)m k =-，则244M km k x k m ==--,则4(16M k m y k mm =⨯+=--,所以M 的坐标为416(,k m m--，其中0km ≠，因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()k y x m k m +=-+，令0y =，得020k x m =-，令0x =，020y m =-，所以2222002224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为.221(0)10025x y y -=≠方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用“点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.21．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求点P 到平面MAC 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)3.【分析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.（2）利用向量法求得平面MAC 的法向量，根据距离的向量求法求点P 到平面MAC 的距离．【详解】（1）证明：PA ⊥ 平面ABCD ，ABCD 为正方形，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1P M 为PD 的中点，110,,22M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,0,0CD =- ，()1,1,0AC = ，所以·0AM CD = ，所以AM CD ⊥，又点M 为PD 中点，1PA AD ==，所以AM PD ⊥，PD CD D = ，,PD CD ⊂平面PCD ，AM ∴⊥平面PCD ，又因为AM ⊂平面MAC ,故平面MAC ⊥平面PCD ．（2）设平面MAC 的法向量为(),,n x y z = ，则1100,22·00n AM y z n AC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩ ，令1x =，则1,1y z =-=，()1,1,1n ∴=- ，()0,0,1PA =- ，设点P 到平面MAC 的距离为d，3PA n d n ⋅∴== ,∴点P 到平面MAC的距离为3．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点A．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列．椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形OMPN 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2212x y +=(2)存在，10x ±-=或10x =．【分析】（1）由离心率的值，可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将A 点的坐标代入椭圆的方程，可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形OMPN 为平行四边形可得P 的坐标，将P 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线OM ，ON 的斜率之积，由直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线l 的方程．【详解】（1）由离心率2c e a =，可得222a b =，所以椭圆的方程为：222212x y b b +=，将点A代入椭圆的方程可得：2213144b b+=，解得21b =，所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x my t =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222()2220m y mty t +++-=，222244(2)(2)0m t m t ∆=-+->，即222t m <+，且12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，()12122422t x x m y y t m +=++=+，因为四边形OMPN 为平行四边，OP 与MN 互相平分，所以2242,22t mt P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，则2222422122t mt m m ⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，整理可得：2242t m =+，①又因为直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，即122121y y m x x =⋅，即21212x x m y y =，而()()()222221222122221212222222t m my t my t x x mt t m t m mt m y y y y t t t +++--==+⋅+=+---，可得2222t m t =，②由①②可得：22m =，21t =，符合△0>，可得m =，1t =±，所以直线l的方程为：10x -=或10x +=．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点P 的坐标，以及表示写了的关系.。

2023-2024学年上学期期末模拟考试01高二数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线10x -=的倾斜角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x -=可化为y =所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则x =（）A.7-B.1-C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，所以12//n n，即33==-，解得=1x -故选：B3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则4S =（）A ．7B ．12C ．15D ．31【答案】C【分析】设出公比，根据2a ，3a ，42a -成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，因为2a ，3a ，42a -成等差数列，所以32422a a a =+-，则222222q q ⨯=+-，解得：2q =或0（舍去）.因为22a =，所以11a =，故44121512S -==-.故选：C4．设R a ∈，则“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +-=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a -+≠，解得1a =或12a =-．所以由充分必要条件的概念判断可知：“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的充分不必要条件，故选：A5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC中点，则MN等于（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.6．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22860+-++=x y x y m 相内切，则1C 与2C 的公切线方程为（）A.3450x y --=B.3450x y -+=C.4350x y --=D.4350x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由两圆的位置关系得出m ，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆1C ：221x y +=的圆心11(0,0),1O r =，圆2C ：22860+-++=x y x y m 可化为22(4)(3)25x y m -++=-，()25m <，则其圆心为2(4,3)O -，半径为2r =，因为圆1C 与圆2C 相内切，所以2121r O O -=，即216r ==，故11m =-.由2222186110x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，可得4350x y -+=，即1C 与2C 的公切线方程为4350x y -+=.故选：D7．已知数列{}n a 满足1112n n n n n a a a a ++--=，且21a =-，若816k a a =，则正整数k 为（）A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】B 【分析】确定111112n n n a a -+-=，112a =-，利用累加法确定22n n a -=-，代入计算得到答案.【详解】1112n n n n n a a a a ++--=，故111112n n n a a -+-=，21a =-，故112a =-，212112111111111111112222n n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+++-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故22n n a -=-，816k a a =，即261021622k --=-⨯=-，故210k -=，解得12k =.故选：B8．已知F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，若MN 等于PF 的最小值的3倍，则C 的离心率为（）A.13B.12C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得minPF a c =-，22b MN a=，再根据已知列式，结合椭圆a b c 、、的关系，求出离心率即可.【详解】F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，由椭圆的性质，可得minPFa c =-.过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，22b MN a∴=.MN 等于PF 的最小值的3倍，()223a b ac =∴-.椭圆中222a c b -=，()222233a c a ac ∴-=-，即22230c ac a -+=，则22222230c ac a a a a -+=.ce a=，22310e e ∴-+=，解得12e =或1e =（舍）.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线1C ：224348x y +=，2C ：2213yx -=，则（）A.1C 的长轴长为4B.2C 的渐近线方程为y =C.1C 与2C 的焦点坐标相同D.1C 与2C 的离心率互为倒数【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.【详解】曲线1C ：224348x y +=整理得2211216x y+=，则曲线1C 是焦点在y 轴上的椭圆，其中221116,12a b ==，所以2221114c a b =-=，离心率为1112142c e a ===故曲线1C 的长轴长128a =，故A 不正确；曲线2C ：2213y x -=是焦点在x 轴上的双曲线，其中22221,3a b ==，所以2222224c a b =+=，离心率为222221c e a ===，故与曲线1C 的焦点位置不同，故C 不正确；2C ：2213y x -=的渐近线方程为y =，故B 正确；又121212e e ⋅=⨯=，所以1C 与2C 的离心率互为倒数，故D 正确.故选：BD.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23240,0S S ><，则下列结论错误的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，13n =D ．1312a a >【答案】ABC【分析】由已知23240,0S S ><，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：120a >，12130a a +<，进而判断选项即可.【详解】因为{}n a 是等差数列，且23240,0S S ><，所以()12312232302a a a +=>，()()()1241241213242412022a a a a a a ++==+<，即12130a a +<，所以120a >，130a <，且1312a a >，所以B 错误，D 正确；因为13120d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列，所以A 错误；所以当12n =时，n S 取得最大值，所以C 错误.故选：ABC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，则下列结论正确的是（）A.点B 到直线11A CB.直线CF 到平面1AEC 的距离为3C.直线11A C 与平面1AEC 所成角的余弦值为6D.直线11A C 与直线1B F 所成角的余弦值为10【答案】ABD 【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，(2B ,2,0)，1(2A ,0,2)，1(0C ,2,2)，1(0A B = ,2,2)-，11(2A C =-,2,0)，则点B 到直线11A C 的距离为：21||d A B==A正确；(2A,0,0)，(2F,1,0)，(2E,1,2)，(0C,2,0)，(2CF=,1-,0)，(0AE=,1,2)，1(2AC=-,2,2)，(0AF=,1,0)，设平面1AEC的法向量(n x= ,y,)z，则1202220n AE y zn AC x y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x=，得(1n=,2,1)-，由于,E F分别为11,A B AB的中点，所以1//EF CC且1EF CC=，因此四边形1FCC E为平行四边形，故1//EC FC,又⊄FC平面1AEC,1EC⊂平面1AEC,所以//CF平面1AEC，∴直线CF到平面1AEC的距离为||||3AF ndn⋅===，故B正确；设直线11A C与平面1AEC所成角为θ，则1111||sin||||A C nA C nθ⋅==⋅C错误；1(2B,2,2)，1(0B F=,1-,2)-，设直线11A C与直线1B F所成角为θ，则111111||cos||||AC B FAC B Fθ⋅==⋅，故D正确．故选：ABD．12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有n a个球，从上往下n层球的总数为n S，则下列结论正确的是（）A.420S= B.1n n na a+-=C.()112n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1232023111120231012a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB 正误；利用累加法可求得C 正确；采用裂项相消法可求得D 正确.【详解】对于A ，123441361020S a a a a =+++=+++=，A 正确；对于B ，由每层球数变化规律可知：()11n n a a n n *+-=+∈N ，B 错误；对于C ，当2n ≥时，()()()()()11221111212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-+⋅⋅⋅++=；当1n =时，11a =满足()12n n n a +=，()()12n n n a n *+∴=∈N ；()()1122n n n n n S S a n -+∴-==≥，C 正确；对于D ，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，123202311111111112121223202320242024a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+=⨯-++⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭20231012=，D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++ ，则xyz =______．【答案】1-【解析】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+- ，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则n a =________．【答案】12n --【解析】【分析】先令1n =得到11a =-，再令2n ≥得到1121n n S a --=+，从而得到()122nn a n a -=≥为常数，得到数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，从而直接求得通项公式.【详解】令1n =，得11121a S a ==+，所以11a =-；令2n ≥，则1121n n S a --=+，两式相减得，1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，所以()122n n a a n -=≥，因为110a =-≠，所以0n a ≠，所以()122nn a n a -=≥为常数，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，所以11122n n n a --=-⨯=-.故答案为：12n --15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.16.如图，我们把由半椭圆()2210169y x x +=≤和半椭圆()22102516x y x +=>合成的曲线称作“果圆”．1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，则123F F F 的周长为______，直线y t =与“果圆”交于A ，B 两点，且AB 中点为M ，点M 的轨迹方程为______．【答案】①.8+②.()221016y x x +=>【解析】【分析】根据各半椭圆方程可得1F ，2F ，3F 的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点A ，B 的坐标，利用中点公式表示M ，消参即可得到点M ，得轨迹方程.【详解】由1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，可得(1F，(20,F ，()33,0F ，所以12F F =，134F F =，234F F =，故所求周长为448++=+；设(),M x y ，联立直线y t =与()2210169y xx +=≤，得x =-，即点A t ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线y t =与()22102516x yx +=>，得x =即点B t ⎫⎪⎭，且,A B 不重合，即4t ≠，又M 为AB 中点，所以1644242x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩，即x =0x >，整理可得22116yx +=，0x >，故答案为：8+，()221016y x x +=>.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知ABC D 的顶点坐标为(1,1)A -，(2,0)B ，(3,4)C .(1)求AB 边上的高CD 的长.(2)求ABC D 的面积.【答案】(1)10(2)13 2【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线的距离即可求解；（2）求出AB的长，用面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线AB的方程为：021012y x--=---，即320x y+-=.故点C到直线AB的距离即为AB边上的高CD的长，所以||CD=（2）因为||AB==所以ABCD的面积为：111313||||22102ABCS AB CD==创=.18.（12分）已知数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，数列{}n b的前n项和为n S，且111a b==，221a b=+，43a S=．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令()*,21,2nnna n kc kb n k=-⎧=∈⎨=⎩N，求数列{}n c的前12项和12T．【答案】（1）21na n=-，12nnb-=（2）2796【解析】【分析】（1）由数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意写出数列{}n c通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为()0q q >，由题意可得，()11211131a d b q a d b q q +=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩，即23d q q q d =⎧⎨+=⎩，所以220q q -=，因为0q >，所以2d q ==，所以()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=．【小问2详解】由（1）可得*121,21,2,2n n n n k c k n k--=-⎧=∈⎨=⎩N ，所以{}n c 的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．所以，()()1213112412T c c c c c c =+++++++ ()()13112412a a a b b b =+++++++ ()()62146616146627302796214⨯-⨯-=⨯+⨯+=+=-．19.（12分）已知直线20x y --=经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于A ，B两点．（1）求C 的方程；（2）求圆心在x 轴上，且过A ，B 两点的圆的方程．【答案】（1）28y x =；（2）()221096x y -+=.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.（2）根据给定条件，求出线段AB 的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.【小问1详解】依题意，抛物线C 的焦点(,0)2p F 在直线20x y --=上，则202p-=，解得4p =，所以C 的方程为28y x =．【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的准线方程为2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，由2208x y y x --=⎧⎨=⎩消去y 得21240x x -+=，则1212x x +=，有12062x x x +==，0024y x =-=，即()6,4M ，因此线段AB 的中垂线方程为()46y x -=--，即10y x =-+，令0y =，得10x =，设所求圆的圆心为E ，则()10,0E ，又AB 过C 的焦点F ，则有12||||2216AB AF BF x x =+=+++=，设所求圆的半径为r ，则222222844962AB r ME ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭，故所求圆的方程为()221096x y -+=．20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-．（1）证明{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，2n n a =（2）332nn +-【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项112n n n d +=，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以，当2n ≥时，12n n a a -=，又1122a a =-，解得12a =，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =【小问2详解】因为2nn a =，所以1211nn n n a a d n n +-==++，112n nn d +=，21211111123(1)222n n n T n d d d =+++=⨯+⨯+++⨯ ，231111123(1)2222n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，所以231111111(1)22222n n n T n +=++++-+⨯ 211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---13322n n ++=-，所以332n nn T +=-21.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB上．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）当2BE EP =时，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC BC ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1详解】因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC AC ⊥．因为2AB =，1AD CD ==，所以AC BC ==所以222AC BC AB +=，所以ACBC ⊥．又因为PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ．又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．【小问2详解】解法一：以点C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，)B，()A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()(),2,,2x y z x y z =---，即3x =，0y =，43z =，所以4,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以()CA =，4,0,33CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以04033x z =+=⎪⎩，取x =0y =，1z =-．所以平面ACE的一个法向量为()1n =-．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC的一个法向量为)CB =．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ==．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为223．解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0B -，()1,1,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()1,1,2,,2x y z x y z -+=---，即13x =，13y =-，43z =，所以114,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()1,1,0CA =，114,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以01140333x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =，则=3y -，32z =-．所以，平面ACE 的一个法向量为33,3,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =-．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ===．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为322.（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （1210F F<），上顶点为A ，12AF AF ⊥，且1F 到直线l ：50x -+=的距离为3．（1）求C 的方程；（2）与l 平行的一组直线与C 相交时，证明：这些直线被C 截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P 为C 上的动点，M ，N 为l 上的动点，且MN =，求PMN ∆面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）[]3,7．【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【小问1详解】设()1 , 0F c -，()2 , 0F c，由题意得22235b c a b c c =⎧==+⎪⎪<⎩，解得1b c a ==⎧⎪⎨=⎪⎩，所以C 的方程为2212x y +=．【小问2详解】证明：设这组平行线的方程为0x m +=，与2212x y +=联立消去x ，得22420y m -+-=，则()()221620m ∆=-->，得22m -<<．设直线0x m +=被C 截得的线段的中点为(),B x y ，则1224y y y m +==，其中1y ，2y是方程22420y m -+-=的两个实数根．所以2mxm =-=-，消去m，得0x +=，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线0x =上．【小问3详解】由（2）知，l 与C 相离，当直线0x m +=与C相切时，()()221620m ∆=--=，解得2m =-或2m =．当2m =-时，直线与l的距离为1733d ==，此时1723PMN S =⨯=△，当2m =时，直线与l的距离为2d ==，此时132PMN S =⨯=△，。

模拟检测答卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至2页，第n卷2至4页。

满分150分，考试时间100分钟。

第I卷（选择题，共50 分）
、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选择支, 只有一个选择支正确，请把正确选择支号填在下面的答题表内
16.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
17.（本小题满分13分）
题次12345678910总分答案
选择题答题表
.无选，错选，多选均得0分.）15.
名
内
18.（本小题满分13分）
19.（本小题满分13分）
20.（本小题满分13分）
21.（本小题满分14分）
22. （本小题满分14 分）。

2022-2023学年深圳市高二上期末考试数学模拟试卷一．选择题（共12小题）1．（2019秋•深圳期末）若直线过点（1，3），，则此直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（2012•江西）若函数f（x）＝，则f（f（10））＝（）A．lg101B．2C．1D．03．（2019秋•深圳期末）椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝（）A．4B．C．2D．4．（2020秋•光明区期末）已知{a n}为各项均是正数的等比数列，a3a8+a4a7＝16，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（）A．log2121B．10C．4+log2121D．15 5．（2020秋•光明区期末）已知p：∀x∈[1，2]，，q：a2+2a﹣3≥0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（2019秋•宝安区期末）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是（）A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交7．（2020•民乐县校级模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则＝（）A．2017B．2018C．2019D．2020 8．（2020秋•宝安区期末）已知椭圆的左右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9．（2006•江西）P是双曲线﹣＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6B．7C．8D．910．（2020秋•南山区校级期末）已知函数f（x）＝x2+x sin x，x∈（﹣，），则下列式子成立的是（）A．B．C．D．11．（2019•蚌埠三模）已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（1，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）12．（2020秋•龙岗区期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂（即1520），其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A．32B．33C．34D．35二．填空题（共4小题）13．（2019秋•深圳期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．14．（2015•全国）曲线y＝xe x在点（0，0）处的切线方程为．15．（2013•东城区模拟）如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为．16．（2020秋•光明区期末）若实数x，y满足，则z＝x+3y的最小值为．三．解答题（共6小题）17．（2020秋•光明区期末）已知p：x2﹣8x+7≤0，q：2m≤x≤m+3．（Ⅰ）是否存在m，使得p是q的充要条件？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围．①p是q的必要条件；②q是p的充分条件；③￢p是￢q的充分条件．18．（2020秋•南山区校级期末）已知函数f（x）＝x3+﹣2x．（1）求函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．19．（2020秋•龙岗区期末）在①S3＝12，②2a2﹣a1＝6，③a8＝16，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，若____，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2＝a1，b4＝a4，求数列{a n+b n}的前n 项和T n．20．（2016•肇庆三模）如图，ABCD是平行四边形，已知AB＝2BC＝4，BD＝2，BE＝CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE＝CE＝，求平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值．21．（2020秋•宝安区期末）已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（1，1）作圆M的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB被曲线C截得的弦的中点坐标．22．（2019秋•深圳期末）某企业2018年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元，2019年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2019年为第一年）的利润为万元（n为正整数）．（1）设从2019年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（须扣除技术改造资金），求A n、B n的表达式；（2）依上述预测，从2019年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？2022-2023学年深圳市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2019秋•深圳期末）若直线过点（1，3），，则此直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．【分析】先求出直线的斜率k＝＝，由此能求出此直线的倾斜角．【解答】解：直线过点（1，3），，则直线的斜率k＝＝，∴此直线的倾斜角是．故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的斜率公式、斜率和倾斜角的关系等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是基础题．2．（2012•江西）若函数f（x）＝，则f（f（10））＝（）A．lg101B．2C．1D．0【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值．【解答】解：因为函数f（x）＝，所以f（10）＝lg10＝1；f（f（10）＝f（1）＝2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的值的求法，考查计算能力．3．（2019秋•深圳期末）椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝（）A．4B．C．2D．【考点】椭圆的性质．【专题】计算题；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，可得：，解得m＝4．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4．（2020秋•光明区期末）已知{a n}为各项均是正数的等比数列，a3a8+a4a7＝16，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（）A．log2121B．10C．4+log2121D．15【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】先用等比数列{a n}各项均为正数，结合等比数列的性质，可得a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＞0，从而a1a2a3…a9a10＝（a5a6）5，然后用对数的运算性质进行化简求值，可得正确选项．【解答】解：∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＞0．∵a3a8+a4a7＝16，∴a3a8＝a4a7＝8．∴a5a6＝8．根据对数的运算性质，得log2a1+log2a2+…+log2a10＝log2（a1a2a3…a9a10）＝log2（a5a6）5＝log2（8）5＝15．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题和易错题．5．（2020秋•光明区期末）已知p：∀x∈[1，2]，，q：a2+2a﹣3≥0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．【分析】根据不等式的性质求出p和q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若：∀x∈[1，2]，，则a≥1，即p：a≥1，由a2+2a﹣3≥0得a≥1或a≤﹣3，即q：a≥1或a≤﹣3，则p是q的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质求出等价条件是解题的关键，是基础题．6．（2019秋•宝安区期末）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是（）A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取BD中点E，连结AE、CE，由已知条件推导出BD⊥平面AEC．从而得到BD ⊥AC．【解答】解：取BD中点E，连结AE、CE．∵AB＝AD＝BC＝CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥平面AEC．又AC⊂面AEC，∴BD⊥AC．故选：C．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．（2020•民乐县校级模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则＝（）A．2017B．2018C．2019D．2020【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求a1，d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：因为a1+a4＝4，a2+a5＝8，所以，解可得，d＝2，a1＝﹣1，所以，所以＝﹣1+2019＝2018．故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．8．（2020秋•宝安区期末）已知椭圆的左右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的性质．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：设点P（x，y），由|PF1|＝2|PF2|，则由椭圆的定义可得e（x+）＝2•e（﹣x），求得x＝，根据椭圆的范围可知：﹣a≤≤a，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：由椭圆的焦点在x轴，设点P（x，y），∵|PF1|＝2|PF2|，则由椭圆的定义可得e（x+）＝2•e（﹣x），∴x＝，由题意可得：﹣a≤≤a，∴≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[，1），故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点弦公式，椭圆的范围，考查计算能力，属于中档题．9．（2006•江西）P是双曲线﹣＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】双曲线的性质；圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题设通过双曲线的定义推出|PF1|﹣|PF2|＝6，利用|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，推出|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|，求出最大值．【解答】解：双曲线﹣＝1中，如图：∵a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|＝6+1+2＝9．故选：D．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．10．（2020秋•南山区校级期末）已知函数f（x）＝x2+x sin x，x∈（﹣，），则下列式子成立的是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇偶性的定义得到函数f（x）为偶函数，求导数得到函数f（x）在上为增函数，则函数在上为减函数．结合单调性和奇偶性即可判断出答案．【解答】解：函数f（x）＝x2+x sin x，x∈（﹣，），定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）sin（﹣x）＝x2+x sin x＝f（x）．∴函数f（x）为偶函数，∴f（﹣1）＝f（1）．又当x∈时，f′（x）＝2x+sin x+x•cos x＞0．∴f（x）在上为增函数，则f（x）在上为减函数．∵，∴，则．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性，考查了函数的单调性与导函数符号之间的关系，是基础题．11．（2019•蚌埠三模）已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（1，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（1，0）代入得到2x02+2ax0﹣a＝0，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案．【解答】解：f（x）＝x+．f′（x）＝1﹣，设切点坐标为（x0，x0+），则切线方程为：y﹣x0﹣＝（）（x﹣x0），又切线过点（1，0），可得﹣x0﹣＝（）（1﹣x0），整理得2x02+2ax0﹣a＝0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a2﹣8（﹣a）＞0，解得a＞0或a＜﹣2，故选：D．【点评】本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，考查转化思想，属于中档题．12．（2020秋•龙岗区期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂（即1520），其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A．32B．33C．34D．35【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由题设建立实际问题与数列之间的对应关系，根据其呈现的特点，即可求出结果．【解答】解：根据题意可知，这30个人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90，100]，则有n+（n+1）+（n+2）+…+（n+28）+m＝29n+406+m＝1520，即有：29n+m＝1114，则m＝1114﹣29n，∴90≤1114﹣29n≤100，解得：34.966≤n≤35.31，因为年龄为整数，所以n＝35，故选：D．【点评】本题主要考查数列的实际应用，合理建立实际问题与数列之间的联系是解题的关键，本题属于基础题．二．填空题（共4小题）13．（2019秋•深圳期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；作图题；空间角．【分析】先建立空间直角坐标系，再列出点的坐标，再结合向量法求异面直线所成的角得：设，的夹角为θ，则cosθ＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，得解．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则有：D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，），B1（1，1，），所以＝（1，1，），＝（（﹣1，0，），设，的夹角为θ，则cosθ＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故答案为：．【点评】本题考查了用向量法求异面直线所成的角，属中档题．14．（2015•全国）曲线y＝xe x在点（0，0）处的切线方程为y＝x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】利用导数求出在x＝1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．【解答】解：依题解：依题意得y′＝e x+xe x，因此曲线y＝xe x在x＝0处的切线的斜率等于1，所以函数y＝xe x在点（0，0）处的切线方程为y＝x故答案为：y＝x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．（2013•东城区模拟）如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．【考点】直线和圆的方程的应用；双曲线的性质；直线与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B＝30°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c﹣c＝2a，即可得到离心率的值．【解答】解：连接AF1，则∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝30°∴|AF1|＝，|AF2|＝|F1F2|＝c，∴c﹣c＝2a，∴e＝＝1+故答案为1+【点评】本题主要考查双曲线的基本性质﹣﹣离心率的求法．考查基础知识的灵活应用．16．（2020秋•光明区期末）若实数x，y满足，则z＝x+3y的最小值为﹣15．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣3，﹣4），化目标函数z＝x+3y为y＝，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣15．故答案为：﹣15．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．三．解答题（共6小题）17．（2020秋•光明区期末）已知p：x2﹣8x+7≤0，q：2m≤x≤m+3．（Ⅰ）是否存在m，使得p是q的充要条件？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围．①p是q的必要条件；②q是p的充分条件；③￢p是￢q的充分条件．【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学抽象．【分析】（Ⅰ）求出不等式的等价条件，结合充要条件的定义建立方程进行求解即可．（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合的子集关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣8x+7≤0得1≤x≤7，即p：[1，7]，若p是q的充要条件，则，得，此时方程组无解，即不存在m，使得p是q的充要条件．（Ⅱ）q：[2m，m+3]，若①p是q的必要条件，则满足：[2m，m+3]⊆[1，7]，当2m＞m+3，即m＞3时，成立，当m≤3时，则，得，此时≤m≤3，综上m≥．若②q是p的充分条件，则满足：[2m，m+3]⊆[1，7]，当2m＞m+3，即m＞3时，成立，当m≤3时，则，得，此时≤m≤3，综上m≥．③若￢p是￢q的充分条件，则q是p的充分条件，即满足：[2m，m+3]⊆[1，7]，当2m＞m+3，即m＞3时，成立，当m≤3时，则，得，此时≤m≤3，综上m≥．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，结合定义转化为不等式关系是解决本题的关键，是中档题．18．（2020秋•南山区校级期末）已知函数f（x）＝x3+﹣2x．（1）求函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．【解答】解：（1）∵，∴f'（x）＝3x2+x﹣2，∴，f'（1）＝2，∴函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程为：，即4x﹣2y﹣5＝0．（2）令f'（x）＝3x2+x﹣2＝0，得x1＝﹣1与，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：x（﹣2，﹣1）﹣1f'（x）+0﹣0+f（x）↗↘↗所以，x1＝﹣1与是函数在（﹣2，1）上的两个极值点，而f（﹣2）＝﹣2，，，，∴函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值是，最小值是f（﹣2）＝﹣2．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．19．（2020秋•龙岗区期末）在①S3＝12，②2a2﹣a1＝6，③a8＝16，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，若____，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2＝a1，b4＝a4，求数列{a n+b n}的前n 项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）设{a n}是公差d不为0的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式、结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{b n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式解方程可得首项合计金额公比，进而得到b n，再由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差d不为0的等差数列，选①S3＝12，可得3a1+3d＝12，由a1、a2、a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即为a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解得a1＝d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；选②2a2﹣a1＝6，可得2（a1+d）﹣a1＝6，又a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解得a1＝d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；选③a8＝16，可得a1+7d＝16，又a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解得a1＝d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）设等比数列{b n}的公比为q（q＞0），b2＝a1＝2，b4＝a4＝8，可得q2＝＝4，解得q＝2，b1＝1，则b n＝q n﹣1＝2n﹣1，所以数列{a n+b n}的前n项和T n＝（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2n﹣1）＝（2+2n）n+＝n2+n+2n﹣1．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（2016•肇庆三模）如图，ABCD是平行四边形，已知AB＝2BC＝4，BD＝2，BE＝CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE＝CE＝，求平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）根据面面垂直的性质定理即可证明BD⊥CE；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB＝2BC＝4，BD＝2，∴AB＝4，BC＝2，则BD2+AD2＝AB2，则△ADB是直角三角形，则AD⊥BD，则BC⊥BD，∵BE＝CE，∴取BC的中点0，则EO⊥BC，∵平面BCE⊥平面ABCD．∴EO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴EO⊥BD，∵BC∩E＝O，∴BD⊥平面BCE，则BD⊥CE；（Ⅱ）解：若BE＝CE＝，则EO＝＝＝3，建立以O为坐标原点，OP，OB，OE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则E（0，0，3），D（2，1，0），A（2，3，0），则＝（0，2，0），＝（﹣2，﹣1，3），设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），则•＝2y＝0，•＝﹣2x﹣y+3z＝0，则y＝0，﹣2x+3z＝0，令x＝1，则z＝，即＝（1，0，），平面BCE的法向量＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝＝＝，即平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值．【点评】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．21．（2020秋•宝安区期末）已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（1，1）作圆M的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB被曲线C截得的弦的中点坐标．【考点】轨迹方程；圆的切线方程．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知得圆M的圆心和半径r1，圆N的圆心N和半径r2，设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R，结合已知条件可得，|PM|+|PN|＝（R+r1）+（r2﹣R）＝r1+r2＝4＞|MN|，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得a，c的值，进一步求出b的值，则椭圆方程可求；（2）设出|PA|＝|PB|，以P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程与圆M方程公共弦所在直线为l的方程为y＝﹣2x﹣1，联立曲线C与直线l，可得19x2+16x﹣8＝0，Δ＞0，设交点E（x1，y1），F（x2，y2），求出x1+x2，则中点的横坐标为，代入直线l的方程得中点的纵坐标，则答案可求．【解答】解：（1）由已知得圆M的圆心为M（﹣1，0），半径r1＝1，圆N的圆心为N（1，0），半径r2＝3．设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并且与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝（R+r1）+（r2﹣R）＝r1+r2＝4＞|MN|，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得2a＝4，∴a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆方程为（x≠﹣2）；（2）|PA|＝|PB|＝2，以P为圆心，|PA|为半径的圆P：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4与圆M：（x+1）2+y2＝1公共弦所在直线为l的方程为y＝﹣2x﹣1，联立曲线C：（x≠﹣2）与直线l：y＝﹣2x﹣1，可得19x2+16x﹣8＝0，Δ＞0，设交点E（x1，y1），F（x2，y2），则，∴中点的横坐标为，代入直线l：y＝﹣2x﹣1，得中点的纵坐标为，∴所求中点坐标为（，）．【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用一元二次方程根与系数的关系求解，这样使解题过程简化，是中档题．22．（2019秋•深圳期末）某企业2018年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元，2019年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2019年为第一年）的利润为万元（n为正整数）．（1）设从2019年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（须扣除技术改造资金），求A n、B n的表达式；（2）依上述预测，从2019年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理．【分析】（1）利用等差数列的性质能求出A n的表达式；利用等比数列的性质能求出B n 的表达式；（2）＝，由数列在（0，+∞）上为递增数列，推导出至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．【解答】解：（1）某企业2018年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元，2019年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2019年为第一年）的利润为万元（n为正整数）．依题设，，．（2）＝因为数列在（0，+∞）上为递增数列当1≤n≤3时，；当n≥4时，∴仅当n≥4时，B n＞A n．∴至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．【点评】本题考查数列表达式的求法，考查数列知识在生产生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．。

上学期高二数学期末模拟试题01一、填空题（每题5分，共70分）1、已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0，则命题P 的否定是2、过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为3、已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .4、抛物线24x y =的焦点坐标为5、过点)2,1(作圆01422=--+x y x 的切线方程为6、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，实轴长4，则双曲线的焦距等于7、已知集合A 为数集，则“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的 条件 8、已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是 。

9、两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是 10、在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于11、已知直线的倾斜角的范围为[3π，32π]，则直线斜率的范围为12、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是13、以下说法正确的有．．．．（1）命题“若2320x x -+=,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”.（2）“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. （3）若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题.（4）若命题p :x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥.14、已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是________ 二、解答题（共90分）15、（14分）已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝x c 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝2x －2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． 16、（14分）如图，在正三棱柱ABC ―A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ．(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)如果点E 为B 1C 1的中点，求证：A 1E ∥平面ADC 1． 17、（14分）过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．18、（16分）过抛物线y 2=4x 的焦点F ,引倾斜角为3π的直线,交抛物线于A 、B 两点.（1）求AB 的中点M 到抛物线准线的距离 （2）如果O 是坐标原点,求△AOB 的面积.19. （16分）椭圆22221(0)x y a b a y+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线//AB OM（1）、求椭圆的离心率e ；（2）、设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，1F 是左焦点，求12FQF ∠的取值范围20、（16分）已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；(Ⅱ)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；(Ⅲ)设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.第20题答案1、012,2≤+-∈∃x x R x 2、072=+-y x 3、14π 4、（0，161）5、032=+-y x6、7、必要不充分8、（1）（4）9、1 10、 11、33-≤≥k k 或 12、55 13、（1）（2）（4） 14、455 15、16、略17、解：设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4(5,0)k-，交y 轴于点(0,54)k -， 14165545,4025102S k k k k=⨯-⨯-=--= 得22530160k k -+=，或22550160k k -+= 解得2,5k =或 85k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。

2023-2024学年广东省深圳市高中高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．若全集{}{}{}3,2,1,2,4,5,1,2,5,2,1,2U A B =--==-，则集合{}3,4-=（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U A B ðC ．()U A B⋂ðD ．()U A B ⋃ð【正确答案】B【分析】根据集合的基本运算即可求解.【详解】由题意得{}2,1,2,5A B ⋃=-，所以(){}3,4U A B ⋃=-ð.故选：B.2．设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部为（）A ．2i-B ．2iC ．2-D ．2【正确答案】D【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而得z ，从而求得答案.【详解】由()12i 34i z ⋅+=-+可得34i 55(12i)12i 12i 12i 5z -+-====-++，故12i z =+，则z 的虚部为2，故选：D3．在ABC 中，点D 在边AB 上，3AD DB =.记,CA a CD b == ，则CB =（）A ．4133a b+ B ．1433a b-+C ．4133a b-D ．1343a b+【正确答案】B【分析】根据向量的共线定理表示即可求解.【详解】因为点D 在边AB 上，3AD DB =，所以13BD DA =，即1()3CD CB CA CD -=- ，所以1433CB a b =-+ .故选:B.4．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A ．100πB ．600πC ．200πD ．300π【正确答案】A【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为20π5=100π⨯．故选：A.5．若数列{}n a 是等比数列，且()14,a a a = ，3π,3b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b ∥，则()6sin 2023πa +=（）A ．22B ．22C ．32D ．32【正确答案】D【分析】根据向量的平行可得1340π3a a a -=，结合等比数列通项公式求得6a ，利用三角函数诱导公式即可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 是等比数列，且()14,a a a =，3π,3b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b ∥ ，可得1340π3a a a -=，即25110π3a a q -=，所以516ππ,33a q a ∴==，故()()666π3sin 2023πsin πs 32s n in i a a a -+=+=-=-=，故选：D.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若79S S =，612S =，则10S =（）A ．12B ．10C ．8D ．6【正确答案】A【分析】根据题意求出数列的首项和公差，即可求得答案.【详解】由已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，79S S =，设数列公差为d ,可得8912150a a a d +=+=，又612S =,即161512a d +=，解得123,5a d ==-，故101092103()1225S ⨯=⨯+⨯-=，故选：A7．设1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【正确答案】A【分析】由题意，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，先由双曲线的定义2m n a -=，再利用余弦定理2224cos 2m n c mnθ+-=，由题意212PF PF a ⋅=- 可得222242m n c a +=-，最后再用,m a c n c a ≥+≥-可得c 、a 的不等关系，可得离心率.【详解】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，根据双曲线的定义知：2m n a -=，在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n cmnθ+-=，又因为212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=-，即222242m n c a +=-，又因为,m a c n c a ≥+≥-，所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即22e ≥，e ∴≥故选.A8．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为8【正确答案】C【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B;根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A;继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.二、多选题9．下列命题中是真命题的是（）A ．命题p ：事件A 与事件B 互为对立事件；命题q ：事件A 与事件B 互斥．则p 是q 的充分不必要条件B ．若事件,,A BC 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =C ．有一组样本数据12,,,n x x x 这组数据的平均数为x ，设21i i y x =+（1,2,3,,i n = ），则这组新样本数据1y ，2y ，…，n y 的平均数为2x D ．一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5【正确答案】AD【分析】根据命题间的逻辑推理关系可判断A ；举反例可判断B ；根据数据的平均数的计算公式可求得新数据的平均数，判断C;根据百分位数的含义求出数据的85%分位数，判断D.【详解】对于A,由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故事件A 与事件B 互为对立事件，一定可以推出事件A 与事件B 互斥，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件，A 正确；对于B ，不妨举例比如从1,2,3,4中随机选出一个数字，事件A ：取出的数字为1或2，事件B ：取出的数字为1或3，事件C ：取出的数字为1或4，则事件AB AC BC ABC ===为取出数字1，所以1()()()2P A P B P C ===，()()()()14P AB P AC P BC P ABC ====，满足()(())P AB P P A B =，()()()()()()P AC P A P C P BC P B P C==，,即事件,,A B C 两两独立，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，B 错误；对于C,一组样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ,即12n x x x x n +++= ，设21i i y x =+（1,2,3,,i n = ），则这组新样本数据1y ,2y ，…,n y 的平均数为122()221n n nx n y x n nx x x ++==++++ ，C 错误；对于D,将数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1从小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，因为85%108.5⨯=，故这组数的85%分位数为第9个数5，D 正确，故选：AD10．已知曲线22:sin cos 1C x y θθ+=，(0,π)θ∈则（）A ．若π4θ=，曲线CB ．若ππ2θ<<，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线C ．若C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则ππ42θ<<D ．若C 表示两条直线，则π2θ=【正确答案】BD【分析】分类讨论确定方程表示的曲线后判断各选项。