2020-2021深圳龙城高级中学高二数学上期中试卷含答案

2020-2021深圳龙岗中学高三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或73．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．34．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）5．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372 B ．34 C ．32或372D ．34或3726．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7107．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km，一架飞机从城市D出发以360/km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（）A．120km B．606km C．605km D．3km8．已知正数x、y满足1x y+=，则141x y++的最小值为（）A．2B．92C．143D．59．在ABCV中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，S表示ABCV的面积，若cos cos sin,c B b C a A+=()22234S b a c=+-，则B∠=A．90︒B．60︒C．45︒D．30︒10．数列{}n a中，()1121nn na a n++-=-，则数列{}n a的前8项和等于（）A．32B．36C．38D．4011．若0,0x y>>，且211x y+=，227x y m m+>+恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(8,1)-B．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D．(1,8)-12．两个等差数列{}n a和{}n b，其前n项和分别为n S，n T，且723nnS nT n+=+，则220715a ab b+=+（）A．49B．378C．7914D．14924二、填空题13．已知数列{}n a中，11a=，且1113()n nn Na a*+=+∈，则10a=__________.（用数字作答）14．已知数列{}n a的前n项和为n S，且221nS n n n N*=++∈，,求na =.__________．15．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 16．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .20．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.三、解答题21．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？22．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 23．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ． 26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．38．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若（a﹣b）a2＜0，则a≠0，∴a﹣b＜0，即a＜b成立，若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，即“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y＝4x2，则其标准方程为x2＝y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝，则其焦点坐标为（0，）；故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．【分析】可先求出，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】解：，；∵+与垂直；∴；解得．故选：C．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，利用cos＝，即可得出．【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨OA＝1，则A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），E．＝（﹣1，0，1），＝．∴cos＝＝＝．∴BE与SA所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）【分析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，从而△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B ﹣x A）+2＝3+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B﹣x A）+2＝3+x B，由抛物线y2＝4x及圆（x﹣1）2+y2＝16可得交点的横坐标为3，∴x B∈（5，7），∴3+x B∈（8，10），故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ【分析】A中，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；B中，根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法，能判断α∥β；C中，举例说明α∥β不一定成立；D中，α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】解：对于A，m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；对于B，m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，能判断α∥β；因为m∥β，所以在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，所以m1∥α；又m，n是两条异面直线，所以直线m1与n是两条相交直线；又n∥α，所以α∥β；对于C，因为α内不共线的三点到β的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出，所以不能判断α∥β；对于D，因为α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能是平行或相交，所以不能判断α∥β．故选：B．【点评】本题考查了判断面面平行的应用问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力，是基础题．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】利用正弦定理求出2A＝B，再对结论进行化简，利用基本不等式求出即可．【解答】解：c﹣a＝2a cos B，sin C﹣sin A＝2sin A cos B，化简sin A cos B+cos A sin B﹣sin A＝2sin A cos B，得sin（B﹣A）＝sin（A），得2A＝B，或者B＝180°（舍弃），由＝＝＝＝＝，①由A+B+C＝3A+C＝π，A∈（0，），所以①≥2＝2，当且仅当A＝，取等号，故选：C．【点评】题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．8．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y＝﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c＝2a．∴故选：B．【点评】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为【分析】利用双曲线方程求出渐近线方程，离心率，焦点坐标，结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线的方程为：，可知a＝3，b＝，c＝4，所以双曲线的焦点坐标（±4，0），所以A不正确；渐近线方程：，所以B正确；离心率为：e＝，所以C正确；焦点到渐近线的距离为：＝，所以D不正确；故选：BC．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【分析】根据图象可知，求出周期，进而得到ω的值，然后利用最高点求出φ的值，然后根据解析式确定选项．【解答】解：由题意得，所以T＝π，故ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将代入得，所以，结合，可知k＝0时，为所求，故f（x）＝＝．又因为f（）＝sinπ＝0，故（）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】本题考查三角函数的据图求式问题，以及正余弦型三角函数图象与性质，属于中档题．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【分析】由平面QEF也就是平面A1B1CD，可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】解：对于A，∵平面QEF也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面A1B1CD的距离是定值，∴点P到平面QEF的距离为定值，故A正确；对于B，∵Q是动点，E，F也是动点，推不出定值的结论，∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值，故B错误；对于C，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵点P到平面QEF的距离，∴P到平面QEF的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值，故C正确；对于D，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP【分析】设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x，通过韦达定理，判断A；求出直线AC的方程，直线BD的方程，推出Q满足的方程，判断B；求出|PC|判断C；通过P A＝PB，但QA≠QB，判断D．【解答】解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x得：y2﹣2my﹣4＝0．则y1y2＝﹣4．故A正确；由题得A（2，2），B（2，﹣2），直线AC的方程为，直线BD的方程为，消去y得，将y1y2＝﹣4代入上式得x＝﹣2，故点Q在直线x＝﹣2上，故B正确；计算P A＝2，OP＝2，可知选项C错误；因为P A＝PB，但QA≠QB，所以D错误．故选：AB．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝﹣．【分析】由题意利用诱导公式求得cos（15°﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（30°﹣2α）的值．【解答】解：∵＝cos（15°﹣α），则cos（30°﹣2α）＝2cos2（15°﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝6．【分析】由已知可得数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a1＝2，a n+1＝2a n，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，＝126，故k＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于基础试题．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为8π．【分析】利用体积公式推出AB•BC＝1，再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接球半径R的最小值，代入求出即可．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的体积为，且P A＝2，得到V＝P A•BA•BC sin＝，∴AB•BC＝1，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，则由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ＝AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC＝3，当且仅当AB＝BC＝1成立，故AC的最小值为，所以2r≥＝2，r的最小值为1，球的半径R＝的最小值为R＝＝．则球O的表面积的最小值是4πR2＝8π．故答案为：8π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是2；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为2．【分析】由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由F1Q⊥F2Q可得＝0可得Q 的纵坐标，进而求出△QF1F2的面积．【解答】解：由题意可得c＝2，2a＝2即a＝1，所以双曲线的离心率e＝＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，所以双曲线的方程为：y2﹣＝1，所以渐近线的方程为：y＝，设Q（﹣y，y）为一条渐近线的点，由F1Q⊥F2Q可得＝0，即（﹣y，y﹣2）（﹣y，y+2）＝0，可得3y2+y2﹣4＝0，所以|y|＝1，所以S＝|F1F2|•|y|＝•4•＝2，故答案分别为：2，2．【点评】本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．【分析】由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，，可得，可得B＝60°，选择①：利用正弦定理，余弦定理解得c，a的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择②：利用余弦定理可求得ac＝9，结合a+c＝6，可得a，c的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择③：利用余弦定理可求得a+c＝3，结合ac＝15，无解，可得△ABC不存在．【解答】解：由题设及正弦定理得，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝180°，可得，故．因为，故，因此B＝60°，选择①：sin A＝2sin C，即a＝2c，根据余弦定理有，＝，代入b＝3，解得c＝，a＝2，所以面积S＝＝，选择②：＝＝，代入a+c＝6，解得ac＝9，结合a+c＝6，所以a＝c＝3，所以面积S＝，选择③：＝＝，代入ac＝15，解得a+c＝3，结合ac＝15，无解，所以△ABC不存在．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论，进一步进行证明．【解答】解：（1）当n＝1时，有，整理得：，解得：a1＝2又由，可得，两式相减得，即有a n+1＝2a n．故数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．．（2）由（1）知q≠1，所以．令，为使{b n}为等差数列，则b n是关于n的一次函数，所以λ＝﹣2，此时b n＝﹣2n﹣2，当n＝1时，b1＝﹣2×1﹣2＝﹣4．当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝﹣2n﹣2﹣[﹣2（n﹣1）﹣2]＝﹣2，所以是以﹣4为首项，﹣2为公差的等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【分析】（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D，再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1，⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．【分析】（1）通过离心率以及椭圆经过的点，求出a，b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，利用韦达定理结合△OPQ的面积为，利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：（1）由得a＝2c，所以b2＝3c2，由点在椭圆上得解得c＝1，，所求椭圆方程为．（2）F（0，1），设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2＝，y1y2＝，△OPQ的面积为，所以求ABC的最大值即求|y2﹣y1|的最大值．（y1﹣y2）2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝，令m2+1＝t≥1，上式可表示成，y＝9t+6+，t≥1时，函数是增函数，所以t＝1时，y取得最小值12，|y2﹣y1|的最大值的最大值为：，△OPQ的面积为＝．S△OPQ＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值【分析】（1）取EC的中点H，连结FH，GH，证明FH∥BC，FH∥平面ABCD，HG∥CD，HG∥平面ABCD，然后证明平面FHG∥平面ABCD，推出FG∥平面ABCD．（2）在△P AD中，求出P A＝2，说明P A⊥AD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE与平面ADE所成角的余弦值即可．【解答】（1）证明：取EC的中点H，连结FH，GH，∵F为BE中点，∴FH∥BC，∵FH⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FH∥平面ABCD，∵G为PD中点，EP∥CD，∴HG∥CD，∵HG⊄平面ABCD，∴HG∥平面ABCD，∵FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABCD，∵FG⊂平面FHG∴FG∥平面ABCD．（2）解：在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD•cos∠PDA＝，∴P A＝2，∴P A2+AD2＝PD2，∴P A⊥AD又∵平面P AD⊥平面ABCD平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴P A⊥平面ABCD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，A为原点建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（0，﹣2，0），C（2，﹣2，0），D（4，0，0），P（0，0，2），设，∴，∴x＝﹣1，y＝﹣1，z＝2，∴点E的坐标为（﹣1，﹣1，2），设平面ADE的一个法向量：＝（（x，y，z）），，∴，∴，设平面BCE的一个法向量，，∴，∴，设平面BCE与平面ADE所成角为θ∴，∴平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段ON的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2＝2px经过点M（2，2），得22＝4p，故p＝1，c的方程为y2＝2x…（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为y＝，则′＝，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2＝（x﹣2），令y＝0得x＝﹣2，所以点N的坐标为（﹣2，0），故线段ON的长为2 …（5分）（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x＝﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0由l2：x＝my+b，令x＝﹣2，得y＝﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b＝0则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2b…（7分）直线MA的斜率为＝＝，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+＝2×＝1+，即＝1+＝1+，…（10分）整理得：，因为l2不经过点N，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2＝2m，即b＝2故l2的方程为x＝my+2，即l2恒过定点（2，0）…（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键．。

深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知平面向量，，且//，则＝A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A．B．C．D．7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l 交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．B．C．D．8．下列导数运算正确的是A．B．C．D．9．已知，则A．B．C．D．10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是A．B．C．D． 511．若，，则的最小值为A．B．C．D．f x xf x恒成立，则不等式的12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有()()解集为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____．14．已知实数x，y满足条件的最小值为_____．15．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．16．若数列的首项，且，则=_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤０，q：2﹣m ≤　x ≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝10，S6＝72，b n＝a n－30，(1)求通项公式a n；(2)求数列{b n}的前n项和T n的最小值．19．（本小题满分12分）中，内角的对边分别为，的面积为，若．（1）求角；（2）若，，求角．20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，抛物线y2= –x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．21．（本小题满分12分）设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.22．（本小题满分12分）已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A A B B C D B C D13．14．15．16．17．【答案】（1）；（2）【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤０得﹣2≤x≤４，即p：﹣2≤x≤４，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥４．（2）∵“ｐ∨q”为真命题，“ｐ∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．18．【答案】(1)；（2）.【解】(1)由a3＝10，S6＝72，得解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.19．【答案】(1) ; (2) 或【解】(1) 中，(2) ，，由得且B>A或或20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【证明与解答】（1）显然k≠０．联立，消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠０，x2≠０，由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以=–x1，=–x2，·=x1x2．因为k OA·k OB=·=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|=ON·|y1–y2|=×1×，所以，解得k=±．21．【解析】⑴，由已知，，故a= - 2，b= - 2.，当时，，当时，，故f(x)在单调递减，在单调递增；⑵，即，设，，所以g(x)在递增，在递减，所以max26()(2)1eg x g．当x≥０时，.22．【答案】（1）;（2）．【解】（1）解：∵点在椭圆上，∴，又∵离心率为，∴，∴，∴，解得，，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，设，，则，，∴，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，∴直线的方程为，，令得，∴直线经过定点，当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．。

保密★启用前深圳市普通高中2019级调研考试数学2020.9本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，粘贴好条形码．如果是选择性考试科目，还须将已确定（意向）选考的科目的标识用2B 铅笔涂黑．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，交回答题卡，保留好试卷．一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{04}=≤<A x x ，集合{11}=−<<B x x ，则⋂=A B （ ） A ．{14}−<<x x B ．{01}≤<x x C ．{10}−<<x x D ．{14}≤<x x 2．函数2()log (3)=−f x x 的定义域为（ ）A ．(,3]−∞B ．(,3)−∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞3．在ABC 中，若60∠=︒A ，45∠=︒B ，=BC ，则=AC （ ）A ．B ．CD ．24．某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（ ） A ．2600 B ．2580 C ．2540 D ．25005．甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则A ．甲得分的均值高于乙得分的均值B ．甲得分的均值低于乙得分的均值C ．甲得分的方差高于乙得分的方差D ．甲得分的方差低于乙得分的方差 6．已知0.430,43,0.4,log 3===a b c ，则（ ）A ．<<b c aB ．<<b a cC ．<<c a bD ．<<c b a 7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．3πB ．6πC ．7πD ．8π8．在ABC 中，2=AB ，3=AC ，4=BC ，若12=BD DC ，则⋅=AD BC （ ） A ．16− B ．16 C ．56− D ．56二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知直线:10++=l mx y ，()1,0A ，()3,1B ，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点()0,1B ．当0=m 时，直线l 的斜率不存在C ．当1=m 时，直线l 的倾斜角为34πD ．当2=m 时，直线l 与直线AB 垂直10．已知函数()sin 2=+f x x x ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．()f x 的图象关于直线512π=−x 对称 D ．()f x 的单调递增区间是5,()1212ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 111．emoji （中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji 表情已经风靡全球，大有“无emoji ，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线221+=x y 勾勒脸庞，用曲线12=+y ，12=y 近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（ ）A ．2111344⎛⎫=−−≤≤ ⎪⎝⎭y x x B ．111644+⎛⎫=−−≤≤ ⎪⎝⎭y xC ．411cos 2344π⎛⎫⎛⎫=−−≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭yx x D ．211cos 2344π⎛⎫⎛⎫=−+−≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x12．如图，已知四棱锥−P ABCD 所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1=PM 时，截面的面积为D ．当2=PM 时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(1,),(1,2)==−a m b ，若⊥a b ，则=m _____．14．已知某设备的使用年限x （年）与维护费用y （万元）之间有如下数据，且x 与y 之间具有线性相关关系，由下表的统计数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.70.35=+yx ，则数据=t _____．15．已知函数()f x 是奇函数，且满足()(3)=−f x f x ，若当30,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()=f x (2020)=f _____．16．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2=+y k x ，曲线2C 的方程为22(1)4++=x y ，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2cos 22sin cos2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭−的值．18．（12分）某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组：[50,100),[100,150),[150,200),[200,250)，[250,300),[300,350)，[350,400),[400,450),[450,500)，并绘制成如下的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）请估计这100户居民家庭月均用电量的中位数；（3）若从样本中月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，求恰有1户居民家庭的月均用电量在[400,500)的概率． 19．（12分）如图，在三棱柱111−ABC A B C 中，1⊥AA 底面111A B C ，1=AC AA ，90︒∠=BAC ，D 是BC 中点，求证：（1）1//A B 平面1AC D ；（2）平面11⊥A B C 平面1AC D ． 20．（12分） 已知函数()sin()(0,0,0)ωϕωϕπ=+>><<f x A x A 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）将函数()=yf x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()=y g x 的图象，求()g x 在,32ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域． 21．（12分）已知圆22:4+=O x y ，点P 在直线3=−y 上运动．（1）若点P 的横坐标为1−，且过点P 的直线l 被圆O截得的弦长为l 的方程； （2）若直线PA ，PB 与圆O 相切，且A ，B 为切点，证明：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标． 22．（12分）已知定义在R 上的函数2()23=−+f x x mx 在(0,)+∞上是增函数．()g x 为偶函数，且当(,0]∈−∞x 时，1()2+=x mg x ．（1）求()g x 在(0,)+∞上的解析式； （2）若函数()f x 与()g x 的值域相同，求实数m 的值；（3）令(),0,()(),0,<⎧=⎨>⎩f x x F x g x x 讨论关于x 的方程()3=+F x m 的实数根的个数．深圳市普通高中2019级调硏考试数学参考答案一、单项选择题：二、多项选择题： 三、填空题 13．12 14．3 15．1− 16．43−． 四、解答题：17．【解答】（1）解法一：∵tan tan44tan tan 441tan tan44ππαππααππα⎛⎫+− ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+−= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅ ⎪⎝⎭，且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1113tan 12113α−==−+⋅． 5分解法二：∵tan 1tan 41tan πααα+⎛⎫+= ⎪−⎝⎭且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴tan 111tan 3αα+=−，解得1tan 2α=−． 5分（2）222222cos 2sin 22sin cos 2tan 22sin cos22sin cos 2sin cos 2tan 1παααααααααααα⎛⎫+ ⎪−−−⎝⎭====−−−−−． 10分 18．【解答】（1）易知500.0008500.0016500.003050500.0050500.0030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+a 500.0012500.0008500.00041⨯+⨯+⨯=，解得0.0042=a ． 3分（2）设这100户居民家庭月均用电量的中位数为0x ，∵500.0008500.0016500.0030500.00420.48⨯+⨯+⨯+⨯=， 4分 ∴()02500.00500.50.48−⨯=−x ， 6分解得0254=x ，即这100户居民家庭月均用电量的中位数为254． 7分（3）由频率分布直方图可知，样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为4，月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为2， 8分不妨记“从样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭中随杋抽取2户家庭参与调研座谈，恰有1户家庭的月均用电量在[400,450)”为事件A ，且记月均用电量在[400,450)的居民家庭分别为1a ，2a ，3a ，4a 月均用电量在[450,500)的居民家庭分别为1b ，2b 9分从样本中的月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，则有()12,a a ，()()()131411,,,,,a a a a a b ，()()()122324,,,,,a b a a a a ，()()()212234,,,,,a b a b a a ，()()3132,,,a b a b ()()()414212,,,,,a b a b b b 共15个基本事件， 10分其中恰有1户居民家庭的月均用电量在[450,500)的基本事件有，()()()()11122122,,,,,,,a b a b a b a b ，()()()()31324142,,,,,,,a b a b a b a b 共8个基本事件， 11分∴由古典概型的计算公式可知，事件A 的概率为8()15=P A ． 12分 19．【解答】（1）解法一：如图，记线段1AC 与线段1AC 相交于点O ，连接OD ，∵侧面11AAC C 为平行四边形，∴O 为线段1AC 的中点， 1分∵D 为线段BC 的中点，则OD 为1A BC 的一条中位线， ∴1//OD A B ， 3分又∵⊂OD 平面1AC D ，1⊄A B 平面1AC D ， ∴1//A B 平面1AC D ． 5分解法二：如图，取11B C 的中点1O ，连接1O B ，11O A ，1O D ，∵D 为线段BC 的中点，且四边形11BB C C 为平行四边形，∴111O DCC AA ，∴四边形11O DAA 为平行四边形， ∴11//AD O A ，又∵⊂AD 平面1AC D ，11⊄O A 平面1AC D ， ∴11//O A 平面1AC D ； 2分 又∵11BDO C ，∴四边形11BDC O 为平行四边形， ∴11//O B C D ，又∵1⊂C D 平面1AC D ，1⊂/O B 平面1AC D ， ∴1//O B 平面1AC D ； 4分而1111⋂=O B O A O ，1O B ，1⊂O A 平面11O A B ， ∴平面11//O A B 平面1AC D ，又∵1⊂A B 平面11O A B ，∴1//A B 平面1AC D ． 5分（2）∵在三棱柱111−ABC A B C 中，1⊥AA 平面111A B C ，11⊂A B 平面111A B C ， ∴111⊥A B AA ， 6分 又∵90︒∠=BAC，∴1111⊥A B AC ，又∵1111⋂=AA AC A ，1AA ，11⊂AC 平面11AAC C ， ∴11⊥A B 平面11AAC C ， 8分 ∵1⊂AC 平面11AAC C ， ∴111⊥AC A B ， 9分又∵侧面11AAC C 为平行四边形，1=AC AA ， ∴四边形11AAC C 为菱形， ∴11⊥AC AC 10分又∵1111⋂=A B AC A ，11A B ，1⊂AC 平面11A B C ， ∴1⊥AC 平面11A B C ， 11分 又∵1⊂AC 平面1AC D ，∴平面11⊥A B C 平面1AC D ． 12分 20．【解答】（1）由题设图象可知2=A ， 1分∵周期11521212πππ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭T，2||2πω==T 又0ω>，∴2ω=， 3分 ∴()f x 过点11,212π⎛⎫⎪⎝⎭， ∴112sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 4分 ∴11262ππϕπ+=+k ，即42,3πϕπ=−∈k k Z ． ∵0ϕπ<<，∴23πϕ=， 5分 故函数()f x 的解析式为2()2sin 23π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ． 6分 （2）由题意可知()2sin 6π⎛⎫=+⎪⎝⎭g x x ， 9分 ∵,32ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦x ， ∴2,663πππ⎡⎤+∈−⎢⎥⎣⎦x ， ∴1sin ,162π⎛⎫⎡⎤+∈− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，故2sin [1,2]6π⎛⎫+∈− ⎪⎝⎭x ， ∴()g x 在,32ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]−． 12分 21．【解答】（1）∵点P 在3=−y 上，且横坐标为1−，∴(1,3)−−P ，又∵l 被圆截得的弦长为∴圆心O 到直线l 的距离1=d ， 1分①当直线l 斜率不存在，即1=−x 时，满足题意； 2分 ②当直线l 斜率存在时，设:(1)3=+−l y k x ，则1==d ，解得43=k ，4分∴4:(1)33=+−l y x ，即l 的方程为4350−−=x y ； 综上所述，直线l 的方程为1=−x 或4350−−=x y 5分（2）解法一：设(,3)−P t ，则OP 的中点坐标为3,22⎛⎫− ⎪⎝⎭t ， ∴以OP，7分∴以OP 为直径的圆的方程为()222319224⎛⎫⎛⎫−++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t x y t 整理得2230LL−++=x tx y y ①，9分又∵,A B 为切点，圆O 的方程224LL +=x y ②，由①-②可得直线AB 的方程为340−−=tx y ，11分故直线AB 恒过定点40,3⎛⎫− ⎪⎝⎭．12分解法二：设(,3)−P t ，()11,A x y ，()22,B x y ．则22114+=x y ，6分易知直线OA 的斜率存在，其斜率为()1110≠y x x ，当10≠y 时，由⊥PA OA ， 由此可知直线PA 的斜率为11−x y ，7分∴直线PA 的方程可表示为()1111−=−−x y y x x y ， 整理得，直线PA 的方程为114+=x x y y ， 当10=y 时，直线PA 的方程也满足上述方程， ∴综上所述，直线PA 的方程为114+=x x y y ． 8分又∵直线PA 过点P ，∴11340−−=tx y ①9分同理可得，直线PB 的方程为224+=x x y y ， 易得，22340−−=tx y ②， 10分由①②可知：直线AB 的方程为340−−=tx y ， 11分 易知直线AB 恒过定点40,3⎛⎫−⎪⎝⎭． 12分 （注：若第二问设出P 点坐标后，直接写出直线AB 的方程，则该问最多给4分，总分不得超过9分） 22．【解答】（1）∵()g x 为偶函数， ∴当0>x 时，则0−<x ， ∴1()()22−−+=−==x m x mg x g x ． 2分（2）∵函数2()23=−+f x x mx 在(0,)∞+上单调递增， ∴0≤m ，且()f x 的值域为)23,⎡−+∞⎣m ． 3分 当(,0]∈−∞x 时，()2−≥mg x ，∵()g x 是偶函数， ∴()g x 的值域为)2,−⎡+∞⎣m． 4分由题232−−=mm ．令2()32−=−−mh m m ，易知()h m 在(,0]−∞上单调递增，且(1)0−=h ；∴1=−m ． 5分（3）解法一：①当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,0⎧+<=⎨>⎩x x x F x x此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ． 6分②当1=−m 时，32+=m ，2123,0,()2,0+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x此时()2=F x 仅有一个实数根1=−x ． 7分 ③当10−<<m 时，则2233,233,122−<+<<−<<<m m m ，而()2(3)3(1)0+−−=+<m m m m ，∴2233−<+<−mm m ，∵函数()F x 在(,]−∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增， 故此时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根0x ，且023−=+x mm ，02log (3)=++x m m ． 9分④当1<−m 时，则32+<m ，232−<m ，22−>m ，而()2(3)3(1)0+−−=+>m mm m ，∴2332−−<+<mm m ，∵函数()F x 在(,]−∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增， 故此时，方程()3=+F x m 有两个实数根，其根满足方程2233−+=+x mx m ，解之，得=±x m 11分综上所述，当1<−m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10−≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根． 12分 （3）解法二：①当1<−m 时，（i ）当0<x 时，2()320=+⇔−−=F x m x mx m ．()240∆=+>m m ，方程220−−=x mx m 有两个负的实数根=x m（ii ）当0>x 时，令()23−=−−mH m m ，易知()H m 单调递减，且(1)0−=H ．故此时()(1)0>−=H m H ，即23−>+mm ．∴()23−>>+mg x m ．即方程()3=+F x m 在当0>x 时无实数根．故当1<−m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根． 7分 ②当10−<<m 时，当0<x 时，()240∆=+<m m ，方程220−−=x mx m 无实数根．当0>x 时，由①可知，此时23−<+mm ．方程()323−=+⇔=+x m F x m m ．解得2log (3)=++x m m ． 故当10−<<m 时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根． 9分③当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,0⎧+<=⎨>⎩x x x F x x此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ． 10分④当1=−m 时，32+=m ，2123,0,()2,0.+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x此时()2=F x 仅有一个实数根1=−x ． 11分综上所述，当1<−m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10−≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根． 12分试卷第1页，总15页2020-2021年阳江一中高三大练习一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则=)(B C A U （）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-2．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 可能的解析式是（）A.()21sin 21x xf x x +=⋅- B.()21cos 21x xf x x +=⋅-C.()21sin 21x xf x x +=-⋅- D.()21cos 21x xf x x +=-⋅-4．若2log a b c ===，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．a c b>>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．b a c>>5．已知x，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若3Z x y =-，则Z 最小值是()A ．3-B ．9-C ．3D ．5-6．若角α的终边过点8,6cos ()60P m -- ，且4cos 5α=-则实数m 的值为（）试卷第2页，总15页A ．12-B．C ．12D ．327．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A．(3π-B．1)π-C．1)πD．2)π8．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．228(0,][,939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]二、多选题9．下列命题错误的是（）．A ．(0,)x ∃∈+∞，1123xx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．(0,1)x ∃∈，1123log log x x>C ．(0,)x ∀∈+∞，121log 2xx⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx⎛⎫< ⎪⎝⎭10．某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）试卷第3页，总15页A ．甲的不同的选法种数为10B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是1411．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在[]0,2π上有3个零点C ．()f x的最大值为4D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数12．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，2213AD =.则下列说法正确的有（）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-试卷第4页，总15页C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增三、填空题13．已知cos ,(0,)5523ππαα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则sin(2)53απ-=______.14．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M 点（B、M、D 三点共线）测得对楼顶A、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m．15．4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________．16．已知[)0,2θ∈π，若关于k()33sin cos k θθ≤-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为______.四、解答题17．已知函数2()cos (sin cos )sin f x x a x x x =-+，满足()(0)3f f π-=，（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．试卷第5页，总15页18．已知ABC ∆中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 4cos b C c B A +=-，2a =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，∥BA CD ，2CD BA =，CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，APD △为等腰直角三角形，PA PD ==（1）证明：BPD △为直角三角形．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为1，求BPD △的面积．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F ，2F，且满足离心率2e =，12F F =O 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()2,1A ，求AMN ∆面积的最大值.21．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，……(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．22．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>．2020-2021年阳江一中高三大练习参考答案一、单选题题号123456789101112答案CCBABCAAACADABCACD7．【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则12αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=-8．【答案】A 【解析】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴553526626x ωπππωππω-<-<-，∴35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k =0时，解2839ω≤≤，当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤，ω∴∈228(0,[,]939.二、多选题10．【解析】A 项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即2510C =种选法，故A 正确；B 项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B 错误；C 项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是142525C C =，故C 错误；D 项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率253612C C =，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是111224⨯=，D 正确，故选：AD.11.【解析】因为：()1sin sin 22f x x x =+①sin y x =的周期是2π,1sin 22y x =的周期是22ππ=,所以()1sin sin 22f x x x =+的周期是2π,故A 正确.②当()1sin sin 202f x x x =+=,[]0,2x π∈时,sin sin cos 0x x x +=sin (1cos )0x x +=，sin 0x =或1cos 0x +=解得0x =或32x π=或2x π=,所以()f x 在[]0,2π上有3个零点,故B 正确.③()1sin sin 22f x x x =+，()sin sin cos f x x x x =+()'22cos cos sin f x x x x =+-22cos cos 1x x =+-令()'0f x =,求得1cos 2x =或cos 1x =-,因为()f x 在（21,1-）单调递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,所以1cos 2x =时取得最大值,则sin 2x =()max 12224f x =+⨯=,故C 正确.④由③得()'22cos cos 1f x x x =+-,要求增区间则()'0f x >,即cos 1x <-（不成立）,或1cos 12x <≤,所以0223k x k +≤<+πππ，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数是错误的,故D 错误.故选：ABC12．【解析】由题意可得：||||OB OC =，∴sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ．(12D πω∴+，sin 2A ϕ， 221||3AD =，∴22228(1)243A sin πϕω-+=，把|sin |A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω．解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==．sin()03πϕ∴+=，||2πϕ ，解得3πϕ=-．可知：B 不对．∴sin()|263A π-=+，0A >，解得163A =．∴函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确．(14,17)x ∈时，()(263x πππ-∈，52π，可得：函数()f x 在(14,17)x ∈单调递增．综上可得：ACD 正确．13．【答案】2425-14．【答案】6015．【答案】316．【答案】0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π16.()33sin cos k θθ≤-，可得33sin cos k k θθ≥，构造函数()6g x kx x =-，当2k <-且当0x ≥，()610g x kx '=-<，此时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，由于33sin cos k k θθ≥()()sin cos g g θθ≥，所以，cos sin 0θθ≥≥，所以，0tan 1θ≤≤，[)0,2θπ∈ ，0,4πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.综上可得θ的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π.四、解答题17．【解析】（1）因为()(0)3f f π-=，所以2cos()[sin()cos(sin ()13333a ππππ----+-=-，解得a =，所以2()cos cos )sin f x x x x x =-+22cos cos sin x x x x=-+2cos 2x x =-2sin(2)6x π=-，所以()f x 的最小正周期为22ππ=…………5分（2）由11,424x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，得112212x ππ≤≤，所以32364x πππ≤-≤，所以2sin(2)126x π≤-≤2sin(2)26x π≤-≤，所以()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2…………10分18．【解析】（1）在ABC 中，根据正弦定理，由cos cos 4cos b C c B A +=-，2a =得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=-，即()sin sin 2sin cos A B C A A =+=-，所以2cos 1A -=，即1cos 2A =-，又因为()0,πA ∈，所以23A π=；…………6分（2）由（1），根据正弦定理可得：sin sin sin 2b c a B C A ====∴223b c B C B B ππ⎛⎫+=+=+-- ⎪⎝⎭31sin 4cos 22B B B B ⎛⎫=+-=⎪⎪⎭，因为π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()4cos 2,4B ∈，即2b c +的取值范围是()2,4.…………12分19．【解析】（1）,BA CD CD AD ⊥ ，BA AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BA ∴⊥平面PAD ，PD ⊂ 平面PAD ，BA PD ∴⊥，在等腰直角三角形APD 中PD PA ⊥，PA BA A ⋂=，PD ∴⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，PD PB ∴⊥，PDB ∴ 为直角三角形.…………5分（2）如图，过点P 作PO AD ⊥.平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ，故四棱锥P ABCD -以PO 为高.在等腰直角三角形APD 中，PA PD ==112PO AD ∴==，()13,2ABCD S AB CD AD AB =+⋅= 四边形11131,33P ABCD ABCD V PO S AB AB -∴=⋅⋅=⨯⨯==四边形由（1）可知BA ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，则BA PA ⊥，PB ∴==，11222Rt PBD S PD PB ∴=⋅=⨯ .…………12分20．【解析】（1）由题意可知，c =，根据32c e a ==，得4a =，2b =，椭圆C 的方程为221164x y +=.…………4分（2）设直线l 的方程为()0y kx k =≠，由221164y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得1x =，2x =，MN =12x =-=.点A 到直线l 的距离d =，所以12AMNS =△==，当0k >时，4AMN S <△；当k 0<时，AMN S =△≤=当且仅当12k =-时，等号成立，所以AMN S 的最大值为…………12分21．【解析】（1）根据频率分布直方图可知：重量超过505克的频率为：()0.050.0150.3+⨯=，所以重量超过505克的产品数量为0.34012⨯=（件）…………3分（2）Y 可取的值为0,1,2，()228240630130C P Y C ===，()111228240561130C C P Y C ===，()212240112130C P Y C ===，所以Y 的分布列为：Y12P631305613011130………8分（3）利用样本估计总体，该流水线上重量超过505克的概率为120.340=，令ξ为任取5件产品中重量超过505克的产品数量，则()~50.3，ξB 所以所求概率为()()()2325=20.30.7=0.3087ξ=P C .…………12分22．【解析】（I）()ln 24f x x ax +'=-．∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x≥+在()0,∞+内恒成立．令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x --'=，∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数；当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数．∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭…………6分（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，由（I），知e04a <<．由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--．即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．令函数．∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减．∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+．即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立．综上，得1212x x a+>．…………12分。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。

选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。

一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{}n a 中，若52a =，387a a a =，则{}n a 的公比q =（ ）A B ．2C ．D ．43．已知两条直线1l ：350x y +−=和2l ：0x ay −=相互垂直，则a =（ ） A ．13B ．13−C ．3−D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为(1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．在等比数列{}n a 中，24334a a a =，且652a a =，则{}n a 的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：2213x y −=的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，2OF PF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．1B C D ．127．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c −、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF F ∆的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．30,5B ．40,5C ．3,15D ．4,158．已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >），点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（ ）A ．B ．+∞C ．(D ．)+∞二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．222a a +=B ．371a a =C ．99S =D ．1010S =10，已知圆M ：22430x y x +−+=，则下列说法正确的是（ ） A ．点()4,0在随M 内 B ．圆M 关于320x y +−=对称CD ．直线0x −=与圆M 相切11．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若AB ≥（ ）A ．23BCD 12．若数列{}n a 满足121a a ==，12n n n a a a −−=+（3n ≥），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以n a 为边长的正方形中的扇形面积为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．则下列说法正确的是（ ）：A ．821a =B ．2023a 是奇数C ．24620222023a a a a a ++++=D ．2023202320244s a a π=⋅三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{}n a 的通项公式n a =，若9n S =，则n = ．14．已知直线l ：y x =被圆C ：()()22231x y r −+−=（0r >）截得的弦长为2，则r = ． 15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C 上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 ．16．已知A ，B 分别是椭圆E ：22143x y +=的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD的斜率1k ，2k 满足122k k =，则直线CD 过定点，定点坐标为 ．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()2214x y ++=与圆2C ：()22310x y +−=相交于P ，Q 两点． （1）求线段PQ 的长；（2）记圆1C 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆2C 上滑动，求2MNC ∆面积最大时的直线MN 的方程． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，{}n b 为等比数列，且11b =，0n b >，2210b S +=，53253S b a =+，*n N ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4370x y −+=相切． （1）求圆的方程；（2）设直线420ax y a −+−=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()3,1P −？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，圆1O ：()2221x y ++=，圆2O ：()2221x y −+=，点()1,0H ，一动圆M 与圆1O 内切、与圆2O 外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，113b =，且()n n S T =．（1）求n T ； （2令nn na cb =，求正整数n ，使得“11n n n c c c −+=+”与“n c 是1n c −，1n c +的等差中项”同时成立； （3）设27n n d a =+，()()112nn nn n d e d d +−+=，求数列{}n e 的前2n 项和2n Y ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，12F F =P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线1PF ，PO ，2PF 分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有112PF F M =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求12POF POF PQMPQNs s s s ∆∆∆∆+的最大值。

龙城高级中学高二数学作业（2020.5.1）（请同学们5月5日下午4点前提交答案）一、选择题1.函数()f x =()f x '=( ) A.2.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( ) A.36种B.48种C.96种D.192种3.已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A. ()-∞⋃+∞B. ⎡⎣C. ()-∞⋃+∞D. (4.袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．455.若函数()sin 1xf x x =+，则()0f '等于( ) A.1B.0C.1-D.2-6.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A ．310B ．29C ．78D ．797.已知函数()()3sin R 2f x ax x a =-∈，且在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为π-32，则实数a 的值为（ ） A.12B.1C.32D. 18.一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于()23A A mnn m -的是（ ）A.()3P X =B.()2P X ≥C.()3P X ≤D.()2P X =9.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布()100,4N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有( ) （附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=） A. 3413件 B. 4772件C. 6826件D. 8185件10.下列命题：①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； ②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ③若两个变量间的线性相关关系越强，则相关系数r 的值越接近于1;④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③④D ．②③④11.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为( ) A.16B.18C.24D.3212.已知函数()ln e (0)x a f x x a x x a -=++-<,若()0f x ≥在[2,)x ∈+∞上恒成立,则实数a 的最小值为( ) A.2e - B.e -C. D.e2-二、填空题13.计算:2342393n nnn n n C C C C -+++⋯+= . 14.已知随机变量 ()~2,X B p ,()2~2,Y N σ,若 ()10.64P X ≥=,()02P Y p <<=则 ()4P Y >=__________.15.已知函数()y f x =的图象在2x =处的切线方程是31y x =+，则()()22f f '+= .16.对于三次函数()()32,,,,0f x ax bx cx d a b c d R a =+++∈≠有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数()()35,g x xax bx a b R =-+-∈的“拐点”，也是函数()g x 图象上的点，则函数()21sin cos 3h x a x b x =+的最大值是_______.三、解答题17.已知2)nx的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， (1)求n ；(2)求展开式中x 的一次项的系数．18.已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-++∈.（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围19.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX .20.已知函数221()ln (R)x f x a x a x-=-∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()sin xg x e x =-，若()()(()2)h x g x f x x =-且()y h x =有两个零点，求a 的取值范围．21.某种植物感染α病毒极易导致死亡,某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂,现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计;并对植株吸收制剂的量(单位:mg )进行统计.规定:植株吸收在6mg (包括6mg )以上为“足量”,否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计,其中 “植株存活”的13株,对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株（1）完成以22⨯下列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下,认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关?（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株,求这3株中恰有1株“植株存活”的概率 参考数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++22.已知函数()252ln f x x x x =-+． (1)求()f x 的极值；(2)若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：313x x -<。

2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．过点，的直线的倾斜角为（ ）(2,0)A (B -A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线AB 的斜率，再根据倾斜角的范围结合特殊角的三角函数值求解即得.【详解】经过，(20)A ，(B -AB k ==设该直线的倾斜角为，则，αtan α=0180α︒≤<︒所以.150α=︒故选：D 2．已知，，若，则实数的值为（ ）()2,1,3a =-()1,2,1b =-()a a bλ⊥-λA ．B ．C ．D ．22-143-145【答案】D 【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.()()a ab a a b λλ⊥-⇔⋅-= 【详解】解：因为，，()2,1,3a =-()1,2,1b =-所以，()2,12,3a b λλλλ-=-+--因为，()a ab λ⊥- 所以，即，解得，()0a a b λ⋅-= ()()()2212330λλλ--++-+-=2λ=故选：D.3．已知两平行直线与，则实数的值是（）1:0l x y -=2:220l x y b -+=bA ．B ．4C ．D ．±4±【答案】D 【分析】由题知，再根据平行线间的距离公式计算即可.2:02b l x y -+=【详解】解：将直线整理得，2:220l x y b -+=2:02b l x y -+=所以平行线间的距离公式得直线与1:0l x y -=2:02b l x y -+=解得4b =±故选：D4．四面体中，，，，点在线段上，且，为中OABC OA a = OB b = OC c = M OC 2OM MC =N BA 点，则为（ ）MNA ．B ．121232a b c -+ 211322a b c-++C ．D ．112223a b c +- 221332a b c ++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，.()2111232223MNMO ON OC OA OB a b c=+=-++=+-故选：C.5．经过点（1，-1）且一个方向向量为（2，-3）的直线L 的方程是（ ）A ．B ．3210x y +-=32+10x y +=C ．D ．23+10x y +=230x y --=【答案】A【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合点斜式即可得解.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，又因为直线过点（1，-1），由()2,3-32-点斜式可得直线的方程为.3210x y +-=故选：A.6．已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=a b c λ（ ）A ．B ．C ．D ．725292112-【答案】D【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解+b y x c a = 之可求得答案.【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=+b y x c a = ，()()()2,3,24,2,1+10,3,x y λ-=-所以，解得，24+1032+32+x y x y x y λ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩3412112x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选：D.7．已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实l 0x y m -+=224x y +=AB O 0OA OB ⋅=数为（ ）m A ．2B ．C ．D ．2±±【答案】C【分析】由题意，，故圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式即得=90AOB ∠(0,0)ld 解【详解】由题意，，由于圆半径为，=90AOB ∠ 2r =则圆心到直线的距离(0,0)l d 得，=2m 2m =±故选：C8．在正方体中，在正方形中有一动点P ，满足，则直线与1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD ⊥PB 平面所成角中最大角的正切值为（ ）11DD C CA ．1BCD 【答案】D【解析】根据题意,可知是平面内,以为直径的半圆上一点.由即为直线与平P 11DD C C 1DD BPC ∠PB 面所成的角可知当取得最小值时,与平面所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,11DD C C PC PB 11DD C C 与半圆的交点为P,此时取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得,进而求得.PC PC tan BPC ∠【详解】正方体中,正方形内的点P 满足1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD⊥可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:P 11DD C C 1DD当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E 与C 点连线上PB 11DD C C P 此时取得最小值.PC 则即为直线与平面所成的角BPC ∠PB 11DD C C设正方体的边长为2,则,1PC EC EP =-=2BC =所以tan BC BPC PC ∠===故选:D【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、多选题9．（多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ）A ．B ．430x y -=430x y +=C ．D ．10x y -+=10x y +-=【答案】BD【分析】分情况讨论，当直线过原点时直线方程；当直线不过原点时：设直线方程为430x y +=，代入点求出的值即可得到直线方程．x y a +=(3,4)-a 【详解】解：①当直线过原点时：直线方程为，化为一般式为，43y x=-430x y +=②当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为，a x y a +=又直线过点，代入得，即，(3,4)-34a -+=1a =直线方程为：，化为一般式为，∴1x y +=10x y +-=综上所求，直线的方程为或.430x y +=10x y +-=故选：BD.10．已知两条不同的直线l ，m 与两个不重合的平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若l ∥m ，则必有α∥βB ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】ABD【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】解：对于A ：如图所示：设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故A 错误；对于B ：假设α∥β，l ′⊂β，l ′∥l ，l ′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故B 错误；对于C ：若l ⊂α，l ⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故C 正确；对于D ：设α∩β＝c ，若l ∥c ，m ∥c ，虽然α⊥β，但是可有m ∥α，故D 错误，故选：ABD ．11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则（ ）A BD C --A ．⊥B ．是等边三角形AC BDACD C ．AB 与平面BCD 所成的角为60°D ．AB 与CD 所成的角为90°【答案】AB【分析】A 选项，作出辅助线，证明出线面垂直，进而得到线线垂直；B 选项，设出正方形边长为a ，由直二面角的条件得到，由勾股定理得到，从=90AOC ∠︒AC a =而得到，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD C 选项，证明线面垂直，得到AB 与平面BCD 所成角为，求出其度数即可；ABO ∠D 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直角的夹角.【详解】取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为，，AB AD =BC DC =所以，,OC BD OA BD ⊥⊥因为，平面OAC ，OC OA O ⋂=,OC OA ⊂所以BD ⊥平面AOC ，因为平面AOC ，AC ⊂所以BD ⊥AC ，A 正确；不妨设正方形边长为a ，则CD =AD =a ，则，AO CO ==因为二面角为直二面角，，A BD C --,OC BD OA BD ⊥⊥所以即为二面角的平面角，且，AOC ∠A BD C --=90AOC ∠︒由勾股定理得：，AC a ==故，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD 由AB 选项可知：，，，平面BCD ，AO OC ⊥AO BD ⊥OC BD O = ,OC BD ⊂所以AO ⊥平面BCD ，故AB 与平面BCD 所成角为，且，ABO ∠45ABO ∠=︒故AB 与平面BCD 所成的角为45°，C 错误；以O 为坐标原点，OA ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设，AB a =则，,0,0,0,,0,,,0A B C D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，0,,0,0,0=,,0AB ⎛⎫⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，,0=,CD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则21,,0,02AB CD a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故AB 与CD 所成的角不为90°，D 错误.故选：AB 12．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线()40x y x +=<<4P O 224x y +=A B 与，轴分别交于点，，则（ ）AB x y M N A ．点恒在以线段为直径的圆上B ．四边形面积的最小值为4O AB PAOBC ．的最小值为D ．的最小值为4ABOM ON+【答案】BCD【分析】对于A ，由动点及圆的性质即可判断；对于B ，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求PO PO解；对于C ，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后A B OP AB 数形结合即可得解；对于D ，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本AB M N 44OM ON a b +=+不等式即可求解．【详解】对于A ，在四边形中，不一定是直角，故A 错误；PAOB AOB ∠对于B ，连接，由题易知，所以四边形的面积PO Rt Rt PAO PBO ≌PAOB，又的最小值为点到直线的距离，即，1222S PA OA PA =⨯⋅==PO O 4x y +=所以四边形面积的最小值为，B 正确；PAOB 4=设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，(),P a b OP ()()0x x a y y b -+-=O 224x y +=得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则4ax by +=AB 4ax by +=P 4x y +=4a b +=，代入直线的方程，得，即，令，则4b a =-AB ()440a x y y -+-=()440a x y y -+-=x y =，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最440y -=1x =1y =AB ()1,1C OC =AB小值为，C 正确；=在中，分别令，得到点，，所以，因为点4a by +=0y =0x =4,0M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭40,N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭44OM ON a b +=+在直线上，所以且，，则(),P a b ()40x y x +=<<44a b +=04a <<04b <<，当且仅当时等号成立，所以()4411224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭2a b ==的最小值为4，D 正确．OM ON+故选：BCD.【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论：（1）过圆上一点的切线方程为()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y ；()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，C ()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y C A ，则切点弦所在直线的方程为．B AB ()()()()200x a x a y b y b r --+--=三、填空题13．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是___________.()3,2A -()5,4B -AB 【答案】()()221125x y ++-=【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】因点，，则线段的中点，即所求圆的圆心为点，()3,2A -()5,4B -AB ()1,1C -()1,1C -圆的半径，5=所以以线段为直径的圆的方程是：.AB ()()221125x y ++-=故答案为：()()221125x y ++-=14．为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点P ABCD PA ⊥ABCD 3AB =4=AD 1PA =到的距离为__．P BD【答案】/135 2.6【分析】方法一：过作，交于，连结，则可得是点到的距离，然后A AE BD ⊥BD E PE PE P BD 求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形中，，，，ABCD 3AB =4=AD 5BD ∴==过作，交于，连结，A AE BD ⊥BD E PE平面，平面，PA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD ，PA BD ∴⊥又 ，，AE BD ⊥PA AE A = 平面， BD ∴⊥PAE ∵平面，PE ⊂PAE ，即是点到的距离，PE BD ∴⊥PE P BD ，，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ 125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===点到的距离为．∴P BD 135方法二∵平面，平面，PA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ∴，,PA AB PA AD ⊥⊥∵AB AD⊥∴三线两两垂直，PA AB AD 、、∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，A ,,AB AD AP ,,x y z，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=-，，()340BD =- ，，，∴cos ,BP BD BP BD BP BD⋅===点到的距离为∴PBD 135d ==故答案为：13515．在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直xOy 224x y +=224440x y x y ++-+=l 线的方程为________.l 【答案】20x y -+=【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.l 【详解】若圆和圆关于直线对称，224x y +=224440x y x y ++-+=l 则直线为两个圆心的中垂线，l 的圆心为，224x y +=1(0,0)O 的圆心为.224440x y x y ++-+=2(2,2)O -，中点为121O O k =-(1,1)-可得直线为 ，整理得：.l 11y x -=+20x y -+=故答案为：.20x y -+=16．正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦ABCD M N BC AB DM CN 值为 _____．【答案】16【分析】根据点分别为棱、的中点，根据向量的运算得出，,M N BC AB ()1=22DM a b c+-，然后可设正四面体的棱长为2，从而进行数量积的运算可求得，并且根12CN a b=- 12DM CN ⋅=-，然后便可求出的值，从而可得出异面直线与所成cos ,DM CNDM CN 角的余弦值.【详解】为棱的中点，设， M BC ,,AB a AC b AD c === .()()()()111=+=+=2222DM DB DC AB AD AC AD a b c⎡⎤∴--+-⎣⎦ 又为棱的中点,N AB .∴1122CN CA AN AC AB a b=+=-+=-又的两两夹角都为，并设,,,a b c60︒===2a b c ∴()221111112224422DM CN a b c a b a a b b a c b c⎛⎫⋅=+-⋅-=-⋅--⋅+⋅ ⎪⎝⎭ .11121222=---+=-,1cos ,==6DM CN DM CN DM CN⋅∴-⋅异面直线与所成角的余弦值为.∴DM CN 16故答案为:.16四、解答题17．已知的三个顶点，，，求：ABC (4,6)A -(4,0)B -(1,4)C -(1)边上的高所在直线的方程；AC BD (2)的垂直平分线所在直线的方程．BC EF 【答案】(1)；240x y -+=(2).6810x y +-=【分析】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程；ACk BD BD k (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程．BCk EFk BC 【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．2AC k =-∴BD 12BD k =又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．BD (4,0)B -BD 240x y -+=（2），．又线段的中点为，43BCk = 34EF k ∴=-BC 5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所在直线的方程为，EF ∴35242y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭整理得所求的直线方程为：．6810x y +-=18．如图，在长方体中，，，E 是CD 中点.1111ABCD A B CD -2AB =11BC CC ==（1）和所成角的大小；1BC 1D E（2）证明：.11B E AD ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析；3π【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的大小；（2）首先求出，，利用空间向量法证明即可；1B E1AD 【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，()1,2,0B ()10,2,1C ()10,0,1D ()0,1,0E ，，所以，，设和所成的角为，则()11,2,1B ()1,0,0A ()11,0,1BC =-()10,1,1D E =-1BC 1D Eθ，因为，所以，即和所成的角为；11111cos 2BC D E BC D Eθ⋅⋅=== 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦3πθ=1BC 1D E 3π（2）由（1）可得，，所以，()11,1,1B E =---()11,0,1AD =-()()()()111101110B E AD ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=所以11B E AD ⊥19．已知圆过点，，且圆心在直线上．C ()0,1A ()2,1B C 10x y +-=(1)求圆的标准方程；C (2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．l ()2,2C l 【答案】(1)；()2212x y -+=(2)或.2x =3420x y +=-【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，C 1x =C 10x y +-=根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程；C （2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设2x =的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线l ()22y k x -=-距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，C ()0,1A ()2,1B C 1x =又圆心在直线上，令可得，C 10x y +-=1x =0y =所以圆的圆心为,C ()1,0=所以圆的标准方程为.C ()2212x y -+=（2）当l 斜率不存在时，l 的方程为，2x =易知此时被圆C 截得的弦长为2，符合题意，所以；2x =当l 斜率存在时，设l 的方程为，2(2)220y k x kx y k -=-⇒-+-=则．d =又直线l 被圆C 所截得的弦长为2，所以，则，2==1d =，解得，1=34k =所以直线l 的方程为．()32234204y x x y -=-⇒-+=综上：l 的方程为或.2x =3420x y +=-20．如图，正三棱柱的所有棱长都为2．111ABC A B C -(1)求点'到平面的距离．B 11A BC (2)求平面与平面夹角的余弦值．1AA B 11A BC【答案】【分析】（1）取的中点，的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面BC D 11B C E D的一个法向量和，结合距离公式，即可求解；11A BC n =1(0,2,0)BB =（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合平面的1AAB m =11A BC 一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.n =【详解】（1）解：如图所示，取的中点，的中点，连接与，BC D 11B C E AD DE 因为三棱柱为正三棱柱，可得且平面平面，111ABC A B C -AD BC ⊥ABC ⊥11BCC B 所以平面，AD ⊥11BCC B 由矩形中，因为分别为的中点，可得11BCC B ,D E 11,BC B C DE BC ⊥以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DB DE DA x y z 因为正三棱柱的所有棱长都为，可得，111ABC A B C -2AD =则，111(1,0,0),(0,(1,2,0),(1,2,0)B A B C -所以，111(2,2,0),(1,(0,2,0)BC BA BB =-=-=设平面的法向量为，则，11A BC (,,)n x y z =1120220n BA x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，所以，x =1yz ==-1)n =-则到平面的距离为.1B 11ABC d （2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，1(1,0,0),(0,AB A 可得，1(1,0,(0,2,0)AB AA ==设平面的法向量为，则，1AA B (,,)m a bc =1020m AB a m BC b ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩取，所以，a =0,1b c ==m =又由平面的一个法向量为，11ABC 1)n =-可得，cos ,m n m n m n ⋅===即平面与平面11A BC 1AA B21．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，，O 为AC 的中点．AB BC ==4PA PB PC AC ====(1)证明：PO ⊥平面ABC ．(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M ﹣PA ﹣C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面几何知识可证得，，再由线面垂直的判定可得证；PO OB ⊥OP AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，运用面面角、线面角的向量求解方法可求得答案.【详解】（1）以为，为的中点，所以，且.4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB因为，所以为等腰直角三角形，且.AB BC AC=ABC 1,22OB AC OB AC ⊥==由得.222OP OB PB +=PO OB ⊥由,平面,平面,得平面.,,OP OB OP AC OB AC O ⊥⊥⋂=OB ⊂ABC AC ⊂ABC PO ⊥ABC （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，O OBx Oxyz由题意得，.()()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,O B A C P-(0,2,AP ∴=取平面的一个法向量为.设，则.设平面PAC ()2,0,0OB = ()(),2,002M a a a -<≤(),4,0AM a a =- 的法向量为.PAM (),,n x y z =由，得可取，所以0,0⋅=⋅=AP n AMn ()20,40,y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩))4,n a a=--cos ,OB n =又，解得（舍去）或，cos ,OB=4a =-43a =所以，又，43n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(0,2,PC =- 设与平面所成角为，则.PC PAM θsin cos PC θ= 所以与平面PC PAM 22．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线相切．3480x y +-=（1）求圆C 的标准方程；（2）直线与圆C 交于A ，B 两点．:2l y kx =+①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.()2211x y -+=3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C 过原点，所以半径r =a ，(),0(0)C a a >又圆C 与直线相切，所以圆心C 到直线的距离（负值舍去），3480x y +-=|38|15a d a a -==⇒=所以圆 C 的标准方程为：.()2211x y -+=（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：，因为有两个交点，()()2214240kx k x ++-+=所以，即k 的取值范围是.()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（ⅱ）设，由根与系数的关系：，()()1122,,,A x y B x y 12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩所以.()1212121212122222OA OBx x y y kx kx k k kx x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+即直线OA ,OB 斜率之和为定值.。

2023-2024学年广东省深圳市校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣2，3，﹣1） B ．（2，﹣3，﹣1）C ．（2，3，1）D ．（﹣2，﹣3，1）2．直线2x ﹣y ﹣4＝0的一个方向向量为（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．（3，﹣1）D ．（1，2）3．已知直线l 的方向向量e →=(1，−2，−2)，平面α的法向量n →=(2，λ，−1)，若l ∥α，则λ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣24．已知a ，b ∈R ，则“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知空间三点A （1，﹣1，2），B （3，0，﹣1），C （2，3，﹣3），则向量AB →与CB →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0），且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(a ，b ，c)(abc ≠0)的直线l 的方程为x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x ﹣7y +z ﹣4＝0，经过（0，0，0）的直线l 的方程为x2=y 3=z−1，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√217B ．√219C ．√2114D ．√2167．已知直线y ＝2x +m 与曲线y =√4x −x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A ．[0，2√5−4)B ．[0，2√5−4]C ．[−2√5−4，0)D ．[−2√5−4，0]8．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），点P 在平面ABC 内，且OP ⊥平面ABC ，则|BP |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√263D ．√423二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，下列说法正确的有（ ） A ．过点（√3，﹣2） B ．斜率为√3 C ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为110．若平面α⊥β，平面α的法向量为n →=(2，1，−4)，则平面β的一个法向量可以是（ ） A ．（2，0，1）B ．（﹣2，﹣1，4）C ．（1，2，1）D ．(1，12，−2)11．已知圆心为C 的圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0与点A （0，﹣5），则（ ） A ．圆C 的半径为2 B ．点A 在圆C 外C ．点A 与圆C 上任一点距离的最大值为3√2D ．点A 与圆C 上任一点距离的最小值为√212．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=√6B ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√66C ．AC 1⊥平面A 1BDD ．AA 1与平面ABCD 所成角的余弦值为√34三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行，则实数a 的值为 ．14．已知直线l 的方向向量为（﹣3，m ，2），平面α的法向量为（n ，3，4），且l ⊥α，则2m +n ＝ ． 15．已知圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线，则a 2+b 2＝ ． 16．四面体ABCD 各顶点坐标为（2，2，1），（2，1，0），（0，1，1），（0，2，0），则它的外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝120°，F 为CD 的中点，PB ＝2，以B 为坐标原点，BA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出B ，D ，P ，F 四点的坐标；（2）求cos〈PD →，BF →〉．18．（12分）已知△ABC 的三个顶点是A （2，3），B （1，2），C （4，﹣4）． （1）求BC 边上的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过点C ，且点A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程． 19．（12分）已知圆C 经过A （0，2），B （1，1），且圆心在直线l 1：2x +y ﹣4＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若从点M （3，5）发出的光线经过直线l 2：x +y ﹣1＝0反射后恰好平分圆C 的圆周，求反射光线所在直线的方程．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 是边长为4的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，C 1G →=2GC →． （1）证明：EF ∥平面ABB 1A 1；（2）若①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为8；②C 1C 与底面ABC 所成角为60°；③异面直线B 1B 与AE 所成的角的大小为30°．请选择一个条件求平面EFG 与平面ABB 1A 1所成角（锐角）的余弦值．21．（12分）直线l ：（m +1）x +（2m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0． （1）证明：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标； （2）当直线l 被圆C 截得的弦最短时，求此时l 的方程；（3）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当△ABC 的面积最大时，求直线l 方程．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面P AB ，AB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝CD ＝2AB ＝2，PD ＝2P A ．（1）若△ABP 与△DCP 相似，三棱锥A ﹣PBC 的外接球的球心恰为PC 中点，求AB 与平面PCA 所成角的正弦值；（2）求四棱锥P﹣ABCD体积的最大值．2023-2024学年广东省深圳市校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣2，3，﹣1） B ．（2，﹣3，﹣1）C ．（2，3，1）D ．（﹣2，﹣3，1）解：根据空间直角坐标系中点的对称的性质，M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标为M ′（﹣2，3，﹣1）． 故选：A ．2．直线2x ﹣y ﹣4＝0的一个方向向量为（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．（3，﹣1）D ．（1，2）解：2x ﹣y ﹣4＝0变形为y ＝2x ﹣4， 故2x ﹣y ﹣4＝0的方向向量是m →=（1，2）， 只有选项D 符合，其他选项均不合要求． 故选：D ．3．已知直线l 的方向向量e →=(1，−2，−2)，平面α的法向量n →=(2，λ，−1)，若l ∥α，则λ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为l ∥α，故e →=(1，−2，−2)与n →=(2，λ，−1)垂直， 故e →⋅n →=(1，−2，−2)⋅(2，λ，−1)=2−2λ+2=0，解得λ＝2． 故选：C ．4．已知a ，b ∈R ，则“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直， 则a （a ﹣1）+3（a ﹣1）＝0， 解得a ＝﹣3或1，故“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知空间三点A （1，﹣1，2），B （3，0，﹣1），C （2，3，﹣3），则向量AB →与CB →的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为AB →=(2，1，−3)，CB →=(1，−3，2)， 所以cos〈AB →，CB →〉=−714×14=−12，又＜AB →，CB →＞∈（0，π），所以 〈AB →.CB →〉=2π3． 故选：C ．6．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0），且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(a ，b ，c)(abc ≠0)的直线l 的方程为x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x ﹣7y +z ﹣4＝0，经过（0，0，0）的直线l 的方程为x2=y 3=z−1，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√217B ．√219C ．√2114D ．√216解：由题意得，直线l 的方向向量为n 1→=(2，3，−1)，平面α的法向量为m 1→=(2，−7，1)， 设直线l 与平面α所成角的大小为θ， 则sinθ=|cos〈n 1→，m 1→〉|=√4+9+1×√4+49+1=|4−21−1|√14×√54=√217．故选：A ．7．已知直线y ＝2x +m 与曲线y =√4x −x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A ．[0，2√5−4)B ．[0，2√5−4]C ．[−2√5−4，0)D ．[−2√5−4，0]解：曲线y =√4x −x 2表示圆（x ﹣2）2+y 2＝4在x 轴的上半部分，当直线y ＝2x +m 与圆（x ﹣2）2+y 2＝4相切时，√5=2，解得m =±2√5−4，当点（0，0）在直线y ＝2x +m 上时，m ＝0， 可得m ∈[0，2√5−4)，所以实数取值范围为[0，2√5−4)．故选：A ．8．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），点P 在平面ABC 内，且OP ⊥平面ABC ，则|BP |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√263D ．√423解：由A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），得AB →=(−1，−1，2)，AC →=(0，−2，2)， 设平面ABC 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=−x −y +2z =0n →⋅AC →=−2y +2z =0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝1， 故n →=(1，1，1)，又OB →=(0，1，2)，OP ⊥平面ABC ，所以OP →=|OB →⋅n →||n →|=√3，又|OB →|=√02+12+22=√5，所以|BP|=√|OB →|2−|OP →|2=√5−3=√2． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，下列说法正确的有（ ） A ．过点（√3，﹣2） B ．斜率为√3 C ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1解：对于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，取x =√3时，y ＝2，故A 错误； 取x ＝0时，y ＝﹣1，即直线在y 轴上的截距为﹣1，故D 错误； 化直线方程为斜截式：y =√3x −1，可得直线的斜率为√3，故B 正确； 设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=√3，θ＝60°，故C 正确． 故选：BC ．10．若平面α⊥β，平面α的法向量为n →=(2，1，−4)，则平面β的一个法向量可以是（ ） A ．（2，0，1）B ．（﹣2，﹣1，4）C ．（1，2，1）D ．(1，12，−2)解：根据题意，n →=(2，1，−4)与平面β的法向量数量积为零，对A ：因为（2，1，﹣4）•（2，0，1）＝4﹣4＝0，满足题意，故A 正确； 对B ：因为（2，1，﹣4）•（﹣2，﹣1，4）＝﹣4﹣1﹣16＝﹣21≠0，故B 错误； 对C ：因为（2，1，﹣4）•（1，2，1）＝2+2﹣4＝0，满足题意，故C 正确； 对D ：因为(2，1，−4)⋅(1，12，−2)=2+12+8=212≠0，故D 错误． 故选：AC ．11．已知圆心为C 的圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0与点A （0，﹣5），则（ ） A ．圆C 的半径为2 B ．点A 在圆C 外C ．点A 与圆C 上任一点距离的最大值为3√2D ．点A 与圆C 上任一点距离的最小值为√2解：由圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0得（x ﹣2）2+（y +3）2＝2，知半径为√2，故A 错误；把点A （0，﹣5）代入圆的方程x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0的左边代数式有02+（﹣5）2﹣4×0+6×（﹣5）+11＝6＞0，所以点A 在圆C 外，故B 正确；圆心C 到A 的距离为|⬚|=√(2−0)2+(−3+5)2=2√2，所以圆C 上任一点到A 的距离的最大值为2√2+√2=3√2，最小距离为2√2−√2=√2；故CD 正确； 故选：BCD ．12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=√6B ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√66C ．AC 1⊥平面A 1BDD ．AA 1与平面ABCD 所成角的余弦值为√34解：由题可得：|AB →|=|AD →|=|AA 1→|=1，AB →⋅AD →=AB →⋅AA 1→=AD →⋅AA 1→=12， 对于A ，因为AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→， 所以|AC 1→|=√(AB →+AD →+AA 1→)2=√AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA →1=√1+1+1+2×12+2×12+212=√6，故A 正确；对于B ，因为BD 1→=AD 1→−AB →=AD →+AA 1→−AB →，AC →=AD →+AB →，所以BD 1→⋅AC →=(AD →+AA 1→−AB →)⋅(AD →+AB →)=1，|BD 1→|=√2，|AC →|=√3， 所以|cos ＜BD 1→，AC →＞|=|BD 1→⋅AC →||BD 1→|⋅|AC →|=√66，故B 正确；对于C ，因为BD →=AD →−AB →，BA 1→=AA 1→−AB →，所以AC 1→⋅BD →=(AB →+AD →+AA 1→)⋅(AD →−AB →)=0，AC 1→⋅BA 1→=(AB →+AD →+AA 1→)⋅(AA 1→−AB →)=0， 又因为BD ∩BA 1＝B ，所以AC 1⊥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，由题意知，AA 1在平面ABCD 上的射影为AC ，所以AA 1与AC 的夹角即为所求，因为AA 1→⋅AC →=AA 1→⋅(AB →+AD →)=AA 1→⋅AB →+AA 1→⋅AD →=1， 所以|cos ＜AA 1→，AC →＞|=|AA 1→⋅AC →||AA 1→||AC →|=11×√3=√33，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行，则实数a 的值为 ﹣2 ． 解：由于直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行， 故2×3﹣a （a ﹣1）＝0，解得a ＝3或﹣2； 当a ＝3时，两直线重合， 故a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．已知直线l 的方向向量为（﹣3，m ，2），平面α的法向量为（n ，3，4），且l ⊥α，则2m +n ＝ ﹣3 ． 解：设平面的法向量（n ，3，4）为m →， 因为l ⊥α， 所以m →∥l →，所以有−3n=m 3=24⇒{m =32n =−6⇒2m +n =2×32−6=−3．故答案为：﹣3．15．已知圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线，则a 2+b 2＝ 16 ． 解：圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36，则圆心C 1（a ，0），半径r 1＝6， 圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4， 则圆心C 2（a ，0），半径r 2＝2，圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线， 则两圆内切，即|C 1C 2|＝r 1﹣r 2， 故√a 2+(−b)2=4，即a 2+b 2＝16． 故答案为：16．16．四面体ABCD 各顶点坐标为（2，2，1），（2，1，0），（0，1，1），（0，2，0），则它的外接球的表面积为 6π ．解：设四面体ABCD 外接球的球心为（x ，y ，z ），则（x ﹣2）2+（y ﹣2）2+（z ﹣1）2＝（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+z 2＝x 2+（y ﹣1）2+（z ﹣1）2＝x 2+（y ﹣2）2+z 2，解得{ x =1y =32z =12， 即四面体ABCD 外接球的球心为（1，32，12），则外接球的半径为√12+(32−2)2+(12)2=√62，即它的外接球的表面积为4π×(√62)2=6π．故答案为：6π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝120°，F 为CD 的中点，PB ＝2，以B 为坐标原点，BA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出B ，D ，P ，F 四点的坐标； （2）求cos〈PD →，BF →〉．解：（1）由题意知，△BCD 是等边三角形，∠ABD ＝60°，BD ＝2，所以BF =√3，所以B （0，0，0），D （1，√3，0），P （0，0，2），F （0，√3，0）；（2）PD →=（1，√3，﹣2），BF →=（0，√3，0），所以cos ＜PD →，BF →＞=PD →⋅BF→|PD →||BF →|=0+3+01+3+4×3=√64． 18．（12分）已知△ABC 的三个顶点是A （2，3），B （1，2），C （4，﹣4）．（1）求BC 边上的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过点C ，且点A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：（1）由B （1，2），C （4，﹣4）．所以k BC =−4−24−1=−63=−2， 所以BC 边上的高所在直线l 1的斜率为k =12，则BC 边上的高所在直线l 1的方程y −3=12(x −2)，即x ﹣2y +4＝0．（2）因为点A ，B 到直线l 2的距离相等，所以直线l 2与AB 平行或通过AB 的中点，①当直线l 2与AB 平行，因为k AB =3−22−1=1=k l 2，且l 2过点C ， 所以l 2方程为y +4＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣8＝0．②当直线l 2通过AB 的中点D(32，52)， 所以k CD =−4−524−32=−135， 所以l 2的方程为y +4=−135(x −4)，即13x +5y ﹣32＝0．综上：直线l 2的方程为x ﹣y ﹣8＝0或13x +5y ﹣32＝0．19．（12分）已知圆C 经过A （0，2），B （1，1），且圆心在直线l 1：2x +y ﹣4＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）若从点M （3，5）发出的光线经过直线l 2：x +y ﹣1＝0反射后恰好平分圆C 的圆周，求反射光线所在直线的方程．解：（1）由题知AB 中点为(12，32)，k AB =2−10−1=−1， 所以AB 的垂直平分线方程为y −32=x −12，即x ﹣y +1＝0，联立{x −y +1=02x +y −4=0，解得{x =1y =2，即圆心为（1，2）， 所以圆C 的半径为r =√(1−0)2+(2−2)2=1，故圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1．（2）设M 关于l 2的对称点为N （x ，y ），则直线MN 与l 2垂直，且MN 的中点(x+32，y+52)在直线l 2上，则{x+32+y+52−1=0y−5x−3=1，解得N （﹣4，﹣2）， 由题意知反射光线过圆心，故y−2−4=x−1−5，即4x ﹣5y +6＝0． 20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 是边长为4的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，C 1G →=2GC →．（1）证明：EF ∥平面ABB 1A 1；（2）若①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为8；②C 1C 与底面ABC 所成角为60°；③异面直线B 1B 与AE 所成的角的大小为30°．请选择一个条件求平面EFG 与平面ABB 1A 1所成角（锐角）的余弦值．（1）证明：取A 1B 1的中点M ，连接ME ，MB ，则ME ∥B 1C 1∥BF ，ME =12B 1C 1=12BC ＝BF ，∴四边形MEFB 为平行四边形，∴EF ∥MB ，∵EF ⊄平面ABB 1A 1，MB ⊂平面ABB 1A 1，∴EF ∥平面ABB 1A 1．（2）解：过点C 1作C 1O ⊥AC 于O ，连接OB ，∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，∴C 1O ⊥平面ABC ，选择条件①：三棱锥C 1﹣ABC 的体积V =13•C 1O •S △ABC =13•C 1O •12×4×2√3=8，∴C 1O ＝2√3， 在Rt △C 1OC 中，OC =√CC 12−C 1O 2=2， ∴点O 为AC 的中点，∴OB ⊥AC ，故以O 为原点，OB 、OC 、OC 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （2√3，0，0），E （0，﹣2，2√3），F （√3，1，0），G （0，43，2√33），A （0，﹣2，0），C （0，2，0），C 1（0，0，2√3）， ∴EF →=（√3，3，﹣2√3），EG →=（0，103，4√33）， AB →=（2√3，2，0），BB 1→=CC 1→=（0，﹣2，2√3），设平面ABB 1A 1的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅AB →=0m →⋅BB 1→=0，即{2√3a +2b =0−2b +2√3c =0，令a ＝1，则b =−√3，c ＝﹣1， ∴平面ABB 1A 1的一个法向量为m →=（1，−√3，﹣1），设平面EFG 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=0n →⋅EG →=0，即{√3x +3y −2√3z =0103y −4√33z =0， 令y ＝1，则x =2√33，z =5√36，∴n →=（2√33，1，5√36）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2√33−√3−5√36√5×√43+1+2512=−7√265265， 故平面EFG 与平面ACC 1A 1所成的二面角（锐角）的余弦值为7√265265．选择条件②：∵C 1C 与底面所成的角为60°，∴∠C 1CO ＝60°，∴OC ＝2，∴点O 为AC 的中点，∴OB ⊥AC ，下面的过程同条件①中的步骤．选择条件③：∵BB 1∥AA 1，∴∠A 1AE 即为异面直线BB 1与AE 所成的角，即∠A 1AE ＝30°，∵AA 1＝4，A 1E ＝2，∴∠AA 1E ＝60°，即∠C 1CO ＝60°，下面的过程同条件②中的步骤．21．（12分）直线l ：（m +1）x +（2m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0．（1）证明：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；（2）当直线l 被圆C 截得的弦最短时，求此时l 的方程；（3）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当△ABC 的面积最大时，求直线l 方程．解：（1）证明：由题意知l 可化为m （x +2y ﹣7）+（x +y ﹣4）＝0，故{x +2y −7=0x +y −4=0，解得P （1，3）， ∴直线l 恒过定点P （1，3）．（2）∵C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0，∴圆C 的圆心为（3，2），半径r ＝4，如图所示：k PC =2−33−1=−12，当直线l 被圆截得的弦长最短时，l 与PC 垂直，k 1＝2，∴y ﹣3＝2（x ﹣1），即2x ﹣y +1＝0．（3）S △ABC =12r 2sin ∠ACB ，且∠ACB 为钝角，∴当CP ⊥I 时sin ∠ACB 有最大值，即面积有最大值，此时同（2），即l ：2x ﹣y +1＝0．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面P AB ，AB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝CD ＝2AB ＝2，PD ＝2P A ．（1）若△ABP 与△DCP 相似，三棱锥A ﹣PBC 的外接球的球心恰为PC 中点，求AB 与平面PCA 所成角的正弦值；（2）求四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值．解：（1）由题意知BP ：PC ＝1：2，∵平面ABCD ⊥平面P AB ，平面ABCD ∩平面P AB ＝AB ，且BC ⊥AB ，BC ⊂平面APB ，∴BC ⊥平面APB ，∴BC ⊥BP ，又∵BC ＝2，BP =2√3，PC =4√3， 又∵三棱锥A ﹣PBC 外接球的球心恰为PC 中点，∴P A ⊥AC ，AC =√AB 2+BC 2=√5，∴PA 2=163−5=13，即PA =1√3， ∵P A 2+AB 2＝PB 2，∴P A ⊥AB ，又∵V C ﹣ABP ＝V B ﹣P AC ，∴13×2×12×1×√3=13×12×√3×√5×ℎ，∴ℎ=25， 设AB 与平面PCA 所成角的正弦值为θ，∴sinθ=2√51=2√55． 即AB 与平面PCA 所成角的正弦值为2√55．（2）易知四边形ABCD 的面积为3，如图以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，易知点P 在平面yOz 内，设P （0，y ，z ），A （0，1，0），D （2，2，0），由PD ＝2P A 得4+（y ﹣2）2+z 2＝4（y ﹣1）2+4z 2，即3y 2+3z 2﹣4y ﹣4＝0，即(y −23)2+z 2=169， ∴P 轨迹是在面yOz 上，以(0，23，0)为圆心，43为半径的圆，∴要使四棱锥P ﹣ABCD 体积最大，即P 到平面ABCD 距离最大，且最大值为43， ∴四棱锥P ﹣ABCD 体积最大值V =13×43×12(1+2)×2=43．。

2020-2021学年广东省深圳高级中学高二下学期期中数学复习卷(1)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 某学校有300名教职工，现要用系统抽样的方法从中抽取50名教职工．将全体教职工按1−300编号，并按编号顺序平均分为50组(1−6号，7−12号，…，295−300号)，若第3组抽出的号码是15，则第6组抽出的号码为( )A. 33B. 34C. 46D. 352. 已知离散型随机变量X 的分布列为P(X =1)=35，P(X =2)=310，P(X =3)=110，则X 的数学期望E(X)=( )A. 32B. 2C. 52D. 33. 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为( )A. 5B. 3C. −5D. −34. 在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S ，则S 1>2S 2的概率是A.B.C.D.5. 已知x ，y 满足约束条件{x +2y ≤42x +y ≤4x ≥1y ≥0，则z =2x −y 的最小值为( )A. 2B. 4C. 12D. 256. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是( )A. 73.3，75，72B. 72，75，73.3C. 75，72，73.3D. 75，73.3，727. 现有5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A. C 52B. A 52C. 35D. 528.的展开式中不含y 的项的系数和为( )A.B. C.D. 19. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π4B. π3C. 3π4D. 5π610. 世界华商大会的某分会场有A ，B ，C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数( )A. 12种B. 10种C. 8种D. 6种11. 记曲线y =2a x−2−1(a >0且a ≠1)所过的定点为P ，若点P 在双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线上，则C 的离心率为( )A. √5B. √52C. √2D. 212. 已知定义域为R 的函数f(x)满足：对任意的x ∈R ，有f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[−1,1]时，f(x)=√1−x 2，若函数g(x)={lnx (x >0)e x (x ≤0)，则函数y =f(x)−g(x)在区间[−3,3]上的零点个数是( )A. 8B. 7C. 6D. 5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =x 2+x −2在点(1,0)处的切线方程为______ ． 14. 设，则二项式展开后的常数项是 ．15.正方形的顶点和各边中点共8个点，以其中3个点为顶点的等腰三角形共有______个(用数字作答)．16.已知关于x的方程的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量(单位：本)，统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．(Ⅰ)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；(Ⅱ)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设a=3，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望．(Ⅲ)记甲组阅读量的方差为s02.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为s22，试比较s02，s12，s22的大小．(结论不要求证明)18.为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)．报考“经济类”不报“经济类”合计男62430女14620合计203050(Ⅰ)据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．附：参考数据：P(X2≥k)0.050.010 k 3.841 6.635)(参考公式：X2=n(n11n22−n12n21)2n1+n2+n+1n+219.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF//DC，FD=FB．(1)若DC=2EF，求证：OE//平面ADF；(2)求证：平面AFC⊥平面ABCD；(3)若AB =FB =2，AF =3，∠BCD =60°，求直线AF 与平面ABCD 所成角的余弦值．20. (本小题满分12分)当前，网购已成为现代大学生的时尚。