勾股定理和实数概念

北师大版数学八年级上册知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+例 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12例 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）13602、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

例 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是 （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

例 下列各组中，不能构成直角三角形的是（ ）.（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等例 下列命题中，正确的是（ ）。

A 、两个无理数的和是无理数B 、两个无理数的积是实数C 、无理数是开方开不尽的数D 、两个有理数的商有可能是无理数二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= - b ，反之亦成立。

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理第十八章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数：满足222c b a=+的三个正整数，称为勾股数。

3.3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90° （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC 7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

初中数学知识点归纳总结初三数学知识点第一章实数一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。

(表为：x≥0)常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。

4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义(“三要素”)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左”到“右”(如5÷ ×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例(略)附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。

初三数学知识点第二章代数式☆内容提要☆一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

北师大版八年级上册数学知识点总及其复习巩固第一章 勾股定理1、勾股定理（1)直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6，8,10）（3,4，5)（5，12，，13)（9,12，15）(7,24，25)（9,40，41)……4、 勾股数的规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a 为奇数且a ＜b 时,如果b+c=a2， 那么a ，b,c 就是一组勾股数。

如(3,4，5）（5，12，，13)（7,24，25）（9，40，41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如： （6，8，10）（8，15，17）（10,24，26）……第一章 勾股定理一、基础达标:1。

下列说法正确的是（ )A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ,则a 2＋b 2＝c 2． 2。

△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C 。

c b a <+ D 。

222c b a =+ 3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12,则△ABC 的周长为( ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 5．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．6．假如有一个三角形是直角三角形,那么三边a 、b 、c 之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a =+，那么这个三角形是 三角形，其中b 边是 边,b 边所对的角是 ．7．一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形．8． 若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 ．9．如图,已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ,以直角边BC 为直径ACB3m4m20m作半圆，则这个半圆的面积是 ．10． 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ． 二、综合发展:11．如图,一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．12。

初二数学期中复习北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 期中复习二. 教学要求 1. 了解 2. 掌握【知识要点】 一. 1. 勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 利用勾股定理的变式进行计算由222a b c +=，可推出如下变形公式：（1）222a c b =-，（2）222b c a =-（3）a =（4）b =（5）c =3. 勾股定理的逆定理如图所示，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）不能机械地认为c 所对的角就是直角。

（2）22ab +是否等于2c ，需要通过计算进一步验算，不能开始就写222a b c +=4. 勾股定理的逆定理的延伸拓展 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c += （c 边最大），那么这个三角形是直角三角形，如果222ab c +<，那么这个三角形是钝角三角形，如果222a b c +>，那么这个三角形是锐角三角形。

5. 勾股数 满足222ab c +=的三个正整数，称为勾股数。

对于任意两个整数m ，n （m>n>0）， 22mn +，22m n -和2mn 这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组。

常见的勾股数组有：（1）3，4，5（2）6，8，10（3）8，15，17（4）7，24，25（5）5，12，13（6）9，12，15。

应熟记。

6. 应用勾股定理解决实际问题（1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。

（2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。

（3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。

勾股定理、平方根专题知识点整理第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

八年级数学上册知识点总结数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类：正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数、实数负有理数、正无理数、无理数无限不循环小数、负无理数。

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：1）开方开不尽的数，如7、32等；2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如222π+8等；3）有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01…等；4）某些三角函数值，如sin60等。

二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=−b，反之亦成立。

2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥；若|a|=−a，则a≤。

3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和−1.零没有倒数。

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算。

三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

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北师大版八年级上册数学知识点总及其复习巩固第一章 勾股定理1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……4、 勾股数的规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2， 那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如： （6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……第一章 勾股定理一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，，则a 2＋b 2＝c 2．2. △ABC 的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（ ）A ． B. C. D.3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 335．斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 ．6．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、、之间应满足 ，其中 边 90=∠A 90=∠C a b c c b a =+c b a >+c b a <+222c b a =+cm 17cm 8a b c是直角所对的边；如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是 三角形，其中边是 边，边所对的角是 ．7．一个三角形三边之比是，则按角分类它是 三角形．8． 若三角形的三个内角的比是，最短边长为，最长边长为，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．9．如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．10． 一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是 ．二、综合发展:、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．12.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少？13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.14．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速a b c 222b c a =+b b 6:8:103:2:1cm 1cm 2ABC ∆︒=∠90C 15=BA 12=AC BC cm 3212cm 4m 3m cm 15cm 20cm 2570检测仪正前方m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m ，这辆小汽车超速了吗？第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。