2012年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测(二,文数,全word版)

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）时限：40分钟 每题10分共150分 班级 学号 姓名 评价 一、选择题:1．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．xxy e e -=+ D ．3y x =-3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和5S =A ．10B ．15C ．20D ．304．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为A. 36 B ．8 C ．38 D ．126．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A B ． C ． D ．927．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现 从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄 的中位数大约是A .31.6岁B .32.6岁C .33.6岁D .36.6岁 8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x AB x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+， 0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b cB.(,][,)c a b dC. (,][,)a c d bD.(,)(,)c a d b二、填空题：(14、15题二选一)9．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________.10．函数sin()2y x x π=++的最小正周期是 ___________.11．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________.12．已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12x y+的最小值为 .13．对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.（几何证明选讲）如图， P 圆O 外一点，由P 圆O的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .三、解答题: 16．（14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面 角（锐角）的余弦值.AP2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案三、解答题: 16．（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ 又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC 注意到⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥ BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ PCAC C =， BE ⊥平面PAC 而⊂BE 平面BEF ，∴BEF PAC 平面平面⊥（2）方法一、如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系.则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C 1224(,,)3333B F B P P F B P P A =+=+=.设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =. 由0,0m BF m BE ⋅=⋅=得0343232=++z y x ，即02=++z y x ...（1） 0=+z x (2)取1=x，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =-.取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=则3cos ,||||m n m n m n ⋅<>=-ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33.方法二、取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ， 的中点为PC E ，AF PF =2，∴//EF CG . BEF EF BEF CG 平面平面⊂⊄, ， ∴//CG BEF 平面.同理可证：BEF GM 平面//. 又CG GM G =， ∴//CMG BEF 平面平面.则CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）,已知ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC ∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥ 又PBAB B =，∴CM ⊥平面PAB 由于⊂GM 平面PAB ， ∴CM GM ⊥而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线，又⊂AM 底面ABC ，⊂GM 平面CMG AMG ∠∴为二面角A CM G --的平面角 根据条件可得2=AM ，33231==PA AG在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM 在AGM ∆中，由余弦定理求得36=MG332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33.。

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学 (理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则i i m n m n +=- A ．1- B ．1 C ．i - D ．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和5S =A ．10B ．15C ．20D ．304．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为A. 36B ．8C ．38D ．126．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．172 B ．5 C ．22 D ．927．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+， 0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b cB.(,][,)c a b dC. (,][,)a c d bD.(,)(,)c a d b二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________.10．函数3sin sin()2y x x π=++的最小正周期是 ___________.11．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________. 合唱社 粤曲社 书法社 高一 45 30a 高二 15 10 2012．已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12x y +的最小值为 .13．对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________. 15.（几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于 C 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积.17．（本题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.资料来源：中国高考吧 18．（本题满分13分）CA P B佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ（单位：月）服从正态分布2(,)N μσ，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.（1）求这种灯管的平均使用寿命μ；（2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.19．（本题满分12分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q到点(A -的距离减去点Q到点B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由. 资料来源：中国高考吧 20．（本题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.(1) 若2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程；(2) 若()f x 无零点,求实数a 的取值范围；(3) 若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.21．（本题满分14分）设*N n ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y =的交点为1(,)n N y n ，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a .(1)用n 表示n R 和n a ;(2)求证:12n n a a +>>;(3)设123n n S a a a a =++++,111123n T n =++++,求证:27352nn S n T -<<.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准二、填空题（每题5分，共30分）9．30 10．2π 11．1 12．94 13． 3 14．213- 15．π49 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）解：（1）∵2A C B +=，且A B C π++=，∴3B π= …………………1分∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= …………………6分 （2）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分 在△ABC 中，由正弦定理A aB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==AC a c , 5sin ==aA b b …………………10分 三角形面积11sin 5822S ac B ==⨯⨯=…………………12分17． （本题满分14分）（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB⊥…………………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ …………………………2分又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ …………………………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ …………………………5分PC AC C =， BE ⊥平面PAC …………………………6分而⊂BE 平面BEF ，∴BEF PAC 平面平面⊥ …………………………7分（2）方法一、如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系.则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………8分 1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+=. …………………………10分设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =.由0,0m BF m BE ⋅=⋅=得0343232=++z y x ， 即02=++z y x (1)x (2)+z=取1=x ，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =-. …………………………12分取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n则3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>=-， 故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. ……………14分方法二、取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，的中点为PC E ，AF PF =2，∴//EF CG . ……………8分BEF EF BEF CG 平面平面⊂⊄, ， ∴//CG BEF 平面. ……………9分同理可证：BEF GM 平面//. 又CG GM G =， ∴//CMG BEF 平面平面.…………10分则CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）已知ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥ …………11分又PB AB B =，∴CM ⊥平面PAB由于⊂GM 平面PAB ， ∴CM GM ⊥而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线，又⊂AM 底面ABC ，⊂GM 平面CMGAMG∠∴为二面角ACM G --的平面角 …………12分根据条件可得2=AM ，33231==PA AG 在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM 在AGM∆中，由余弦定理求得36=MG …………13分 332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. …………14分 18．（本题满分13分） 解：（1）∵2(,)N ξμσ，(12)0.8P ξ≥=，(24)0.2P ξ≥=，∴(12)0.2P ξ<=，显然(12)(24)P P ξξ<=> …………………3分由正态分布密度函数的对称性可知，1224182μ+==， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； …………………5分 （2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2-=， …………………6分假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则(4,0.2)B η， …………………10分故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)P P P ηη=-=-=041314411310.80.80.2625C C =--⨯=（写成≈0.18也可以）. …………………13分 19．（本题满分13分）解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， ……………………2分因为动点P 到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，所以12||||PC PC =, ……………………3分即=，化简得23y x =-， ……………………4分因此点P的轨迹方程是23y x =-； ……………………5分（2）假设这样的Q 点存在，因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4， 所以Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q点在曲线221(2)44x y x -=≥上， ……………………9分又Q 点在直线:23l y x =-上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，……………………11分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解， 所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q . ……………………13分20．（本题满分14分） 解：方法一在区间()0,+∞上,11()axf x a x x-'=-=. ……………………1分 （1）当2a =时，(1)121f '=-=-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++= …………3分（2）①若0a <,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,(1)0f a =->,()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<, (1)()0a f f e ∴⋅<,函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点. …………6分 ②若a =,()ln f x x=有唯一零点1x =. …………7分③若0a >,令()0f x '=得: 1x a=.在区间1(0,)a 上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数;在区间1(,)a+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数;故在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a=-=--.由1()0,f a <即ln 10a --<,解得:1a e>.故所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分 方法二、函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =即ln xa x=在()0,+∞上无实数解…………4分令ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x -'= 由()0g x '=即21ln 0xx -=得：x e = …………6分在区间(0,)e 上, ()0g x '>,函数()g x 是增函数; 在区间(,)e +∞上, ()0g x '<,函数()g x 是减函数; 故在区间()0,+∞上,()g x 的极大值为1()g e e=. …………7分注意到(0,1)x ∈时，()(),0g x ∈-∞；1x =时(1)0g =；()1,x ∈+∞时，1()0,g x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故方程ln x a x =在()0,+∞上无实数解⇔1a e>. 即所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分 [注:解法二只说明了()g x 的值域是1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,但并没有证明.](3) 设120,x x >>12()0,()0,f x f x ==1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=1212ln ln ()x x a x x ∴+=+,1212ln ln ()x x a x x -=-原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>12()2a x x ⇔+>121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+1122122()ln x x x x x x -⇔>+令12x t x =,则1t >,于是1122122()2(1)lnln 1x x x t t x x x t -->⇔>++. …………12分设函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >, 求导得: 22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++ 故函数()g t 是()1,+∞上的增函数, ()(1)0g t g ∴>= 即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立,故所证不等式212x x e ⋅>成立. ……………………14分 21．（本题满分14分） 解：(1)由点N在曲线y =上可得1(N n , ……………………1分 又点在圆n C 上，则222111(),n n n R R n n n +=+==, ……………………2分从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=, ……………………4分由点1(N n在直线MN 上得: 11n na =,将n R =代入 化简得:11n a n =++……………………6分(2)111n +>>,*1,12n n N a n ∴∀∈=++> ……………………7分又11111n n +>+>+,111111n n a a n n +∴=+>++=+ ……………………9分(3)先证:当01x ≤≤时,11)12x x +≤≤+. 事实上,不等式11)12x x +≤≤+22[11)]1(1)2xx x ⇔+≤+≤+22211)1)114x x x x x ⇔++≤+≤++2223)1)04x x x ⇔+≤≤后一个不等式显然成立,而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤. 故当01x ≤≤时,不等式11)12xx +≤≤+成立.1111)12n n∴+≤<+, ……………………11分1132122n a n n n∴≤=+++(等号仅在n =1时成立) 求和得: 3222n n n n T S n T +≤<+⋅27352n n S n T -∴<≤< ……………………14分欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（文科）本试卷共4页21小题满分150分考试用时120分钟注意事项：2013-4-181．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目 2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回 参考公式：棱锥的体积公式：． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，集合，则等于 A． B． C． D． 2．已知复数，且，则复数A． B． C． D． 3．已知命题：，，那么是 A．，B．， C．，D．，4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是 A．30 B．60 C．70 D．80 5．函数，,则 A．为偶函数，且在上单调递减; B．为偶函数，且在上单调递增; C．为奇函数，且在上单调递增; D．为奇函数，且在上单调递减. 6．设等比数列的前项和为，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7．已知幂函数，当时，恒有，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题： ① 若 则 ②若，，则 ③ 若，则 ④若，则 其中真命题的序号是 A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③ 9．直线与不等式组表示平面区域的公共点有 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 10．已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．设是长为2的线段，点集所表示图形的面积为 A. B. C. D. 二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题) 11．已知向量满足, ,则向量与的夹角为经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . 13．将集合{|且}行第列的数记为（）,则=. (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为． 15．（几何证明选讲）， 直线与圆O相切于点， 于D， 若，设，则______． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限， （1）若,求的值. （2）若点横坐标为,求. 17．（本题满分12分） 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班， （1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）; （2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的 道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道 相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？ 18．（本题满分14分）如图，四棱柱中， 是边长为的正方形， 垂直于底面，且． （1）点棱上， 求证：平面的体积．已知椭圆和抛物线有公共焦点, 的中心和的顶点都在坐标原点，直线过点 （）的标准方程； （）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值. 某地，，预计年后该地将.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积，每年以的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加.设第)年新城区的住房总面积为，该地的住房总面积为. （）求； （）若每年拆除，比较与的大小. ，，是常数. （1）求的单调区间； （2）若有极大值，求的取值范围. 2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学（文科） 评分BDBCACBDBD 二、填空题 11． ． ．．） 15． 16．，， ……1分 ， ……2分 ，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由题可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 设，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 记， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式计算各1分） ……8分 （列式计算各1分） ……10分 ∴（列式计算各1分） ……12分 解法2、 由题意得：的直线方程为 ……6分 则 即（列式计算各1分） ……8分 则点到直线的距离为（列式计算各1分） ……10分 又，∴（每式1分）…12分 即 （每式1分） ……6分 即：， ， ……7分 ，，……9分 （模长、角的余弦各1分） ∴ ……10分 则（列式计算各1分） ……12分 解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分） 17．李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC共12种情况 ……6分 从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC 分共种情况，8分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率12分 1．解，，在中， ……1分 同理可知，， （每式1分） ……3分 所以， ……4分 则， ……5分 同理可证，， ……6分 由于，平面，平面， ……7分 所以，平面．解（或）和证明平面解如图1，易知三棱锥的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即（文字说明1分）……11分 ……13分 ……14分 解法2、 依题意知，三棱锥的各棱长分别是 ，（每式1分）……10分 如图2，设的中点为，连接， 则，，且， 于是平面， ……12分 设的中点为，连接，则，且， 则三角形的面积为， ……13分 所以，三棱锥的体积．19．由题意，抛物线的，则 ……2分 所以方程为：．解设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以即，解之得， 将其代入抛物线方程，得，所以 联立 ，消去，得 ……11分 由，得， 注意到，即，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为.14分 解法2、 设 ，因为两点关于直线对称，， ……5分 即，解之得 ……6分 即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于 如图.则,于是直线方程为（讨论、斜率与方程各1分） ……9分 联立 ，消去，得 ……11分 由，得， 注意到，即，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为.14分 20．设第年新城区的住房建设面积为，则当时，；当时，. 所以, 当时， ⑵时，，，显然有 时，，，此时. 时，，10分 . ……11分 所以,时，；时，.时，显然13分 （对1-2种情况给1分，全对给2分） 故当时，；当 时，. 14分 21． ……1分 设，其判别式 ……2分 ①当时，，,在定义域上是增函数；……3分 当时，由解得： （每个根1分）……5分 ②当时，，；又，，故，即在定义域上有两个零点 在区间上，，，， 为上的增函数 在区间上，，，，为上的增函数 在区间上，，，,为上的增函数.……6分 ③当时，，在区间上，，，；在区间上，，，， ……7分 ④当时，函数的定义域是，，在上有零点，在上有零点；在区间和上，，在和上为增函数；在区间和上，，在和上位减函数. ……8分 综上: 当时,函数的递增区间是；当时, 的递增区间是和,递减区间是；当时，的递减区间是；递增区间是；当时，的递减区间和,递增区间是和. ……9分 ⑵当时，的定义域是，当时，的定义域是，，令，则（每个导数1分） ……11分 在区间上，，是增函数且； 在区间上，，是减函数且； 当时，. ……12分 故当时，，无极大值； 当时，，方程在区间和上分别有一解，此时函数在处取得极大值；……13分 当时，方程在区间上有一解，此时函数在处取得极大值. 综上所述，若有极大值，则的取值范围是. ……14分 丙 甲 乙 第17题图 第15题图 第13题图 第4题图 80 0.04 0.02 0.01 130 120 100 频率/组距 90 第18题图 （第8题图1） （第18题图2）。

2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学 (理科) 2013.1本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式：球的表面积公式24S R π=,其中R 为球的半径． 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1． 已知点(1,2),(3,6)A B -,则过,A B 两点的直线斜率为A.1-B.12C. D. 22. 若直线1l :410ax y -+=,2l :10ax y ++=,且12l l ⊥,则实数a 的值为A.2B.2±C.4D. 4±3. 若命题p :0x ∃>,2320x x -+>,则命题p ⌝为A. 0x ∃>,2320x x -+≤B. 0x ∃≤,2320x x -+≤C. 0x ∀>,2320x x -+≤D. 0x ∀≤,2320x x -+≤4．如图所示的几何体为正方体的一部份,则它的侧视图可能是A B C D5．若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥,c b //,则直线a 与cA. 一定平行B. 一定垂直C. 一定是异面直线D. 一定相交 6．若集合{}0,A m =,{}1,2B =,则“1m =”是“{}0,1,2AB =”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A. 34150x y +-= B. 34150x y --=第4题图C. 43200x y -+=D. 43200x y --=8．已知命题p :sin y x =,R x ∈是奇函数；命题q :已知,a b 为实数,若22a b =,则a b =.则下列判断正确的是A. p q ∧为真命题B. ()p q ⌝∨为真命题C. ()p q ∧⌝为真命题D. ()()p q ⌝∨⌝为假命题 9．点(1,3)P -到直线:(2)l y k x =-的距离的最大值等于A . 2 B. 3 C.D. 10. 点P 到图形E 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形E 的距离.已知点(1,0)A ,圆C :2220x x y ++=,那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为的点的轨迹是A. 双曲线的一支B. 椭圆C. 抛物线D. 射线二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分. 11．棱长为的正方体的外接球的表面积是 .12．若直线210x y -+=平分圆01222=+-++my x y x13．如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为棱1CC 的中点,则异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为 .14．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是____________cm ．A 1第13题图三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点,OA 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒, PA ⊥底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC .17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.第16题图PBAMDC第15题图18.(本小题满分14分)已知动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）若轨迹T 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,且||2FA =,||5FB =,在轨迹T 位于A 、B 两点间的曲线段上求一点P ,使P 到直线AB 的距离最大,并求距离的最大值.19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面1BDD ；（Ⅱ）若二面角1D BC D --的大小为45︒, 求直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ∆的面积4OPQ S ∆=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.第19题图BD CAA 1B 1C 1D 1二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分. 11．3π 12．2-1314．458三、解答题:本大题共6小题,满分80分,15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点, O 、A 、B 、C 按逆时针排列,A 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为四边形OABC 是矩形,OA 所在直线的斜率OA k =…2分 所以OC 的斜率为3-,OC 所在的直线方程为y =,…4分 因为4OC AB ==,设(),C x ,则24OC x ===, ……………………6分所以2x =-或2x =(舍去),所以点C的坐标为(2,-.…………………………………………8分（Ⅱ）因为OA 与BC, 所以BC所在直线的斜率BC OA k k ==10分 所以BC所在直线的方程为()23332+=-x y ,即80x -+=.…………………………12分给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,PA ⊥ 底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC . 解:(Ⅰ) 取PA 的中点E ,连结,ME BE ,…………1分因为M 为PD 的中点,所以1//2EM AD ,又1//2BC AD …………3分所以//EM BC ,所以四边形BCME 为平行四边形,所以//CM BE ,………………………………………5分 又BE ⊂平面PAB ,CM ⊄平面PAB ,所以//CM 平面PAB .………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,1AB BC ==,2AD =,过C 作CH AD ⊥于H ,由平几知识易得AC =CD =第16题图P BA MD第16题答案图EPBA MDCH所以222AC CD AD +=,所以AC CD ⊥……………………9分 又PA ⊥ 底面ABCD ,CD ⊂底面ABCD , 所以PA CD ⊥…………………11分 又PAAC A =,所以CD ⊥平面PAC .…………………13分17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程； （Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.解:(Ⅰ)解法一:设圆心(,)C a a ,因为AC BC =,所以=解得1a =……………………………………………………………………………………………………4分 所以圆心(1,1)C ,半径r AC == ……………………………………………………………………6分所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………………………………7分解法二:设圆C的方程为()()()2220x a y a r r -+-=>, ……………………………………………2分依题意得()()()222222332a a r a a r⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,………………………………………………………………………5分 解得21,5a r ==,所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………7分解法三:依题意易得线段AB 的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分联立方程组32y x y x =⎧⎨=-⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.（Ⅱ）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4, 所以圆心(1,1)C 到直线2y x m =+的距离1d == ……………………………10分∴1，解得1m =-± ……………………………………………………………………13分18.(本小题满分14分)已知动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹T 的方程；（Ⅱ） 若轨迹T 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,并且||2FA =,||5FB =,在轨迹T 位于A 、B 两点间的曲线段上求一点P ,使P 到直线AB 的距离最大,并求距离的最大值.解:(Ⅰ) 因为动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切,所以圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等, …………………………………2分由抛物线定义可知,C 的轨迹T 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,…………………4分 所以动圆圆心C的轨迹T 的方程为24y x =.……………………………………………………………5分（Ⅱ）由已知得)0,1(F ,设A ),(11y x (其中10y >), 由2=FA 得1,2111==+x x ,所以()1,2A …………………………………………………………7分同理可得()4,4B -,所以直线AB 的方程为042=-+y x . …………………………………………9分解法一:设抛物线曲线段AOB 上任一点),(00y x P ,其中2004y x =,24,4100≤≤-≤≤y x ,则点P 到直线AB 的距离d 12分所以时点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………14分 解法二:设与AB平行的直线()204x y m m ++=≠-,…………………………………10分当与抛物线相切时,切点到AB 的距离最大. 由方程组2204x y m y x++=⎧⎨=⎩消元得()224440x m x m +-+=(*)由()2244160m m ∆=--=得12m =………………………12分 此时(*)式的解为14x =,切点1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,距离最大值为1059.…14分19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面1BDD ；（Ⅱ）若二面角1D BC D --的大小为45︒,求直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值.解:(Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得BD == 所以222AD BD AB +=,所以90ADB ∠=︒,即AD BD ⊥ 又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥……………2分 又1D D ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,所以1D D BC ⊥…4分又1D D BD D =,所以BC ⊥平面1BDD ,…………5分 又BC ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面1BDD .……6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知BC ⊥平面1BDD ,所以1,D B BC DB BC ⊥⊥ 所以1D BD ∠为二面角1D BC D --的平面角, 所以145D BD ∠=︒,所以1DD BD ==.…………8分解法一:取1BD 的中点M ,连结,DM CM ,则1DM BD ⊥ 又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11A BCD 平面1BDD 1BD =,所以DM ⊥平面11A BCD所以DCM ∠为直线CD 与平面11A BCD 所成的角, …………………………10分 在Rt CDM ∆中,112DM BD ==2CD =,所以sin DCM ∠= 所以直线CD 与平面11A BCD ………14解法二: 以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则(1D ,()C -,()B ,所以()DC =-,()1,0,0BC =-,(11,CD =…10 设平面11A BCD 的法向量为(),,n x y z =,则100n BC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,令1z =,得()0,1,1n =,……12分设直线CD 与平面11A BCD 所成的角为θ,则3sin 2n DC n DCθ⋅===⋅第19题图BD CAA 1B 1C 1D 1 第19题解法一图BD C AA 1B 1C 1D 1M1所以直线CD 与平面11A BCD………………………14分 说明:第（Ⅱ）问可不写出C 点的坐标,而直接通过DC AB =,BC AD =,11CD BA =得到所需向量.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ∆的面积4OPQ S ∆=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．解:(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>,依题意得34,5c b a ==,又222a b c =+,…………………………………………3分 所以5,4,3a b c ===, 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………………5分（Ⅱ）依题意OP =,直线OP 的方程为y x =,因为4OPQ S ∆=,所以Q 到直线OP 的距离为, 所以点Q 在与直线OP 平行且距离为, 设:l y x m =+, 解得4m =±………………9分当4m =时,由22412516y x x y =+⎧⎪⎨+<⎪⎩,消元得2412000x x +<,即200041x -<<又x Z ∈,所以4,3,2,1x =----,相应的y 也是整数,此时满足条件的点Q 有4个.…………12分当4m =-时,由对称性,同理也得满足条件的点Q 有4个.综上,存在满足条件的点Q ,这样的点有8个. …………………………………14分。

广东佛山市20XX 届普通高中高三教学质量检测（二）数学（文）试题本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.参考公式: 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}2,3,4,1,2P Q ==，则()UP Q =A ．∅ B. {}1 C. {}2 D. {}1,2 2．若将复数(12)i i -表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab 的值为A ．-2B ．21-C ．2D ．21 3．在等差数列{}n a 中，若232a a +=，456a a +=，则56a a +=A.8B. 10C. 12D. 144．已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则[(1)]f f -=A ．2-B ．1-C ．1D ．25. 已知命题p :函数sin()2y x π=+的图像关于原点对称；q :幂函数恒过定点(1,1).则A ．p q ∨为假命题B ．()p q ⌝∨为真命题C ．()p q ∧⌝为真命题D ．()()p q ⌝∧⌝为真命题 6．已知1x >，则11y x x =+-的最小值为 A.1 B. 2 C. 22 D. 3 7． 已知△ABC 的面积为6，三边,,a b c 所对的角为,,A B C ，若4cos 5A =，且1b c -=，则a 的值为A.3B. 4C. 5D. 6 8．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是A ．若//l α，m αβ=，则//l m ； B ．若//l α，//m α，则//l m ；C ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥；D ．若//l α，m l ⊥，则m α⊥．9. 已知双曲线221x y -=的一条渐近线与抛物线2y x a =+只有一个公共点，则a 的值为A ．14B ．12C ．34D ．1 10. 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：sin()y A x B ωϕ=++．则中午12点时最接近的温度为A ．26CB ．27C C ．28CD ．29C二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分） (一)必做题(11～13题)11. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y=+2的最大值为 .12. 某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元，若一次 采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据 折扣情况设计的算法程序框图，若一次采购85台该平板电脑， 则S = 元.13．如下数表，为一组等式：123451,235,45615,7891034,111213141565,s s s s s ==+==++==+++==++++=某学生根据上表猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，老师回答正确，则a b c ++= ． (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程）已知⊙O 的方程为22cos 22sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则⊙O 上的点到直线11x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的距离的最大值为 ．15.（几何证明选讲）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ， 直线PO 交圆O 于,B C 两点，2AC =,120PAB ∠=， 则圆O 的面积为 ．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）（第一问5分，第二问7分）已知平面直角坐标系上的三点(0 1)A ，、(2 0)B -，、(cos sin )C θθ，（(0,)θπ∈），且BA 与OC 共线. （1）求tan θ；（2）求sin()4πθ-的值.17．（本题满分12分）（第一问5分，第二问5分，第三问2分）为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分.根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85,100]之间为优秀;在[75,85)之间为良好；在[65,75)之间为合格；在(0,60)之间，体能素质为不合格.现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下:（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；（2）现用分层抽样的方法在该校高一年级共900名学生中抽取6名学生，在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率；（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价. 18．（本题满分14分）（第一问7分，第二问7分）如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图2是该几何体的主视图． （1）求该几何体的体积； （2）证明：1DF 平面11PA F ．65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93, 85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.19．（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,1)（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 为椭圆C的左右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别交直线l 于,E F 两点.证明：当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅恒为定值.20．（本题满分14分）（第一问6分，第二问8分）已知函数22()(0)af x x x x=+>. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当12a =时，若112212(,()),(,())(0)P x f x Q x f x x x <<是函数图象上的两点，且存在实数00x >，使得21021()()()f x f x f x x x -'=-.证明：210x x x <<.21．（本题满分14分）（第一问4分，第二问5分，第三问5分）已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+．（1）若数列{}n b 是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是否是等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；（3）求证：1132ni i ia b =<∑．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCABBDACAB二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11． 2 12．153000 13．1 14．32 15． 4π三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分）（1）解法1：由题意得：(2,1)BA =，(cos ,sin )OC θθ=，……………………………2分 ∵//BA OC，∴2sin cos 0θθ-=， …………………………4分 ∴1tan 2θ=. …………………………5分解法2：由题意得：(2,1)BA =，(cos ,sin )OC θθ=，……………………………2分 ∵//BA OC ，∴BA OC λ=，∴2cos 1sin λθλθ=⎧⎨=⎩， ……………………………4分∴1tan 2θ=……………………………5分 解法3：由题意知，点C 为单元圆上的点，如图所示， ∵//BA OC ，∴//BA OC ，则BA OC k k =，………………3分 ∴1tan 2OC BA k k θ===； ……………………………5分 （2）∵1tan 02θ=>，[0,)θπ∈，∴(0,)2πθ∈，由22sin 1cos 2sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得5sin θ=，25cos θ=， …………………………8分 ∴5225210sin()sin coscos sin444525210πππθθθ-=-=⨯-⨯=-．……………12分17．（本题满分12分）解：(1)评分说明：正确填表2分；正确完成频率分布直方图2分. （说明：频率分布表对1个、2个、3个给1分；对4个给2分. 频率分布直方图对一个给1分；对2个给2分.） 根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀的有1090030030⨯=人 ………5分 （2）设在抽取的6名学生中任取2名，恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的事件为A ，则抽取的6名学生中体能素质为优秀的有106230⨯=人，记作12,a a . 非优秀的有206430⨯=人，记作1234,,,b b b b . ……………………………7分 则基本事件有：121112131421222324121314232434(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a ab a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b共15个 …………………9分事件A 包含的基本事件有：1112131421222324(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b a b a b a b ，共8个…………11分所以恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率为8()15P A = ……………12分 （3）答对下述三条中的一条即可给2分： ①估计该校高一学生中体能素质为优秀有1090030030⨯=人，占总人数的13，体能素分组 频数频率[65,70)2230 [85,90)6630质为良好的有1490042030⨯=人，占总人数的715，体能素质为优秀或良好的共有2490072030⨯=人，占总人数的45，说明该校高一学生体能素质良好.②估计该校高一学生中体能素质为不合格的有1900330⨯=人，占总人数的130，体能素质仅为合格的有590015030⨯=人，占总人数的16，体能素质为不合格或仅为合格的共有690018030⨯=人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参加体育锻炼.③根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有1090030030⨯=人，占总人数的13， 体能素质为良好的有1490042030⨯=人，占总人数的715，体能素质为优秀或良好的共有2490072030⨯=人，占总人数的45，但体能素质为不合格或仅为合格的共有690018030⨯=人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质良好,但仍有待进一步提高，还需积极参加体育锻炼.18．（本题满分14分）解：（1）由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成， ∴正六棱柱的体积为：116222V Sh ==⨯⨯= ………………………3分正六棱锥的体积为：2111623332V Sh ==⨯⨯⨯= ………………………6分∴该几何体的体积的体积为12V V V =+= ………………………7分（2）证明∵侧面全为矩形，∴1AF FF ⊥； 在正六边形ABCDEF中，AF DF ⊥， ………………………8分又1DFFF F=，∴AF ⊥平面1DFF ； ……………………9分∵11//AF A F ，∴11A F ⊥平面1DFF ；又1DF ⊂平面1DFF ，∴111A F DF ⊥；……………………11分 （注：也可以由勾股定理得到）在1DFF ∆中，12FF =，23DF =，∴14DF =， 又1113PF PD ==；∴在平面11PA ADD 中，如图所示，225229PD =+=，∴22211DF PF PD +=，故11DF PF ⊥；……………………13分又1111A F PF F =，∴1DF ⊥平面11PA F ． ………………………14分（说明：在上述证明线面垂直的过程中，如果缺了1DFFF F = ，1DF ⊂平面1DFF ，1111A F PF F =三个条件中的任意两个本问扣掉3分，如果三个条件都缺，则本题最多只能得4分）19．（本题满分14分） 解：解：（1）由题意可知，1b =， ……………1分而32c a =， ……………2分 且222a b c =+. ……………3分解得2a =， ……………4分 所以，椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分 （2）(2,0),(2,0)A B -.设00(,)P x y ，022x -<<， ……………6分直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令22x =，则00(222)2y y x +=+， 即00||||(222)|2|y DE x =++； …………8分直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =02)2y y x =-，即00||||2)|2|y DF x =-； (10)分0000||||||||2)2)|2||2|y y DE DF x x ⋅=⋅+-2200220044|4|4y y x x ==-- …………12分而220014x y +=，即220044y x =-，代入上式，∴||||1DE DF ⋅=，所以||||DE DF ⋅为定值1. ……………14分20．（本题满分14分）(1) 解：322222()2a x af x x x x-'=-= …………1分 ①当0a ≤时，()0f x '>，函数在(0,)+∞上单调递增； ………3分 ②当0a >时，当0x <<时，()0f x '<，函数在上单调递减；当x >()0f x '>，函数在)+∞上单调递增. …………5分综上可知，当0a ≤时，函数()f x 单调递增为(0,)+∞；当0a >时，函数()f x 单调递减区间为；单调递增区间为)+∞. …………6分 (2) 方法1：当12a =时，21()(0)f x x x x=+>，此时21()2f x x x '=-，………7分 222121212121122121212112111()()()[()]()()1()x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+--===+----，从而原等式为0212012112()x x x x x x -=+-. ………8分 由题意可得0x 是方程21212112()0x x x x x x --++=的根， ……………9分 令2121211()2()g x x x x x x x =--++，21111212221121211()2()x x g x x x x x x x x x x x -=-+--=--122121()10x x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，…11分12221221222121211()2()x x g x x x x x x x x x x x -=-+--=--212121()10x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，…12分12()()0g x g x ⋅<，由零点的存在性定理，可知：102x x x ∴<<. …14分方法2：21()2f x x x'=-，210012202112()()11'()2,f x f x f x x x x x x x x x -=-=+-- 由已知得0122012112x x x x x x -=+- ……………8分 欲证210x x x <<，先比较02012x x -与12112x x -的大小. 由01121222011211111222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1221212221211()10x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-+> ⎪⎝⎭………11分 另一方面，导函数2312()(2)20f x x x x '''=-=+> …………12分 故由01()()0,f x f x ''->得10x x <；同理，可证02x x <，因此210x x x <<. …………14分 方法3：21()2f x x x'=-，210012202112()()11'()2,f x f x f x x x x x x x x x -=-=+--， 由已知得0122012112x x x x x x -=+- ， …………8分 因12112x x -<12121x x x x +-22212x x <-， …………10分 即12112x x -<0222021122x x x x -<-，由0220202222200211(2)(2)()20x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=-+> ⎪⎝⎭ ……………12分 而02220220x x x x ++>，所以02x x <. 同理可证10x x <，因此210x x x <<. ……………14分21．（本题满分14分）解：（1）依题意，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=， ……………1分由11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+， 可得111223311(2)21n n n a b a b a b a b n ---++++=-⋅+()2n ≥，两式相减可得12n n n a b n -⋅=⋅，即n a n =. ……………2分当111n a ==时，，从而对一切n N *∈，都有n a n =. ……………3分所以数列{}n a 的通项公式是n a n =. ………4分 （注：求出121,2a a ==，并归纳出n a n =给2分）（2）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.由（1）得，11122,(1)n n n n n n a b n b a n d --⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ …………5分 111122()n n n n b a d a d nd d n--⋅=--++＝ ……………6分 要使1n nb b +是一个与n 无关的常数，当且仅当10a d =≠ ……………7分 即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是12n n b d-=； 当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． ……………9分 法2：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.由（1）得，11122,(1)n n n n n n a b n b a n d --⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ ……………5分 若数列{}n b 是等比数列，则2111212[()]n n b dn a n a d b dn a n+++-=+…………6分 要使上述比值是一个与n 无关的常数，须且只需10a d =≠. ………7分 即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是12n n b d-=8分 当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． …………9分（3）证明：由（1）知12n n n a b n -=⋅.2311111111112232422n n i i i a b n -==+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑ 23111111111122222222n n i i i a b -=<+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑()3n ≥……………12分 211()1112114812n --=++⨯- ……………13分 11131442≤++= ……………14分。

2012年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学 (理科) 2012.1本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：圆台的侧面积公式()S r r l π'=+（其中r 、r '分别为底面半径，l 为母线长）．台体的体积公式）下下上上S S S S h V +⋅+=(31（其中h 是台体的高）． 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．与直线230x y --=相交的直线的方程是A ．4260x y --=B ．2y x =C ．25y x =+D ．23y x =-+2．“ln 1x >”是“2x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的 侧视图可以为A ．B ．C ．D ． 4．命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是A ．若1a b +≤，则a b >B ．若1a b +<，则a b >C ．若1a b +≤，则a b ≤D ．若1a b +<，则a b <5．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为A ．012=+-y xB ．012=++y xC ．012=--y xD ．012=-+y x正视图俯视图6．正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是1DD 、BD 的中点，则直线1AD 与EF 所成的角余弦值是A ．12 B．2CD7．若过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为12a ，则该椭圆的离心率为AB ．34C ．12 D ．148．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是11,BC CD 的中点，则下列说法错误的是A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行9．设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是A ．若l m ⊥，m α⊥，则l α⊥或//l αB ．若l γ⊥，αγ⊥，则//l α或l α⊂C ．若//l α，//m α，则//l m 或 l 与m 相交D ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥或l β⊂10．已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ，且,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于A ．43- B. 34- C.54- D.45-C 1D 1 B 1 A 1NM B CD AC 1D 1B 1A 1E FBCD A二、填空题:本大共4小题 ,每小题5分，满分20分）11．已知命题:(1,)p x ∀∈+∞，2log 0x >，则p ⌝为 ．12．已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若12//l l ，则实数a 的值 是 ．13．已知向量(1, 2)=a，(, 1)x =--b ，若(2)+⊥a b b ，则x = ． 14．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）① 能构成每个面都是等边三角形的四面体； ② 能构成每个面都是直角三角形的四面体；③ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体； ④ 能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）．若一个圆台的的正（主）视图如右图所示．（1）求该圆台的侧面积； （2）求该圆台的体积． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，以(1,2)C -为圆心的圆与直线10x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）求过点(3,4)且截圆C所得的弦长为 17．（本题满分14分）如图，在三棱柱111BCD B C D -与四棱锥11A BB D D -的组合体中，已知1BB ⊥平面BCD ，四边形ABCD 是平行四边形，120ABC ∠= ，2AB =，4AD =，11BB =．设O 是线段BD 的中点．（1）求证：1//C O 平面11AB D ； （2）证明：平面⊥11D AB 平面1ADD ；第15题B 1DABC C 1D 1O18．（本题满分14分）已知直线1l 经过两点(3,4)A ，(0,5)B -．（1）求直线1l 关于直线0:l y x =对称的直线2l 方程；（2）直线2l 上是否存在点P ，使点P 到点(1,0)F 的距离等于到直线:1l x =-的距离，如果存在求出P 点坐标，如果不存在说明理由． 19．（本题满分14分）如图，三角ABC 是边长为4正三角形，PA ⊥底面ABC，PA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE AC ⊥．（1）证明：DE ⊥平面PAC ；（2）求直线AD 和平面PDE 所成角的正弦值． 20．（本题满分14分）已知动点P 到点(1,0)F 的距离与它到直线4x =的距离之比为12. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点M 是圆22:(3)1C x y +-=上的动点，求||||PM PF +的最大值及此时的P 点坐标．PABCE2012年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）11．(1,)x ∃∈+∞，2log 0x ≤． 12．3- 13．1或3- 14．①②③④ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分） 解析：（1）由图可知，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的母线长为所以圆台的侧面积为()(12)S r r l ππ'=+=+=． -------------------6分（2）圆台的体积为1114()(4)2333V S S h πππ'=+=⨯=． -------------------12分16．（本题满分12分） 解析：（1）设圆的方程是22(1)(2)x yr -++=， -------------------1分依题意得，所求圆的半径，3r ==，-------------------3分 ∴所求的圆方程是22(1)(2)9x y -++=． -------------------4分（2）∵圆方程是22(1)(2)9x y -++=，当斜率存在时，设直线的斜率为k ，则直线方程为4(3)y k x -=-， -------------------5分即430kx y k -+-=，由圆心(1,C -到直线的距离2d ==，-------------------6分即1=，解得43k =，-------------------8分∴直线方程为44(3)3y x -=-，即43x y -=，-------------------9分∴当斜率不存在时，也符合题意，即所求的直线方程是3x =． -------------------11分∴所求的直线方程为3x =和430x y -=． -------------------12分17．（本题满分14分）（1）证明：取11B D 的中点E ，连结1C E ，OA ，则,,A O C 共线，且1C E OA =， -------------------1分∵111BCD B C D -为三棱柱， ∴平面//BCD 平面111B C D ， 故1//C E OA，-------------------3分∴1C EAO 为平行四边形， 从而1//C O EA ． -------------------5分又∵1C O ⊄平面11AB D ，EA ⊂平面11AB D ， ∴1//C O 平面11AB D ． -------------------7分（2）证明：∵120ABC ∠=，4=AB ，2=AD ，则3260cos 4221640=⨯⨯-+=BD ，B 1DAB CC 1D 1(第19题)OE则22216BD AD AB +==，2π=∠ADB ，即AD BD ⊥， -------------------10分又1BB ⊥平面BCD ，⊂BD 平面BCD ，BD BB ⊥1， 在三棱柱111BCD B C D -中，11//DD BB ，则1DD BD ⊥， 而DAD DD = 1，∴⊥BD 平面1AD D ，-------------------12分又11//D B BD ，得⊥11D B 平面1ADD ， 而⊂11D B 平面11D AB ， ∴平面⊥11D AB 平面1AD D ．-------------------14分18．（本题满分14分） 解析：（1）直线1l 的斜率为45330k +==-， 由点斜式得直线1l 的方程为53y x +=，即350x y --=．∴直线1l 关于直线0:l y x =对称的直线2l 方程方程为350x y -+=． ------------------6分 （2）假设存在符合条件的点P ，因为点P 到点(1,0)F 的距离等于到直线:1l x =-的距离，所有由抛物线的定义可知，点P 在抛物线24y x =上， ------------------8分又∵点P在直线2l 上，∴由23504x y y x-+=⎧⎨=⎩，------------------10分消去x得，212200y y -+=，解得12y =，210y =，------------------12分则11x =，225x =，∴存在符合条件的点P，其坐标分别为(1,P 或(25,10)． ------------------14分19．（本题满分14分）解析：（1）∵PA ⊥底面ABC ，DE ⊂底面ABC ，∴PA DE ⊥， -------------------2分 又DE AC ⊥，PA AC A = ， ∴DE ⊥平面PAC ． ------------------4分（2）方法一：由（1）知，DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC ．过点A 作AF PE ⊥，连结DF ．-------------------6分∵平面PDE ⊥平面PAC ，平面PDE 平面PAC PE =，AF ⊂平面PAC ， ∴AF ⊥平面P，-------------------8分∴ADF∠为直线AD和平面P D E 所成角的平面角． -------------------10分∵ABC ∆是边长为4的正三角形，∴AD =14432AE CE CD =-=-=． 又∵PA =，所以4PE ===，AE PA AF PE ⋅==，∴sin AF ADF AD ∠== -------------------13分 即直线AD和平面PDE所成角的正弦值为8． -------------------14分 方法二：如图所示，以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立如图空间直角坐标PABEF系．-----2分∵在正三角形ABC ∆中，DE AC ⊥，∴AD =3AE =， ∴(0,0,0)A，(0,0 ,P，(0,0)D，3(,0)2E ． --------------------6分 易知(,0,)PD =，3(,,)2PE =，(0,0)AD =． ---------------8分设 (,,)x y z =n 是平面PDE 的一个法向量，则03022PD PE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n n 解得6x z =，6y z =． 故可取,6)=n ．-------------------11分于是cos ,||||ADAD AD ⋅<>=⋅n n n=8=．------13分 由此即知，直线AD 和平面P D E 所成角8． -------------------14分 20．（本题满分14分）解析：（1）设(,)P x y 142x -． 椭圆E的方程为22143x y +=；-------------------5分B（2）∵点M 是圆22:(3)1C x y +-=上的动点，∴||||1PM PC ≤+， -------------------6分设椭圆的左焦点为1(1,0)F -，依据椭圆的定义知，1||4||PF PF =-， -------------------7分∴111||||||14||||||5||5PM PF PC PF PC PF CF +≤++-=-+≤+，当点P 是1CF 延长线与椭圆的交点时，1||||PC PF -取得最大值1||CF ， ∴||||PM PF +的最大值为5，-------------------10分此时直线1CF 的方程是33+=x y ，点P 的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1343322y x x y 的解，消去y 得，0824132=++x x ， -------------------11分解得1310212±-=x ，根据图形可知1310212--=p x ，131063-=p y ，-------------------13分此时的P点坐标为（1310212--，131063-）． -------------------14分。

2010年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCBBCAACBD二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．150 12．32 13．102a << 14．62 15．2 三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数()f x 的周期为344T πππ=-=， 所以22πωπ==. ……………………………………………………2分注意到sin(2())04πϕ⨯-+=，也即2()2k k Z πϕπ=+∈，由0ϕπ<<，所以2πϕ=………………………………4分所以函数的解析式为()sin(2)2f x x π=+（或者()cos 2f x x =） ……………………5分（Ⅱ）∵1()cos 22f A A ==-，∴3A π=或23A π= …………………………………6分 当3A π=时,在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin BC AC A B=， ∴32sin 32sin 33AC A B BC ⋅===， ………………………………………7分 ∵BC AC >，∴3B A π<=，∴6cos B =， ………………………………………8分∴3613323sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B +=+=+=+=，…9分∴11323323sin 232262ABC S AC BC C ∆+=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=． …………………10分 同理可求得,当23A π=时,11323323sin 2322ABC S AC BC C ∆--=⋅⋅⋅=⨯⨯=………12分（注：本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和ϕ方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）.17．（本题满分12分）解：（ I ）依题意，得2()2f x x ax b '=++ ……………………………………………1分 由于1x =-为函数的一个极值点，则(1)120f a b '-=-+=，得21b a =- ……3分 （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2()221(1)(21)f x x ax a x x a '=++-=++-令()0f x '=，则1x =-或12x a =- …………………………………………5分 由于1(12)222(1)a a a ---=-=- ①当1a >时，121a -<-当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x (,12)a -∞-(12,1)a -- (1,)-+∞()f x ' +-+()f x由上表可得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；………8分②当1a =时，121a -=-，此时，()0f x '≥恒成立，且仅在1x =-处()0f x '=，故函数()f x 的单调区间为R ； …………………………………………………9分③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- …………………………………………………11分 综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- …………………………………………………12分 18．（本题满分14分）证明：（Ⅰ）∵AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ， ∴四边形ACED 为梯形，且平面ABC ⊥平面ACED ，∵222BC AC AB =+，∴AB AC ⊥， …………………………………………………2分 ∵平面ABC平面ACED AC =∴AB ⊥平面ACED ，即AB 为四棱锥B ACED -的高，……………………………… 4分 ∵1111(1)113322B ACED ACED V S AB CE -=⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯=， ∴2CE =， ……………………………………………… 6分 作BE 的中点G ，连接GF ，GD ， ∴GF 为三角形BCE 的中位线， ∴////GF EC DA ，12GF CE DA ==，……………… 8分 ∴四边形GFAD 为平行四边形，∴//AF GD ，又GD ⊂平面BDE ，∴//AF 平面BDE ．………………………………10分（Ⅱ）∵AB AC =，F 为BC 的中点，∴AF BC ⊥，又GF AF ⊥，∴AF ⊥平面BCE ， ………………………………… 12分 ∵//AF GD ，∴GD ⊥平面BCE ， 又GD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCE ． ………………………………… 14分 19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为n a 构成等差数列，其中1500a x=+，公差为x . ……………………………………………… 2分从而，到第36个月，凌霄共还款124(241)12500242a x ⨯-⨯++⋅ ………………… 4分令24(241)12500(500)24240002x x ⨯-⨯++⨯+⋅=，解之得20x =（元）. ………6分即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元. ……………… 7分 （Ⅱ）设凌霄第n 个月还清，则应有(12)(121)12500(50050)(12)50240002n n n -⨯--⨯++⨯-+⋅≥ ………………… 8分整理可得238280n n --≥，解之得33321302n ≥>，取31n =. ……………… 10分 即凌霄工作31个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为(3012)(30121)24000[12500(50050)(3012)50]4502-⨯---⨯++⨯-+⋅=元………………… 12分第31个月凌霄的工资为191500 1.051500 2.5263789⨯=⨯=元.因此，凌霄的剩余工资为37894503339-=，能够满足当月的基本生活需求. ……14分 20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ， ………………………………… 1分∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， …………………………………2分设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =， ………………………………………3分∴2083y =⨯，∴026y =±， ……………………………………………… 4分∴221||(32)(26)7AF =++±=， ……………………………………………… 5分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ………………………………………… 6分∴双曲线的方程为：2213y x -=． …………………………………………… 7分（Ⅱ）st为定值.下面给出说明. …………………………………………… 8分 设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：3y x =，∵圆M 与渐近线3y x =±相切，∴圆M 的半径为222331(3)r ==+ ………9分故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………… 10分 设1l 的方程为3(1)y k x -=-，即30kx y k -=， 设2l 的方程为13(1)y x k=--，即310x ky k +-=， ∴点M 到直线1l 的距离为12|33|1k d k-=+，点N 到直线2l 的距离为22|31|1k d k-=+，……………… 11分∴直线1l 被圆M 截得的弦长22223363623211k k k s k k ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭ ………………12分 直线2l 被圆N 截得的弦长22223123221211k k k t k k ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭13分 ∴22226366(3)32322(3)s k k k k t k k k k --===--，故st 3 …………………… 14分21．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）/*()(1)()n f x n x n N =+∈, ………………………… 1分∴点P 处的切线斜率1(1)2nn k n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, ………………………… 2分∴切线方程为:1111(1)()222n ny n x +⎛⎫⎛⎫--=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ………………………… 3分令0x =得: 1111222n nn n y ++⎛⎫⎛⎫=-+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故数列{}n y 的通项公式为:122nn n y ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.…………… 4分(2) 23112131122222222nn n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭------①两边同乘12-得:234111121311222222222n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅=⋅-+⋅-+⋅-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭------②①-②得: 231311111111122222222222nn n n s +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+⋅-+⋅-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………… 6分23111111322222n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221212n n n ++⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅- ⎪⎝⎭+1111232nn n +⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⋅- ⎪⎝⎭∴12311922nn n S ⎡⎤+⎛⎫=⋅--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…………………… 8分 其中1114S y ==-, 2120S y y =+=,3316S =-,4116S =- 猜测n S 的最大值为20S =.证明如下: …………………… 10分(i )当n 为奇数时，123110922nn n S ⎡⎤+⎛⎫=-⋅+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； …………………… 11分 (ii )当n 为偶数时，1123192n n n S ++⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭,设123()2n n h n ++=,则383(2)2n n h n +++=. 31383239(2)()0222n n n n n n h n h n ++++++-=-=-<, ∴(2)()h n h n +<. …………… 13分 故123()2n nh n ++=的最大值为(2)1h =,即n S 的最大值为20S =. ………………… 14分。