微积分A(下)第五章第一节

经济数学——微积分 4不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题经济数学——积分二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间/内原函数・(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是cos 兀的原函数.(inx) =— (X >0)XIn X 是1在区间((),+oo)内的原函数.X第一节五、定理原函数存在定理：如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =f(x).简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？1 f例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx(C为任意常数)经济数学一微积分关于原函数的说明:(1)(2)证说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或经济数学一微积分经济数学——微积分不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ・经济数学——微积分6=X% /. fx^dx =——十 C. J」6例2求f --------- dr.J 1 + X-/ J解•/ (arctanx)=,,I‘1 + 疋 心& =皿2被积函数『积分号积分变量寒积表达式F(x)例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成本函数C(jc).解C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀2 + c IK™其中c为任意常数经济数学一微积分二、不定积分的几何意义函数八兀）的原函数的图形称为y（x）的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族，在同一经济数学一微积分经济数学——微积分经济数学微积分基本积分表p*l=x“ zz> k"dx= — + C ・J “+1(“H -l)既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.经济数学一微积分(1) f kdx = kx + C 仏是常数)； (2) (\“dx = J + C (〃H —1); J “+1(3)[竺"=In X +C;J jrr dx说明；X >0, => 一 = lnx + C,J Xx<0, [ln(-x )r= 1 (—*)' =丄，—X X n f — =ln(-x) + C,.订咚=In I X I +C, X J X实例“+1启示 能否根据求导公式得出积分公式?结论 基本积分表(4)(6)(7) f ------ -dx =arctanx4-C;J 1 + x"f t -------- dx = arcsin jc + C;JJ cos xdx =sinx + C;Jsin xdx =-cosx +C;r dr r r---- 2— = sec~ xdx =tanx +C; J cos X Jf = fcsc^ xdx =—cotx + C; J sin" X J经济数学一微积分(10)(11)(12)(13) J sec X tan xdx =secx + C;J CSC X cot xdx =—cscx +C; J/dx =gx +C;X= a +C;J Ina经济数学一議积分经济数学一微积分例4求积分5解 ^x^yfxAx — J x^dr飞+12经济数学一議积分四、不定积分的性质(1) Jl/(x)±g(x)jdx = J/(x)dx ± Jg(x)dx; r 证•・・J/(x)dx ± Jg(x)dxtt=J/(x)dx ± Jg(x)dx =/(x)±g(x).・・・等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）+ C=-x^+C.7经济数学一議积分J kf{x}Ax =町/（x ）dx.（A:是常数，A: H0）求积分=3arctanx —2arcsinx + C经济数学一微积分r 1 + X + 工2•」X （1 + X*）「1+…L =厂（1+% J 兀（1 +工2） J 兀（1 +云）= arctanx + lnA +C.例6求积分WF—^dx +经济数学一微积分解KrS 訂甯斗 」Ar(l + jr) J 兀・(1 +兀・)J 刖 JE"----- arctanx + C< X经济数学一微积分例8求积分1 ------------- —dx.J 1 + cos 2x 解J 1 + ；心4 = j 1 + 2丄—严£土吨g + G说明：以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.I 化积分为代做和的积分\ 例9 已知一曲线y = f(x)在点(x,/(x))处的 切线斜率为sec^x+sinx,且此曲线与 轴的交 点为(0,5),求此曲线的方程.例7求积分r 1+2兀2J 兀2（］ + 尤2）1 + 2*2解•/— = sec2 X十sin x,dr二y = J^sec' X + sinx)dx=tanx —cosx H-C,j(0) = 5, /. C = 6、所求曲线方程为y = tan x — cosx + 6.经济数学一微积分五、小结原函数的概念：F\x) = f(x)不定积分的概念:J/U)dx = F(x) + C 基本积分表(1)〜(13) 求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质经济数学一微积分经济数学——积分思考题1, X > 0 符号函数 /(x) = sgnx = 0, X =0—1, X < 0在（-co,+ 00）内是否存在原函数？为什么？经济数学——积分X + C, X >0X =0[―x+C,x <0 但F （兀）在工=0处不可微， 故假设错误所以/（X ）在（-00, + 8）内不存在原函数.思考题解答不存在.假设有原函数F （x ） F （x ） = -ic,经济数学一微积分练习题、 填空题；1. 一个已知的连续函数，有个原函数，其中 任意两个的差是一个 2. 3・ /(•V )的______ 称为/(X)的不定积分！ 把/(“)的一个原函数F(x)的图形叫做函数/(X )的 ______ ,它的方程是y = F(x),这样不定积 ,它的方程是 4.5. J f(x)dx 在几何上就表示 j = F(x) + C ； 由F (x) = /(x)可知，在积分曲线族j=F(x) + C (C 是任意常数)上横坐标相同的点处作切线，这 些切线彼此 的；若/(X )在某区间上 ____ ,则在该区间上/(X )的 原函数一定存在：经济数学一微积分 6. J xsfxdx = ___________ 7 f - .J 皿- -------------- 8. J (宀 3工 + 2)dx= _ 9. J(>/7 + l)(7P'-l)dv = 10. J-—dx =求下列不定积分:3x经济数学一微积分3. f cos* —drJ 25. J （1-占）厶石血a fF+SlirX.6.----- ； ---- sec* xQxJ x" + l, f cos 2x ■ 』J cos-X sin-s 一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程•经济数学一微积分 练习题答案一、1.无穷多，常数：2.全体原函数； 积分曲线,积分曲线族；4.平行；5.连续 2 色 2 ---x'+C ； 7, -------- x '+C ；53 3 -- +2x + C ； 3 22 - 2 -- + -x2--x2-x + C ； 3 5 3 —4 - 2 - 2\・x —一—3 53. 6. 9.10.3.5.X—arctanx + C；X + sin X _2 24(*+7)717 +6三s , = lnx+C・经济数学一微积分2. 2’” + C；In 2-In 34e-(cotx +tanx) + C ；6. tan* —arccatx + C.o。

定义
定理
, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F
. )( 的形式有原函数可表示为C x F +
) . ,(为任意常数其中C
.仅相差一个常数的任意两个原函数之间
结论结论结论
定义上的全体原函数的集合
在区间 I )(x f }
I , )()( | )({∈=′x x f x F x F 记为
上的不定积分在称为 , I )( x f ) ( )(d )(为任意常数C C x F x x f +=∫的一个原函数；
为其中 )( )( ,x f x F 称为被积表达式；称为被积函数 d )( , )(x x f x f 称为不定积分号；∫
. 称为积分常数C 一. 不定积分的概念
性质 1
),()d )((x f x x f =′∫,
d )(d )(d x x f x x f =∫,
)(d )(C x f x x f +=′∫
∫
+=.)()(d C x f x f
逆运算三.不定积分的基本性质
性质 2
则
设 (I),)( ),( 21R x f x f ∈,d )(d )(d )]()([2121∫∫∫+=+x x f b x x f a x x bf x af
. , ,为常数其中b a
.函数的和的形式该性质可推广至有限个
线性性质
解
解
解
利用加一项、减一项的方法.
解
利用加一项、减一项的方法.
解
部分分式法
解
下面看另一种解法
.
解
两个解法答案不同，你
有何想法？
利用平方差公式解
解
1。