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《反比例函数》讲义一、什么是反比例函数在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的变量和它们之间的关系。
而反比例函数，就是其中独特而重要的一种。
反比例函数的一般形式为：y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0，x ≠ 0）。
通俗地说，当两个变量 x 和 y 的乘积始终等于一个非零常数 k 时，我们就说 y 是 x 的反比例函数。
例如，如果有一个矩形的面积始终为 12 平方米，设长为 x 米，宽为 y 米，那么就有 xy ＝ 12，即 y ＝ 12/x，这里的 y 就是 x 的反比例函数。
二、反比例函数的图像反比例函数的图像是一种特殊的曲线，它有自己独特的性质。
以 y ＝ 2/x 为例，我们来绘制它的图像。
首先，我们可以通过给 x 取值，计算出对应的 y 值，得到一些点的坐标。
比如，当 x ＝ 1 时，y ＝ 2；当 x ＝ 2 时，y ＝ 1；当 x ＝－1 时，y ＝－2 等等。
然后，把这些点在坐标系中描出来，并用平滑的曲线连接起来，就得到了反比例函数的图像。
反比例函数的图像有两个分支，分别位于第一、三象限或者第二、四象限，这取决于常数 k 的正负。
当 k ＞ 0 时，图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。
当 k ＜ 0 时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称。
这意味着如果点（a, b) 在反比例函数的图像上，那么点（a, b) 也一定在图像上。
2、渐近线当 x 趋近于 0 或者无穷大时，反比例函数的图像会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
对于 y ＝ k/x，x 轴和 y 轴就是它的渐近线。
3、定义域和值域定义域为x ≠ 0，值域为y ≠ 0。
四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用。
比如，在物理学中，当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系。
反比例函数的应用与问题解决反比例函数是数学中常见的一种函数形式，其特点是自变量和因变量之间的关系满足倒数关系。
在实际应用中，反比例函数可以用来描述一些与数量和比例有关的问题，同时也可以帮助我们解决一些实际生活中的难题。
本文将介绍反比例函数的基本性质和常见应用，并通过实例来讨论一些与反比例函数相关的问题解决方法。
一、反比例函数的基本性质反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k是常数，x和y分别表示自变量和因变量。
反比例函数的基本性质如下：1. 定义域和值域：自变量x的取值范围为除0以外的实数集，当x趋近于0时，函数值趋于无穷大；因变量y的取值范围为除0以外的实数集，当x趋近于无穷大时，函数值趋近于0。
2. 奇偶性：反比例函数不具有奇偶性，即不满足f(-x) = f(x)或f(-x)= -f(x)。
3. 对称轴：反比例函数的图像关于原点对称。
二、反比例函数的应用反比例函数在实际应用中具有广泛的应用，常见的领域包括物理学、经济学和工程学等。
下面将介绍几个常见的反比例函数应用实例：1. 电阻与电流关系：根据欧姆定律，电阻R与通过其的电流I之间的关系为R = U/I，其中U为电压常数。
可以看出，当电流增大时，电阻减小，两者成反比关系。
2. 速度与时间关系：对于匀速直线运动，速度v与时间t之间的关系为v = s/t，其中s为位移常数。
可以看出，当时间增加时，速度减小，两者成反比关系。
3. 药物浓度与体积关系：在化学实验中，溶液的浓度C与溶质在溶剂中的体积V之间的关系为C = n/V，其中n为溶质的量。
可以看出，当体积增大时，浓度减小，两者成反比关系。
三、反比例函数问题的解决方法在实际问题中，与反比例函数相关的问题可能涉及到函数值的计算、变量之间的关系以及最值的求解等。
下面将针对几种常见问题提供解决方法。
1. 计算函数值：根据反比例函数的定义，要计算函数在某一点的值，只需将该点的自变量代入函数表达式中即可。
成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试数学A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1.3-的倒数是 （A ）31-（B ）31（C ）3- （D ）32.如图所示的三棱柱的主视图是（A ） （B ） （C ） （D ）3.今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相。
新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将新建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学计数法表示126万为 （A ）410126⨯ （B ）51026.1⨯ （C ）61026.1⨯ （D ）71026.1⨯4.下列计算正确的是（A ）4222a a a =+ （B ）632a a a =⋅ （C ）422)(a a =- （D ）1)1(22+=+a a 5.如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE , 则EC 的长为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6.一次函数12+=x y 的图像不经过（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 7.实数a 、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算b a -的结果为（A ）b a + （B ）b a - （C ）a b - （D ）b a -- 8.关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是 （A ）1->k （B ）1-≥k （C ）0≠k （D ）1->k 且0≠k9.将抛物线2x y =向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为A 、3)2(2-+=x yB 、3)2(2++=x yC 、3)2(2+-=x yD 、3)2(2--=x y 10.如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4， 则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为（A ）2、3π（B ）32、π （C ）3、23π （D ）32、43π第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11.因式分解：=-92x __________.12.如图，直线n m //，ABC ∆为等腰直角三角形，︒=∠90BAC ，则=∠1________度.m n1B AC13.为响应 “书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中阅读时间的中位数是_______小时.CMEOFB14.如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________. 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15.（本小题满分12分，每小题6分）(1)计算：20)3(45cos 4)2015(8-+︒---π(2)解方程组：⎩⎨⎧-=-=+12352y x y x16. （本小题满分6分） 化简:21)412(2+-÷-++a a a a a17.（本小题满分8分）如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C.其中AB 段与BC 段的运行路程均为200m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°≈0.67 ，cos42°≈0.74 ， tan42°≈0.90）200m200m30°42°BDA18. （本小题满分8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）求获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A ，B ，C ，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列表的方法求恰好选到A ，B 两所学校的概率.一等奖三等奖优胜奖 40%二等奖 20%19. （本小题满分10分）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于()1,A a ，B 两点. （1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标及PAB ∆的面积.xyABO20.（本小题满分10分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =.O 是BEF∆的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交O 于点H ，连接BD ，FH .（1）求证：ABC EBF ∆≅∆；（2）试判断BD 与O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ⋅的值.GHOEDAFCBB 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21.比较大小：512-________58.（填"">，""<，或""=） 22.有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则关于x 的不等式组()431122x x x x a ≥+⎧⎪⎨--<⎪⎩有解的概率为_________.23．已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2B 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为____________．24.如图，在半径为5的O 中，弦8AB =，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当PAB ∆是等腰三角形时，线段BC 的长为 .KHGOCCOCOBAPBAPBAP图（1） 图（2） 图（3）25.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54.二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上） 26、（本小题满分8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。
求反比例函考点梳理：
反比例函数解析式的确定方法由于在反比例函数关系式 ：定了反比例函数。
因此，只需即可求出k 的值，从而确定反比具体问题具体分析。
反比例函数的应用：
建立函数模型，解决实际问题用待定系数法求反比例函数关①设所求的反比例函数为：②根据已知条件（自变量与函③由代人法解待定系数k 的值
④把k 值代人函数关系式反比例函数应用一般步骤：①审题；
②求出反比例函数的关系式；③求出问题的答案，作答。
举一反三：
比例函数的解析式及反比例函数的应用定方法：
：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k ，只需给出一组x、y 的对应值或图象上一点的坐标，定反比例函数的关系式。
但在实际求反比例函数的解际问题。
函数关系式的一般步骤是：
为：y= (k≠0)；
量与函数的对应值）列出含k 的方程；
的值； y=
中。
：
系式；
答。
应用
的值，也就确坐标，代入中数的解析式时，应该
1、如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。
2、已知反比例函数图象上有一点P（m，n），且m＋n=5，试写出一个满足条件的反比例函数的表达式（ ）
3、如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数的图象于点A、（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，-4），且，求m的值和一次函数的解析式。
理。
第3讲反比例函数【精彩知识】1．反比例函数的定义一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示为xky =（或1-=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的函数。
自变量x 与的取值X 围是。
y 是x 的反比例函数⇔xky =⇔1-=kx y ⇔k xy =⇔y 与x 成反比例函数。
反比例函数xky =（0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为，它们关于原点成 对称，关于直线x y ±=成对称，与两坐标轴交点。
①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而；②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而。
xky =（0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON 的面积||||____S PM PN x y =⋅=⋅=；若连接PO ，则______==∆∆PON POM S S 。
【典例解析】考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知122)2(-++=m m xm m y（1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值； （2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。
【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。
求当5x =时y 的值。
变式训练1：mm xm y 3123--+=是反比例函数，则m 的值为；2. 若y 与x 1成反比例函数，x 与z1成正比例函数，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 考点2: 反比例函数的图象和性质【例3】若M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21y 、N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,41y 、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21y 三点都在函数x k y 12--=的图象上，则321y y y 、、的大小关系为（ ）A 、2y ＞3y ＞1yB 、2y ＞1y ＞3yC 、3y ＞1y ＞2yD 3y ＞2y ＞1y 【例4】如图，一次函数y =x +3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B两点，与反比例函数xy 4=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论是 。
年级：九年级§第4讲 反比例函数（2）【今日目标】1、正确理解反比例函数ky x =中k 的几何意义，利用k 的几何意义解决有关面积问题．2、以正、、一次函数为框架，结合面积、全等与相似、四边形、勾股定理等知识，解决直线与双曲线的计算问题。
【精彩知识】专题一：直线与双曲线的交点问题【例1】（1）若反比例函数m y x =，当34x =-时，4y =-，求这个函数的解析式；（2）若一次函数2y kx =-的图象与（1）中的反比例函数my x=的图象有交点，求k 的取值范围。
●变式训练：1、如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．2、（2013成都23，4分）若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a =-的图象与反比例函数32a y x+=的图象的公共点的个数为 。
★方法归纳：解决直线与双曲线的交点问题时，就是将 联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；判断直线与双曲线有无公共点，可用 来确定。
专题二：用函数的图像解不等式【例2】已知一次函数m x y +=1的图象与反比例函数xy 62=的图象交于A 、B 两点，.已知当1>x 时，21y y >；当10<<x 时，21y y <.⑴求一次函数的解析式；⑵已知一次函数在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求△ABC 的面积.●变式训练：1、已知反比例函数ky x=的图象过点(1,2)-，直线y x b =+经过第一、三、四象限。
（1）求反比例函数的解析式； （2）若直线y x b =+与反比例函数ky x=的图象只有一个公共点，求b 的值。
2、如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象 限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD＝4，12OC OA=．（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.★方法归纳：专题三：反比例函数中最值问题 【例3】如图是反比例函数xky =的图象，且当－4≤x ≤－1时，－4≤y ≤－1。
（1）求该反比例函数的解析式；(2)若M 、N 分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN 最短（不需证明），并求出线段MN 长度的取值范围。
●变式训练：如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.专题四：利用k 的几何意义解决有关面积问题【例4】如图，已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC 。
直线DE 分别交x 轴于点P ，Q 。
当49QE DP =：：时，图中阴影部分的面积等于_______●变式训练：(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数xky =(k 为常数，且k >0)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若mBF BE 1= (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则21S S = ． (用含m 的代数式表示) O Mx A【思维拓展】【例5】一次函数b ax y +=的图像分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数xky =的图像相交于A 、B ，过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为C ,E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为F 、D ，AC 与BD 交与点K ，连接CD 。
（1）若点A 、B 在反比例函数xky =的图像的同一分支上，如图（1），试证明：①CFBK AEDK S S 四边形四边形=;② AN =BM ； （2）若点A 、B 分别在反比例函数xky =的图象的不同分支上，如图（2），则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论；（3）连结EF ,试判断EF 与MN 的位置关系，并说明理由。
【例6】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 和D 2(4,3-.（1）求抛物线的解析式.（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S =PQ 2(cm 2)①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.【课后测控】1、已知点A 在双曲线y=6x上，且OA=4，过A 作AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ．（1）则△AOC 的面积为 ，（2）△ABC 的周长为 。
第1小题图 第2小题图 第3小题图2、如图，点A 在双曲线y ＝xk的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为________．3、如图所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且32211A A A A OA ==,分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与分比例函数)0(8>=x xy 的图像分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B 、2B 、3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C 、2C 、3C ，连接1OB 、2OB 、3OB ,那么图中阴影部分的面积之和为 ．4、如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数ky x=(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、MA ′BC ．设线段MC ′、NA ′ 分别与函数ky x=(x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．5、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C （1，12）处．两直角边分别与x ，y 轴平行，纸板的另两个顶点A ﹑B 恰好是直线y =kx +92与双曲线y =mx（ m ﹥0）的交点．（1）求m 和k 的值;（2）设双曲线y =mx（ m ﹥0）在A ，B 之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动， 两直角边始终与坐标轴平行且与线段AB 交于M ，N 两点，请探究是否存在点P 使得MN = 12AB ，写出你的探究过程和结论.6、已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．部分答案：【例2】(1)根据题意，由图像可知点A 的坐标为（1，6），代人1y x m =+中，得，m =5,∴ 一次函数的解析式为：15y x =+（2）过点B 作直线BD 平行于x 轴，交AC 的延长线于D .∵点C 到y 轴的距离为3，∴C 点的横坐标为3. 又C 在双曲线上，∴y =623=,即C （3，2） ∵直线y =x +5和双曲线6x交于点A , B .∴ 解方程组56y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得12126116x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，∴B （－6，－1） 设AC 的解析式为11y k x b =+，把点A （1，6），点C （3，2）代人得，1111623k b k b =+⎧⎨=+⎩解得，112,8k b =-=,∴y =2x +8. 当y =－1时－1=－2x +8,x =4.5,即点D （4.5，－1）∴．ABC ABD BCD S S S =-△△△=1211217-32222⨯⨯⨯⨯=21.例4变式解析：过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴于点M ，AN ⊥x 轴于点N.则⊿CBN ∽⊿CAM ，∴BN BC BC AM AC AB BC m1===+.设BN =h ，则AM =mh .由点A 、B 在反比例函数2y x =的图象上，∴ON h 2=，OM mh2=.∴S ⊿OAB = S 四边形OABN － S ⊿OAM = S 四边形OABN － S ⊿OBN = S 梯形AMNB =2221-=(+)-=m AM +BN BN h mh h mh m1122（）（）. 【例6】解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D （4，—32）, 则解得∴抛物线的解析式为: 231612--=x x y --------------------4分(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ 2=PB 2+BQ 2=(2－2t)2 + t 2 ,即 S=5t 2－8t+4 (0≤t ≤1) --------------------6分 ②假设存在点R, 可构成以P 、B 、R 、Q 为顶点的平行四边形.∵S=5t 2－8t+4 (0≤t ≤1), ∴当S=45时, 5t 2－8t+4=45,得 20t 2－32t+11=0, 解得 t =21 ，t =1011（不合题意，舍去）-------------------------------7分 此时点 P 的坐标为（1，-2），Q 点的坐标为（2，—23）若R 点存在，分情况讨论: 【A 】假设R 在BQ 的右边, 这时QRPB, 则，R 的横坐标为3, R 的纵坐标为—23即R (3, －23)，代入231612--=x x y , 左右两边相等，∴这时存在R(3, －23)满足题意. 【B 】假设R 在BQ 的左边, 这时PR QB, 则：R 的横坐标为1, 纵坐标为－23即(1, －23) 代入231612--=x x y , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. 【C 】假设R 在PB 的下方, 这时PR QB, 则：R(1，—25)代入, 231612--=x x y 左右不相等, ∴R 不在抛物线上.综上所述, 存点一点R(3, －23)满足题意. ---------------------11分 （3）∵A 关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B 、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M ，M 的坐标为（1，—38）课后测控6小题：（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22ky x =． 1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 1111432234ECFS EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形11112212243234OEF ECF ECFS S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△2112S k k ∴=-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值． （3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．EN EM MB MF ∴=，1141431231331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 94MB ∴=． 222MB BF MF +=，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =．21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．。
