《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
第11页/共184页
目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
第9页/共184页
3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
现代控制理论二次型性能指标的线性系统最优控制-西工大
而常设u(t)
为自由的；指标函数的第一项
1 2
eT
(tl
)
Fe(tl
)
表示终值误差。从理论上讲，被积函数的第一项已
经包括了终端误差的成分，但如需特别强调终值误
差，则可加上此项。
矩阵 F Q(t) R(t) 则是用来权衡各个误差成分及控制 分量相对重要程度的加权阵。这里，Q 及 R 可以是时 间函数，以表示在不同时刻的不同加权。
指标J 为最小。
这个问题的求解可以用极小值原理或动态规划法，这
里，我们应用极小值原理来求解。首先列写哈密尔顿函
数
H (x,u,,t) 1 xT (t)Q(t)x(t) 1 uT (t)R(t)u(t) T (t) A(t)x(t) T (t)B(t)u(t)
2
2
由此可得正则方程
x (t) A(t)x (t) B(t)u(t)
上式应对任何 x 均成立，故有
P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t)] Q(t)
该式称为矩阵黎卡提微分方程，它是一个一阶非 线性矩阵微分方程。
它是一个阶非线性矩阵微分方程。
边界条件为：
P(t f ) F
由黎卡提微分方程解出P(t) 后，可得最优控制规 律为：
因此二次型性能指标的线形系统最优控制问题被广 泛应用到各种工程实际中，例如：导弹的制导控制、航 天器控制等。
导弹制导控制
航天器控制
二次型性能指标线性系统最优控制问题可以描述如下：
设线性系统状态方程及输出方程为：
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t)
式中， x(t) 为n 维状态向量，u(t) 为m 维控制向量，y(t) 为r 维输出向量。假设： n m r 0 ； u(t) 不受约束；
线性最优控制
ɺ [ P(t ) + P(t ) A(t ) + AT (t ) P(t ) − P(t ) B (t ) R −1 (t ) B T (t ) P (t ) + Q(t )]x(t ) = 0
ɺ ɺ ɺ λ (t ) = P(t ) x(t ) + P(t ) x(t )
上式左边对任意：x (t) 都等于零，因此，方括弧内的矩阵必等于 零。于是得到
u ∗ (t ) = − K (t ) x(t )
图4—1 总结以上分析容易看出：设计最优调节器在于确定增益矩阵 K(6)，要确定K(t)需要计算矩阵P(t)。但是，如果直接利用方 程(4·1—10)来计算，是很麻烦的，也不便于更深一步地研究最优 调节器的性质。因此，有必要寻找另外计算 P(t) 的方法。 把方程(4·1—11)代入规范方程(4·1—5)，得
(4·1—8)
(4·1—9) 将方程(4·l—9)的两边分别减方程(4．1—8)前乘以矩阵F后的方程 的两边，并利用横截条件(4·1—6)，可得
λ (t ) = [Φ 22 [t f , t ] − FΦ12 [t f , t ]]−1[ FΦ11[t f , t ] − Φ 22 [t f , t ]]x(t )
Φ[t f , t 0 ] = Φ[t f , t ]Φ[t , t 0 ]
因此有
x(t f ) x(t ) = Φ[t f , t ]Φ[t , t 0 ] 0 λ (t ) λ (t 0 ) f
x(t f ) x(t ) λ (t ) = Φ[t f , t ] f λ (t ) (4·1—7) 将2n×2n阶矩阵 Φ[t f , t ]分解成4个n×n阶子矩阵，即
第四章 线性最优控制 在这一章里，我们应用极小值原理来研究线性最优控制问题。 线性最优控制问题，它研究的受控对象时线性的，性能指标是关于 状态矢量和控制矢量的二次型函数，因此，又称做线性二次型问题。 线性二次型问题在现代控制理论中占由重要地位，它能够避开求解一 般最优控制问题时经常用到的非线性两点边界值问题，容易得到闭合 形式的解析解，而且求出最优控制是状态变量的线性函数，可以利用 反馈方法构成闭环控制，在工程上易于实现。它在理论上也很重要， 有许多控制问题可以作为线性二次型问题来处理。尤其是需要综合考 虑各种设计参数的关系时，线性二次型问题可以把一些相互矛盾的要 求统一在—个性能指标中，求得系统的总体最优性。 线性最优控制问题包括线性调节器和线性伺服系统两类问题。 调节器问题是针对系统未处于平衡状态（通常是状态空间原点） 或受脉冲型扰动时，研究利用反馈方法，施以控制，使它回到平衡状 态。例如，炉温控制问题，电机转速控制问题都属于调节器问题。 伺服问题是研究利用反馈方法，对受控系统施以控制，使它的输 出跟踪某一给定的参考输入。例如，雷达天线跟踪系统，机床数控伺 服系统都属于伺服系统问题。 本章首先讨论有限时间调节器问题；接着讨论定常线性调节问题 ；再讨论有扰动输入的调节器问题；然后讨论伺服系统问最后，介绍 鲁棒调节器。
ɺ ɺ ɺ λ (t ) = P(t ) x(t ) + P(t ) x(t )
上式左边对任意：x (t) 都等于零，因此，方括弧内的矩阵必等于 零。于是得到
u ∗ (t ) = − K (t ) x(t )
图4—1 总结以上分析容易看出：设计最优调节器在于确定增益矩阵 K(6)，要确定K(t)需要计算矩阵P(t)。但是，如果直接利用方 程(4·1—10)来计算，是很麻烦的，也不便于更深一步地研究最优 调节器的性质。因此，有必要寻找另外计算 P(t) 的方法。 把方程(4·1—11)代入规范方程(4·1—5)，得
(4·1—8)
(4·1—9) 将方程(4·l—9)的两边分别减方程(4．1—8)前乘以矩阵F后的方程 的两边，并利用横截条件(4·1—6)，可得
λ (t ) = [Φ 22 [t f , t ] − FΦ12 [t f , t ]]−1[ FΦ11[t f , t ] − Φ 22 [t f , t ]]x(t )
Φ[t f , t 0 ] = Φ[t f , t ]Φ[t , t 0 ]
因此有
x(t f ) x(t ) = Φ[t f , t ]Φ[t , t 0 ] 0 λ (t ) λ (t 0 ) f
x(t f ) x(t ) λ (t ) = Φ[t f , t ] f λ (t ) (4·1—7) 将2n×2n阶矩阵 Φ[t f , t ]分解成4个n×n阶子矩阵，即
第四章 线性最优控制 在这一章里，我们应用极小值原理来研究线性最优控制问题。 线性最优控制问题，它研究的受控对象时线性的，性能指标是关于 状态矢量和控制矢量的二次型函数，因此，又称做线性二次型问题。 线性二次型问题在现代控制理论中占由重要地位，它能够避开求解一 般最优控制问题时经常用到的非线性两点边界值问题，容易得到闭合 形式的解析解，而且求出最优控制是状态变量的线性函数，可以利用 反馈方法构成闭环控制，在工程上易于实现。它在理论上也很重要， 有许多控制问题可以作为线性二次型问题来处理。尤其是需要综合考 虑各种设计参数的关系时，线性二次型问题可以把一些相互矛盾的要 求统一在—个性能指标中，求得系统的总体最优性。 线性最优控制问题包括线性调节器和线性伺服系统两类问题。 调节器问题是针对系统未处于平衡状态（通常是状态空间原点） 或受脉冲型扰动时，研究利用反馈方法，施以控制，使它回到平衡状 态。例如，炉温控制问题，电机转速控制问题都属于调节器问题。 伺服问题是研究利用反馈方法，对受控系统施以控制，使它的输 出跟踪某一给定的参考输入。例如，雷达天线跟踪系统，机床数控伺 服系统都属于伺服系统问题。 本章首先讨论有限时间调节器问题；接着讨论定常线性调节问题 ；再讨论有扰动输入的调节器问题；然后讨论伺服系统问最后，介绍 鲁棒调节器。
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析
2018/10/31
1
第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
1
第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
现代控制理论习题之线性二次型最优控制
【解】：
系统性能指标的值是
J=
1 T x (0) Px(0) 2
其中 P 是对应 Lyapunov 方程的对称正定解。具体写出这个 Lyapunov 方程，得到
2
第七章
线性二次型最优控制
⎡1 a ⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
由此可得以下的一组方程：
p12 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ p11 ⎢ ⎥−⎢ p 22 ⎥ ⎦ ⎣a − 1⎦ ⎣ p12
2ap12 + a 2 p 22 = −1
p12 ⎤ ⎡1 0⎤ = −⎢ ⎥ ⎥ p 22 ⎦ ⎣0 1 ⎦
p11 + (a − 2) p12 − ap 22 = 0
p11 − 2 p12 = −1
求解该方程组，得到
⎡ 1 + 0.5a 2 ⎢− P = ⎢ a(1 + 0.5a) ⎢ 0.5(a − 1) ⎢ a (1 + 0.5a ) ⎣ 0.5(a − 1) ⎤ ⎥ a (1 + 0.5a ) ⎥ 1.5 ⎥ − a (1 + 0.5a ) ⎥ ⎦
容易看出该系统是渐近稳定的。 7.3 考虑系统
⎡1 1 ⎤ ⎡1⎤ x(k + 1) = ⎢ x(k ), x(0) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣a − 1⎦ ⎣0⎦
其中 −0.25 ≤ a < 0 。我们希望确定参数 a 的一个最优值，使得性能指标 1 ∞ J = ∑ x T (k )Qx(k ) 2 k =0 最小化。其中 Q = I 。
其解为 P = 1 ± 2 。考虑到要求的 P 是对称正定的，故 P = 1 + 2 。 系统的最优控制律为：
u = − R −1 B T Px = −(1 + 2 ) x
线性二次型最优控制问题
性能指标（6.1.2）的物理意义
式（6.1.2）中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证终端状 态X(tf)具有适当的准确性。 式（6.1.2）中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系
2019/10/12
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
（2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。 实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反 映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明 期望终态X(tf)尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。
2019/10/12
10
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
状态调节器问题
J 1 tf [ X T (t)QX (t) U T (t)RU (t)]dt （6.2.2）
2 t0
其中Q是nn非负定、对称的常数矩阵，R是mm正定、 对称的常数矩阵，tf是给定的终端时刻，X(tf)是自由的 终端状态，控制函数U(t)不受约束。
2019/10/12
14
现在的问题是，要求确定最优控制函数 U*(t)，使性能指标（6.2.2）达到最小值。这样 的最优控制问题是以较小的控制能量为代价， 使状态变量X(t)保持在零值附近，故称为状态 调节器问题。
式（6.1.2）中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证终端状 态X(tf)具有适当的准确性。 式（6.1.2）中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系
2019/10/12
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
（2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。 实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反 映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明 期望终态X(tf)尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。
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10
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
状态调节器问题
J 1 tf [ X T (t)QX (t) U T (t)RU (t)]dt （6.2.2）
2 t0
其中Q是nn非负定、对称的常数矩阵，R是mm正定、 对称的常数矩阵，tf是给定的终端时刻，X(tf)是自由的 终端状态，控制函数U(t)不受约束。
2019/10/12
14
现在的问题是，要求确定最优控制函数 U*(t)，使性能指标（6.2.2）达到最小值。这样 的最优控制问题是以较小的控制能量为代价， 使状态变量X(t)保持在零值附近，故称为状态 调节器问题。
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(t ) P(t ) A(t ) AT (t ) P(t ) Q(t ) P(t ) B(t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) 0P
(t f ) P(t f ) x(t f )
则 P(t f ) F
又横截条件
(t f ) Fx(t f )
——黎卡提微分方程边界条件
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t ) Fx (t f ) F11x 12 ① ② ③
则②=③பைடு நூலகம்
10
t [t0 , t f ]
又由横截条件： (t f ) FX (t f )
21x 22 F12 x F12 （22 F12 ) ( F11 21) x
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
3.分类
<1>调节器问题.yr(t)=0 ①状态调节器
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ), y(t ) c(t ) x(t ) x
其中，x(t)是n维状态向量，u(t)是p维控制向量，y(t)是q维输 出向量，u(t)不受约束。A(t),B(t),C(t)是分段的时间连续函数
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
② 本问题最优控制的解是存在的且唯一的 a.存在性
u * (t ) R 1 BT Px(t )
b.唯一性 * * 设u1 (t )和u2 (t )
P唯一存在
* x 1 [ A R 1 BT Px (t )] x1 x(t0 ) x0 T * x 2 [ A R 1 B Px (t )] x2
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
3.结构
u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P (t ) x(t ) k (t ) x(t ) k (t ) R 1 (t ) BT (t ) P (t )
——反馈增益矩阵
x * (t ) [ A(t ) B (t ) R 1 (t ) BT (t ) P (t )] x(t ), x(t0 ) x0
寻求u*(t),使J最小。<X(tf)自由，tf有限>
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
求解：①构造哈密顿函数：
H F T f
1 T 1 T H X Qx U Ru T Ax T Bu 2 2 H ②协调方程： x 1 Qx 1 ( xT Q)T (T A)T Qx AT 2 2 1 T [ x FX ] 2 ( t ) ③横截条件 f x(t f ) x(t f )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
说明： <1>黎氏方程的解存在且唯一
(常微分方程解的存在性唯一性定理) <2>P(t)是对称阵 PT (t ) P(t ) <3>P(t)≥0 J≥0
1 T 1 T J * x0 P(t0 ) x(t0 ) 0 J * x P(t ) x 0, 2 2 则P(t ) 0
上式确定最优轨线
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
4.说明
①求J*
考察二次型 xT (t ) P(t ) x(t ) d T x xT Px [ x (t ) P(t ) x(t )] x T Px xT P dt 将状态方程与黎卡提方程带入上式，
之后两边对t作t0→tf积分，移项，配方法
(t ) P (t ) x(t ) P(t ) A(t ) x(t ) P(t ) B(t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t ) Q(t ) x(t ) AT (t ) P(t ) x(t ) 又协态方程:
最后可得黎卡提矩阵微分方程如下：
则
(t f ) Fx(t f )
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
④控制方程： H 0 u H Ru BT 0 u (t ) R 1BT u
2H u 2
R 0 则u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) (t )
在最优控制情况下，系统性能指标具有最小值 1 T J * x0 P(t0 ) x0 2
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 x u, x(0) x0 例：设有一阶系统 x 2 1 10 2 2 性能指标 J 5 x (t f ) [2 x (t ) u 2 ]dt 2 0 求最优控制u*(t)
1 T 1 得J x0 (t ) P(t0 ) x(t0 ) [U R 1 BT Px ]T R[U R 1 BT Px ] 2 2 当u R 1 BT PX 0时，即u * (t ) R 1 BT PX时，J最小 1 T 则 J* X0 P(t0 ) X 0 2 15
t [t0 , t f ]
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t , t0 ) 2n 2n 的状态转移矩阵
当t t f 时，又t [t0 , t f ] 都可作为初始时刻<分块>
x(t f ) 11(t f , t ) 12 (t f , t ) x(t ) ( t ) ( t , t ) ( t , t ) ( t ) 22 f f 21 f
此时最优轨线x*(t)是下列线性是不变齐次方程的解
x (t ) ( A BR 1BT P) x(t ), x(0) x0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
<实际中不用上式来求P(t)，过于复杂，采用如下方法;> 2.黎卡提矩阵微分方程 考察 (t ) P(t ) x(t ) 两边对t求导
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(t ) P (t ) x(t ) P(t ) x (t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
将状态方程带去上式，则
解： ①A 1 ，B 1，F 10，t f 10, x(0) x0 2 ②u * (t ) R 1BT Px(t ) Px (t ) ③带入黎氏方程得 P2 P 2 P dP dt 2 P P2 P(10) 10 P(t ) 0.5 1.5cth (0.5 15.143)
1 T 1 e (t )Q(t )e(t ) 2
用以衡量误差大小
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 tf T e Qedt 2 t0 表示t0 t f 的总误差
1 T 2 u (t ) R(t )u (t ) 用以衡量控制功率的大小 2 tf T t0 u Rudt 表示控制能量
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④状态方程的解 双曲余切
cth
e x e x e x e x
（将定常系统变为了时变系统） 此时tf有限 6.定常情况下，tf→∞时的状态调节器 ①结论：设有定常线性可控系统。 x(t ) Ax (t ) Bu (t ), x(0) x0 1 T 二次型性能指标 J [ x (t )Qx(t ) uT (t ) Ru (t )]dt 2 0 19
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件