2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--三角函数

2018年全国3卷省份高考模拟理科数学分类汇编----三角函数 1.（云南玉溪模拟）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）C A ．4- B ．4 C ．13-D ．132.（云南玉溪模拟）南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有周长为))sin :sin :sin 11A B C =的ABC ∆，则其面积为（ ）AAB3.（云南玉溪模拟）若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f π= ）DA ．函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称B ．函数()f x 在[,]24ππ--上单调递增 C ．将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得函数2sin 2y x =的图象 D ．303()2f x dx π=⎰4. （昆明一中模拟）函数sin 4()(0,)62sin(2)2xf x x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦-的最大值是．解析：()sin 42sin 2cos 2sin 2π2cos 22sin(2)2x x x f x x x x ===-，由π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 得π20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2x ⎡∈⎢⎣⎦，所以()f x5.（昆明一中模拟） 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若asinB bcosA =(I)求A ;(I)设函数()()2cos f x x x R =-∈,求()f B 的取值范围 解：（1）由sin cos a B b A =及正弦定理得 sin sin sin cos A B B A =，因为在ABC △中，sin 0B ≠，所以sin cos A A =，即tan 1A =， 所以π4A =；（2）因为2()cos cos f x x x x =-cos 2122x x +=-π1sin(2)62x =-- 所以π1()sin(2)62f B B =--由（1）知：3π4B C +=， 所以3π04B <<， 所以ππ4π2663B -<-<所以πsin(2)16B <-≤，即：1()2f B <≤所以()f B 的取值范围是12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦6.（西藏拉萨中学模拟）如果函数π()2sin()(3)4f x x ωω=+<的图象关于点(π4，0)成中心对称，那么函数()f x 的最小正周期是 DA ．π2B ．2π3C ．πD ．2π 7. （西藏拉萨中学模拟）在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠= .8. （西藏拉萨中学模拟）将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向右平移 )0(>m m 个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则 m 的最小值是（ ） CA.12π B. 6π C. 3πD. 65π9.(西藏拉萨中学模拟) 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos（Ⅰ）求ACsin sin 的值；（Ⅱ）若cosB =41， b =2，求△ABC 的面积S ．解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin （A+B ）=2sin （B+C ） 又A+B+C=π ∴sinC=2sinA ，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==① 由（Ⅰ）可知==2② 再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=．10. （西藏模拟）若，则（ ）BA ．B ．C ．D ．11. （西藏模拟）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）C A ．B ．C ．D ．12.（西藏模拟） 函数在的零点个数为________． 3 13.（黔东南模拟） 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC ∆面积的最大值为 BA、B 、34 C 、32 D解析：由已知有222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，由于(0,)C π∈，sin C =又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=，则16ab ≤，11sin 1622ABC S ab C ∆=≤⨯=当且仅当4a b ==时等号成立.故选B .14. （贵阳市模拟）已知()23sin πα-=-,且,02πα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则()2tan πα-=（ ）AAB．C.．15. （贵阳市模拟）若函数()()0,06f x Asin x A πωω⎛⎫ ⎪>⎝⎭=->的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（ ） C1sin 3α=cos 2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC ∆2224a b c +-C =2π3π4π6π()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，A ．12 B ．14 D 16.（贵阳市模拟） 在ABC ∆中，A B C 、、所对的边为 a b c 、、,2,3sinB sinA c ==,则ABC ∆面积的最大值为 ．317. （广西梧州市模拟）将函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图像向右平移6π个单位后，得到sin(2)6y x π=-的图像，则函数()f x 的单调增区间为（ ）AA ．[,],36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,],63k k k Z ππππ-+∈ C. [,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．2[,],63k k k Z ππππ++∈ 18. （广西梧州市模拟）已知tan()24x π+=-，则2sin 22cos x x += ．4519.（广西梧州市模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos A B a b +=（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆，B 是钝角，求b 的最小值.解：（1）由已知得cos cos sin b A a B C +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin 3B A B A BC +=，∴sin()sin A B B C +=，又在ABC ∆中，sin()sin 0A B C +=≠，∴sin B =，∴3B π=或23π.（2）由1sin 2ac B =sin B =得2ac =， 又23B π=，2222cos b a c ac B =+-222226a c ac =++≥+=，当且仅当a c =时取等号，∴b20.（广西模拟） 若角α 的终边经过点(1-，，则tan()3πα+=（ ）BA ．B ． 21.（广西模拟） 我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为S =若2sin 24sin a C A =，2(sin sin )()(27)sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ）DA B 22.（广西模拟）将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）CA ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ，23. （云南模拟）已知函数f(x)=3sin xcos x+cos 2x+a.（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间; （2）若f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上的最大值与最小值的和为23，求a 的值。

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2018.03 （本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B) (C) (D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1,(B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6(C) n≥7(D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D) =2cos(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2 (D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4 (B)8(C) 12 (D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1<x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C) (D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京高考卷数学(理科)试题附详细标准答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设集合A={x|2＜x＜3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则|z1|的最大值为（）A. 0B. 1C. √2D. 23. 在等差数列{an}中，若a1=3，a3+a5=18，则数列的前5项和为（）A. 25B. 35C. 45D. 554. 已知函数f(x)=x²+2ax+a²+2（a为常数），若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，则a的取值范围为（）A. a≤0C. a≤1D. a≥15. 设平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），点B在直线y=3上，则线段AB的中点轨迹方程为（）A. y=3B. x=2C. y=3xD. x=3y6. 若sinθ+cosθ=1/2，则sinθ·cosθ的值为（）A. 3/4B. 1/4C. 1/4D. 3/47. 在三角形ABC中，a=3，b=4，cosB=3/5，则三角形ABC的面积为（）A. 2√6B. 3√6C. 4√6D. 5√68. 设函数f(x)=x²2ax+a²+1（a为常数），若f(x)在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A. a≤1B. a≥1D. a≥0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知数列{an}是等差数列，若a1=1，a3+a5=10，则a4的值为______。

10. 若复数z满足|z|=1，则|z1|+|z+1|的最大值为______。

11. 在等比数列{bn}中，b1=2，b3=16，则数列的公比为______。

12. 已知函数f(x)=x²+2x+a（a为常数），若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，则a的取值范围为______。

2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编三角函数与解三角形 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·长春质检]已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( ) A.5B.4＋255 C.4＋55 D.5－25 答案 C解析 由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C.2．[2016·西安八校联考]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位 B.向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D.向右平移π4个单位答案 A解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4可变形为 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴平移函数g (x )＝cos2x 的图象，向右平移π8个单位长度，即可得到f (x )的图象．为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位．故选A.3．[2016·天津高考]在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1 B.2 C ．3 D.4 答案 A解析 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.4．[2016·江南十校联考]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2 )的最小正周期为4π，且对∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 答案 A解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.5．[2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( ) A.13 B.－13C.12 D.－12 答案 B解析 解法一：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝－13.解法二：因为α是第四象限角，sin α＋cos α＝15，则cos α＝45，α2是第二、四象限角，tan α2＝－sin 2α2cos 2α2＝－1－cos α21＋cos α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13. 6.[2016·安庆二模]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )，如图所示，则f (x )的递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2k π，5π12＋2k π，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z答案 B解析 解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4， 所以T ＝π，故ω＝2.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－2，得φ＝2k π－π3(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝－π3. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 解法二：34T＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π12， π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12，所以f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 7．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B.t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D.t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s >0，故s 的最小值为π6.故选A.8．[2017·四川绵阳模拟]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B.cos 2β＝2cos 2α C ．cos2β＋2cos2α＝0 D.cos2β＝2cos2α答案 D解析 sin θ＋cos θ＝2sin α⇒1＋sin2θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)，cos2β＝2cos2α，故选D.9．[2017·辽宁抚顺模拟]将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6B.35π6C.49π12D.17π4 答案 C解析 由题意可得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 2－x 1)max ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－2π＝49π12，故选C.10．[2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( )A.32B.－22C ．－24D.－34 答案 C解析 设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝(22)2＋22－422×22×2＝－24，故选C.11.[2016·河北百校联盟联考]已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则下列结论中错误的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈ZC ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上为增函数D ．方程f (x )＝65在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32π，0有6个根答案 C解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )是周期为π2的函数，因为f (x )为偶函数，所以f (x )的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z ，故A 、B 项正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，作出函数f (x )的部分图象如图所示，由图象可知C 项错误，D 项正确．12．[2016·长春质检]在△ABC 中，D 是BC 中点，已知∠BAD ＋∠C ＝90°，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形 B.直角三角形C ．等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案 D解析 如图，由题可知，∠BAD ＋∠C ＝∠B ＋∠CAD ＝90°，在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝AD sin B ＝BD cos C ，在△ADC 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin C ＝CD cos B ，所以sin B cos C ＝sin Ccos B ，即sin2B ＝sin2C ，所以B ＝C 或2B ＋2C ＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＋b ＝________.答案2＋1解析 由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1，即A ＋b ＝2＋1.14．[2016·衡水大联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝________. 答案 79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.15．[2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高均为3丈的标杆BC 和DE ，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D 与前标杆杆脚B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A 、C 、F 三点共线，从后标杆杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰，A 、E 、G 三点也共线，问岛峰的高度AH ＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)答案 1255解析 如图，由题意BC ＝DE ＝5步，设AH ＝h 步，BF＝123步，DG ＝127步，BC AH ＝BF HF ，HF ＝123h 5步，同理HG ＝127h5步，由题意得(HG －DG )－(HF －BF )＝1000步，即127h5－123h5－4＝1000，h ＝1255.16．[2017·江西九江十校联考]已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且A ＝30°，a ＝1，D 为BC 的中点，则|AD→|2的最大值为________．答案 43＋74解析 AD →＝12(AB →＋AC →)， |AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2|AB →|·|AC →|cos A ) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫c 2＋b 2＋2cb 32＝14(b 2＋c 2＋3bc )．根据余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又a ＝1，得b 2＋c 2－1＝3bc ，故b 2＋c 2＝3bc ＋1，由b 2＋c 2＝3bc ＋1≥2bc ，得bc ≤2＋3，|AD →|2＝14(23bc ＋1)≤14(43＋7)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx－sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1.(2分)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， ∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12，k ∈Z .∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1.(4分)由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ， 令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(5分) (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：(7分)则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．(10分)18．[2016·济南质检](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2A2＋()cos B －3sin B cos C ＝1. (1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b .解 (1)2cos 2A 2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1，故cos A ＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(2分)则－cos(B ＋C )＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(4分) 展开得：sin B sin C －3sin B cos C ＝0，∵sin B ≠0，即tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，C ＝π3.(6分) (2)三角形面积为12ab sin π3＝3，故ab ＝4.(8分)由余弦定理得4＝(a ＋b )2－2ab －ab ，所以a ＋b ＝4，(10分) 故a ＝b ＝2.(12分)19．[2016·四川高考](本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解 (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .(2分)代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C ，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．(4分)在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(6分)(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.因为A ∈(0，π)，(9分) 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，(11分) 故tan B ＝sin Bcos B ＝4.(12分)20．[2017·河北武邑二调](本小题满分12分)某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( A >0,0<ω<1，|φ|<π2 )，x ∈[0,3]的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝120°.(1)求A ，ω，φ的值；(2)若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．解 (1)由已知A ＝2，(1分)且有2sin(ω·0＋φ)＝3，即sin φ＝32，由|φ|<π2，得φ＝π3.(3分)又∵最高点为(1,2)，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω＋π3＝2，解得ω＝π6，(5分) ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(6分) (2)∵B 点的横坐标为3，代入函数解析式，得y B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6×3＋π3＝1， ∴BD ＝12＋(4－3)2＝ 2.(8分)在△BCD 中，设∠CBD ＝θ，则∠BDC ＝180°－120°－θ＝60°－θ. 由正弦定理，有BD sin120°＝CD sinθ＝BC sin (60°－θ)， ∴CD ＝263sin θ，BC ＝263sin(60°－θ)，(9分)∴BC ＋CD ＝263[sin θ＋sin(60°－θ)] ＝263⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋32cos θ－12sin θ＝263sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∴当且仅当θ＝π6时，折线段BCD 最长，最长为263千米．(12分)21．[2016·北京东城区模拟](本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝22，AC＝2，且cos(A ＋B )＝－22.(1)求AB 的长度；(2)若f (x )＝sin(2x ＋C )，求y ＝f (x )与直线y ＝32相邻交点间的最小距离．解 (1)∵cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝22，∴C ＝45°.(2分)∵BC ＝22，AC ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝(22)2＋22－82cos45°＝4，∴AB ＝2.(4分)(2)由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝32， 解得2x ＋π4＝2k π＋π3或2x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ，(6分)解得x 1＝k 1π＋π24或x 2＝k 2π＋5π24，k 1，k 2∈Z .(8分)因为|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(k 2－k 1)π＋π6≥π6， 当k 1＝k 2时取等号，(10分)所以当f (x )＝32时，相邻两交点间最小的距离为π6.(12分)22.[2016·安庆二模](本小题满分12分)如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长．解(1)在△ADC中，根据正弦定理，有ACsin∠ADC＝DCsin∠DAC.因为AC＝3DC，所以sin∠ADC＝3sin∠DAC＝32.(2分)又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋60°>60°，所以∠ADC＝120°.(4分)于是∠C＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B＝60°.(6分) (2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝3x.于是sin B＝ACBC＝33，cos B＝63，AB＝6x.(8分)在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，即(22)2＝6x2＋4x2－2×6x×2x×63＝2x2，(10分)得x＝2.故DC＝2.(12分)。

2018 年北京市旭日区高三一模数学（理）考试分析第 I 卷（选择题爱共40分）一、选择题 :本大题共 8 小题 ,每题 5 分,共 40 分.在每题列出的四个选项中 ,选出切合题目要求的一项 .1. 已知全集为实数集R ,会合 A{ x | x23x 0}, B{ x | 2x1} ,则 (e A) BR（A） ( ,0][3, )（B） (0,1]（C）[3, )（D） [1,)【答案】 C【分析】此题考察会合的运算 .会合 A{ x | x23x 0} { x | x(x3) 0}{ x |0x3} ,会合 B { x |2x1} { x | 2x20} { x | x 0} .所以 e R A { x | x0 或 x 3} ,所以 (e R A) B{ x | x 3}应选 C.,2.复数 z知足(1 i) z i ,则在复平面内复数 z所对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】 A【分析】此题考察复数的运算与坐标表示.由 (1 i) z i 得 zi(1 i(1 i)1 i, 在复平面内对应的点为1 i i)(1 i)2( 1 , 1),在第一象限 ,应选 A . 223. 直线 l 的参数方程为 x 1 3t,(t 为参数 ),则 l 的倾斜角大小为y3t（A ）π（ B ） π（ ）2π（ D） 5π63C63【答案】 C【分析】此题考察直线的参数方程及倾斜角.由x3t,能够获取直线的方程为 y 1 3x .y 1 3t,所以直线的斜率为3,倾斜角为2π,应选 C .34. 已知 a ,b 为非零向量 ,则“ a b 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的（A ）充足而不用要条件（B ）必需而不充足条件（C ）充足必需条件（D ）既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】此题考察平面向量数目积与夹角的关系.∵ a ,b 为非零向量π∴ a b0 cos a , b 0 a , b[0, )2πa ,b 夹角为锐角a , b(0, )2πü[0,π∵(0, ))22应选 B.5.某单位安排甲、乙、丙、丁4 名工作人员从周一到周五值班,每日有且只有 1 人值班,每人起码安排一天且甲连续两天值班,则不一样的安排方法种数为（A）18（B）24（C）48（D）96【答案】 B【分析】此题考察摆列组合.甲连续 2 天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四 ,周五）四种状况 ,剩下三个人进行全摆列 ,有 A33 6 种排法所以共有 4 624种排法,应选B.6.某四棱锥的三视图以下图 ,则该四棱锥的体积等于（A）34（B）23（C）12（D）13【答案】 D【分析】此题考察三视图复原和锥体体积的计算抠点法 :在长方体 ABCD ABC D 中抠点,11111.由正视图可知 : C1 D1上没有点 ;2.由侧视图可知 : B1C1上没有点 ;3.由俯视图可知 : CC1上没有点 ;4.由正（俯）视图可知 : D, E 处有点 ,由虚线可知 B, F 处有点 , A点清除 .由上述可复原出四棱锥A1BEDF ,如右图所示 ,S111,VBEDF 1111 .四边形 BEDF A133应选D.7.庙会是我国古老的传统风俗文化活动 , 又称“庙市”或“节场”庙.会大多在春节、元宵节等节日举行 .庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动 ,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋 ,假如有奖品 ,则“中奖”）.今年春节时期 ,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约到达某庙会 ,每人均获取砸一颗金蛋的时机 .游戏开始前 ,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了展望 ,展望结果以下 :甲说 : “我或乙能中奖”;乙说 : “丁能中奖”;丙说 : “我或乙能中奖”;丁说 : “甲不可以中奖”.游戏结束后 ,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的 ,则中奖的同学是（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁【答案】 A【分析】此题考察学生的逻辑推理能力.由四人的展望可得下表:展望结果中奖人甲乙丙丁甲????乙????丙????丁????1.若甲中奖 , 仅有甲展望正确 , 切合题意2.若乙中奖 , 甲、丙、丁展望正确 , 不切合题意3.若丙中奖 , 丙、丁展望正确 , 不切合题意4.若丁中奖 , 乙、丁展望正确 , 不切合题意故只有当甲中奖时 , 仅有甲一人展望正确 . 选A8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点A( 3,0) , B(1,2) ,动点P知足 OPOA OB ,此中,[0,1],[1,2],则全部点P组成的图形面积为（A）1（B）2（C）3（D）2 3【答案】 C【分析】此题考察向量坐标运算 ,线性规划 .设 P(x, y) ,则 OPOAOB ( 3 ,2 ) ( x, y)y3x22y3(x y )32y 12 0 y 23 (xy) 10 2x y 2 3 32232x ( 3 1)y 4 3y3y ) 1 ( x 22 3 2全部点 P 组成图形以下图（暗影部分）1 S3 2 32应选 C第Ⅱ卷（非选择题爱共110 分）二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每题 5 分,共 30 分.9.履行以下图的程序框图 ,若输入 m 5, 则输出 k的值为 ______.【答案】 4【分析】此题考察程序框图 .m k初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时 , 6550,所以输出k410.若三个点(2,1),( 2,3),(2, 1) 中恰有两个点在双曲线C : x2y221(a0) 上,则双曲线 C 的渐近线方程为______ . a【答案】 y 2 x2【分析】此题考察双曲线图象与渐近线方程.因为双曲线对于原点对称 ,故 ( 2,1),(2, 1)在双曲线上 ,代入方程解得又因为所以渐近线方程为 y2 xa 2 ,b 1,211.函数 f (x)Asin( x)(A 0, 0,π )的2部分图象以下图,则 ______;函数 f (x) 在区间 [ π, π]上的零点为 ______.37【答案】 2,π【分析】此题考察三角函数图象与性质由图得π ππ T3()2,即最小正周期 T π6 2又因为 T2π, 且0, 解得2| |由图得 xπ2π2k ππ 时,3(k Z )32又因为| |π 所以π,62f (x) 的零点即 f ( x)2sin(2 xπ的图象与 x 轴交点的横坐标 )6则 2xπ k π,k Z , 解得 xπ k π, k Z6122因为 xπ获取 x 7π [, π],312所以零点为7π1212.已知点 A( 2,0), B(0,2), 若点 M 是圆 x 2 y 2 2x 2 y 0 上的动点 ,则 ! ABM 面积的最小值为 ______ .【答案】 2【分析】此题考察直线与圆地点关系.将圆 M : x 2 y 2 2x 2y 0 化简成标准方程 (x 1)2 ( y 1)22圆心 (1, 1),半径 r2因为 A( 2,0), B(0,2) ,所以 | AB | 2 2要求 ! ABM 面积最小值 ,即要使圆上的动点M 到直线 AB 的距离 d 最小而圆心 (1, 1) 到直线 AB 的距离为 2 2所以 d min 2 2 r 2 2 22所以 S ! ABM 的最小值为1| AB | d min 1 2 2 222 213.等比数列 { a n } 知足以下条件 :① a 10; ②数列 { a n } 的前 n 项和 S n 1 .试写出知足上述全部条件的一个数列的通项公式______.【答案】 a n1n (n N*) （答案不独一）2【分析】此题考察等比数列通项公式和前n 项和 .1 1例: ① a 11 0,q 1, S n 2 (1 2n)11 1, 则 a n122 112n2n22 1② a 12 0,q13 (1 3n )11 1 , 则 a n2 1 ) n 12 3 ,S n13n3 (3n31333 1③ a 13 0,q 1, S n 4 (1 4n )1 11, 则 a n 3( 1)n 1344 1 14n4 44n4(x1)2 a, x 014.已知 aR , 函数 f ( x)sinπx当 x 0 时 ,函数 f (x) 的x 1 2 x 1 , x 022最大值是 ______;若函数 f (x)的图象上有且只有两对点对于y 轴对称,则 a 的取值范围是 ______.【答案】 1 ,( 1,1)2 2【分析】此题考察函数综合应用 .sinπx(1)当 x 0 时, f ( x)2x 122 x 1令 f 1( x)2x 1 2 x 12x 11 2 ,当 2x 11 ,即 x 1时取等号2x12x 1即当x 时,f 1 (x)min 21令 f 2 ( x) sinπ1,1]x [2又因为 f 2 (1) sin π1 f2 ( x)max2 则 f ( x)maxf 1 ( x) max 1 f 2 ( x)min2(2) f (x) 图象仅有两对点对于y轴对称即 f ( x)( x0) 的图象对于y轴对称的函数图象与 f ( x)(x0) 仅有两个交点当 x 0 时, f (x)(x1)2 a .设其对于y轴对称的函数为 g(x)∴ g( x) f (x)(x1)2a( x 0)sinπx∵ f ( x)x 12x 1 ( x 0)22由（ 1）可知近似图象以下图1当 g( x)与 f (x) 仅有两个交点时 , 1 a21综上 , a 的取值范围是 ( 1, )三、解答题（共 6 小题 ,共 80 分,解答应写出文字说明 ,演算步骤或证明过程）15.（本小题满分 13 分）在 ! ABC中,已知sin A5 , b 2acosA.5（Ⅰ）若 ac 5,求 ! ABC的面积 ;（Ⅱ）若 B 为锐角,求sin C的值.【分析】（Ⅰ）由正弦定理得a sin A,因为b 2a cos A , b sin B所以sin B2sin Acos A,cos =b0A2a,因为 sin A 5,所以 cosA2 5 , 55所以 sin B5254 25, 55所以 S! ABC 1acsin B154 2. 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知 sin B 4,因为 B 为锐角 ,所以 cosB 3 . 55所以 sinC =sin( π A B) sin(A B)sin AcosB cos Asin B532545555=11 52516.（本小题满分 14 分）如图 1,在矩形 ABCD 中 ,AB 2,BC 4,E 为 AD 的中点 ,O 为 BE的中点将ABE 沿BE折起到A BE,使得平面A BE平面 BCDE （如. !图 2）.（Ⅰ）求证 : A O CD ;（Ⅱ）求直线 A C 与平面A DE所成角的正弦值;（Ⅲ）在线段 A C 上能否存在点P ,使得OP //平面A DE?若存在,求出A P的值 ;若不存在 ,请说明原因 .A C【分析】（Ⅰ）如图 , 在矩形ABCD中,AB 2,BC 4, E为AD中点,AB AE 2,O为BE的中点,AO BE由题意可知 , A O BE,平面 A BE平面BCDE平面 A BE平面BCDE BE ,AO平面ABEA O平面BCDECD 平面 BCDE ,AO CD（Ⅱ）取 BC 中点为F,连接 OF由矩形 ABCD 性质, AB2, BC 4 , 可知OF BE由（Ⅰ）可知 , A O BE, A O OF以 O 为原点, OA为 z 轴, OF 为x轴, OE 为 y 轴成立坐标系在 Rt! BAE 中,由AB2, AE 2 , 则 BE 2 2,OA 2 ,所以 A (0,0, 2), E(0, 2,0), F ( 2,0,0),B(0,2,0), C (2 2, 2,0), D ( 2,22,0),AC (2 2, 2,2), ED ( 2, 2,0) , AE (0, 2,2)设平面 A DE 的一个法向量为 m( x, y, z)m A E02 y2z 0令 y z 1, 则x 1则,m ED02x 2 y0所以 m ( 1,1,1)设直线 A C 与平面A DE所成角为A C m2sincos A C, m3A C m所以直线 A C 与平面A DE所成角的正弦值为 2 .3（Ⅲ）假定在线段 A C 上存在点P , 知足OP //平面A DE 设AP AC(01)由AC (2 2, 2,2),,所以AP (2 2, 2 , 2 )P(2 2, 2, 22),OP (2 2, 2, 22)若 OP // 平面 A DE ,则m OP0所以222220,解得1[0,1] 2所以AP1 .A C217.（本小题满分 13 分）某地域高考推行新方案,规定 :语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选用三个科目作为选考科目 ,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目 ,则称该学生的选考方案确立 ;不然 ,称该学生选考方案待确立 .比如 ,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目 ,则学生甲的选考方案确立 , “物理、化学和生物”为其选考方案 .某学校为了认识高一年级420 名学生选考科目的意愿,随机选用30 名学生进行了一次检查,统计选考科目人数以下表:性别选考方案确立状况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确立的有8 人884211选考方案待确立的有 6 人430100女生选考方案确立的有10 人896331选考方案待确立的有 6 人541001（Ⅰ）预计该学校高一年级选考方案确立的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假定男生、女生选择选考科目是互相独立的.从选考方案确立的 8 位男生随机选出 1 人,从选考方案确立的 10 位女生中随机选出 1 人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率 ;（Ⅲ）从选考方案确立的8 名男生随机选出 2 名,设随机变量1, 2名男生选考方案同样 ,求的散布列及数学希望 E .2, 2名男生选考方案不一样 ,【分析】（Ⅰ）设该学校选考方案确立的学生中选考生物的学生为x,x42081066442035140 （人）861081059所以该学校选考方案确立的学生中选考生物的学生为140 人.（Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为C12 C133C101 C8140（Ⅲ）由题意知的全部可能取值为 1,2C2C2611 P( 1)= 4228,C824P( 2) C41 C21C41 C11C41 C11C21 C11C21 C11C11 C11C288442213284所以的散布列为1213P44希望为E() 11237.4 4 418.（本小题满分 13 分）ln x1已知函数 f (x)ax .（Ⅰ）当 a 2 时,（i）求曲线y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程 ;（ii ）求函数 f (x) 的单一区间 ;（Ⅱ）若 1 a 2,求证: f (x) 1.【分析】（Ⅰ）当 a 2 时, f ( x)ln x 12x , 定义域为 (0, ) xf ( x)2ln x2= 2ln x2x2x2x2（i） f (1)12=3f (1)22=0所以切点坐标为 (1, 3), 切线斜率为0所以切线方程为 y3（ii ）令 g( x) 2ln x 2x2 , g ( x)14x 0x所以 g (x) 在 (0,) 上单一递减 , 且 g(1)=0所以当 x(0,1)时, g(x)0 即f(x)0所以当 x(1,+) 时, g(x)0 即f (x)0综上所述 , f ( x) 的单一递加区间是(0,1), 单一递减区间是 (1,+ ) . (Ⅱ)方法一:f (x)1,即 ln x 1ax1x设 h(x)ln x1ax1(x0)xh (x)2ln xaax2ln x2 x2x2设 ( x)ax2ln x2(x)2ax 12ax21x x所以(x) 在 (0,) 小于零恒成立即 h ( x) 在 (0,) 上单一递减因为 1a2所以 h (1)2a0 , h (e2 ) a0所以在 (1,e2 ) 上必存在一个 x0使得h (x0 )ax02ln x02x2=0即 ln x0 =ax022所以当 x(0, x0 ) 时, h (x)0 , h( x) 单一递加当 x ( x0 ,+ ) 时, h (x) 0 , h(x) 单一递减所以 h(x)maxln x011 h( x0 )ax0x0因为 ln x0 =ax022所以 h( x0 )2ax02x01x0令 h(x0 )=0 得 x0118a4a因为 1 a2,所以11 8a0 , 1 1 8a14a4a因为 x (1,e2 ) , 所以 h(x0 )0 恒成立即 h(x) 0 恒成立综上所述 , 当1 a2时, f (x)1方法二 :f (x) 定义域 (0,)为了证明 f (x)1,即 ln x 1ax1x只要证明 ln x1ax2x , 即 ln x ax2x 1令 m(x)ln x x1(x0)则 m ( x)11x令 m ( x)0,得0x1令 m ( x) 0 , 得x 1所以 m(x) 在 (0,1)上单一递加 , 在 (1,) 上单一递减所以 m(x)max m(1) 0即 ln x x 1 0, 则ln x x1令 n(x) ax22x 2因为 1 a 2 , 所以=4 8a 0所以 n(x)0 恒成立即 ax2 2x 2 0所以 ax2x 1 x 1综上所述 , ln x ax2x 1即当 1 a 2 时, f ( x)1 19.（本小题满分 14 分）222,且过点(1,2 ) .已知椭圆 C : x2y2 1(a b0) 的离心率为a b22（Ⅰ）求椭圆 C 的方程 ;（Ⅱ）过椭圆 C 的左焦点的直线l与椭圆 C 交于A, B两点,直线l过坐12标原点且与直线 l1的斜率互为相反数 .若直线 l2与椭圆交于E, F 两点且均不与点 A, B 重合 ,设直线AE与 x 轴所成的锐角为1 ,直线BF与 x 轴所成的锐角为2 ,判断1 与2的大小关系并加以证明 .c2a2a2( 2)2【分析】（Ⅰ）由题可得1b121,解得. a2b2c1a2b2c2所以椭圆 C 的方程为x2y21. 2（Ⅱ）结论 : 1 2 ,原因以下:由题知直线 l1斜率存在 ,设 l1 : y k(x 1), A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) .y k( x1)联立2 y2,x22消去 y 得 (1 2k2 ) x24k2 x 2k2 2 0 ,由题易知0恒成立 ,由韦达定理得 x1x24k 22, x1x22k 22 2 ,12k12k 因为 l2与 l1斜率相反且过原点 ,设 l2 : y kx ,E( x3 , y3 ), F ( x4 , y4 ) ,y kx联立2 y22x2消去 y 得 (1 2k2 )x2 2 0 ,由题易知0恒成立 ,2由韦达定理得x3x40,x3x4 1 2k2,因为 E,F 两点不与 A,B重合,所以直线 AE, BF 存在斜率 k AE ,k BF ,则 k AEk BF y 1 y 3 y 2 y 4 x 1x 3 x 2 x 4 k(x 11) kx 3 k( x 2 1) kx 3 x 1x 3 x 2 x 3 k (x 1 x 3 1)(x 2 x 3 ) (x 2 x 3 1)(x 1 x 3)(x 1 x 3 )(x 2 x 3 )2x x 2x 2 xx k 1 2 3 1 2( x 1 x 3 )(x 2x 3 )2(2 k 2 2) 2 2 4k 2k1 2k2 1 2k 2 1 2k 2 ( x 1 x3 )( x 2 x 3 )所以直线 AE, BF 的倾斜角互补 ,所以1 2.20.（本小题满分 13 分）已知会合 X ={ x 1 , x 2 , , x 8} 是会合 S {2001,2002,2003,L ,2016, 2017} 的一个含有 8个元素的子集 .（Ⅰ）当 X {2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017} 时,设 x , xj X (1 i, j 8), i（i ）写出方程 x i x j 2的解 (x i , x j ) ;（ii ）若方程x i x j k(k0) 起码有三组不一样的解,写出k的所有可能取值 .（Ⅱ）证明 :对随意一个 X ,存在正整数 k, 使得方程x i x j k(1 i, j8) 起码有三组不一样的解 .【分析】（Ⅰ）（ i ）方程 x i x j 2 的解有 : ( x i , x j )(2007,2005),(2013,2011)（ ii ）以下规定两数的差均为正,则:列出会合 X 的从小到大8个数中相邻两数的差 :1,3,2,4,2,3,1 ;中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4;中间相隔二数的两数差: 6,9,8,9,6 ;中间相隔三数的两数差:10,11,11,10;中间相隔四数的两数差:12,14,12;中间相隔五数的两数差:15,15;中间相隔六数的两数差:16 .这 28 个差数中,只有4出现 3次,6 出现4次,其他都不超出2次,所以 k 的可能取值有4,6（Ⅱ）证明 :不如设 2001 x1 x2x8 2017记 a i x i 1x i (i 1,2, ,7) , b i x i 1x i (i 1,2,,6) ,共13个差数 .假定不存在知足条件的 k ,则这 13 个数中至多两个1、两个2、两个 3 、两个 4 、两个5、两个6 ,进而(a1a2a7 ) (b1 b2b6 ) 2(126)749①又(a1a2a7 ) (b1 b2b6 ) (x8x1) ( x8x7x2x1 )2(x8 - x1 ) ( x7x2 )2161446这与①矛盾 ,所以结论成立 .。

五、三角函数（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·丰台期末·11）已知4sin 5α=，2παπ<<，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．【答案】102.（2018·石景山期末·6）函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图 象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．23π-，B ．26π-，C ．46π-，D ．43π，【答案】A3.（2018·昌平期末·11）已知函数()sin cos f x x x =,那么()f x 的最小正周期是 ． 【答案】π4.（2018·西城期末·15）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．【答案】解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos212x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==．[ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分]所以 ππsin(2)sin()332x --=-≥， [12分]所以 1()2f x -≥． [13分]5.（2018·东城期末·16）已知函数2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+-(01)a <≤.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]122ππ上的最大值与最小值；（Ⅱ）当()f x 的图像经过点(,2)3π时，求a 的值及函数()f x 的最小正周期.【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+-2cos 2cos 1x x x =⋅+-2cos 2x x =+2sin(2)6x π=+.因为[,]122x ππ∈， 所以72366x πππ≤+≤． 所以，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值为-1. ………6分（Ⅱ）因为2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+-(01)a <≤，所以()f x 2cos 2ax ax =+2sin(2)6ax π=+．因为()f x 的图象经过点(,2)3π，所以2sin(2)26ax π+=，即sin(2)16ax π+=． 所以22362a k ππππ+=+． 所以132a k =+k z ∈． 因为01a <<， 所以12a =． 所以()f x 的最小正周期221T ππ==． ……13分6.（2018·朝阳期末·15）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥．【答案】解：（Ⅰ）因为22()sin cos sin 2f x x x x =++cos2x -1sin 2cos 2)14x x x π=+-=-+.所以函数)(x f 的最小正周期为π. …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f )14x π=-+．当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2[,]444x ππ3π-∈-，sin(2)[42x π-∈-，)11]4x π-+∈.当2,44x ππ-=-即0x =时，)(x f 取得最小值0．所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥. …………………………13分7.（2018·海淀期末·16）已知函数()cos 2tan()4f x x x π=⋅-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的值域.【答案】解：（Ⅰ）24π+π≠π-k x ，Z k ∈------------------------2分 解得：43π+π≠k x ，Z k ∈------------------------3分所以，函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≠Z k k x x ,|43------------------------4分 （Ⅱ）)tan(cos )(42π-⋅=x x x f xx x x tan tan )sin (cos +-⋅-=1122------------------------6分 x x xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos +-⋅+-=------------------------8分 2)sin (cos x x --=12-=x x cos sin12-=x sin ------------------------9分因为3,4x k k Z ππ≠+∈，所以32,2x k k Z ππ≠+∈， 所以sin 21x ≠-，------------------------11分所以，函数()f x 的值域为],(02-.------------------------13分8.（2018·通州期末·15）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）因为()f x sin 2cos2x x =+2+4x π⎛⎫= ⎪⎝⎭．……………………4分所以()f x 的最小正周期2.2T ππ==……………………5分 由222242k x k πππππ-+<+<+，得3.88k x k ππππ-+<<+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，……………………7分（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数.当5244x ππ+=，即2x π=时，函数5 1.4π=-．所以()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和1-．……………………13分9.（2018·房山期末·15）已知函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅰ）求函数)(x f 在区间上的值域．【答案】解：（Ⅰ）()x x x x f cos sin 3sin 2+=x x x cos sin 2322cos -1+=x x 2sin 2322cos -1+=212cos 21-2sin 23+=x x 212cos 6sin -2sin 6c +=x x os ππ216-2sin +=）（πx22T ππ∴== …………………7分 （Ⅰ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以，因此，所以的值域为． …………………13分六、解三角形（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·西城期末·12）在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC ，则b =____；c =____．【答案】12.（2018·东城期末·12）在△ABC 中，5,7a c ==，cos 5C 1=，则c = ，△ABC 的面积为 .【答案】6,3.（2018·海淀期末·11）在△ABC 中，1,a b =，且△ABC 则c = .【答案】 2或4.（2018·通州期末·11）在△ABC 中，已知4AB =，6AC =，60A =︒， 那么BC = _______.【答案】5.（2018·房山期末·9）在△ABC 中，三个内角C B A ，，所对的边分别是c b a ，，．若,64π=∠=B b ，31sin =A 则a = ． 【答案】386.（2018·朝阳期末·14）如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有和的式子表示）【答案】sin l α;cos 2sin l αα7.（2018·丰台期末·15）在ABC ∆中，23sin 22sin B B =． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a =，27b =，求c 的值.【答案】解：（Ⅰ）因为23sin 22sin B B =， 所以223sin cos 2sin B B B =. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以tan 3B =，所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理可得()22227424cos3c c π=+-⋅⋅⋅，所以24120c c --=，解得6c =或2c =-（舍）. 解得6c =.8.（2018·石景山期末·16）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，l α2DC =．（Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小； （Ⅱ）若23ADB π∠=，求ABC V 的面积．【答案】解：（Ⅰ）设BAD α∠=，CAD β∠=，则1tan 2BD AD α==，1tan 3CD AD β==…………2分 所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-…………5分因为(0,)αβπ+∈，所以4παβ+=，即4BAC π∠=． …………7分（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC的延长线于点H ， 因为23ADB π∠=，所以3ADC π∠=，所以sin3AH AD π=⋅= …………11分图1B D ACAB C图2ABDCH所以12ABC S BC AH ∆=⋅=． …………13分 9.（2018·昌平期末·16）在sin cos C c A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC S ∆2b c +=+a 的值．【答案】解：（Isin cos C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以tan A =． 又因为 (0,)A ∈π， 所以 6A π=． …………… 6分 （II）由11sin 24ABCS bc A bc ∆===bc = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-，即222()2()12a b c bc b c =+--=+-，因为2b c +=+ 解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分ABC ∆。

朝阳区高三数学第一次统一练习试卷（理工农医类） 2018.4（考试时间120分钟，满分150分）成绩_____________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷（选择题共60分） 参考公式：三角函数积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα)]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα)]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα正棱台、圆台侧面积公式：l )c 'c (21S +=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

台体的体积公式：h )s s 's 's (31V ++=台体其中s ′、s 分别表示上、下底面积，h 表示高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。

（1）已知函数x 21x )x (f --+=的定义域为M ，1x )x (g +=的值域为N ，则（ ） A ．)1,1[N M -= B ．]1,1[N M -= C ．]2,(N M -∞= D ．N M ⊆（2）直线1l ：ax+2y-1=0与直线2l ：0a y )1a (x 2=+-+平行，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．2 C ．-1或2 D ．0或1 （3）已知α、β是两个不同的平面，在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（ ） A ．α、β都垂直于平面yB ．a 、b 是α内两条直线，且a//β，b//βC ．α内不共线的三个点到β的距离相等D ．a 、b 为异面直线，且a//α，b//α，a//β，b//β（4）若以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线⎪⎩⎪⎨⎧α=α=2cos y 2sin 21x :C （α为参数）的极坐标方程为 （ ） A ．θ=ρsin 21 B ．ρ=2sin θ C ．ρ=sin θ D ．)sin 1(221θ+=ρ （5）不等式x 2x >+的解集为（ ） A ．{x|-2≤x<2} B ．{x|-1<x<2}C ．{x|0≤x<2}D ．{x|x<2}（6）函数x cos 2x cos x sin 2)x (f 2+=的最小正周期为（ ） A ．3π B ．2π C ．π D ．2π （7）某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前接下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为21m /a 元，顶层由于景观好价格为22m /a 元，第二层价格为2m /a 元，从第三层开始每层在前一层价格上加价2m /100a元，则该商品房各层的平均价格为（ ）A ．a 1.23a a 21=+B ．)a 1.23a a (23121=+ C ．)a 31.23a a (23121=+ D ．)a 9.22a a (23121=+（8）若奇函数y=f(x)(x ≠0)，当x ∈（0，+∞）时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)<0的解集为（ ）A ．{x|x<0或1<x<2}B ．{x|x<-1或0<x<1}C ．{x|x<-2或-1<x<0}D ．{x|x<0}（9）高中一年级8个班协商级建年级篮球队，共需10名队员，若每个班至少出一名，则不同的名额分配方式有（ ）A ．224种B ．62种C ．36种D ．28种 （10）如图，三棱台111C B A ABC -中，上底面111C B A 面积为41，侧面11A ACC 面积为2，点B 到上底面111C B A 及侧面11A ACC 的距离均为1，则三棱台111C B A ABC -的体积为（ ）A ．21 B ．43C ．23D ．2 （11）已知z ∈C ，|z|=1，当arg(z-2i)取得最大值时所对应的复数z 为（ ）A ．i 2123- B ．i 2123+- C ．i 2123+ D ．i 2321+ （12）设)0,c (F 1-，)0,c (F 2-（c>0）是椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的两个焦点，P 是以|F F |21为直径的圆与椭圆的一个交点，且1221F PF 5F PF ∠=∠，则该椭圆的离心率为（ ） A ．36 B ．23 C ．22 D ．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2018届北京各区一模理科数学分类汇编----参数、极坐标、复数（含答案）1.（朝阳）直线l的参数方程为=,1+3x y tìïïíï=ïî（t 为参数），则l 的倾斜角大小为（ ） C A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π 2.（石景山） 已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________3. （延庆）在复平面内，复数-2i 1i +的对应点位于的象限是 C （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4. （延庆）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设():cos sin 2l +=ρθθ，M 为l 与224x y +=的交点，则M 的极径为 ．25. (东城)复数i 1iz =-在复平面上对应的点位于 （ ）B （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限6. （东城）在极坐标系中， 圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为 ．17. （房山）已知复数i 21+=z ，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则=21z z B （A ）1+i （B ）i 5453+ （C ）i 54-53 （D ）i 341+ 8. （房山）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 的距离为______．29. （丰台）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 D(A) sin ρθ=(B) 2sin ρθ= (C) cos ρθ=(D) 2cos ρθ=10. （丰台）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B对应的复数分别是1z ，2z ，则21z z = ____．12i -- 11. （海淀）复数2i 1i=+ _____________.1+i12.（海淀）直线2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为__________.213．（西城）已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 B（A ）2sin ρθ=-（B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=- （D ）2cos ρθ=14．（西城）若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____． -7。