p.438:4 (3 ) 应用定积分求极限 ∑
=+∞
→n
k p p
n n k 1
1
lim
。 解：
n n k n n
k n k p
n k n
k p p n
k p p 11111
1
⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=∑∑∑
===+ ，此式是函数 p
x x f =)( 在区间 []1,0 的特殊积分和：区间 []1,0 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-n k n k ,1 的右端点。函数p x x f =)( 在区间 []1,0 可积，因而有：所求极限
1
11lim
11101
1+=
+=
=+=+∞
→⎰∑
p p x x d x n
k p p n
k p p n
这一类型题的解题关键一是分离出因式 n 1 ，二是将余下的因式化为 n
k
或类似形式的函数。例如本题解答中即是如此。
又如p.438:4 (4 ) ：应用定积分求极限 ()()[]n
n n n n n n
111lim
-++∞
→ 。 本例无求和，只有乘积，因而不能直接应用上述解法；但利用对数性质可将乘积转化为求和，这样，即可分离出因式
n
1 。 解：令 ()()[]n
n n n n n
y 111-++=
，则 ()()[]()∑-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧-++=101ln 111ln 111ln ln n k n n n k n n n n n n n n n n n n n y ∑-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+101ln 1n k n k n 是函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 的特殊积分和：区间 []2,1 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+++n k n k 11,1 的左端点。函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 可积，因而有：极限
⎰∑=⎪⎭⎫
⎝⎛+=-=∞→∞→2
110ln 1ln 1lim ln lim x
d x n k
n y n k n n
定积分
()
()()2ln 211ln 112ln 21ln ln 1
2
2
1
=-⨯--⨯=-=⎰x x x d x 。函数 x e 在其
定义域内连续，因而所求极限
4lim lim 4ln ln lim ln ====∞
→∞
→∞
→e e e y y
y n n n 。
