求卫星轨道的周长

卫星轨道参数
（1）在地球坐标系中升交点与降交点卫星由南半球飞往北半球那⼀段轨道称为轨道的升段；卫星由北半球飞往南半球那⼀段轨道称为轨道的降段；把轨道的升段与⾚道的交点称为升交点。

轨道的降段与⾚道的交点称为降交点。

（2）轨道倾⾓：指的是⾚道平⾯与轨道平⾯间的（升段）夹⾓。

（3）周期（T）：指卫星绕地球运⾏⼀周的时间
（4）截距（L）：连续两次升交点之间的经度数。

L=T*15度/⼩时
（5）星下点：卫星与地球中⼼连线在地球表⾯的交点。

（6）轨道数：指卫星从⼀升交点开始到下⼀个升交点为⽌环绕地球运⾏⼀圈的轨道序数。

数值计算大作业题目一、非线性方程求根1.题目假设人口随时间和当时人口数目成比例连续增长，在此假设下人口在短期内的增长建立数学模型。

（1）如果令()N t 表示在t 时刻的人口数目，β表示固定的人口出生率，则人口数目满足微分方程()()dN t N t dt β=，此方程的解为0()=tN t N e β； （2）如果允许移民移入且速率为恒定的v ，则微分方程变成()()dN t N t vdt β=+， 此方程的解为0()=+(1)t t vN t N e e βββ-；假设某地区初始有1000000人，在第一年有435000人移入，又假设在第一年年底该地区人口数量1564000人，试通过下面的方程确定人口出生率β，精确到410-；且通过这个数值来预测第二年年末的人口数，假设移民速度v 保持不变。

4350001564000=1000000(1)e e βββ+-2.数学原理采用牛顿迭代法，牛顿迭代法的数学原理是，对于方程0)(=x f ，如果)(x f 是线性函数，则它的求根是很容易的，牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。

设已知方程0)(=x f 有近似根k x (假定0)(≠'x f )，将函数)(x f 在点k x进行泰勒展开，有.))(()()(⋅⋅⋅+-'+≈k k k x x x f x f x f于是方程0)(=x f 可近似地表示为))(()(=-'+k k x x x f x f这是个线性方程，记其根为1k x +，则1k x +的计算公式为)()(1k k k k x f x f x x '-==+，,,2,1,0⋅⋅⋅=k这就是牛顿迭代法，简称牛顿法。

3.程序设计作出函数的图像，大概估计出根的位置fplot('1000*exp(x)+(435*x)*(exp(x)-1)-1564',[0 3]);grid大概估计出初始值x=0.5function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max1) % f 是非线性系数 % df 是f 的微商 % p0是初始值% dalta 是给定允许误差 % max1是迭代的最大次数 % p1是牛顿法求得的方程近似解 % err 是p0误差估计 % k 是迭代次数 p0,feval('f',p0) for k=1:max1p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1;p1,err,k,y=feval('f',p1) if(err<delta)|(y==0), break,endp1,err,k,y=feval('f',p1) endfunction y=f(x)y=1000000*exp(x)+435000*(exp(x)-1)/x-1564000; function y=df(x)y=1000000*exp(x)+435000*(exp(x)/x-(exp(x)-1)/x^2);4.结果分析与讨论newton('f','df',1.2,10^(-4),10) 运行后得出结果 p0 =0.5000p1 =0.1679 err =0.3321 k =1 y =9.2415e+004 p1 =0.1031 err =0.0648 k =2 y =2.7701e+003 p1 =0.1010 err =0.0021 k =3 y =2.6953p1 =0.1010 err =2.0129e-006 k =4 y = 2.5576e-006 ans =0.1010运算后的结果为1010.0=β，通过这个数值来预测第二年年末的人口数，0.10100.1010435000f(t)=1000000(1)0.1010t te e +-t=2时候对于f ()2187945.865x =实践表明，当初始值难以确定时，迭代法就不一定收敛了，因此要根据问题实际背景或者二分法先得一个较好的初始值，然后再进行迭代；再者迭代函数选择不合适的话，采用不动点迭代法也有可能出现不收敛的情况；因此我采用的是牛顿法。

卫星轨道参数详解⽬录⼀.卫星根数1.1 六根数1.2 卫星星历两⾏根数（TLE(two line element)）tle1:tle2:1.3 航天器的运⾏轨道分类1.4轨道速度的计算⼀.卫星根数1.1 六根数⼈造卫星轨道六要素（也称为轨道六根数）是⽤于表征卫星轨道形状、位置及运动等属性的参数，可⽤来确定任意时刻卫星的轨道和位置。

通常的轨道六根数指的是：半长轴a、离⼼率e、轨道倾⾓i、近⼼点辐⾓ω、升交点经度Ω和真近点⾓φ。

六根数中，前2项确定了轨道形状，第3、4、5项确定了轨道平⾯所处的位置，第6项确定了卫星在轨道中当前所处位置（注意：第6项除了⽤真近点⾓来表征外，还常常⽤平近点⾓、过升交点时刻、过近地点时刻等参量表征，其效果是等价的。

六根数⽰意图半长轴a:这个根数决定了卫星轨道形成的椭圆长半轴的长度，及轨道的⼤⼩。

同时，这个根数也决定了发射卫星到这个轨道需要多少能量，因为根据活⼒公式，⼀个确定轨道的机械能是固定的。

不同任务类型的卫星，或者运载约束，⼯作在不同的轨道⾼度上。

发射到不同轨道所需要的能量都需要依靠半长轴来计算。

如下图所⽰，飞得越⾼的卫星速度越慢，也是依据半长轴计算⽽来的。

偏⼼率e:跟椭圆的扁率是⼀个意思，代表轨道偏⼼的程度。

偏⼼率近似等于0的轨道⼀般称为近圆轨道，此时地球的质⼼⼏乎与轨道⼏何中⼼重合。

偏⼼⼤于0⼩于1，轨道就呈椭圆状，偏⼼率越⼤轨道越扁。

轨道倾⾓i:即轨道平⾯与⾚道平⾯之间的夹⾓，⽤于描述轨道的倾斜程度，简单地说就是轨道平⾯相对于地球⾚道平⾯是躺着的还是⽴着的或者是斜着的。

卫星轨道的倾⾓决定了卫星星下点所能覆盖的地理⾼度，并对发射场和运载⽕箭的运⼒形成硬性约束。

具体⽽⾔，若想卫星⾏下点轨迹覆盖⾼纬度地区，则卫星轨道倾⾓不能⼩于该纬度；发射场的纬度不能⾼于卫星轨道倾⾓；在半长轴和发射场相同的情况下，运载⽕箭发射倾⾓更⾼的卫星需要提供更多的能量。

升交点⾚经Ω：理解这个轨道根数需要在称为惯性系的三维空间中进⾏。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ； [解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

轨道周期计算公式轨道周期计算公式是用来研究双星轨道运动的必要公式，它可以帮助我们准确预测双星系统的运动轨道。

它的发展起源于十六世纪法国数学家埃米尔古斯塔夫卢梭，他认为轨道运动是规律性的，并建立了轨道周期计算公式。

卢梭认为，轨道运动可以用椭圆函数来表示，这种函数的一个重要特点是它的实质性参数“周期”，即本征周期，也就是双星系统一次运行完毕的所需的时间。

按照卢梭的计算方法，如果想知道双星系统的周期，可以通过以下公式计算出来：T = 2π * SQRT(a^3/k)其中，a为双星轨道的半长轴，k是引力常数。

由于卢梭的计算方法只能用于简单的双星系统，他的计算结果有一定的偏差，不能用于更复杂的系统中。

直到1772年，苏格兰数学家麦克尔尼科尔利用平方根和超越函数，构建出了更加精确的轨道周期计算公式，从而建立了现代力学的理论基础：T = 2π * SQRT((1/4) * a^3/k)公式中a^3/k称为“系数”，是现代力学中重要的概念，可以用来描述双星系统的运动状态。

麦克尔尼科尔的轨道周期计算公式在它发表以后，逐渐成为双星系统研究中的重要工具，更重要的是，它提供了一种新的、精确的研究双星运动轨道的方法。

随着科学技术的发展，轨道周期计算公式也在不断改进，从而使双星系统的研究变得更加精确。

例如，普朗克改进了轨道参数的表达，将原来的两个参数a和k改写成了三个参数：a、e和M，其中e表示双星轨道的离心率，M表示每个双星的质量。

而另外的一个重要的参数p，则用于描述双星系统的运动轨道。

在20世纪，牛顿力学发展到了令人惊奇的今天，轨道周期计算公式也在不断改进，以更加精确和准确地描述双星系统的运动轨道。

例如，现代轨道周期计算公式结合了平方根、超越函数和牛顿力学，可以用来精确计算双星系统的轨道周期，也就是说，当一个双星轨道在太空中绕太阳转一周所需要的时间。

轨道周期计算公式的发展为科学的发展提供了重要的动力，使人们能够更加准确地研究双星系统，而这对航天探索以及研究太阳系结构和其他复杂运动系统都有着至关重要的意义。

椭圆轨道卫星速度计算椭圆轨道卫星是一种在地球上空运行的人造卫星，它的轨道形状呈现椭圆形。

在计算椭圆轨道卫星的速度时，需要考虑它所处的轨道高度、地球的质量、引力等因素。

下面将详细介绍椭圆轨道卫星速度计算的过程。

我们需要了解一些基本概念。

椭圆轨道是一种椭圆形状的轨道，其中地球位于椭圆的一个焦点上。

椭圆轨道上的卫星在不同位置具有不同的速度。

根据开普勒定律，卫星距离地球越近，速度越快；距离地球越远，速度越慢。

为了计算椭圆轨道卫星的速度，我们首先需要知道卫星所处的轨道高度。

轨道高度是指卫星距离地球表面的最短距离。

常见的轨道高度包括低地球轨道（LEO）、中地球轨道（MEO）和高地球轨道（GEO）。

低地球轨道的高度通常在100公里至2000公里之间，中地球轨道的高度通常在2000公里至35786公里之间，高地球轨道的高度大于35786公里。

在计算椭圆轨道卫星速度时，我们可以采用以下步骤：1. 确定卫星的轨道高度。

2. 根据轨道高度和地球的质量，计算地球表面的引力加速度。

地球的质量约为5.97×10^24千克，引力加速度约为9.8米/秒²。

3. 根据卫星所处位置距离地球的距离，计算卫星所受的引力大小。

根据引力定律，引力大小与距离的平方成反比。

4. 根据卫星所受的引力和地球的质量，计算卫星的运动加速度。

运动加速度是由地球的引力提供的，它决定了卫星的速度变化。

5. 根据卫星的运动加速度和轨道高度，计算卫星的速度。

速度可以通过加速度与时间的乘积来计算，其中时间可以通过轨道的周长和速度来计算。

需要注意的是，椭圆轨道卫星的速度是不断变化的。

在轨道的近地点，卫星的速度最快；在轨道的远地点，卫星的速度最慢。

卫星在轨道上运行时，速度会不断变化，但轨道高度和地球的引力决定了卫星的运动规律。

计算椭圆轨道卫星的速度需要考虑轨道高度、地球的质量、引力等因素。

通过计算地球表面的引力加速度、卫星所受的引力大小、卫星的运动加速度和轨道的周长，可以得出椭圆轨道卫星的速度。

卫星轨道高度速度计算公式卫星是人类利用航天技术将人造物体送入地球轨道或其他天体轨道的一种人造天体。

卫星通常用于通信、导航、气象监测、科学研究等领域。

在卫星的设计和运行过程中，计算卫星轨道高度和速度是非常重要的一部分。

本文将介绍卫星轨道高度速度计算公式，并探讨其在卫星设计和运行中的应用。

卫星轨道高度速度计算公式是由牛顿引力定律和圆周运动定律推导而来的。

在地球的引力作用下，卫星绕地球运动。

根据牛顿引力定律，地球对卫星的引力与卫星的质量和地球的质量成正比，与卫星与地球的距离的平方成反比。

根据圆周运动定律，卫星绕地球运动的加速度与卫星的速度的平方和卫星与地球的距离成反比。

综合考虑这两个定律，可以得到卫星轨道高度速度计算公式。

首先，我们来推导卫星轨道高度速度计算公式。

假设卫星质量为m，地球质量为M，卫星与地球的距离为r，卫星的速度为v。

根据牛顿引力定律，地球对卫星的引力F可以表示为：F =G M m / r^2。

其中，G为万有引力常数。

根据牛顿第二定律，卫星的加速度a可以表示为：a = F / m = G M / r^2。

根据圆周运动定律，卫星的加速度a与卫星的速度v和卫星与地球的距离r之间的关系为：a = v^2 / r。

将上述两个式子联立，可以得到卫星轨道高度速度计算公式：v = sqrt(G M / r)。

这就是卫星轨道高度速度计算公式。

根据这个公式，我们可以通过已知的地球质量和卫星与地球的距离来计算卫星所需的速度。

同时，通过这个公式，我们也可以计算出卫星所需的轨道高度。

在卫星设计和运行中，卫星轨道高度速度计算公式有着重要的应用。

首先，对于通信卫星和气象卫星等需要稳定轨道的卫星来说，确定合适的轨道高度和速度是非常重要的。

通过卫星轨道高度速度计算公式，工程师可以根据卫星的任务需求和地球的引力场来确定卫星的轨道参数，从而保证卫星能够稳定运行并完成其任务。

其次，对于导航卫星来说，合适的轨道高度和速度也是至关重要的。

西北工业大学数值分析习题集第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑1. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"2. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 3. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 4. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).5. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.6. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑7. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑8. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑9. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.10. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.11. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.12. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 13. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.14. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .15. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差. 16. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 17. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=19. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.20. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()x f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22.()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.1. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

卫星周期公式
和引用
卫星周期公式，也称为公转周期公式，是根据力学原理推导出的
一种关于地球上地轨道上的卫星运行周期的公式。

它通常用于决定一
个发射卫星后卫星对地球的公转时间。

首先，卫星的运行周期是由卫星绕地心公转的时间等来确定的。

因此，卫星的公转时间取决于地球发射卫星射出时的角动量，加上地
心引力对卫星施加的力量。

根据角动量定理，给定质心距离和角动量，其公转周期可由Kepler定律确定。

卫星周期公式可描述为：
T = 2π * 开方（[a^3] / [GM]）
其中，T表示卫星的公转时间；a表示卫星绕地球公转的半长轴；G是万有引力常数；M表示地球的质量。

另外，卫星运行周期又受到卫星间是否存在相互引力的影响。

如
果卫星存在着相互引力，则卫星的公转周期也可由Poynting-Robertson效应计算得出。

总之，卫星周期公式是通过地球发射卫星时释放的角动量，加上
地心引力对卫星施加力来计算卫星公转时间的公式，它可以让我们更
好地了解和控制卫星的运行轨道，也可以帮助人类利用卫星实现更多
的技术，从而更好地掌控宇宙空间。

近地卫星周期的几种估算方法
地球同步轨道（GEO）卫星的关键参数之一是其以轨道周期绕地球转动一圈所
需的时间，也叫做轨道周期。

轨道周期是实现卫星全球观测和卫星通信服务能力的重要指标，由此可见其重要性。

本文通过对同步轨道卫星轨道周期估算方法的分析，将详细介绍轨道周期的几种常用的估算方法，供参考。

估算同步轨道卫星轨道周期的方法，一般分为基于观测数据的方法，以及基于
数值模拟的方法。

针对观测数据方法，近来发展如下几种方法：
1、三点法：即采用三个不同时间点的实际观测结果，结合时间差确定近地轨
道周期。

其优点是灵活性强，计算简单，即使观测数据粗糙，仍可得出较为准确的结果。

2、近地数据解析方法：又称多项式拟合法，是用多项式函数拟合观测的近地
数据，结果表明该方法可以估计近地轨道周期当采用拟合多项式次数较高时计算精度更高。

另外，基于数值模拟的估算方法也值得一提。

这些方法包括广泛应用的摄动理
论和经典动力学方法，它们可以用来估计近地轨道周期，摄动理论简化了计算复杂度，性能稳定，但必须注意计算精度与初始条件有关，而经典动力学方法可以满足高精度模拟，但运算耗时。

几种近地轨道周期估算方法就介绍到这里，可以看出，不同估算方法在灵活度、准确度等方面具有不同的优劣势，在实际研究中可根据实际情况进行选择。

以上就对近地轨道周期的几种估算方法作了简介和分析，根据具体情况适当选
取估算方法，有助于让我们更好地了解和利用地球同步轨道卫星，为实现卫星全球观测和通信服务提供有力支持。

航天类专业面试题及答案一、简答题1. 请简述航天器的分类及其主要用途。

答案：航天器主要分为载人航天器和无人航天器两大类。

载人航天器包括宇宙飞船、航天飞机、空间站等，主要用于科学研究、太空探索、国际合作等。

无人航天器包括科学探测卫星、通信卫星、地球观测卫星等，主要用于数据收集、通信、导航、气象预报等。

2. 什么是轨道机动，它在航天任务中的作用是什么？答案：轨道机动是指在航天器的飞行过程中，通过改变其速度、方向或高度来调整轨道参数的操作。

它在航天任务中的作用包括：进入预定轨道、轨道维持、轨道转移、避免空间碎片碰撞、返回地球等。

3. 请解释什么是“引力弹弓效应”？答案：引力弹弓效应，也称为重力助推，是一种利用行星或其他天体的引力来改变航天器速度和方向的技术。

通过这种方式，航天器可以在不消耗自身推进剂的情况下获得额外的速度，从而节省燃料并提高效率。

二、论述题1. 论述航天器在发射过程中可能遇到的挑战及其应对措施。

答案：航天器在发射过程中可能遇到的挑战包括极端的温度变化、大气阻力、结构完整性、控制系统的可靠性等。

应对措施包括使用特殊的热防护材料、优化气动设计、加强结构设计、采用冗余控制系统等。

2. 请论述航天器在太空中如何进行姿态控制。

答案：航天器在太空中进行姿态控制主要依赖于姿态控制系统，该系统通常包括陀螺仪、姿态控制单元（如反作用轮或姿态控制推进器）、太阳传感器、星敏感器等。

通过监测航天器相对于参考坐标系的姿态，并利用控制单元产生的力矩来调整航天器的姿态，确保其正确指向目标，如对地观测或对星通信。

三、案例分析题1. 假设你是一名航天器设计师，你的团队正在设计一颗用于地球观测的卫星。

请描述你的设计思路和考虑的关键因素。

答案：设计地球观测卫星时，需要考虑的关键因素包括：卫星的轨道选择（如太阳同步轨道、地球静止轨道）、观测仪器的性能（如分辨率、光谱范围）、数据传输能力、能源供应（太阳能电池板的效率和寿命）、卫星的稳定性和寿命、以及成本效益分析。

卫星轨道计算一、引言卫星轨道计算是指通过数学方法和物理原理，确定卫星在空间中运动的轨道参数的过程。

卫星轨道计算是卫星设计、发射和运行过程中的重要环节，对卫星的运行轨迹和通信效果具有关键影响。

本文将介绍卫星轨道计算的基本原理和方法。

二、卫星轨道的基本参数卫星轨道的基本参数包括轨道高度、轨道倾角、轨道形状和轨道周期等。

轨道高度指的是卫星离地球表面的距离，通常以千米为单位。

轨道倾角是指卫星轨道平面与赤道面之间的夹角，用度数表示。

轨道形状可以分为圆形轨道和椭圆轨道，圆形轨道是指卫星围绕地球运行的轨道是一个完全闭合的圆形，而椭圆轨道则是指卫星围绕地球运行的轨道是一个椭圆形。

轨道周期是指卫星绕地球一周所需的时间，通常以分钟为单位。

三、卫星轨道计算的方法卫星轨道计算的方法有多种，常用的方法包括开普勒方法、牛顿方法和数值积分方法等。

1. 开普勒方法开普勒方法是最早被使用的卫星轨道计算方法之一，它是根据开普勒的运动定律来计算卫星的轨道参数。

开普勒定律包括椭圆轨道的第一定律、第二定律和第三定律。

通过测量卫星的位置和速度，可以利用这些定律计算出卫星的轨道参数。

2. 牛顿方法牛顿方法是利用万有引力定律来计算卫星轨道的方法。

根据牛顿的万有引力定律，地球对卫星的引力和卫星的质量、速度和距离有关。

通过测量卫星的位置和速度，可以利用万有引力定律计算出卫星的轨道参数。

3. 数值积分方法数值积分方法是一种基于数值计算的卫星轨道计算方法。

通过将卫星的运动方程转化为数值计算的形式，利用计算机进行迭代计算，可以得到卫星的轨道参数。

数值积分方法在计算精度和计算效率方面具有优势，适用于复杂的轨道计算问题。

四、卫星轨道计算的应用卫星轨道计算在卫星设计、发射和运行过程中具有重要应用价值。

1. 卫星设计卫星轨道计算可以通过确定卫星的轨道参数，为卫星的设计提供基础数据。

根据卫星的任务需求和轨道参数，可以确定卫星的结构、推进系统和通信系统等设计参数。

卫星轨道常识——轨道参数和简单计算【转贴】卫星轨道常识——轨道参数和简单计算【转贴】卫星轨道和TLE数据转⾃虚幻天空最近由于Sino-2和北⽃的关系，很多⽹友贴了表⽰卫星运⾏轨道的TLE数据。

这⾥想对卫星轨道参数和TLE的格式做⼀个简单介绍。

虽然实际上没有⼈直接读TLE数据，⽽都是借助软件来获得卫星轨道和位置信息，但是希望这些介绍可以对于理解卫星轨道的概念有所帮助。

由于匆匆写成，可能有⼀些错误，如果看到还请指出。

前⾯关于轨道⼀部分写得较早，后来发现和杂志上关于我国反卫的⼀篇⽂章⾥的相应部分类似。

估计都参考类似的资料，这个东西本⾝也是成熟的理论了。

⾸先来看⼀下卫星轨道。

太空中的卫星在地球引⼒等各种⼒的作⽤下做周期运动，⼀阶近似就是⼀个开普勒椭圆轨道。

由于其他⼒的存在(⽐如地球的形状，⼤⽓阻⼒，其他星球的引⼒等等)，实际的轨道和理想的开普勒轨道有偏离，这个在航天⾥称为“轨道摄动”。

这⾥我们暂时不看摄动，就先说说理想开普勒轨道时的情况。

为了唯⼀的确定⼀个卫星的运⾏轨道，我们需要6个参数，参见下⾯的⽰意图：1. 轨道半长轴，是椭圆长轴的⼀半。

对于圆，也就是半径2. 轨道偏⼼率，也就是椭圆两焦点的距离和长轴⽐值。

对于圆，它就是0.这两个要素决定了轨道的形状3. 轨道倾⾓，这个是轨道平⾯和地球⾚道平⾯的夹⾓。

对于位于⾚道上空的同步静⽌卫星来说，倾⾓就是0。

4. 升交点⾚经：卫星从南半球运⾏到北半球时穿过⾚道的那⼀点叫升交点。

这个点和春分点对于地⼼的张⾓称为升交点⾚经。

这两个量决定了卫星轨道平⾯在空间的位置。

5. 近地点幅⾓：这是近地点和升交点对地⼼的张⾓。

前⾯虽然决定了轨道平⾯在空间的位置，但是轨道本⾝在轨道平⾯⾥还可以转动。

⽽这个值则确定了轨道在轨道平⾯⾥的位置。

6. 过近地点时刻，这个的意义很显然了。

卫星位置随时间的变化需要⼀个初值。

有⼀点要指出的是，上⾯的6个参数并不是唯⼀的⼀组可以描述卫星轨道情况的参数，完全也可以选取其他参数，⽐如轨道周期。