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统计学课件 (11)第11章 一元线性回归

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《一元线性回归》课件

《一元线性回归》课件
模型评价
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测

定量分析方法(11-1)

定量分析方法(11-1)

第十一章 回 归 分 析本章以一元线性回归模型为重点介绍回归分析方法，对于一元线性回归模型所建立的理论与方法作适当的修改便可推广到多元线性回归模型。

§1 回归的概念一、变量之间的关系现实中，各种变量相互依赖、相互影响，存在着某种关系。

如：价格与需求量、利率与投资、收入与消费，等等。

大致可以归纳为两类关系：确定性关系（函数关系），非确定性关系（统计关系）。

1. 确定性关系：变量之间存在着某种完全确定的关系。

如：总收益Y 与产量X 之间的关系：X P Y ⋅=当价格一定时，Y 由X 完全确定。

表现在图形上，()Y X ,的所有点位于一条直线上。

一般地：()n X X X f Y ,,21= （多元函数）2. 非确定性关系：变量之间由于受到某些随机因素的影响而呈现出一种不确定的关系。

如：农业产量主要受到降雨量、施肥量、温度等的影响，但决定产量的并非完全是这些因素，还要受到许多其它因素的影响，如冰雹、蝗灾等自然灾害。

非确定性关系可以分为两大类：1) 相关关系：两个变量处于完全对等的位置，且两个变量皆为随机变量，常用相关系数来度量。

如：计量经济学成绩与统计学成绩，物价水平和股票价格，等等。

2) 回归关系：一个变量的变化是另一个变量变化的原因，而不是相反。

如：消费量Y 与可支配收入X 之间便是一种回归关系。

一般来讲，随着可支配收入的增加，消费增加，可支配收入是影响消费的主要因素，但并非唯一的因XYPX Y =素，影响消费的因素还有消费习惯、地区差异、年龄构成、宗教信仰等等。

同样收入的家庭，有的支出多，有的支出少，即使是同一家庭，其每个月的收入相同的话，各个月的支出也不会完全一样。

这样，对应于一个X 的值，Y 有多个不同的值相对应，X 与Y 呈现出不确定性的关系。

此时：()u X f Y += （u 为随机影响）表现在图形上，()Y X ,的点不是完全处于一条直线（或曲线）上，而是围绕在一条理论线的两旁变化。

管理定量分析课程第11章：回归分析

管理定量分析课程第11章：回归分析
第十一章 回归分析
目录
第一节 一元线性回归 第二节 多元线性回归 第三节 Logistic回归 第四节 SPSS在回归分析中的应用
“回归”（regression）是由英国著名生物学家兼统计学家 高尔顿（Francis Galton了1078 对父亲及其儿子的身高数据，他发现这些数据的散点图大 致呈直线状态，也就是说，总的趋势是父亲的身高增加时 ，儿子的身高也倾向于增加。
3
回归分析主要是研究如何根据自变量X的已知值来估计或预测因 变量Y的值；
回归分析和相关分析都是对多个变量之间依存关系的分析。只有 存在相关的变量才能进行回归分析，相关程度愈高，回归效果越 好。
相关分析与回归分析的不同点： 相关分析是研究变量之间的依存关系，但不区分哪个是自变量，
哪个是因变量；而回归分析不仅研究变量之间的依存关系，而且 要根据研究对象和目的，确定哪个是自变量（解释变量），哪个 是因变量（被解释变量）； 相关分析主要是研究变量之间关系的密切程度和变化的方向；而 回归分析要通过建立回归模型和控制自变量来进行估计和预测。
的方差都相同（equal variance），即满足“等方差性”的假设。 （4）各个 间相互独立，即对于任何两个随机误差ei和 ej（i≠j ）其协
方差等于零，即Cov(ei, ej )=0（ i≠j ），这称之为满足“独立性”（ independent）的假设。 综上所述，随机误差 必须服从独立的相同分布。
回归系数）。
7
二、一元线性回归模型的参数估计 普通最小二乘法（ordinary least square，OLS）
8
9
以研究与开发（R&D）投入与国内生产总值（GDP）的关系为例 来说明一元线性回归模型的求解问题。1989～2010年，中国 R&D投入与GDP相关统计数据如表11-1所示。

第11章管理统计学

第11章管理统计学
北 京 管理理 学统工计 大学 学 管 理Man与agem经ent济stati学stics院
• 多元回归模型的整体性检验的步骤如下：
➢ 提出假设
H0: b1 b2 L bm 0 H1: 至少有一个回归系数不等于0 。 ➢ 计算检验统计量 F
F S回 / m :
SSR / m
S残 /(n m 1) SSE /(n m 1)
y值与预测值
Y
预测 Y
80
线性 (预测 Y)
70
60
50
Text in here
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50
x 投入
包含残差的散点图
残差一般沿着轴显示
残差也用来确定异常点（outliers）， 异常点就是与其他点偏离，与总体 趋势不符的数据点。异常点往往使 残差幅度加大，在散点图中很容易 识别。回归直线方程会受到计算中 每个点的影响，因此，异常点的存 在可能会使回归直线向异常点偏离。
差项e 的方程称为多元线性回归模型。
➢ 涉及个自变量的多元线性回归模型可表示为 ：
y b0 b1x1 b2 x2 L bm xm e
➢ 总体回归参数b0, b1,L , bm 是未知的，要利用样本数 据去估计。用样本统计量b0,b1,L ,bm 代替回归方程 中的未知参数,即得到估计的回归方程： yˆ b0 b1x1 b2 x2 L bm xm
相关关系
线性相关
非线性相关
完全相关
不相关
正相关
负相关
正相关
负相关
管理统计学
Management statistics
相关关系的特点

第11讲 回归概念、回归系数

第11讲 回归概念、回归系数
通过样本数据建立的回归方程，不能立即用于对实际问题的分析和预 测，还需要进行各项统计检验。
回归方程的拟合优度检验 检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度，从而评价回归方程对样 本数据的代表程度。 拟合优度检验采用判定(决定)系数 R 2 （一元）和调整判定(决定)系数 R 2 （多元），来检验。其中R是自变量x和因变量y之间的相关系数。 R 2 和 R 2 取值范围是0~1，越接近1表示拟合优度越高，反之就越低。 判定(决定)系数：反映了因变量y的全部变异中能够通过回归关系被自变量解 释的比例。
7
一、“回归”起源
Galton通过上述研究发现儿子的平均身高一般总是 介于其父亲与其种族的平均高度之间，即儿子的身高在 总体上有一种“回归”到其所属种族高度的趋势，这种 现象称为回归现象，贯穿数据的直线称为回归线。
回归概念产生以后，被广泛应用于各个领域之中， 并成为研究随机变量与一个或多个自变量之间变动关系 的一种统计分析技术。
1 0 i 0
19
三、线性回归
5. SPSS操作及案例分析
例一：一元线性回归分析 9-linear_one.sav 一家地产公司调查了某城市的房地产销售价格与 房产的评估价值的数据，请用一元线性回归分析，能 否用房产的评估价值来预测房地产销售的价格。
分析： 1.自变量：房产的评估价值；因变量：房地产销售价格 2.散点图分析 3.一元线性回归结果分析
27
三、线性回归
5. SPSS操作及案例分析
结果分析 （1）散点图 从建立的散点图来看，自变量x和因 变量y之间存在一定的线性关 系，但数据分布较为分散， 所以相关程度不是很高。
28
三、线性回归
5. SPSS操作及案例分析
18

一元线性回归PPT演示课件

一元线性回归PPT演示课件

196.2
15.8
16.0
102.2
12.0
10.0
本年固定资产投资额 (亿元) 51.9 90.9 73.7 14.5 63.2 2.2 20.2 43.8 55.9 64.3 42.7 76.7 22.8 117.1 146.7 29.9 42.1 25.3 13.4 64.3 163.9 44.5 67.9 39.7 97.1
6. r 愈大，表示相关关系愈密切.
例 11.7
根据例11.6的样本数据，计算不良贷款、贷款余额、应收 贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数.
解：用Excel计算的相关系数矩阵如下.
三、相关系数的显著性检验
(一) r 的抽样分布
当样本数据来自正态总体，且 0 时，则
t r n 2 ~ t(n 2) 1 r2
时，yˆ ˆ0 .
二、参数的最小二乘估计
假定样本数据 (xi , yi ) , i 1,2,, n ，满足一元线性回归模 型, 根据(11.6)式则样本回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi , i 1,2,, n
(11.7)
最小二乘法是使因变量的观察值 yi 与估计值 yˆi 之间的离差平
i1 i1
n
n
n
n
n xi2 ( xi )2 n yi2 ( yi )2
i 1
i 1
i 1
i 1
( 11.1 ) ( 10.2 )
相关系数的取值范围及意义
1. r 的取值范围为[－1，1].
2. r 1 ，称完全相关，既存在线性函数关系.
r ＝1，称完全正相关. r ＝－1，称完全负相关. 3. r ＝0，称零相关，既不存在线性相关关系. 4. r ＜0，称负相关. 5. r ＞0，称正相关.

统计学-第11章一元线性回归学习指导

统计学-第11章一元线性回归学习指导

第11章一元线性回归（相关与回归）学习指导一、本章基本知识梳理基本知识点含义或公式相关关系 客观现象之间确实存在的、但在数量表现上不是严格对应的依存关系。

函数关系 客观现象之间确实存在的、而且数量表现上是严格对应的依存关系。

因果关系有相关关系的现象中能够明确其中一种现象(变量)是引起另一种现象(变量)变化的原因，另一种现象是这种现象变化的结果。

起影响作用的现象(变量)称为“自变量”；而受自变量影响发生变动的现象(变量)称为“因变量”。

因果关系∊相关关系，但相关关系中还包括互为因果关系的情况。

相关关系的种类 按涉及变量多少分为单相关、复相关；按相关方向分为正相关、负相关；按相关形态分为线性相关、非线性相关等。

线性(直线) 相关系数 简称相关系数，反映具有直线相关关系的两个变量关系的密切程度。

()()∑∑∑∑∑∑∑---==2222y yn x xn yx xy n SS S r yx xy相关系数的 显著性检验 ——t 检验 ()().2;,212:0:,0:020221Hn t t Hn t t rn r t HH，拒绝不能拒绝检验统计量-〉-〈--=≠=ααρρ回归方程中的 参数β0和β1为回归直线的截距、起始值，表示在没有自变量x 的影响(即x =0)时，其他各种因素对因变量y 的平均影响；β1为回归系数、斜率，表示自变量x 每变动一个单位，因变量y 的平均变动量。

β1的最小平方估计：∑∑∑∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221x x n yx xy nβ估计标准误差反映因变量实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对实际值的代表性强弱。

其值越大，实际值与估计值之间的平均差异程度越大，估计值的代表性越差。

()代替。

用大样本条件下，分母可；n n yyS e 2ˆ2--=∑总离差平方和S S T反映因变量的n 个观察值与其均值的总离差。

回归离差平方和S S R 反映自变量x 的变化对因变量y 取值变化的影响；或者说，是由于x 与y 之间的线性关系引起的y 取值的变化，也称为可解释的平方和。

[课件]第11章 回归.PPT

[课件]第11章 回归.PPT

(1) (2)
直线通过均点 ( X ,Y ) 直线上方各点到直线的纵向距离之和
= 直线下方各点到直线的纵向距离之和 ˆ) ( Y Y 0 即:

(3)
各点到该回归线纵向距离平方和较到
其它任何直线者为小。


2 2 ˆ ˆ Y Y Y a bX

( X X )( Y Y ) l b l ( X X )
2
XY
XXΒιβλιοθήκη aYbX幻灯片 9go
go
ˆ Y Y ˆ Y Y
6.5
的意义
为残差：点到直线的纵向距离。
6.0
5.5
5.0 11 12 13 14 15 16
2 ˆ ( Y Y )
的意义

残差平方和 (residual sum of squares). 综合表示点距直线的距离。 在所有的直线中，回归直线的残差平方和是最小的。 (最小二乘)
第11章 回 归.ppt
11.7 直线回归的区间估计
11.8 两个斜率的比较
11.9 两条回归直线的合并 11.10过定点的直线回归
11.11 直线回归与直线相关的区别及联系
11.12多重线性回归简介 11.13回归分析的正确应用
英寸 英寸 ， y69 例子： x68 英寸 英寸 x 72 ,y 71 1 1 英寸 英寸 x 64 ,y 67 2 2
ˆ) (Y Y
残差
2 ˆ 残差平方和 Y Y


( Y Y ) 0
l ˆ Y Y l YY lXX
2


2 XY
残差平方和最小且惟一，故名为最小二乘法

《一元线性回归》ppt课件

《一元线性回归》ppt课件
E (Y|X i)01X i
E (Y|Xi)01Xi2 E (Y|Xi)01 2Xi
三、总体回归模型与随机干扰项 〔 population regression model，PRM & stochastic disturbance/error〕
• 描画总体中解释变量X和被解释变量Y的个体值Yi之间的变 化规律：Yi＝f〔Xi〕＋μi
称为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系 数〔regression coefficients〕。
A1：“线性〞的含义
• 对变量为线性——解释变量以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线是一条直线
• 对参数为线性——回归系数以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线并不一定是直线
四、样本回归函数 〔sample regression function，SRF〕
•描画样本中解释变量X和被解释变量Y的之间的平均变化规 律：Y^i＝f〔Xi〕
1、样本回归函数〔SRF〕
• 总体的信息往往无法掌握，因此PRF实践上未知 • 现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本，经过样本的信息来 估计总体回归函数。
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
问题：能否从样本估计总体回归函数？
例2.2：从例2.1的总体中获得如下一个样本：

掌握一元线性回归分析-PPT模板

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)(y x)2
y
)
a y bx
5
根据表计算
代入回归方程 yc a bx
6
序 号
产品产 生产费 量x 用y（万
（千吨） 元）
1 1.2
62
2 2.0
86
3 3.1
80
4 3.8
110
5 5.0
115
6 6.1
132
7 7.2
135
8 8.0
160
合 计
36.4
880
x2
1.44 4
9.61 14.44
207.54
xy 74.4 172 248 418 575 805.2 972 1 280
4 544.6
yc 66.79 77.11 91.3 100.33 115.81 130 144.19 154.51
880
(y yc)2 22.944 1 79.032 1 127.69 93.508 9 0.656 1
统计学基础
一、理解回归分析的概念
当给出自变量某一数值时，不能根据相 关系数来估计或预测因变量可能发生的数值。 回归分析就是对具有相关关系的变量之间数 量变化的一般关系进行测定，确定一个相关 的数学表达式，以便于进行估计或预测的统 计方法。
相关关系是一种数量关系不严格的相互依存关系。
2
二、掌握一元线性回归分析方法
1
一元线性回归分析的特点
在两个变量之间进行回归分析时，必须根据研究目的，具体确定
（1） 哪个是自变量，哪个是因变量。
在两个现象互为根据的情况下，可以有两个回归方程——y倚x回归方程和x倚y回
（2） 归方程。这和用以说明两个变量之间关系密切程度的相关关系只能计算一个是不相同的。

一元线性回归分析PPT课件

一元线性回归分析PPT课件
第18页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页

第十一章统计学一元线性回归精品PPT课件

第十一章统计学一元线性回归精品PPT课件
2. 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 3. 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 4. |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度
极弱，可视为不相关 5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性
进行检验的基础之上
相关系数(例题分析)
▪ 用Excel计算相关系数
相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验(检验的步骤)
4. 各观测点分布在直线周围
x
相关关系(几个例子)
父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系 粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量
x2 、温度x3之间的关系 商品的消费量y与居民收入x之间的关系 商品销售额y与广告费支出x之间的关系
相关关系(类型)
相关关系
本章教学重点与难点
重点
1.一元线性回归分析 2.用软件进行回归分析
难点
最小二乘法的原理并用它解决实际问题
11.1 变量间关系的度量
11.1.1 变量间的关系 11.1.2 相关关系的描述与测度 11.1.3 相关系数的显著性检验
变量间的关系
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
2.
设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完
散点图(例题分析)
散点图(不良贷款对其他变量的散点图)
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0 0
100
200
300
400
贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30

第十一章 一元线性回归.ppt

第十一章 一元线性回归.ppt
由(11—1)式可推知，若总体不存在直线关 系，则总体回归系数β=0；若总体存在直线关系， 则β≠0。所以对直线回归系数b的假设检验为： HO:β=0；HA:β≠0。
在HO成立的条件下，回归系数b服从t分布。
统计量t b / Sb , df n 2.........(.11 3) 其中，Sb S yx / S XX ，称为回归系数标准误
(三)直线回归方程的建立 在x、y的坐标平面上可作出无数条直线，而
回归直线是所有直线中最接近散点图中全部散点
的直线。设样本直线回归方程为：yˆ = a +bx
其中a是的估计值，称为 回归截距；b是β的估计值，
称为回归系数；yˆ i是+βxi的
估计值。
图11—2 直线回归散点图
回归值 yˆi与yi观察值间的偏差（或称残差）为：
Sb S yx / S XX 60.9525/ 1685 1.4849 t b / Sb 21.7122/1.4849 14.62
当df = n-2 = 12-2 = 10,查附表4得
t 0.05(10) = 2.228,t 0.01(10) = 3.169
t = 14.62 > 3.169
函数关系－有确定的数学表达式
直线回归分析
（确定性的关系）
一元回归分析
变
曲线回归分析
量
间 的 关
因果关系 回归分析
多元线性回归分析
系
多元回归分析
多元非线性回归分析
相关关系
（非确定性的关系）
简单相关分析－直线相关分析
平行关系 相关分析
复相关分析
多元相关分析
偏相关分析
主要内容：
第一节 直线回归

一元线性回归(S).ppt

一元线性回归(S).ppt

y)2 y)2
＝1－SSE/SST
• R2∼[0,1] 越接近于1，拟合度越好。
简单回归中，R2与简单相关系数的关系
•判定系数的平方根即皮尔逊积矩相关系数
r (b的符号) r2 •其方向与样本回归系数 b (b1) 相同。 •R说明两变量间关联程度及方向。 •有夸大变量间相关程度的倾向，判定系数是更好的
点估计 区间估计
点估计
对于给定的 X 值，求出 Y 平均值的一个估计值或 Y 的一个个别值。
yˆ 123.15961.0788x 若 x = 169，则：
yˆ 123.15961.0788169
y 59.16 Y
点估计不能提供估计量的精确度。
在样本自变量取值范围之外进行预测要特别谨慎。
区间估计
果，因此可以认为I（即Yi)是在x条件下的正态分布。
回归方程的拟合优度检验- R2
• R2 （Coe. of determination）：决定系数或判定系数。
• 拟合优度的度量。
• PRE意义。表明Y 的变异性能被估计的回归方程
解释的部分所占比例。
•
•
定义式：
r2
SSR SST
( yˆ (y
样本一元线性回归方程： (估计的回归方程)
样本回归系数
yˆ b0 b1x
以样本统计量估计总体参数
Yˆ 0 1X
总体未知参数
线性回归方程的参数估计－最小二乘法
• 所谓最小二乘法就是通过使残差平方和为最小来估计回 归系数的一种方法。
• 回归系数的意义
• b1表示X每增加一个单位 ，Y会增加b个单位；
回归系数的显著性检验X可否有 效地解释Y的线性变化。
H0 : 1 0 H1 : 1 0
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1.
r 的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化
当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r 的抽样分布趋于正态分布，尤其是在
总体相关系数很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时，除2.
当为较大的正值时，r 呈现左偏分布；当为较大的负值时，r 呈现右偏分布。只有当接近
？
回归一词是
怎么来的?
统计学
回归分析与相关分析的区别
1.
相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地
位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
2.
相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可
以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
1.
是涉及一个自变量的回归
2.
表示因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示
用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表
示
3.
因变量与自变量之间的关系用线性方程来表示
11 - 32
11 - 37
统计学
估计的回归方程 (estimated regression equation)
b b 1. 总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计
0
1
bˆ bˆ 2. 用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程
0
1
b 0 b1
3. 一元线性回归中估计的回归方程为
例，设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，
并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的
关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，
其中 x 称为自变量，y 称为因变量
y
3.
各观测点落在一条线上
x
11 - 6
统计学
函数关系 (几个例子)
11 - 25
统计学
各相关系数检验的统计量
相关系数的显著性检验 (例题分析)
11 - 26
统计学
一.
一元线性回归模型
二.
参数的最小二乘估计
三.
回归直线的拟合优度
四.
显著性检验
§11.2 一元线性回归
11 - 27
统计学
什么是回归分析？ (Regression)
1.
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式——估计回归方程
4.
回归方程的显著性检验
5.
利用回归方程进行估计和预测
6.
用 Excel 进行回归
11 - 3
统计学
§11.1 变量间关系的度量
一.
变量间的关系
二.
相关关系的描述与测度
三.
相关系数的显著性检验
11 - 4
统计学
变量间的关系 函数关系和相关关系
11 - 5
统计学
函数关系
1.
是一一对应的确定关系
2.
bˆ 0 bˆ 1
n
n
(yi y ˆi)2 (yi bˆ0bˆ1xi)2最小
i1
i1
2. 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
11 - 40
统计学
最小二乘估计 (图示)
y (xn , yn)
(x2 , y2)
(x1 , y1)
11 - 41
｝
3.
相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y
的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
11 - 29
统计学
回归模型的类型
回归模型
一元回归
多元回归
线性回归 非线性回归 线性回归 非线性回归
11 - 30
统计学
一元线性回归模型
11 - 31
统计学
一元线性回归
i1
n
n n
n xiyi xi yi
bˆ1
i1
i1 i1
n
n
xi2
1.
是对变量之间关系密切程度的度量
2.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数（皮尔逊相关系数）
3.
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为
4.
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r
11 - 17
统计学
相关系数 (计算公式)
样本相关系数的计算公式
(xx)(yy) rxy (xx)2 (yy)2
11 - 19
统计学
相关系数 (取值及其意义)
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0
-0.5
负相关程度增加
0
+0.5
r
正相关程度增加
+1.0
11 - 20
统计学
相关系数 (例题分析)
用Excel计算相关系数
11 - 21
统计学
相关系数的显著性检验
11 - 22
统计学
相关系数的显著性检验 ( r 的抽样分布)
2.
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变
量的影响显著，哪些不显著——回归方程的检验：拟合优度检验；线性显著性检验；回归系数
显著性检验
3.
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出
这种预测或控制的精确程度——预测
11 - 28
统计学课件 (11)第11章 一元线性回 归
统计学
第11章 一元线性回归
§11.1 变量间关系的度量 §11.2 一元线性回归 §11.3 利用回归方程进行估计和预测 §11.4 残差分析
11 - 2
统计学
学习目标
1.
相关系数的分析方法
2.
一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计
3.
回归直线的拟合优度
统计学
回归模型 (regression model)
1.
用来回答“变量之间是什么样的关系？”
2.
方程中运用
1 个数字的因变量(响应变量)
被预测的变量
1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量)
用于预测的变量
3.
主要用于预测和估计
11 - 33
统计学
一元线性回归模型
1.
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型
yˆ bˆ0 +bˆ1x
b b 其中： 是估ˆ 计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个ˆ给定的 x 的值，
是 y 的估计值0，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
1
yˆ
11 - 38
统计学
参数的最小二乘估计
11 - 39
统计学
最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30
累计应收贷款
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14 12 10
8 6 4 2 0
0
50
100
150
200
固定资产投资额
不良贷款与固定资产投资额的散点图
统计学
相关关系的描述与测度 (相关系数)
11 - 16
统计学
相关系数 (correlation coefficient)
相关关系 (correlation)
1.
变量间关系不能用函数关系精确表达
2.
一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
3.
当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个
4.
各观测点分布在直线周围
y
x
11 - 8
统计学
相关关系 (几个例子)
相关关系的例子 ▪ 父亲身高(x)与子女身高(y)之间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系 ▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
ei = yi-yi＾
(xi , yi)
yˆ bˆ0 +bˆ1x
x
统计学
bˆ 0
最小二乘法
bˆ( 和 的计算公式) 1
根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
bˆ 0 bˆ 1
Q
b0
Q
b1
b0bˆ0 b1bˆ1
n
2 (yi bˆ0 bˆ1xi)2 0
i1
n
2 xi(yi bˆ0 bˆ1xi)2 0
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = px (p 为单价)
▪ 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=r2
▪ 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
11 - 7
统计学
负线性相关
非线性相关
不相关
统计学
散点图 (例题分析)
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设
、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大