高中数学人教版选修1-2习题第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1 Word版含解析

人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1(6-2i) -(3i+ 1)等于()A.3 -3iB.5-5iC.7+ iD.5 +5i解析 (6- 2i) -(3i+ 1) =(6-1)+ (- 2-3)i= 5-5i,故选 B .答案 B2如图 ,在复平面内 , 复数 z1,z2对应的向量分别是则A .2 B.3C.解析z1=- 2-i,z2= i,z1+z2=- 2.故选A.答案 A3 若z1=2+ i,z2=3+a i( a∈R ),且z1+z2所对应的点在实轴上,则 a 的值为 ()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=2+ i+3+ai= (2+ 3)+ (1+a )i = 5+(1+a )i .∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a= 0.∴a=- 1.答案 D4已知 z1 =3-4i,z2=- 5+ 2i,z1 ,z2对应的点分别为P1,P2,则对应的复数为A.- 8+6iB.8-6iC.8+6iD.-2- 2i解析由复数减法的几何意义 ,知对应的复数为z1-z2= (3- 4i) -( -5+ 2i)= (3+5)+ (-4-2)i= 8- 6i,故选B .1答案 B5 若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2 ,z3,且 |z-z1|=|z-z 2|=|z-z 3|,则点 P 为△ABC 的()A.内心B.外心C.重心D.垂心解析由|z-z0|的几何意义可知,动点 P 到三角形三顶点的距离相等,故 P 为△ABC 的外心 .答案 B6如图 ,在平行四边形 OABC 中 ,各顶点对应的复数分别为 z O=0,z A=2∈R ,则a-b的值为.解析由复数加法的几何意义,知∴- 2a+ 3i--根据复数相等的充要条件,得解得答案 -47 已知z1=m2- 3m+m2i,z2= 4+ (5m+6)i( m∈R ),若z1-z2= 0,则m=.解析∵z2-3m+m2i) -[4 + (5m+6)i] = (m2-3m-4)+ (m2-5m-6)i= 0,1-z2= (m答案 -18 已知z是复数,|z|= 3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析设 z=a+b i( a,b∈R),则a+b i+ 3i =a+ (b+ 3)i 是纯虚数 ,∴a= 0,b+ 3≠0.又|z|= 3,∴ b=3,∴z=3i .答案 3i9 若|z-1|= 1,试说明复数z 对应点的轨迹 .分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|= 1 表示复数z对应的点到点 (1,0)的距离为1,故复数 z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心 ,以 1 为半径的圆 .10 已知复平面内的点A,B 对应的复数分别是z1=sin 2θ+ i, z2=- cos2θ+ icos 2θ,其中θ∈ (0,π),设对应的复数是2(1)求复数 z;(2)若复数 z 对应的点P 在直线 y上求的值解 (1)∵点 A,B 对应的复数分别是z1= sin2θ+ i,z2=- cos2θ+icos 2θ,∴点 A,B 的坐标分别是A(sin2θ,1),B(- cos2θ,cos 2θ),2θ)-(sin2θ,1)= (- cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).对应的复数 z=- 1+ (-2sin2θ)i .(2)由 (1) 知点 P 的坐标是 (-1,-2sin2θ),代入 y得 -2sin2θ=即sin2θθ=又θ∈ (0,π),∴sin θ或能力提升1 若|z-1|=|z+ 1|,则复数z对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限解析∵ |z-1|=|z+ 1|,∴点 Z 到 (1,0)和 (-1,0)的距离相等 ,∴点 Z 在以 (1,0)和 (- 1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上 .答案 B2 已知z=cos为虚数单位则平面内到点的距离等于的点的轨迹是A.以点 (0,0) 为圆心 ,1 为半径的圆B.以点 C 为圆心 ,1 为半径的圆C.满足方程 x2+y 2= 1 的曲线D.满足 (x-1)2+ (y-2)2的曲线解析∵ |z|∴平面内到点C(1,2)的距离等于 |z|的点的轨迹方程为(x-1)2+ (y-2)2= 1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.答案 B★ 3 若复数z=x+y i( x,y∈ R )满足条件|z-4i|=|z+ 2|,则2x+ 4y的最小值为()A.2B.4C.解析由 |z-4i |=|z+ 2|,得 |x+ (y-4)i|=|x+ 2+y i|,∴x2+ (y-4)2= (x+ 2)2+y2,即x+ 2y= 3,∴2x+ 4y=2x+ 22y≥当且仅当 x= 2y时,2x+ 4y取得最小值答案 C4 设实数x,y,θ满足以下关系:x+y i= (3+5cosθ)+ (-4+ 5sinθ)i,则x2+y2的最大值是.3人教 A 版 2018-2019学年高中数学修1-2解析∵ x+y i= (3+5cos θ)+ (-4+ 5sin θ)i,∴x2+y2= (3+ 5cosθ)2+ (-4+5sinθ)2= 50+ 30cos θ-40sin θ= 50+ 50cos(θ+ φ),其中 sin φ∴( x2+y2)max= 50+ 50=100.答案 1005若 n 个复数 a1 ,a2,⋯,a n,存在 n 个不全零的数 k1,k2,⋯ ,k n, 使得 k1 a1+k 2 a2 + ⋯+k n a n=0 成立 ,称 a1,a2,⋯,a n性相关.依此定,能使a1=1,a2= 1-i,a3=2+ 2i三个复数性相关的数k1,k2,k3的依次可取. (写出一数即可 ,不必考所有情况 )解析本主要考新信息背景下的复数的加法运算和两个复数相等的条件的用,在新定下,k1a1 +k 2a2+k 3a3= 0,即k1+k 2 (1-i) +k 3(2+ 2i)= 0,即 (k1+k 2+ 2k3)+ (-k2 +2k3)i = 0,故 -k2 +2k3= 0,k2 =2k3.又部之和k1+k2+2k3= 0,∴k1=-k 2 -2k3=- 4k3,∴k1 =- 4k3,k2= 2k3 ,令 k3取任意一个非零就可以得到一.答案 -4,2,1(答案不唯一 )6 已知|z|=2, |z+3-4i|的最大是 .解析由 |z|= 2 知复数 z 的点在 x2+y2=4上,心O(0,0),半径r= 2.而|z+ 3-4i |=|z- (-3+ 4i)|表示复数 z 的点与 M(-3,4)之的距离 ,由于 |OM|= 5,所以 |z+ 3-4i|的最大 |OM|+r= 5+2=7.答案 77 已知复数z1=1-2i和z2= 4+ 3i分复平面内的A,B 两点 .求:(1)A,B 两点的距离 ;(2)段 AB 的垂直平分方程的复数形式,并化数表示的一般形式 .解(1)因|z2 -z1|=| (4+3i) - (1-2i)|=| 3+5i|所以 A,B 两点的距离(2)段 AB 的垂直平分上任一点Z 到 A,B 两点的距离相等 ,点 Z 的复数z,由复数模的几何意,知 |z-(1-2i)|=|z- (4+ 3i) |.z=x+y i( x,y∈R ),代入上式 ,得|(x-1)+(y+ 2)i|=| (x-4)+( y-3)i|,即( x-1)2+(y+ 2)2=( x-4)2+( y-3)2.整理上式可得段 AB 的垂直平分的方程3x+ 5y-10=0.所以段 AB 的垂直平分方程的复数形式|z-(1- 2i)|=|z- (4+3i)|,数表示的一般形式 3x+ 5y-10= 0.★8 在△ABC中,角A,B,C所的的度分a,b,c, 复数 z=cos A+ isin A,且足 |z+1|= 1.(1)求复数 z;-(2)求的4人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修1-2 习题分析第 (1)问 ,把复数 z+1 的模转化为它对应的复数的模, 从而求出角A,进而求出复数z; 第(2) 问,利用正弦定理把边转化为角 ,再进行三角恒等变换即可求解.解(1)∵ z=cos A+ isin A,∴z+1=1+ cos A+ isin A.∴|z+ 1|∵|z+ 1|= 1,∴2+ 2cos A= 1.∴c os A=∵角 A 是△ABC 的一个内角 ,∴ A= 120 .∴s in A∴复数 z=(2)由正弦定理 ,得 a= 2R·sin A,b= 2R·sin B,c=2R·sin C(其中 R 为△ABC 外接圆的半径),∴原式-∵B= 180 -A-C= 60-C,∴原式---即-的值为 2.5。

第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，N ＝{虚数}，则(∁I M )∩(∁I N )＝( D ) A ．{复数} B ．{实数} C ．{有理数}D ．{无理数}[解析] ∁I M ＝{无理数、虚数}，∁I N ＝{实数}，∴(∁I M )∩(∁I N )＝{无理数}． 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B ．23C ．－23D ．2[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5iD ．5＋5i [解析] 复数2i －5的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴其实部为－2，故选A ． 4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( D ) A ．0或－1 B ．0 C ．1D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．5．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( A ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．6．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( D ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， 故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ 14 ，y ＝__1__.[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3xy ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是 2＋3，0.618，i 2 . [解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 三、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0① 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6， 解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6， 解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．B 级 素养提升一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( C ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( B ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( D ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( C ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ，解得a ＝－4.二、填空题5．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于__－3__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝__－1__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．C 级 能力提高1．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为__2__.[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以ab ＝2.2．设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解． (1)若z 是虚数，则其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1>05－m >05－m ≠1，解得1<m <5，且m ≠4.(2)若z 是纯虚数，则其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝15－m >05－m ≠1，解得m ＝2.第三章 3.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2 [解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A ． 6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( B ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2 α＝2＋2cos α＝4cos 2 α2＝2|cos α2|.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2|cos α2|＝－2cos α2，故选B ．二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z ＝1＋2i ，则|z |[解析] |z |＝12＋22＝ 5.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__.[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2. 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( A ) A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( C ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5. 6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为 12 .[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝__12__.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)． 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．C 级 能力提高1．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ [解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆． 解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．2．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i ，证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限.[解析] 设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ， 该复数所对应的点不可能位于第四象限．第三章 3.2 3.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．2＋3iD ．3＋2i[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ， 所以z 的虚部是4.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i [解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.4．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( C ) A ．18＋10i B ．18－10i C ．－10＋18iD ．10－18i[解析] ∵z ＝11－20i ， ∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i.5．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( D ) A ．10 B ．5 5 C ． 2D ．5 2 [解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ， ∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( D ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__－1__.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为__4－4i__.[解析] B C →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题9．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量P A →、PB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即DB →对应的复数是5.B 级 素养提升一、选择题1．复数(3m ＋m i)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m <23B ．m <1C ．23<m <1D ．m >1[解析] (3m ＋m i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2<0m －1<0，∴m <23.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( D )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( C ) A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3. ∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．(2016·济南高二检测)设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝__4__.[解析] x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝(x 2＋y 5)＋(x 2＋2y5)i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__－1＋10i__. [解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝52－y ＝－6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 7．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__3__.[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x 、y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.C 级 能力提高1．(2016·青岛高二检测)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0. ∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.第三章 3.2 3.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·重庆八中高二检测)复数z 满足z i －1＝i 则z 的共轭复数为( A ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i (1＋i )i 2＝i －1－1＝1－i.2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2＝( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [解析] (1＋i 1－i )2＝2i－2i＝－1.3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则a ＝( A )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3a i ＋3， ∴－3a ＝3，∴a ＝－1.4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 [解析] ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ， ∴a ＝4，选D ．5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) [解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B ．6．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( B ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__. [解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2 ＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1＋1＋1＋4i －4 ＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__. [解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，∴z ＝2＋i.三、解答题 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级 素养提升一、选择题1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 [解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 3．若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 的值是( B )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2[解析] (m 2＋i)(1＋m i)＝m 2＋i ＋m 3i ＋m i 2＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i. ∵(m 2＋1)(1＋m i)为实数， ∴m 3＋1＝0， ∴m ＝－1.故选B ．4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 二、填空题5．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z [解析] 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1故|z |＝a 2＋b 2＝ 5.方法二：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 6．(2015·重庆理)设复数a ＋b i(a 、b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__3__. [解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3. (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.7．(2017·浙江，12)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.[解析] (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 三、解答题 8.m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值. [解析] ∵m1＋i ＝1－n i ，∴m (1－i )2＝1－n i ， ∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2－m ＝－2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1. C 级 能力提高1．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ 1－32i .[解析] ∵z 0＝3＋2i ， ∴z ·z 0＝3z ＋2i z ＝3z ＋z 0， ∴2i·z ＝z 0.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴2i(a ＋b i)＝3＋2i ，即－2b ＋2a i ＝3＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝3，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，∴z ＝1－32i.2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . [解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数系的扩充和复数的概念1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若a 、b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案] D[分析] 由复数的有关概念逐个判定．[解析] 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0，且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1 [答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D. 3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4[答案] C[解析] 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2，－a 2＝4a .解得：a ＝－4.故应选C.4．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A ．{π，2π3，4π3} B ．{π3，5π3} C ．{π，π6，11π6} D ．{π3，π，5π3} [答案] D[解析] 由条件知，cos α＋cos2α＝0，∴2cos 2α＋cos α－1＝0，∴cos α＝－1或12， ∵0<α<2π，∴α＝π，π3或5π3，故选D. 5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2[答案] C[解析] 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a <0且a ＝－bC ．a >0且a ≠bD ．a ≤0 [答案] D[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.7．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z )B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z ) D ．2k π＋π6(k ∈Z ) [答案] D[解析] 由复数相等的定义可知， ⎩⎨⎧ sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 8．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．不存在 [答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1或4，m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4.9．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i [答案] B[解析] 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.10．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }，在集合A 中任取一个元素a ，则复数z ＝(a 2－1)＋(a 2－a －2)i 为实数的概率为p 1，z 为虚数的概率为p 2，z ＝0的概率为p 3，z 为纯虚数的概率为p 4，则( )A ．p 3<p 1<p 4<p 2B ．p 4<p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 4<p 1<p 2D ．p 3＝p 4<p 1<p 2 [答案] D[解析] 由条件知A ＝{－2，－1,0,1,2}，若z ∈R ，则a 2－a －2＝0，∴a ＝－1或2，∴p 1＝25； 若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－a －2＝0，∴a ＝－1，∴p 3＝15； 若z 为虚数，则a 2－a －2≠0，∴a ≠－1且a ≠2，∴p 2＝35； 若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－a －2≠0，∴a ＝1，∴p 4＝15.∴p3＝p4<p1<p2.。

⾼中数学选修1-2（⼈教A版）第三章数系的扩充与复数的导⼊3.1知识点总结含同步练习及答案描述：⾼中数学选修1-2(⼈教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章数系的扩充与复数的引⼊ 3.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习任务1. 了解数系的扩充过程．2. 理解复数的基本概念、代数表⽰法以及复数相等的充要条件；了解复数的⼏何意义．⼆、知识清单复数的概念复数的⼏何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进⼀步扩充，⼈们引⼊了⼀个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进⾏四则运算，且原有的加、乘运算律仍成⽴．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常⽤字母表⽰，即（，），这⼀表⽰形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数（，）可以分类如下： i =?1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d ia =cb =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)⾮纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的⼏何意义根据复数相等的定义，任何⼀个复数，都可以由⼀个有序实数对唯⼀确定．因为有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点⼀⼀对应，所以复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可⽤点表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表⽰实数；除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数．设复平⾯内的点表⽰复数，连结，显然向量由点唯⼀确定；反过下列命题中，正确的个数是（）①若，则的充要条件是；②若，则；③若，则，．A． B． C． D．解：A①由于，所以不⼀定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能⽐较⼤⼩，所以②不正确；③当，时，成⽴，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知，，若，则______．解：根据复数相等的充要条件，得整理得，所以，将其代⼊，得，所以，所以．=?3?4i z 1=(?3m ?1)+(?m ?6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{?3m ?1=?3,n 2?m ?6=?4,n 22m =4m =2?3m ?1=?3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数为何值时，复数分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数可整理为．（1）当时，，即或．（2）当时，是虚数，即且．（3）当时，是纯虚数，解得．（4）当时，，解得．k (1+i)?(3+5i)k ?2(2+3i)k 2z z =(?3k ?4)+(?5k ?6)i k 2k 2?5k ?6=0k 2z ∈R k =6k =?1?5k ?6≠0k 2z k ≠6k ≠?1{?3k ?4=0,k 2?5k ?6≠0,k 2z k =4{?3k ?4=0,k 2?5k ?6=0,k 2z =0k =?1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ ?→Z →OZ说成向量，并且规定，相等的向量表⽰同⼀个复数．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学/doc/bf12554970.html）⾼考不提分，赔付1万元，关注快乐学/doc/bf12554970.html了解详情。